О взаимосвязи допустимости и устойчивости линейных интегральных уравнений Вольтерра Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таблица 4

Оптимальный план для задачи с транзитными перевозками

q 1 /ь I q 1 /ь2 q,/b3 q2/b, q2/b2 q2/b3

2] il 13 17 16 11 10

8 12 7

17 12 27 17 12 12

a? 13 15 19 12 7 6

20

17 12 0 17 12 20

a-, 14 16 20 14 9 8

9 1

10 10 0 10 10 10

дач с накоплением убывает. Изложенный алгоритм решения двустадийных задач может быть распространен и на многостадийные задачи, однако в этом случае возрастает число вспомогательных матриц перевозок, которое в общем случае равно р+\, р -число стадий промежуточной обработки.

Необходимо также отметить, что в случаях, когда возможности пунктов промежуточной обработки не позволяют обрабатывать полуфабрикаты без создания очередей, оптимальное решение может быть получено за счет решения конечной последовательности подзадач, в каждой из которых потребности пунктов промежуточной обработки равны их производительности, а ресурсы исходных пунктов и пунктов назначения вычисляются с учетом ресурсов, запланированных к перемещению в ходе решения предыдущих подзадач. При этом необходимо учитывать, что в последующих

задачах времена движения из исходных пунктов в пункты промежуточной обработки приравниваются нулю в случае использования этих маршрутов любой предыдущей подзадачей. В итоге наступает ситуация, когда либо все ресурсы вывезены из исходных пунктов, либо полностью удовлетворены потребности пунктов назначения, либо возможности пунктов промежуточной обработки полностью исчерпаны. Теперь необходимо наложить полученные решения друг на друга. Временные потери на ожидание обслуживания в очередях исходной задачи будут в таком решении учтены за счет суммирования времен обслуживания одноименных маршрутов всех подзадач.

Литература

1 .Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Задачи линейного программирования транспортного типа. М., 1969.

2. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М., 1969.,

3. Корбут A.A., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М., 1969.

4. Нечитайло Н.М., Носко С.В., Прокопец В.Н. //Сб. реф. деп. рукописей. 1991. Вып.19. Сер. Б. Инв. № В2058.

5. Золотухин В.Ф., Нечитайло Н.М. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1993. № 1-2. С. 4—13.

6. Золотухин В.Ф. и др. И Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1995. № 2. С. 16-24.

1. Золотухин В.Ф. Основы общей теории систем. 4.2: Элементы теории принятия решений: Учеб. пособие. М., 1993.

8. Триус Е.Б. Задачи математического программирования транспортного типа. М., 1967.

Ростовский государственный университет путей сообщения_____________________________________6 декабря 2002 г.

УДК 517.968 .

О ВЗАИМОСВЯЗИ ДОПУСТИМОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА

©2003 г. В.Ф. Пуляев,Д.Г. Сокол

The problem about intercoupling of stability and admissibility tions is investigated.

Исследуется задача о взаимосвязи устойчивости и допустимости различных пар пространств для линейных интегральных уравнений Вольтерра вида

x(t) = \K{t,s)x{s)ds + f{t). (1)

а

Аналогичные вопросы изучались в работах [1-3]. В данном случае уравнение (1) рассматривается при более слабых предположениях относительно ядра K(t,s), что привело не только к изменению пространств, в которых изучается уравнение, но и потребовало применения новой техники для его исследования. Полученные результаты являются естественным развитием исследований указанных выше работ.

different pairs of the spaces for linear integral Volterra equa-

Обозначим через L£, loc(a,°°) пространство измеримых (относительно меры Лебега) отображений х:(а,°°)-> R”, ограниченных в существенном на любом промежутке (а,с), а через 1Д(а,°°) - его подпространство функций, для которых норма

|| jc ||L„ = vraisup || x(t) ||RII < 00 • Определим также под-~ /е (а,»)

пространства C0L^,(а,оо) = [хе 1^(0,°°): vrailimx(z) = lim[vraisup || x(s) || „ ] = 0} и f—»«> s>{

A0Ll(a,«o) = C0Ln.(a,eo)©Rn.

Si

cJ

Будем считать, что вещественная их и - матрица K(í,s) определена и измерима на множестве A(a,°o) = {(í,í):a<i<í<°°}, при п. в. te(a,°°) суммируема по s на (а, г) и удовлетворяет следующим условиям: для любого с е (а, °°)

vraisup J |K(í,.?)[[ ds <°° (2)

le (а,с) а

и равномерно по / на каждом промежутке (а, с)

lim vraisup

Л-»+° ,Є(а><;)

= 0.

(3)

Л|кМ1*

тах{а,г-й}

Теорема 1. Если выполнены условия (2) и (3), то уравнение (1) при любом свободном члене 1ос(а,°°) имеет и притом единственное решение ;с(г)е 1ос(а,°о), При этом существует такая

пУ.п- матрица Н(г,л), удовлетворяющая условиям типа (2) и (3), что решение уравнения (1) имеет вид

*(0 =/(0+ }к(*. *)/(«)<&• -

а

Определение 1. Решение х^ уравнения (1), соответствующее свободному члену /о, называется устойчивым, если для любого е > 0 существует такое 8 > 0, что из (/ - /о) е ь! (а, оо) и || / - /0 ||ь„_ < 5 следует,

что -х/о)еЦ1(а,°°) и \\х/-х/о ||ь1<£.

В силу линейности уравнения (1) все его решения одновременно либо устойчивы, либо нет, поэтому в дальнейшем будем говорить об устойчивости уравнения.

Пусть X и У — подпространства 1Д(а,°°), а

оператор К определяется равенством

(к*)(о = /£(', *) *(*)<&■

а

Определение 2. Пара (Х,У) называется допустимой для оператора К, если К(Х) с У, и допустимой для уравнения (1), если для каждого /еХ решение ху принадлежит У.

Оказывается, что можно описать все замкнутые подпространства X из (а, °°), для которых из до-

пустимости пары (х,Ь^(я,°°)] для уравнения (1) следует его устойчивость.

Определение 3 (ср. [1]). Замкнутое подпространство X из Ы (а, оо) обладает Ь-свойством, если единичный шар из X всюду плотен в некотором шаре (с центром в нуле и радиусом г) пространства

Ь^,(а,°о) относительно сходимости по мере на каждом промежутке (а,с).

Теорема 2. Пусть X обладает Ь-свойством и пара (х, Ы (а, °°)) допустима для оператора К. То-

гда пара (ьп„ (а, <*>), Ь1^ (а, °°)) также допустима для

оператора К. Оператор К при этом непрерывен, и справедливы неравенства

* 11-н 1

гп~1 УШ5ир|||£(^5)||Л< К ^ уга18ирЛ|ЛГ(/, л,)| .

ге(а,~) а ИХ->ЬП_ /е(а,оо) а

Связь допустимости пары (х, Ь^ (а, оо)) с устойчивостью уравнения (1) описывает следующая теорема.

Теорема 3. Пусть X - замкнутое подпространство Если X обладает Ь-свойством и пара

(х,1Д(а,°°)) допустима для уравнения (1), то уравнение (1) устойчиво.

Обратно, если каждое из уравнений вида(1), для которого допустима пара (х,1Д(а,оо)), устойчиво, то

X обладает Ь-свойством.

Доказательство теоремы 3 базируется на тех же идеях, что и доказательство соответствующего утверждения из [1]. Условиям данной теоремы удовлетворяют, например, пространство Ь^,(а,оо) и его подпространства СоЬ^,(а,оо) и А0Ь^(а,о°) . В частности, устойчивость уравнения (1) эквивалентна допустимости пары (я, °°), (а, <*>)) для уравнения (1). В то

же время, первая часть теоремы позволяет для определения устойчивости уравнения проверять его разрешимость при свободных членах из более узких, по сравнению с Ь^о (а, оо), классов функций.

З.Б. Цалюк высказал предположение, согласно которому из устойчивости уравнения (1) и допустимости для оператора К пары (X, X), где X с 1“. (а, °°), следует допустимость этой пары и для уравнения (1). Он показал его справедливость для уравнений с неотрицательными ядрами. В случае произвольных ядер предположение было доказано для подпространств непрерывных функций, имеющих на бесконечности нулевой или конечный предел [2], а при более жестких условиях - и для ряда других пространств.

Нами показана справедливость этой гипотезы для

подпространств АдЬ^0(а,<») и С0Ь£,(а,°°). Доказательство соответствующих утверждений основывается на соображениях, изложенных в [4].

Пусть Г - некоторое подмножество линейных непрерывных функционалов из сопряженного к

Ь^(а,°о) пространства (ь^(а,«5))*.

Определение 4. Последовательность {*:„} из

Ь1(а,оо) Г СХОДИТСЯ к X, если ЯирЦх^ ||<оо И

п

/(*„)-» /(*) для любого / ИЗ Г.

Теорема 4. Пусть уравнение (1) устойчиво и пара (с01Д (а,°о), С01Д (а, оо)) допустима для оператора К. Тогда пара (с0Ь1 (а,°о);С0Ь^(а,°°)) допустима и для уравнения (1).

Доказательство. Обозначим через Г подмножество всех финитных функционалов из (ь^(а,°°)) .

Легко видеть, что С0Ь^(а,°°) всюду плотно в относительно Г -сходимости. Действительно, для произвольного хе определим

хп(!) = Х[а,а+п]-х(0» где Х[а,Ь] - характеристическая функция промежутка [а,Ь\. - Тогда

х„еС0Ь1(а,~), ||хп||<||х|| и /(х„) = /(х) длялю-бого / е Г и достаточно больших п, и, следовательно, /(х„)->/(х).

Покажем теперь, что если (р - произвольный

функционал из (ь^(а,°°)) , то для любых е>0 и С > 0 найдется такое Ь = Ь(С, е), что для каждого хе С0Ь^(а,оо), удовлетворяющего условию х(?) = 0 п. в. на [а,Ь\ и ||х||<С, следует неравенство |ф(х) |< е .

Допустим противное. Тогда существуют такие е0, С0 и последовательность {хп} (х„(г)е С0Ь^(а,°°), х„(О = 0 п. в. на [а,Ьп], ||х„ ||<С0,где Ъп ->°°), для которой |<р(хл)|>£0. Не нарушая общности, можно считать, что (р{хп) > е0. Выберем Тх > так, чтобы Ч

Ul(0||Rn<

Ц(р\

при п. в. t > Т\. Заметим, что

I <Р(*(г„~) • *i) N1 II • II X(Tl.~) ■ 11*1\(Р II= у •

Из равенства (р(.хх) = (р(х[а,т,]'х0 + 'х0

следует, что

ф(Х[а,Ту] **l) = <P(*l) -(piXiT^oo) 'х0-е0~^' = ~^'-

Проводя аналогичные рассуждения, можно построить такую возрастающую последовательность

чисел: {Тщ }, Ъч <T„t <ЬПы, что <р {х[а,Тщ ] ^у •

Определим функцию к

УЛг) = ^Х[а.тпГхп, - Тогда 1=1

к g (Р(Ук) = 2,(Р(Х[а,тп]-хп,)^к-Чг- с другой стороны, 1=1 ‘ 1

из IIук ||<с0 следует k(y,)|<|k 11-11^ II^QrlHI-Получили противоречие.

Покажем теперь, что если хп , х е C0L£,(a,°°) и {х„ } Г -сходится к х, то {х„ } сходится слабо к х.

Действительно, если (р — произвольный функционал из (іД(а,°°)) , то по доказанному выше для любого £>0 и достаточно больших Т-Т{е) справедливы неравенства

Ыхп - х) I < | (р(.Х[а,Т] 'хп)~ Я>(.Х[а,Т] •■*)! +

+ \‘Р(Х(т,~)-Хп)-(Р(.Х(т,-)-х)\ ^

^ к(^[а,П •■*„)-<Р(Х{а,т]-х)\+е ■

Так как функционал Ф(.у) = ф(Х[а,Т] 'У) финитный, то из Г -сходимости {х„} к х следует, что IЧ»СЯГів.7-1 *■*».>-ф<ДГ[в.7-]•■*)I—^0 ПРИ исо. Отсюда и из предыдущего неравенства следует, что

<Р(хп)-><Р(х)•

Заметим, что в силу теоремы 2 пара (ь^, (а, °°), Ьп„ (а, °°)) также допустима для оператора К, а из устойчивости уравнения (1) следует обратимость оператора I - К в (а,°°) .

Так как линейный непрерывный оператор слабо непрерывен [5, с. 458], то, учитывая свойство воль-

терровости оператора К, легко показать, что оператор К непрерывен относительно Г -сходимости. Как следует из [4], в этом случае из обратимости оператора I — К в С (а, вытекает обратимость его сужения на С0Ь^0(а,о°), что означает допустимость

пары (с0Ь^(в,~),С0Ь£,(а,оо)) для уравнения (1). Теорема доказана.

Аналогичное утверждение имеет место и для пространства А01Д(а,°°).

Теорема 5. Пусть уравнение (1) устойчиво и пара (А0Ь^(а,°°),А01Д(д,°°)) допустима для оператора К. Тогда пара (а 0Ь^ (а, °°), А 0(а,<>=)) допустима и для уравнения (1).

Литература

1. Пуляев В.Ф., Цалюк З.Б. И Диф. уравнения. 1983. Т. 19. № 4. С. 684-692.

2. Пуляев В.Ф. II Диф. уравнения. 1984. Т. 20. № 10. С. 1800-1805.

3. Цалюк З.Б. II Диф. уравнения. 1968. Т. 4. № И. С. 1967-1979.

4. Пуляев В.Ф. И Изв. СКНЦ ВИІ Естеств. науки. 1985. № 4. С. 25-28.

5. Данфорд Н, Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М., 1962.

Кубанский государственный университет

2 июня 2003 г.