CC BY
109
УДК 539.3, 534.1
А.В. Крысько, М.В. Жигалов, В.В. Солдатов, М.Н. Подтуркин
О ВЫБОРЕ ТИПА ВЕЙВЛЕТА ПРИ ИЗУЧЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ БАЛОК С УЧЕТОМ ПОПЕРЕЧНЫХ СДВИГОВ
В работе исследован выбор вейвлета для изучения колебаний нелинейных распределенных систем - гибких балок. Рассмотрены две модели: модель С.П. Тимошенко и Шереметьева - Пелеха. Показано, что наиболее полную информацию о колебаниях гибких балок позволяет получить вейвлет Морле.
Вейвлет, нелинейная динамика, балки, хаос.
A.V. Krysko, M.V. Zhigalov, V.V. Soldatov, M.N. Podturkin
THE BEST WAVELET SELECTION AT THE NONLINEAR FLEXIBLE BEAMS VIBRATIONS ANALYSIS WITH TRANSVERSAL DISPLACEMENT
The article deals with the selection of the best wavelet for the analysis of vibration of nonlinear distributed systems - beams. Models of S.P. Timoshenko and Sheremetyev - Pelekh are studied here. It is demonstrated that only wavelet transform with Morlet wavelet provides the precise information about nonlinear beams’ vibrations.
Wavelet, nonlinear dynamics, beams, chaos.
Введение
Исследованию колебаний распределенных механических систем посвящен ряд монографий, из которых можно отметить работы [1-5]. К тематике данной статьи наиболее близки [6-8], где также рассматриваются модели Тимошенко и Шереметьева - Пелеха. Однако анализ колебаний балки в этих работах в основном базируется на исследовании спектров мощности наблюдаемых колебательных процессов. В данной работе авторы развивают методы, предложенные в [9], и предпринимают попытку более глубокого анализа таких колебаний, привлекая непрерывное вейвлет-преобразование, которое позволяет получить частотновременной спектр. Кроме того, используются различные вейвлет-функции: вейвлеты Гаусса, вейвлет Морле.
Постановка задачи
Объектом исследования является однослойная балка (рис. 1), представляющая собой двумерную область пространства Я2 с декартовой системой координат, введенной следующим образом: в теле балки фиксируется линия приведения, называемая срединной линией г = 0, ось ОХ направлена слева направо вдоль срединной линии, ось 02 - вниз, перпендикулярно ОХ. В указанной системе координат балка как двумерная область Q определяется как множество точек О = {х є [0, а] - И < г < И}, 0 < і < да . Здесь и в дальнейшем будем использовать обозначения: 2И - высота, а - длина балки.
Рис. 1
Модель Тимошенко
Уравнения в перемещениях модели С.П. Тимошенко имеют вид [5]
,2 (д2" дух ^ 1 ( Л 1 д2" д"
а' Чаа + аТ <А(’"и)+4<"' "'))+к 4~е' “ = 0;
ді2
ді
д2и т . . д2и ди
—- + L4( н, н)-~-£2 — = 0;
дх2 4У ; ді2 2 ді
^ д2 у х
гх +ухгж-Е ді
дУ х
= 0,
где безразмерные параметры введены по формулам _ н _ иа .
а
_ х а _
- ч, - о, х = —, А = -—-, а = а-----------—,
(2И) (2И) а (2И) 4 (2И)4 Ех
и=
-і а
і =—, т = —, с = т с \
Е,% _ а . , „ _ у а
е. = Е- —, г = 1,2, у =,
у ’ 1 1с’ ’ ’ Гх (2И)
Е3 = Е3
ОУ = -^, операторы !/1(н,и), L2(w,н), Ь3(н,и) имеют вид
Е
т , , д2и дн ди д2н
А(ин)=^-г^-+^^-т ; L2(w,н) =
L3 (н, н) =
(1)
(2)
(3)
дх2 дх дх дх2 ’ 2 дх2 V дх у ’ ’ дх2 дх
К системе (4) следует присоединить граничные условия. В данной работе мы ограничимся рассмотрением случая шарнирного закрепления балки по обоим концам:
"(0, *) = "(1, *) = 0; и(0, *) = и (1, *) = 0; Мх (0, *) = Мх (1, *) = 0; (4)
с начальными условиями:
"(x, * )| *=0 = и (x, 0|/=0 = У( x, * )М = 0,
д"(х, *) = ди(х, *) = ду х (х, *) = 0 (5)
д* |г=0 дг |
і=0
ді
|і=0
Модель Шереметьева - Пелеха
Уравнения в перемещениях модели Шереметьева - Пелеха имеют вид
д2и дн д 2н д 2и ди
-----1---------------Е ---= 0 ’
дх2 дх дх2 ді2 1 ді
2
3263
" 4 д 3У х 1 д 4 ч + к2 БУ дУ х д2 ч" 1
1_ 5 дх3 4 дх4 _ У _ дх дх2 _
+
дм
1 Гт ґ \ т Ґ м 1 д2ч
ЗІ? [і2("'ч) + А(ч.и)]+*ГЯ--$■ -в, д,
= 0;
204 д2ух 48 д3ч
315 дх2 315 дх3
- 12З2к2 Б
дм
Ух +_т:
дх
дъ
д,2
— £-
где безразмерные параметры введены по формулам (5), БУ =
дУ х д,
С,
£
= 0,
операторы Ц (ч, и) ,
Ц2(ч, ч), Ц3(ч, и) аналогичны модели Тимошенко. В качестве граничных условий мы также рассмотрим только случай шарнирного закрепления балки по обоим концам:
ч(0,і) = ч(1,і) = 0; и(0,і) = и (1,і) = 0;
(У х І (0,, ) = 0, (У х ) (1,, ) = 0, ч'а (0,, ) = 0, ч-хх (1,, ) = 0. (7)
Начальные условия аналогичны указанным в (5) для модели Тимошенко.
Численное решение уравнений типа Тимошенко и Шереметьева - Пелеха
Пусть на рассматриваемую балку действует знакопеременная поперечная нагрузка
вида:
(8)
где ш - частота вынуждающей силы; д0 - ее амплитуда.
Численное решение системы уравнений Тимошенко и Шереметьева - Пелеха производилось путем сведения методом конечных разностей по пространственной переменной с аппроксимацией 0(с2) (с = 1/п - шаг) бесконечномерных задач (1)-(5) и (6)-(7) к конечномерным системам обыкновенных дифференциальных уравнений по времени; граничные и начальные условия также представлялись в разностном виде. Полученные таким образом системы обыкновенных дифференциальных уравнений по времени решались стандартной процедурой Рунге - Кутта 4-го порядка точности.
Основной способ проверки достоверности результатов в подобного рода задачах -сравнение с результатами, полученными каким-либо другим численным методом. В работах [1-2] проведено сравнение численных решений системы (1)-(5), полученных методом конечных разностей (МКР) и методом конечных элементов (МКЭ) с исследованием сходимости как в зависимости от разбиений по пространственной переменной, так и шага по времени. Аналогичные исследования были проведены авторами и для модели Шереметьева-Пелеха. Эти исследования показали, что результаты, получаемые с помощью МКР и МКЭ, практически совпадают, а предпочтение следует отдать именно МКР в силу меньших затрат машинного времени, необходимых для расчетов с его использованием. По результатам указанных выше работ в качестве параметров разностной схемы нами также выбраны число отрезков деления по длине балки п = 40 (соответственно шаг по пространственной переменной с = 1/40) и шаг метода Рунге - Кутта по времени Дt = 0,00390625.
Вейвлет-анализ колебаний
Одной из основных и универсальных характеристик многочастотных и стохастических колебаний в различных системах является спектр мощности колебательного процесса. Обычно для его оценки по имеющимся отсчетам наблюдаемой величины во времени используется быстрое преобразование Фурье. Получаемый спектр - информация о распределении энергии колебательного процесса во времени - имеет один существенный недостаток: отсутствие локали-
зации частот во времени, что особенно важно при исследовании процессов с изменяющимся во времени спектром. Для получения частотно-временного спектра целесообразно применять вейвлет-преобразование. Сам термин «вейвлет» (маленькая волна) был введен Гроссманом и Морле [9] в середине 80-х годов прошлого века. В настоящее время семейство анализаторов, называемых вейвлетами, начинает широко применяться в задачах распознавания образов, рентгенограмм внутренних органов человека, спутниковых изображений облаков или поверхности планеты, для изучения свойств турбулентных полей и т.д., тогда как в нелинейной динамике теории балок, пластин и оболочек они практически не применялись.
Вейвлет-преобразование одномерного временного сигнала состоит в разложении его по базису, сконструированному из обладающей определенными свойствами солитоноподоб-ной функции (вейвлета) посредством масштабных преобразований и переносов. Каждая из функций базиса характеризует как частоту, так и локализацию во времени. Таким образом, вейвлет-преобразование обеспечивает двумерную развертку сигнала, при этом частота и время рассматриваются как независимые переменные. Это дает возможность анализировать свойства сигнала одновременно во временном и в частотном пространствах.
Поскольку вейвлет-преобразование есть скалярное произведение анализирующего вейвлета и анализируемого сигнала, коэффициенты Ж (¿, ш) содержат комбинированную информацию о вейвлете и сигнале (как и коэффициенты преобразования Фурье, которые содержат информацию о сигнале и синусоидальной волне). В настоящей работе для анализа сложных колебаний балки Тимошенко мы будем использовать некоторые типы вейвлетов и покажем, что каждый из рассмотренных вейвлетов имеет характерные особенности во временном и частотном пространстве. Многие исследователи называют вейвлет-анализ «математическим микроскопом», так как метод сохраняет хорошее разрешение на разных масштабах. Параметр сдвига I фиксирует точку фокусировки «математического вейвлет-микроскопа» (это название отражает замечательное свойство метода сохранять хорошее разрешение на разных масштабах), масштабный коэффициент ш - увеличение и, наконец, «оптические качества» микроскопа определяются выбором базисного вейвлета у.
Вещественные базисы часто конструируются на основе производных функций Гаусса
,(' )=(-1)"
Г ltl2 Л
dm exp 2 V У
dt”
exp
2 Л
2
(9)
где V m (f) - образ Фурье.
Вейвлет при m = 1 носит имя WAVE - вейвлет, а при m = 2 - MHAT - вейвлет, или «Мексиканская шляпа» (Mexican hat). Вейвлет Гаусса при m = 2 имеет узкий энергетический спектр и два нулевых момента, а при m = 8 - шесть нулевых моментов и лучше приспособлен для анализа сложных сигналов.
Более высокие производные имеют больше нулевых моментов и позволяют извлекать информацию об особенностях более высокого порядка, содержащихся в сигнале.
Наиболее часто используемый базис строится на основе хорошо локализованного в f и t пространстве вейвлета Морле [9], который представляет собой плоскую волну, модулированную гауссианом единичной ширины. Ниже приведены выражение соответствующей вейвлет-функции и ее преобразования Фурье:
Г U2 Л
Vm (tУ= eXP (if0t)eXP здесь H (f) - функция Хевисайда.
V 2 У
, V m (f У = H (f )eXP
f (f - fo )
2
(10)
Отметим, что с увеличением к0 возрастает угловая избирательность базиса, но ухудшается пространственная.
Существует и ряд других вейвлетов, применяемых в различных областях науки. Так, в квантовой механике применяется вейвлет Паула, в обработке сигналов - вейвлеты Добеши, Батла - Лемарье.
1)
5)
9)
13)
500 600
14)
15)
16)
17)
500 600 700 800 900
18)
-0.01 -0.005
1)
Рис. 2. Регулярные одночастотные колебания в модели Тимошенко при параметрах сор = 7,5, д0 = 1000
Т
3)
500 600 700 800 900
4)
0.05
0 0.005
0.01
Рис. 3. Хаотические колебания в модели Тимошенко при параметрах ар = 7,375, д0 = 40000
Далее мы будем использовать два варианта графических изображений вейвлет-преобразования. В первом случае это трехмерная поверхность в декартовой прямоугольной системе координат, где по осям отложены время, частоты и модули вейвлет-коэффициентов соответственно. При изображении на плоскости по осям координат также отложены время и частота, а различным величинам вейвлет-коэффициентов соответствует различная интенсивность окраски.
Ниже мы приведем применение вейвлет-преобразования (с различными базисными функциями) к анализу колебаний балок Тимошенко и Шереметьева - Пелеха. Рис. 2-5 построены по следующей схеме. Результаты вейвлет-преобразования (вейвлет-спектры) приведены в виде пар (плоская и пространственная картины вейвлет-спектра) под номерами 1-18. Пары 1-16 соответствуют вейвлетам Гаусса порядков с 1-го по 8-й, пара 17-18 - вейвлету Морле. Под номером 19 приведен Фурье-спектр, 20 - фазовый портрет.
С помощью результатов, приведенных на рисунках, мы постараемся ответить на вопрос, какой же из вейвлетов позволяет наилучшим образом анализировать сложные нелинейные колебания балок с учетом поперечных сдвигов.
Рис. 4. Регулярные одночастотные колебания в модели Пелеха при параметрах юр = 7,5, д0 = 1000
Представленные на рис. 2 и 4 колебания являются гармоническими одночастотными, на что указывают такие традиционные средства анализа, как Фурье-спектр (рис. 2 19 и 4 19) и фазовый портрет (рис. 2 20 и 4 20). В этом случае видно, что только вейвлет Морле позволяет четко выделить частоты спектра. Тем не менее, в ряду вейвлетов Гаусс-1 - Гаусс-8 наблюдается улучшение разрешающей способности по частоте, так что результаты непрерывного вейвлет-преобразования с использованием вейвлета Гаусс-8 позволяют выделять частоты значительно точнее, чем с вейвлетом Гаусс-1.
Если же обратиться к анализу хаотических колебаний на рис. 3 и 5, то следует признать, что практически все вейвлеты наряду с традиционными средствами анализа - Фурье-спектром и фазовым портретом - позволяют судить о его наличии. Но и здесь вейвлет Морле имеет существенное преимущество, поскольку позволяет проследить сложную эволюцию частот во времени, характерную для хаотических колебаний. Так, на рис. 5 17 можно наблюдать, что на интервале времени і є (550; 650) энергия колебаний распределяется по четырем основным частотам, тогда как на интервале і є (700; 900) выделяются только три частоты, а при і > 900 вновь возникают элементы хаотизации. Вейвлеты Гаусса, как видно на рис. 3 13 16 и 5 1-5 16, не позволяют прослеживать подобные изменения - на этих рисунках процесс колебаний выглядит практически одинаково на всем интервале времени. Таким образом, основное преимущество вейвлет-преобразования перед преобразованием Фурье - возможность
получения не просто частотного, а частотно-временного спектра - наиболее четко выражено именно у вейвлета Морле.
Рис. 5. Хаотические колебания в модели Пелеха при параметрах юр = 7,5, д0 = 40000
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 06-08-01357.
ЛИТЕРАТУРА
1. Awrejcewicz J. Nonclassical Thermoelastic Problems in Nonlinear Dynamics of Shells / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, 2003. 427 p.
2. Awrejcewicz J. Nonlinear Dynamics of Continuous Elastic Systems / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko, P. Vakakis. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, 2004. 341 p.
3. Awrejcewicz J. Thermo-Dynamics of Plates and Shells / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko,
A.V. Krysko. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, 2007. 777 p.
4. Awrejcewicz J. Chaos in Structural Mechanics / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, 2008. 424 p.
5. Крысько В.А. Нелинейная динамика балок Эйлера-Бернулли и типа Тимошенко /
B.А. Крысько, М.В. Жигалов, О.А. Салтыкова // Известия вузов. Машиностроение. 2008. № 6. С. 7-27.
6. Крысько В.А. Особенности сложных хаотических колебаний балок Эйлера-Бернулли и типа Тимошенко в зависимости от граничных условий / В.А. Крысько, М.В. Жигалов, О. А. Салтыкова // Известия вузов. Строительство. 2008. № 9. С. 4-10.
7. Крысько А.В. Управление сложными колебаниями нелинейных многослойных балок / В. А. Крысько, М.В. Жигалов, О. А. Салтыкова // Известия вузов. Авиационная техника. 2008. № 3. С. 10-13.
8. Диссипативная динамика геометрически нелинейных балок Бернулли - Эйлера /
В.А. Крысько, М.В. Жигалов, А.С. Десятова, О.А. Салтыкова // Известия РАН. Механика твердого тела. 2008. № 6. С. 128-136.
9. Grossman A. Decomposition of Hardy functions into square separable wavelets of constant shape / A. Grossman, S. Morlet // SIAM J. Mathematic Analysis. 1984. Vol. 15. № 4. Р. 723.
Крысько Антон Вадимович -
доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная математика и теория навигационных приборов» Саратовского государственного технического университета
Krysko Anton Vadimovich -
Doctor of Sciences in Physics and Mathematics,
Professor of the Department
of «Applied Mathematics and the Theory
of Navigation Devices»
of Saratov State Technical University
Жигалов Максим Викторович -
кандидат технических наук, доцент, докторант кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета
Zhigalov Maksim Viktorovich -
Candidate of Technical Sciences,
Assistant Professor, doctorate degree nominee of the Department of «Mathematics and Modeling» of Saratov State Technical University
Солдатов Владислав Викторович -
аспирант кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета
Soldatov Vladislav Viktorovich -
Post-graduate student of the Department of «Mathematics and Modeling» of Saratov State Technical University
Подтуркин Максим Николаевич -
студент Саратовского государственного технического университета
Podturkin Maksim Nikolayevich -
Student of Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 06.05.09, принята к опубликованию 29.06.09
