Existance of positive solutions of some classes of functional differential equations Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

СУЩЕСТВОВАНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

© А. С. Ларионов

Ключевые слова: дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом; монотонный оператор; положительное решение.

Приводятся эффективные признаки существования положительного решения дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом. Признаки получены на основе редукции исходного уравнения к уравнению с антитонным оператором.

В основе многих утверждений о дифференциальных, разностных, интегральных и других неравенствах часто лежат теоремы об уравнении

х — Ах (1)

с монотонным оператором А, действующим в некотором частично упорядоченном пространстве. Более того, как отмечено в работах [1], [2], те или иные условия монотонности входят во все утверждения о неравенствах, кроме классической теоремы Чаплыгина. В теории уравнения (1) с изотонным (из х\ < Х2 следует, что Ах 1 < Ах2 ) или антитонным (из х\ < следует, что Ах\ > Ах2 ) оператором А важную роль играет теорема Тарского-Биркгофа-Канторовича [3] о разрешимости этого уравнения. Редукция исходного уравнения к уравнению (1) проводится по схемам, различные варианты которых были предложены в диссертации

Н.В.Азбелева (О границах применимости теоремы Чаплыгина о дифференциальном неравенстве: Дис. /... канд. физ.-мат. наук/ МГУ. М., 1954), систематически использовались другими авторами, вошли в книги [4]-[7] и в другие современные монографии. Приведем одну из таких схем — схему “вилки”.

Пусть X — частично упорядоченное множество линейного пространства. Будем полагать, что оператор А : X —* X допускает представление Ах — М(х, х), где оператор М : X х X —» X изотонен по первому и антитонен по второму аргументу. Для у, г € X обозначим

[у,г\ — {х&Х : V < х < г} .

Порядковый интервал [г;, г] является выпуклым множеством. Если пара V, г удовлетворяет неравенствам

V < г, V < М{у,г), г > М(г,у), (2)

то оператор М отображает в себя порядковый интервал [и, г\ :

у < М(у, г) < М(х, х) = Ах < М(гг, у) < г.

Если X — банахово пространство, и норма в нем такова, что множество [г>, г] ограничено и замкнуто, то полная непрерывность оператора А \ [у,г] X гарантирует на основании принципа Шаудера существование решения х уравнения (1), принадлежащего порядковому интервалу [и, г].

Вестник ТГУ, т. 15, вып.2, 2010

Широкий класс операторов А допускает разложение А = А1+А2, где А\ — изотопный, а А2 — антитонный операторы (см., например, [1], [2], [4]—[6]). Для таких операторов неравенства (2) принимают вид у < г, у < АIV + Л22, г > А\г + Л 2 и. В частности, если оператор А изотонен (антитонен), то неравенства (2) имеют вид

у < г, у < Ау, г > Аг (у < г, у < Аг, г > Ау).

Применение схемы “вилки” в задаче о существовании положительного решения уравнения

х — Ах + / (3)

с антитонным оператором А иллюстрирует следующая

Лемма (см. также [2], [4], [5]). Пусть / > 0, Л(0) = 0, / + А/ > 0 и оператор А : [/ + Л/,/] —> X вполне непрерывен и антитонен. Тогда уравнение (3) имеет решение, удовлетворяющее неравенствам

/ + А/<х</.

На основе приведенной леммы оценим длину промежутка, на котором определено положительное решение дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом. Будем пользоваться обозначениями: Lp[0, 6] (Lp), 1 < р < оо — банахово пространство функций г : [0, Ъ\ —» R1, суммируемых на [0,6] со степенью р; Loo[0, b] (L^) — банахово пространство функций г : [0, Ь] —> R1 , измеримых и ограниченных в существенном; Dp[0, b] (Dp) — банахово пространство таких абсолютно непрерывных на [0,6] функций, что ¿G Lp[0, b\; Wp2^ [0, Ъ] (W?>) — банахово пространство функций х : [0,6] —> R1, имеющих абсолютно непрерывную производную, причем х £ Lp[0, 6].

Рассмотрим уравнение

{Cx)(t) = x(t) - YT=i bi{t)x{gi(t)\ = f(t,x[hi(t)],..., x[hm2(í)]), t G [0,6],

(4)

£(£) = 0, x(£) = 0, если £ < 0,

с начальными условиями

ж(0) = а, х(0) — Р, a,(3£R+. (5)

Здесь функция / : [0, 6] х R”12 —> R1 удовлетворяет условиям Каратеодори: при почти всех значениях первого аргумента непрерывна по совокупности остальных и измерима по первому при любых значениях остальных аргументов. Функции 6* : [0, 6] —> R1, i = 1, ■ ■ •, пц измеримы и ограничены в существенном; функции , hj : [0, 6] —> R1 , измеримы , g¿(í) < t, hj (t) < t почти всюду на [0, 6], i — 1,..., mi, j = 1,..., m2. Следуя [2], [4], [8], обозначим

fy[r(t)\, если r(t) e [0,6],

0, если r(t) ^ [0,6];

0, если r(í) € [0,6],

z[r(t)\, если r(t) [0,6].

В этих обозначениях суперпозиция y[r{t)\ при условии, что у{£) = z(t), если С Ф [0, 6] , записывается в виде суммы (Sry){t) + zr(t). Пусть, далее,

mi

(.Sy){t) = bi(t)(Sgiy){t). (8)

i=1

Тогда уравнение (4) примет вид

mi

(Cx)(t) = x(t)-^bi(t)xgi(t) = f(t,xhl(t),...,xhm2(t)), ÍG [0,6]. (9)

г=1

________________________________ ______Вестник ТГУ, т. 15, вып.2, 2010

Решением уравнения (9) называем функцию х G Wp [0,6J, удовлетворяющую этому уравнению при почти всех t G [0, 6]. Будем предполагать, что функции gi, г = 1,..., mi удовлетворяют условию М. [2], [4]: для любого множества еС [0,6] нулевой меры выполнено

mes <7г-1(е) = 0, где g~l{e) = {t G [0,6] : &(i) G е} , (10)

и, кроме того, для 1 < р < оо имеет место

1 /р

mes дг

е /

= < sup -------------- > < ОО, г = 1, ...,7П1,

[ес[0,Ь] mes г

где верхняя грань берется по всем таким подмножествам е отрезка [0,6], что mes е > 0. Определенное последним равенством число Hi является нормой оператора Sgi в пространстве Lp[0,6] при 1 < р < оо ; в случае р — оо имеем /i¿ = llalli, = 1 (см. [2], [4], [8]).

Условие Л4 обеспечивает [2], [4] непрерывное действие оператора S9i в пространстве Lp[0,6] (1 < р < оо). Для непрерывного действия оператора S9i в пространстве L^O,6] достаточно [2], [4] выполнения условия (10).

При выполнении всех перечисленных выше условий оператор £ непрерывно действует из пространства Dp в пространство Lp и вольтерров.

Будем считать также, что для уравнения (9) выполнено так называемое “т -условие” [8]: существует такое т > 0, что либо все множества

Хг = {í G [0,6] : t - gi(t) < г, gi{t) > 0}

пусты, либо

777-1

Ш vraisup ||6¿(í)|| < 1. tí íe*

В этом случае спектральный радиус оператора S меньше единицы [8].

Пример скалярного уравнения

x(t) - b(t)x = f(t), t G [0, оо)

показывает существенность т-условия: при |6| < 1 это уравнение эволюционно; если же |6| >

1, то уравнение таковым не является.

Для Vj , Zj G Lqo i vj ^ zj : * = 1, ■ ■ ■ i m2 i обозначим:

\'Uj) zj] — {x G Loo • Vj ^ x ^ Zj}j

1712

Tl[Vj,Zj\ — [^1,^1] X ••• X [vm2,zm2].

3=1

/ Ш2

Будем говорить (см., напр., [3], [4]), что функция / удовлетворяет условию С1 I [vj, zj

U=i

ТП2

(если существуют такие функции г](¿) (г?(£)), г] 6 Ьр[0,6] (г| Е Ьр[0,6]), что оператор Немыцкого

Ш2 ”*2

М1 : Д [у,, гД -* ЬР[0,6] (М2 : Д [1у, г*] -*• Ьр[0,6])

¿=1 ¿=1

определяемый равенством

7712

(M4)(í) = f{t,u(t)) + Y^r){t)uj(t) ((M2u)(t) = f{t,u(t)) + J2rj(t)uj{t)), j=1 J=1

u(t) = {щ (t),...,um2(t)},

изотонен (антитонен). Без ограничения общности считаем, что rj(t) ^ 0 (r2(i) ^ 0), при всех j = 1,..., га2.

Отметим, что если функция / не убывает (не возрастает) по аргументам Uj , при каждом j = 1,..., т2 , то она удовлетворяет условию

(m2 \ (m2 \

ПМ| ^2(П[ч.ч]]),

причем

r){t) = 0 = 0), j = 1,..., m2.

Как показал Г.П.Кухта [9], одновременное выполнение условий

(7712 \ /m2 \

Пм) и £2 (

эквивалентно выполнению условия Липшица для функции f(t, щ,..., иГП2).

Приведем условия существования положительного решения задачи Коши (4), (5).

Будем предполагать, что функция / удовлетворяет условию

/1712 \

с2 (Ц К>^] J

с коэффициентами r2(t), j = 1,..., m2 . Обозначим через 7(i) решение полуоднородной задачи Коши

Ш2

(C2x)(t) = (Cx)(t) + Y^r]{t)xhj(t) — 0, t е [0,6],

i=i

ж(0) = а, х(0) = ß, а, ß £ R+.

Определим оператор А : [г;, г] —» С равенством

t

(.Ax)(t) = J C{t,s)M2 (s,xhl(s),...,xhm2(s)) ds, (11)

a

где C(t,s) — функция Коши уравнения (jß2x)(t) = r/2(i).

Теорема 1. Пусть /(i, 0,..., 0) = 0 u выполняется неравенство 7 + A7 ^ 0. Тогда существует решение х задачи (4), (5), удовлетворяющее неравенствам 0^'у + А'у^х^'у. Доказательство. Перепишем уравнение (9) в виде

т,\ ГП2

(C2x)(t) = x{t) - Y^bi(t)xgi(t) + '52rj(t)xhj(t) = M2 (t,xhl{t),...,xhm2{t)j , t e [0,6]. (12) ¿=1 j=1

Тогда задача (4), (5) эквивалентна уравнению х = Ах + 7, где оператор А представлен равенством (11). Для того чтобы показать, что функция Коши C(t,s) уравнения С2х — г)2 неотрицательна, запишем это уравнение в виде С2х — Сх—Тх = г]2, где оператор С определен равенством (9), а оператор Т : -» Lp, определяемый равенством

m2

сTx)(t) = ~^rf(t)xhj(t),

3=1

вольтерров, положителен и вполне непрерывен [8|. Неотрицательность функции Коши уравне-ния = V2 следует теперь из результатов работы [10] (лемма 3). Оператор А антитонен и

вполне непрерывен. Для доказательства теоремы достаточно сослаться на приведенную выше лемму.

Замечание 1. Осцилляционные свойства уравнения (4) в случае равенства &*(£) = 0, г = 1,...,Ш1, с правой частью более общего вида исследовались многими авторами (см., например, [11]—[14]).

Если функция / не возрастает по аргументам Uj, ] — 1,...,ТП2, то, как было от-

считать равными нулю. В этом случае непосредственно проверяется, что 7(£) = а + /3(£ — а). Это позволяет привести следующее утверждение.

Следствие 1. Пусть выполнены условия:

Функция /(¿, и) = е~и — 1 не возрастает по и. Нетрудно убедиться, что остальные условия следствия 1 также выполняются. На основании этого следствия заключаем, что данная задача имеет решение х, удовлетворяющее неравенствам 0 ^ х(Ь) ^ Ь.

Следствие 2. Пусть соблюдаются условия 1 и 2 следствия 1. Пусть, далее, существует такое число V 6 что для любого Ц 6 Л+ , ¡1 ф 0 справедливо неравенство

Тогда существует решение х задачи (4), (5), где а = 0, удовлетворяющее неравенствам 0 < х(Ъ) < /?(£ — а).

Замечание 2. При т2 — 1 следствие 2 — это результат работы [14].

В качестве еще одного примера применения сформулированной выше леммы рассмотрим следующую задачу Коши для уравнения с линейным отклонением аргумента

мечено выше, коэффициенты Г?, ^' = 1,...,ТО2 условия

можно

1) /М,...,0) = 0;

2) функция / не возрастает по аргументам Uj, j — 1,...,Ш2;

3) справедливо неравенство

ь

а + Р(і — а)+ / (6 - в) (в, а + /3 (Ні(в) - а),..., а + /3 (/іт2 (я) - а)) ¿в ^ 0.

а

Тогда существует решение х задачи (4), (5), удовлетворяющее неравенствам

Пример. Рассмотрим задачу Коши

х(г) = е~х^ - 1, і Є [0,6], ®(0) = 0, х(0) = 1.

/ (І, Ци\, . . . , /іиШ2 )^М / (^) ^1 э • ■ • ) Щп2 ) •

Пусть, наконец, выполняется неравенство

ь

(Ъ - й)/ (в, /її(в) - а,..., /іт2(з) - а) ¿в > -1.

а

х(і) - д(і)і(і) = р(1)ха(Ы), і Є [0, Ь], ®(0) = 0, ¿(0) = /?,

(13)

где 0 < к < 1, а > О, (3 > 0, р, q £ Lp[0, Ь], 1 < р < оо, g(i) > 0, p(t) < 0 при почти всех t е [0,6].

Оператор К антитоиеи, К(0) = 0. Уравнение (16), как показано в книге [5], можно расмат-ривать в пространстве С[0,6] непрерывных на [0,6] функций. Заметив, что неравенство (15) совпадает с неравенством / + А/ > 0, входящим в условия приведенной выше леммы, убеждаемся в справедливости теоремы 2.

Следствие 3. Пусть д = 0 и выполнено неравенство

Тогда уравнение (13) имеет положительное на [0,6] решение.

Замечание 3. В случае д = 0 при а = 2 и а = 1 из неравенства (17) вытекают условия неосцилляционности уравнения (13), приведенные в книге [5], а также известное в теории дифференциальных уравнений неравенство Ляпунова-Жуковского (при д — 0, к = 1,

Пусть qo = const > q(t) при почти всех t е [0,6]. Теорема 2. Пусть выполнено неравенство

t

J [exp {q0(t - s)} - 1] [exp {g0fcs} - 1 }ap(s)ds < [exp {q0t} - 1], t e [0,6]. (15)

о

Тогда уравнение (13) имеет положительное на [0,6] решение. Доказательство. Функция Коши уравнения

£(<) — q(t)x(t) = 0

имеет вид

0<s<t<b.

Следовательно, задача (13), (14) эквивалентна уравнению

х = Кх + /1,

(2}

где оператор К действует в пространстве "\УР [0,6] и определяется равенством

(16)

t

(17)

о

а = 1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н. В., Цалюк 3. Б. Об интегральных и дифференциальных неравенствах // Труды IV Всесоюзного матем. съезда. Л.: Наука, 1964. Т. 2. С. 384-391.

____________________________________________________________________Вестник ТГУ, т. 15, вып.2,2010

2. Аз белев Н. В., Рахматуллина Л. Ф. К вопросу о функционально-дифференциальных неравенствах и монотонных операторах // Функц.-дифференц. уравнения. Пермь: Изд-во Перм. политех, ин-та, 1986. С. 3-9.

3. Канторович Л. В., Вулих Б. 3., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядо-ченных пространствах. М.; JL: Гостехиздат, 1950. 546 с.

4. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

5. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М: Институт компьютерных исследований, 2002. 384 с.

6. Курпелъ Н. С., Шувар Б. А. Двусторонние операторные неравенства и их применения. Киев: Наукова думка, 1980. 267 с.

7. Хатсон В., Пим Дою. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983. 431 с.

8. Азбелев Н. В., Рахматуллина Л. Ф. Функционально-дифференциальные уравнения // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. №5. С. 771-797.

9. Кухта Г. П. Замечания по поводу условий С} и С? Н.В.Азбелева // Ученые записки Кишинев, ун-та. 1957. Т. 29. С. 49-52.

10. Березанский Л. М., Ларионов А. С. Положительность матрицы Коши линейного функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. №11. С. 1843-1854.

11. Коплатадзе Р. Г., Чантурия Т. А. Об осциляционных свойствах дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1972. 116 с.

12. Angelova D. С., Bainov D. D. On the oscillation of solutions to second order functional differential equations // Bolletino U.M.I. (6), 1-B. 1982. P. 797-807.

13. LacLde G.S. Oscillations of nonlinear functional differential equations generated by the retarded argument // Delay and Functional Differential Equations and Their Applications. Academic Press. New York, 1972. P. 355-365.

14. Сидорик Т. М. Положительные решения одного класса нелинейных дифференциальных уравнений // Пробл. соврем, теории периодич. движений / Удмурт, ун-т, Ижев. механич. ин-т. Ижевск, 1977. Вып. 1. С. 39-40.

Поступила в редакцию 03 февраля 2010 г.

Larionov A.S. Existance of positive solutions of some classes of functional differential equations. The effective features of existence of positive solutions of differential equation with retarded argument are outlined. The features are received on the base of reduction of given equation to equation with antitone operator.

Key words: differential equation with retarded argument; the monotone operator; positive

solution.