CC BY
23
________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том Х/1/ 1982
№ 1
УДК 533.6.011
О ВЫДЕЛЕНИИ ОСОБЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ ПРИМЕНЕНИИ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ МЕТОДОВ
А. Г. Зарубин
На примере сверхзвукового обтекания комбинации крыла и фюзеляжа описывается методика выделения ударных волн и других особых поверхностей при расчетах сложных газодинамических течений конечно-разностным методом.
Для случая, когда поле течения представлено в виде нескольких расчетных областей, предложен эффективный метод ускорения вычислепий, при котором в каждой области используется индивидуальный шаг сетки по гиперболической переменной задачи.
1, Сверхзвуковое обтекание летательных аппаратов будем рассматривать в декартовой системе координат (х, у, г), в которой ось х направлена по оси фюзеляжа, а ось у—по нормали к крылу. Пространственная расчетная область О совпадает с одной из двух симметричных относительно плоскости г = 0 половин возмущенного течения. Вычисления проводятся методом Годунова для установившихся сверхзвуковых течений [1], разностная схема описана в [2].
Потребуем, чтобы дг-компонент скорости газа был сверхзвуковым всюду в Я. Тогда в качестве поверхностей начальных данных можно использовать семейство плоскостей х=соП81, что существенно упрощает расчеты. В частности, построение разностной сетки в области й сводится к разбиению произвольного сечения этой области нлоскостью х—сопв! на элементарные четырехугольники. В дальнейшем это сечение будем называть счетной областью £)(х), а элементарные четырехугольники—ячейками сетки.
2. Ударные волны ограничивают области течения, в которых конечноразностные уравнения удовлетворяют условию аппроксимации.
Высказывается мнение [3], что из двух существующих подходов к выделению скачка (скачок — граница расчетных областей и скачок — разрыв, плавающий между узлами разностной сетки) второй более перспективен для сложных тече-пий.Это далеко не всегда соответствует действительности последующей причине.
Условие аппроксимации подразумевает, что в любой точке расчетной области расстояние между узлами разностной сетки значительно меньше местного характерного размера течения. Измельчение сетки во всей расчетной области обычно неприемлемо, так как приводит к катастрофическому увеличению времепи ЭВМ, поэтому приходится использовать сетки с неравномерным шагом, изменяющимся пропорционально локальному масштабу задачи. Для этого счетную область можно разбить на несколько областей, в которых характерный размер течения относительно постоянен и разностная сетка может быть равномерной. Естественными границами таких областей часто являются ударные волны и другие особые поверхности. Следовательно, выделение этих поверхностей в качестве границ расчетных областей не только устрапяет погрешности сквозного счета,
но также дает возможность следить за изменением локальных масштабов течения и управлять разностной сеткой таким образом, чтобы обеспечить условие аппроксимации копечно-разностной схемы.
3. При расчете сверхзвукового обтекания летательного аппарата выделение области возмущенного крылом течения в качестве самостоятельной области расчетов существенно повышает точность.
Опишем один из возможных снособов выделения.
Начиная со значения х, при котором в поперечном сечении потока появляется крыло, вблизи поверхности летательного аппарата введем внутреннюю расчетную область 01 (рис. 1 слева). Остальную часть возмущенного течения обозначим через £>2. Внешняя граница £>* (она же—внутренняя для £>2) определяется как точная внешняя грань всех возмущений, распространяющихся из Ъ\.
Рис. 1
Это либо ударная волна, либо характеристическая поверхность, замыкающая волну разрежения.
Выделение границы в алгоритме расчета начинается лишь носле того, как возмущения нотока, впосимые крылом, достигают внешней границы Ох и реализуются на ней в виде скачка газодинамических функций или их градиентов, поэтому начальный размер Ох по нормали к новерхности летательного апнарата должен быть достаточно мал.
В плоскости х~сопз1 выделяемые поверхности задаются точками их пересечения с лучами сетки—прямолинейными отрезками, исходящими под заданными углами к осн у из точек на поверхности летательного аппарата (которые далее будем называть основаниями лучей) и пронизывающими счетную область до пересечения с внешней границей. Отметим, что в отличие от сеток, обычно используемых при расчете обтекания изолированных фюзеляжей, лучи связаны не с единым центром, а с точками на поверхности тела.
Разобьем поверхность летательного аппарата в сечении лг=сопв1 на четыре участка (рис. 1 слева). Первый и четвертый участки образованы поверхностью фюзеляжа, второй и третий—соответственно верхней и нижней поверхностями крыла. Каждый участок в свою очередь разбивается равномерно по длине дуги па заданпое число интервалов. Точки разбиения используются в качестве оснований лучей.
При переходе от одного сечения х=сопз1 к другому численное интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих выделяемые поверхности разрыва, осуществляется в два этапа—сначала поверхность сдвигается в направлении по нормали к ней, затем вычисляются ее новые точки пересечения с лучами сетки. Для вычисления сдвига поверхности по пормали требуется наклон скачка, который определяется из решения задачи о взаимодействии равномерных сверхзвуковых потоков для ячеек, примыкающих к ударной волне.
После того, как проведены лучи и пайдены координаты головного и внутреннего скачков, построение разностной сетки продолжается следующим образом. В областях Ох и 02 отрезок каждого луча между внутренней и внешней границами разбивается равномерно на заданные числа и интервалов соответственно. Точкам разбиения присваиваются номера от 0 на внутренней границе до
Л^1 или N2 на внешней. Наконец, точки с одинаковыми номерами, принадлежащие двум соседним лучам, соединяются отрезками прямых и разностная сетка построена.
Примерный вид разностной сетки в поперечном сечении показан на рис. 1 справа. Сплошные линии соответствуют границам расчетных областей.
Изложенный алгоритм разбиения счетной области D(x) на элементарные четырехугольники эквивалентен непрерывному и однолистному отображению / некоторой прямоугольной области Д на /}(х)(см., например, [5)), причем значительная часть границы возмущенного крылом течения совпадает с участком координатной линии преобразования /.
4. Дополнительное разбиение D(x) на расчетные области проводится лучами сетки, исходящими из граничных точек четырех вышеописанных участков поверхности летательного аппарата. Таким образом, общее количество счетных областей достигает восьми. На рис. 1 эти области обозначены через Д,-, /=1, 2; J—U 4.
Пусть hij—наибольший шаг сетки по оси х, при котором необходимое условие устойчивости разностной схемы выполняется для ячеек из области Ду. При обычно используемом способе вычислений шаг сетки по переменной X одинаков во всех областях Ду и не превосходит величипы
Время решения задачи иа ЭВМ можно существенно сократить, если в каждой области Dij проводить вычисления с собственным шагом А,у вдоль оси х, например, следующим образом.
Поставим в соответствие каждой Ду свою гиперболическую переменную Ху, изменяющуюся в процессе вычислений с шагом hij, и свое семейство плоскостей начальных данных {х=ху}. Любые две смежные области D' и D" отпосятся вообще к различным плоскостям х = х’ и х = х", поэтому абсолютная величина погрешности Ь, вносимой при вычислении граничных условий, удовлетворяет соотношению
¡5 = о ( I х' - х" I). (2)
Можно так организовать вычисления, чтобы погрешность (2) для всех Ду не превосходила погрешности аппроксимации метода Годунова.
Отделим расчет параметров газа в ячейках от расчета координат границ D(x). Последние будем относить к сечениям х = хц, где переменная х0 изменяется с шагом (1),
Предлагаемый метод расчета заключается в том, что при заданном х0 проводится последовательный опрос (сканирование) областей Ду и, если в какой-либо из них вынолняется условие
■*0 — xlm hlm > (2)
то в строится разностная сетка на слое х = Xim + him, вычисляются новые параметры газа в ячейках, переменная Xim получает приращение him, и процесс сканирования возобновляется.
Если условие (3) не выполняется ни для одной из Dij, то вычисляется h0 по (1), переменная х0 получает приращение Л0, в сечении х = х0 вычисляются основания лучей сетки, сами лучн и, наконец, координаты выделяемых границ счетной области. После этого возобновляется проверка условия (3) для областей Dij.
Нетрудно убедиться, что при сканирующем методе расчета выражение в правой части формулы (3) всегда удовлетворяет условию
l*'—>|<|А'! + |АМ (4)
для любых двух смежных областей D' и D". Из (4) с учетом (2) следует, что вносимая на границах Ду погрешность по порядку величины не превосходит погрешности аппроксимации метода Годунова.
Помимо ускорения расчетов, преимуществом сканирующего метода (по сравнению с обычной практикой вычислений, при которой во всех расчетных областях шаг сетки по гиперболической перемепной одинаков) является более точпое соответствие областей влияния разностных и дифференциальных уравнений, что должно способствовать уменьшению погрешности получаемых численных решений.
5. Расчет носовой части фюзеляжа проводится отдельно. Полученные в замыкающем сечении ;с=сопв1 газодинамические параметры и граница возмущен* ной области используются в качестве начальных условий при расчете комбинации крыло—фюзеляж.
На рис. 2 и 3 показаны результаты расчета обтекания совершенным газом; с числом М невозмущенного потока М = 1,4 конфигурации [4}, состоящей и» цилиндрического фюзеляжа с оживальной носовой частью и трапециевидного крйла с симметричным параболическим профилем пятипроцентной толщины. Вычисления проводились на разностной сетке рис. 1 с числом разбиений участков
1—4 поверхности летательного аппарата, равным соответственно 8, 12, 12, 8. В направлении нормали к поверхности счетные области и £>2 разбивались на шесть ячеек каждая.
Рис. 2
На рис. 2 для угла атаки о = 0 сплошными линиями показано распределение давления по хорде крыла в трех сечениях z — const, полученное при расчете с выделением внутреннего скачка, индуцированного крылом. На рис. 3 аналогичным образом представлены результаты для а = 2°, причем из пары сплошных линий, отвечающих каждому сечению ^=const, верхняя соответствует подветренной стороне крыла, нижняя—наветреиной. Эксперимент [4] представлен маркерами в виде кружков.
При общем удовлетворительном соответствии экспериментальных и расчетных данных отметим, что для сечений, близких к концевой хорде, наблюдается некоторое расхождение результатов в окрестности передней кромки, усиливающееся с увеличением угла атаки. По-вндимому, это связано с отсоединением ударной волны, что приводит к изменению типа особенности на острой кромке крыла, выделения которой используемая методика расчета не обеспечивает.
Вблизи фюзеляжа число М возмущенного течения несколько выше, скачок присоединен к кромке крыла и точность расчетов возрастает.
Расчет с выделением возмущенного крылом течения в качестве самостоятельной расчетной области приводит при а = 2° к поправкам на 10% в подъемной силе и продольном моменте по сравнению с аналогичным расчетом без выделения внутренней ударной волны на сетке описанного вида.
6—«Ученые записки» Ns 1
8]
ЛИТЕРАТУРА
1. И в а н о в М. Я., К р а й к о А. Н. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений. „Ж. вычисл. матем. и матем. физ.‘, т. 1, № 3, 1973.
2. 3 а р у б и н А, Г. О точности метода Годунова в различных системах координат. .Ученые записки ЦАГИ*, т. VIII, № 4, 1977.
3. М о р е т т н Дж. К вопросу о выделении скачка. В сб. „Численное решение задач гидродинамики*. М., „Мир", 1977.
4. Gustavsson S., A., L. Computer program for the prediction of aerodynamic characteristics wing-body tall combinations at subsonic and supersonic speeds. FFA AU-635, part 2, .1972.
5. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я., Край-
к о А. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М., „Наука*, 1976.* '
Рукопись поступила /2/ VI 1980
