CC BY
17
V. Обсуждение результатов
Разработанный алгоритм виртуального управления движением андроидного робота на основе использования разработанной базы знаний позволяет выполнить комплексную оценку текущих ситуаций и на основе этого осуществить реализацию наиболее оптимального логического выбора. При этом выборе происходит минимальное суммарное изменение обобщенных координат.
Результаты вычислительных экспериментов показывают сокращение на порядок время расчёта тестовых заданий, связанных с постановкой и снятием объектов манипулирования на стеллажи и со стеллажей при использовании разработанной базы знаний. При этом значительно сокращается число случаев синтеза движений с возникновением тупиковых ситуаций.
VI. Выводы и заключение
Результаты проведенных исследований могут быть использованы при разработке интеллектуальных систем управления автономно функционирующими андроидными роботами в заранее известной окружающей среде.
Список литературы
1. Wihtney D. E. The mathematics of coordinated control of prosthetic Arms and Manipulators // J. Dyn. Sys., Meas., Control. 1972. Vol. 94, № 4. Р. 19-27.
2. Кобринский А. А., Кобринский А. Е. Построение оптимальных движений манипуляционных систем // Машиноведение. 1976. № 1. C. 12-18.
3. Pratt J., Dilworth P., Pratt G. Virtual model control of a bipedal walking robot // Proceedings of Int. Conf. on Robotics and Automation. Vol. 1. 1997. P. 193-198.
4. You B., Zou Y., Xiao W., Wang J. Telerobot control system based on dual-virtual model and virtual force // Int. Forum on Strategic Technology. 2010. P. 246-250.
5. Hrr J., Pratt J., Chew C.-M., Herr H., Pratt G. Adaptive virtual model control of a bipedal walking robot // Proceedings of Int. Joint Symp. on Intelligence and Systems. 1998. P. 245-251.
6. Tsukamoto H. K., Takubo T., Ohara K., Mae Y. and Arai T. Virtual impedance model for obstacle avoidance in a limb mechanism robot // Int. Conf. on Information and Automation. 2010. P. 729-734.
7. Hasegawa T., Suehiro T., Takase K. A model-based manipulation system with skill-based execution // IEEE Trans. Rob. and Autom. 1992. Vol. 5. P. 535-544.
8. Pritykin F. N., Nebritov V. I. Studying tolerance range of generalized velocities vector under android motion synthesis // Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Dynamics). 2016. D0I:10.1109/Dynamics.2016.7819064.
9. Pritykin F., Gordeev O. Defining a Service Angle for Planar Mechanisms of Manipulators based on the Instantaneous States Analysis // MEACS2015 IOP Publishing IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. 124 (2016). 012025. DOI:10.1088/1757-899X/124/1 /012025.
10. Pritykin F. N.,,Tevlin A. M. Procedure for construction of manipulator motions from a given local grip path in the presence of obstacles // Soviet machine science. Allerton press ins. New York. 1987. Number 4. P. 30-33.
11. Притыкин Ф. Н., Небритов В. И. Построение рабочей зоны механизма руки андроидного робота с учетом положения запретных зон // Омский научный вестник. 2017. № 1. С. 5-9.
12. Притыкин Ф. Н., Небритов В. И. Исследование размеров и формы области в многомерном пространстве обобщённых скоростей, задающей допустимые мгновенные состояния механизма андроидного робота // Омский научный вестник. 2016. № 5. С. 29-34.
УДК 539.3
ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ДВУХ БАЛОК, ОПИСЫВАЕМЫХ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗОЙ ТРЕТЬЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ МАЛЫХ ПРОГИБОВ
О. А. Салтыкова1,2, И. В. Папкова1, В. А. Крысько1
'Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., г. Саратов, Россия 2Томский политехнический университет, г. Томск, Россия
DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-1-165-172
Аннотация — В работе исследуется хаотическая динамика контактного взаимодействия двух балок, описываемых гипотезой третьего приближения (модель Пелеха - Шереметьева). Между балками есть малый зазор. На одну из балок действует поперечная распределенная знакопеременная нагрузка. Контактное взаимодействие балок учитывается по модели Кантора. Построенная математическая модель балочной структуры учитывает геометрическую нелинейность и их контактное взаимодействие. Система дифференциальных уравнений в частных производных сводится к системе ОДУ методом конечных разностей второго порядка точности. Полученная система решается методами типа Рунге - Кутты раз-
личных порядков. Методами нелинейной динамики исследовались хаотические колебания двух балок и обоснована достоверность получаемых результатов. Посчитаны показатели Ляпунова тремя разными алгоритмами - Кантца, Вольфа, Розенштейна, построены 2D и 3D фазовые портреты и спектры мощности Фурье, псевдоотображения Пуанкаре. В работе доказана и обоснована достоверность численных результатов решения задачи хаотической динамики и контактного взаимодействия двух балок, описываемых кинематической гипотезой третьего приближения. Обоснован выбор количества разбиений по пространственной координате (n=400) и выбор метода решения задачи Коши.
Ключевые слова: контактное взаимодействие, балка модели третьего приближения, нелинейная динамика, метод конечных разностей, методы типа Рунге - Кутты, геометрическая нелинейность.
I. Введение
Балки и балочные структуры широко применяются в современной промышленности, машиностроении, ракетостроении и т.д. Часто такие структуры подвергаются различным внешним динамическим воздействиям. Исследование нелинейной динамики и контактного взаимодействия балочных структур является очень важным вопросом на современном этапе развития науки. В российской и зарубежной научной литературе можно найти большое количество работ, посвященных исследованию балок, подчиняющихся моделям Эйлера - Бернулли [1], Тимошенко [2], Пелеха - Шереметьева [3, 4], однако нет работ по контактному взаимодействию балок, подчиняющихся модели третьего приближения. В иностранной литературе гипотезу третьего приближения принято называть гипотезой Редди [5], однако в работе [4] показано, что данная теория впервые была описана ранее в работе [6]. Гипотеза Пелеха - Шереметьева позволяет максимально приблизить модель к трехмерной и получить наиболее точные результаты. В этой работе используется модель механики третьего порядка. В 1964 году двое украинских ученых М.П. Шереметьев и Б.Л. Пелех [6] предложили теорию третьего порядка. В ряде публикаций [7-9] эта теория была применена для расчета балок пластин и оболочек. Спустя 27 лет в работах Левинсона [10] и Редди [5, 11] эта модель была открыта заново. Таким образом, сложилась следующая ситуация. В российской научной печати и в публикациях ученых ряда стран восточной Европы аппроксимация функции прогиба многочленом третьей степени связана с именами М.П. Шереметьева и Б.Л. Пелеха, а в работах других авторов эта теория носит название теории Редди - Левинсона. При построении модели авторы статьи будут придерживаться исторического названия - модель Пелеха - Шереметьева.
Найти аналитическое точное решение задач нелинейной динамики не представляется возможным, в силу сложности уравнений, описывающих динамические процессы. Поэтому единственным выходом является решение таких задач численными методами. Но встает вопрос о достоверности получаемых решений. Очень часто принимают за хаотические колебания ошибки, которые накапливаются при решении задач численными методами. Мы постараемся определить истинность хаоса для задач нелинейной динамики и контактного взаимодействия балок в зависимости от применяемых численных методов и начальных условий.
По определению хаоса, данному Гуликом [12], хаос существует тогда, когда либо имеется существенная зависимость от начальных условий, либо функция имеет положительный показатель Ляпунова в каждой точке области ее определения и поэтому не является в конечном итоге периодической. В своих исследованиях будем следовать определению хаоса согласно работе Гулика.
В качестве начальных условий будем полагать: кинематические гипотезы, граничные и начальные условия, количество интервалов интегрирования балок в методе конечных разностей, методы решения задачи Коши в виде методов класса Рунге - Кутты, шаг по времени при решении задач динамики.
Для сведения бесконечномерной задачи к задаче Коши применялся метод конечных разностей с аппроксимацией второго порядка. Параметры этого метода и сам метод остаются постоянными во всей работе.
В настоящей работе, для выявления истинности хаотических колебаний при численном решении задачи о нелинейных колебаниях структуры из двух балок, описанных кинематической гипотезой третьего приближения с зазором, под действием поперечной знакопеременной нагрузки, предлагается комплексное исследование:
1. Добиться сходимости результатов, получаемых методом конечных разностей, так чтобы полностью совпали решения, получаемые при n и n*2.
2. Проверить сходимость результатов в зависимости от применяемого метода решения задачи Коши.
3. Для каждого шага по пространственной координате и метода решения задачи Коши строятся сигналы, фазовые портреты, спектры мощности Фурье, эпюры прогибов и псевдо отображения Пуанкаре.
4. Для каждого шага по пространственной координате вычисляется старший показатель Ляпунова с помощью трех методов: H. Kantz [13], A. Wolf [14], M.T. Rosenstein [15].
Окончательное решение об истинности хаотических колебаний и о сходимости результатов принимается в том случае, когда проверялись все описанные пункты комплексного исследования.
Отметим, что величина зазора между балками составляет десятую часть толщины балок. При начале контактного взаимодействия балок прогибы балок малы и могут описываться в рамках линейной теории упругости. Однако при построении математической модели учтена геометрическая нелинейность по Т. фон Карману.
II. Постановка задачи
Будем изучать нелинейную динамику и контактное взаимодействие двух балок с зазором, когда на одну из балок (балка 1) действует поперечная знакопеременная нагрузка, а вторая балка, приходит в движение благодаря контакту с первой. Обе балки описываются кинематической гипотезой третьего приближения. Контактное взаимодействие балок учитывается по модели Б.Я. Кантора [16]. Для удобства изложения материала, будем под балкой 1 понимать балку, на которую действует нагрузка, а под балкой 2 - не нагруженную балку.
Рассматриваемая структура из двух балок представляет собой двумерную область пространства R2 с декартовой системой координат, введенной следующим образом: в теле балки 2 фиксируется линия приведения, называемая срединной линией г = 0 , ось ОХ направлена слева направо вдоль срединной линии, ось 02 - вниз, перпендикулярно ОХ. В указанной системе координат структура из двух балок, как двумерная область ^ определяется следующим образом О = {х е [0, а] - к < г < кк + 3к}, 0 < t < да.
Рис. 1. Расчетная схема
Уравнения движения балок, а также граничные и начальные условия получены из энергетического принципа Гамильтона - Остроградского.
Сформулируем гипотезу Пелеха - Шереметьева [4, 6] (гипотеза третьего приближения):
- поперечные сечения не остаются плоскими, и не перпендикулярны деформированной оси балки;
- поле перемещений, поворот и искривление нормали зададим в виде: uz = u + zy + z2uT + zъут , wz = w .
- учитываются инерционные составляющие, связанные с поворотом сечений.
Для моделирования контактного взаимодействия балок по модели Б.Я. Кантора в уравнения балок необходимо ввести слагаемое (-1)^(w1 - w2 - hk , i = 1,2 - номер балки, функция Y определена формулой
Y = 1[l + sign(w1 - hk - w2)], то есть Y = 1, если есть контакт между балками - w1 > w2 + hk , иначе контакта
нет [16], К - коэффициент жесткости трансверсального обжатия структуры в зоне контакта, hk - зазор между балками.
III. Теория
Уравнения движения структуры из двух балок Пелеха - Шереметьева в перемещениях с учетом диссипации энергии запишутся в следующем виде:
1
А263
4 53Гх
1 д4 w,
5 дг3 4 дх4
+ k 2 ^
E1
3
д 2 w,-
dYx, +_
дх дх2
13
-2 [L3 (wi, ui) + L1(wi, ui)+ T L2 (w,, w, ) А 2
д 2u
дх2
- + L4 (wi, w, )--
д 2u
et2
= 0;
204 cY - öw - 12А2 k 2 Gl 315 дх2 315 бх3 E
- (-1) ^(w1 - w2 - hk )Y-
д 2 w,-
дt2
— s1
w дt
= 0;
Yn +■
Öwl дх
St2
+
_ w w =-, 2И _ иа и = 2 , (2И)2 х = = х, Я = а
- г т' а т = —, с = 1 ее
\(1- -у2)р'
Здесь i = 1,2 - порядковый номер балок,
1 1 /" \ 2 1 1
д дщ д I ^ | дwi д щ дwi д
Ll (wг, щ) = 2' '' , L2 (wг, w1) = —^ I —I , Lз (wг, щ) , L4 (wг, w1) = ' ' - нелинейньге опе-
дх2 дх дх2 ^ дх ^ дх дх2 дх дх2
раторы, - функция поперечного сдвига, wi, щ - функции прогибов и перемещений балок соответственно.
К системе дифференциальных уравнений (1), следует присоединить граничные условия и начальные условия.
Уравнения (1) содержат четвертую производную для функции прогиба по пространственной координате, что улучшает сходимость применяемых для решения численных методов и доказательство теоремы существования решения, по сравнению с гипотезой второго приближения.
Система уравнений (1), совместно с граничными и начальными условиями, приведена к безразмерному виду с помощью переменных:
а _ = а 4(1 -у2) (2^ 4 =4 (2А)4Е '
(2)
_ а _ уха
£1 =£17' ^ = (2Л)•
Полученная система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (1) совместно с граничными и начальными условиями сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей с аппроксимацией 0(с2), где с - шаг по пространственной координате. В каждом узле сетки получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученная задача Коши по времени решается методами типа Рунге - Кутты. В работе проведено сравнение методов Рунге - Кут-ты второго, четвертого и восьмого порядков в явной и неявной форме: метод Рунге - Кутты 4-го (гк4), 2-го (гк2) порядков, метод Рунге - Кутты - Фелберга 4-го порядка (гЫ"45), метод Кеш - Карпа 4-го порядка (гкск), Рунге -Кутты Принса - Дорманда восьмого порядка (rk8pd), неявный метод Рунге - Кутты 2-го порядка (гк2тр) и 4-го порядка (гк4тр). Явный метод характерен тем, что матрица коэффициентов имеет нижний треугольный вид (включая и нулевую главную диагональ) - в отличие от неявного метода, где матрица имеет произвольный вид. Методы гЫ"45, гкск, rk8pd предусматривают автоматическое изменение шага, а также возможность контроля погрешности интегрирования. На основании описанного алгоритма создан программный комплекс, позволяющий решать поставленную задачу в зависимости от управляющих параметров {д0,юр}. Большое
внимание в работе уделялось вопросу о непроникновении элементов структуры друг в друга. Как уже отмечалось выше, изучаемые задачи являются нелинейными, поэтому встает вопрос о достоверности получаемых результатов.
IV Результаты экспериментов
Для проведения численного эксперимента положили: юр = 5Л, д0 = 5000 , Нк = 0Л , Я = а 12к = 50 , е1 = 1 •
Значение частоты вынуждающих колебаний близко частоте собственных колебаний балки. Балки жестко закреплены с обоих концов. Граничные условия для заделки обоих концов балок:
Wi (0, г) = Wi (а, 0 = 0; щ (0, г) = щ (а, г) = 0; ^ (0, г) = ^ (а, г) = 0;
д^ (0, г) = д^ (а, г) = 0_ дщ (0,г) = дщ (а, г) = 0; дх дх дх дх
16 д2уза (0, г) д3Wi (0, г) 16 д2уза (а, г) дЧ (а, г) (3)
--т---5-= 0;--;;---5-= 0;
5 дх2 От3 5 дх2 От3
136 - 0 038 д2^ (°,г) = 0;—36- 0Ш8= 0^
315 дх дх2 315 дх дх2
Начальные условия:
(x, г) = 3щ(х!/) =5тх1(х1?)
Wi (х, г) г=0 = щ (х, г)| г=0 = Гхг (х, г)|г=0 = 0,^^ = = 0^ (4)
1 1 дг |г=0 дг |г=0 дг |г=0
На балку 1 действует поперечная распределенная по поверхности знакопеременная нагрузка вида:
д = 40 БтЮр/1), (5)
где д0 - амплитуда, ю р - частота вынуждающих колебаний.
В работе проведено исследование сходимости результатов при числе точек деления отрезка п = 40;80;120; 240; 360; 400; 440 . В качестве метода решения задачи Коши использовался метод Рунге - Кутты 8-го порядка Принса - Дорманда. Для п = 40;80;120;240 прогиб сильно отличается от прогиба, посчитанного при п = 360; 400 . Начиная с п = 360; 400 прогибы для первой и второй балок совпадают. На рис. 2 приведем сигналы wi(0.5,г) при г е [500..506] для п = 40; 360; 400 . Короткая пунктирная линия соответствует п = 40 , длинная пунктирная - п = 360, а сплошная линия для п = 400.
а)
б)
0.55
0.5
5^0.45 Ю
О 0.4 см
^ 0.35 0.3 0.25 0.2.
п = 40 502
503 1
Рис. 2. Сигналы прогиба балок wi(0.5,г) при г е [500..506] для п = 40;360;400 :
а) балка 1 ; б) балка 2
Отметим, что обеспечить полную сходимость по сигналу для хаотических колебаний для балки 2 не удается, в отличие от балки 1. В результате достигнута сходимость хаотических сигналов. В работе [17] считалось достаточным показать сходимость по спектрам мощности Фурье для хаотических колебаний. По сигналу достичь сходимости не удавалось.
Далее была исследована сходимость сигналов в зависимости от типа метода Рунге - Кутты. На рис. 3 приведем графики сигналов wi (0.5,г) при г е [500..506], полученные методами гк2 (пунктирная линия) и гк4 (сплошная линия).
а)
б)
ю о
502 503 504 505 506 1
0.4-
Ю
0 0.35
0.3
500 501 502 503 504 505 506 1
п = 400
0
0.2
0.45
0
0.2
0
00 501
Рис. 3. Сигналы прогиба балок ^(0.5,г) при г е [500.. 506] , полученные методами гк2 и гк4:
а) балка 1; б) балка 2
Для балки 1 результаты решения методами Рунге - Кутты второго, четвертого и восьмого порядков полностью совпали, для балки 2 сходимость хуже, но разница в значениях прогиба не превышает 0,5% от выбранного в качестве эталонного метода Рунге - Кутты 8-го порядка Принса - Дорманда.
Согласно приведенному алгоритму, далее исследуем динамические характеристики балок при разном количестве разбиений по пространственной координате. В табл. 1 приведем графики спектров мощности Фурье, 2Б фазовые портреты и псевдоотображения Пуанкаре для обеих балок.
ТАБЛИЦА 1 ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БАЛОК
У^ Обсуждение результатов
Спектры мощности Фурье при любом числе узлов в методе конечных разностей п имеют хаотическую составляющую. При увеличении п шумовых гармоник становится меньше в сигнале, при п = 240 появляется бифуркационная частота ю р /2. Дальнейшее увеличение п приводит к возникновению линейно зависимой частоты ю1 = юр /4 для обеих балок.
2Б фазовые портреты для первой балки представляют собой при малых значении п = 40 сплошное пятно, для балки 2 - два притягивающих множества, а при больших значениях п = 360; 400 - это утолщенный овал для балки 1 и пятно для балки 2. Псевдоотображение Пуанкаре качественно меняется и становится более четкой с увеличением числа отрезков разбиений по пространственной координате. Это свидетельствует об уменьшении хаотической составляющей в сигнале.
При п = 360 и п = 400 все характеристики сигнала полностью совпадают как для первой, так и для второй балки. В колебаниях первой и второй балок присутствуют одни и те же частоты юр,юр /2,юр /4, т.е. происходит синхронизация колебаний балок на частотах первой и второй бифуркаций. С увеличением количества деления отрезка уменьшается шумовая составляющая в сигнале, вызванная погрешностью численных методов, которую можно ошибочно принять за истинный хаос, но сигнал остается хаотическим, что подтверждается ляпу-новскими показателями и другими характеристиками.
В работе посчитаны значения старшего показателя Ляпунова для всех п методами Вольфа, Розенштейна и Канца. Значения получены на основе решений задачи Коши методом Ренге-Кутты 8-го порядка. Разные ме-
тоды подсчета показателей Ляпунова необходимо использовать для определения истинного хаоса. При количестве делений балки на n=40; 80, 120; 240, 360, 400 отрезков в методе конечных разностей ляпуновские показатели при любом методе подсчета сходятся до второго знака после запятой.
Все значения старшего показателя Ляпунова, независимо от метода решения задачи Коши, от количества интервалов разбиения балки, от алгоритма вычисления положительны. То есть мы имеем дело с истинными хаотическими колебаниями исследуемой балочной структуры.
VI. Выводы и заключение
В работе доказана и обоснована достоверность численных результатов решения задачи хаотической динамики и контактного взаимодействия двух балок, описываемых кинематической гипотезой третьего приближения.
Проведено комплексное исследование нелинейной динамики контактного взаимодействия балок. Обоснован выбор количества разбиений по пространственной координате (n=400) и выбор метода решения задачи Коши (метод Рунге - Кутты 8-го порядка Принса - Дорманда).
Вычислены значения старшего показателя Ляпунова по трем методам - Kantz H., Wolf A., Rosenstein M.T. Знак старшего показателя совпадает для каждого метода, что позволяет говорить об истинности хаотических колебаний исследуемой структуры.
На основании проведенного исследования частотных характеристик можно говорить о явлении хаотической частотной синхронизации колебаний балок.
Было отмечено, что наличие четвертой производной от функции прогиба по пространственной координате x в уравнениях движения балки способствует быстрой сходимости при решении методом конечных разностей в отличие от уравнений, выведенных с учетом гипотезы С.П. Тимошенко, в которых старшая производная имеет второй порядок.
Источник финансирования. Благодарности
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда 16-11-10138.
Список литературы
1. Десятова А. С., Жигалов М. В., Крысько В. А., Салтыкова О. А. Диссипативная динамика геометрически нелинейных балок Бернулли - Эйлера // Известия РАН. Механика твердого тела. 2008. № 6. С. 128-136.
2. Салтыкова О. А., Крысько В. А., Контактное взаимодействие двух балок Тимошенко // Нелинейная динамика. 2017. Т. 13, № 1. С. 41-53.
3. Крысько В. А., Жигалов М. В., Солдатов В. В., Салтыкова О. А. Исследования сложных колебаний балок в рамках кинематической модели Шереметьева - Пелеха с привлечением вейвлет-преобразования // «Наука» РАН. Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. № 4. С. 12-17.
4. Krysko A. V., Awrejcewicz J., Pavlov S. P., Zhigalov M. V., Krysko V. A. Chaotic dynamics of the size-dependent non-linear micro-beam model // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2017. № 50. Р. 16-28.
5. Reddy JN (1984) A simple higher-order theory for laminated composite plates. J Appl Mech. 51:745-752.
6. Шереметьев М.П., Пелех Б.Л. К построению уточненной теории пластин // Инж. журн. 1964. Т. 4. Вып. 3. С. 34-41.
7. Hanuska A. Contribution to the Reissnerian algorithm in the theory of bending of elastic plates // Aplikace ma-tematiky. 1967. Vol. 12, no. 6. Р. 449-467.
8. Кириченко В. Ф. Обобщенная диссипативность эволюционных уравнений в уточненной теории пластин // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: межвуз. научн. сб. Саратов: Изд-во СГТУ, 1999. С. 81-86.
9. Крысько В. А., Кириченко В. Ф. Уточненная теория ортотропных термочувствительных пологих оболочек в рамках гипотез Пелеха-Шереметьева // Неклассические проблемы теории тонкостенных элементов конструкций физико-химической механики композиционных материалов: тез. докл. III Междунар. симпоз. Ивано-Франковск, 1995. С. 142.
10. Levinson M. A new rectangular beam theory // Journal of Sound and Vibration. 1981. № 74:1. Р. 8787.
11. Ma H. M., Gao X. L., Reddy J. N. (2010) A nonclassical Reddy - Levinson beam model based on a modified couple stress theory // Int J Multiscale Comput Eng. 2010. № 8. Р. 167-180.
12. Denny Gulick. Encounters with Chaos. McGraw-Hill. New York, 1992. 224 р.
13. Kantz H. A robust method to estimate the maximum Lyapunov exponent of a time series // Phys. Lett. A. 1994. № 185. P. 77-87.
14. Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov Exponents from a time series // Physica 16 D. 1985. P. 285-317.
15. Rosenstein M. T., Collins J. J., Carlo J. De Luca A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets I Neuro Muscular Research Center and Department of Biomedical Engineering, Boston University, November 20, 1992.
16. Кантор Б. Я., Богатыренко Т. Л., Метод решения контактных задач нелинейной теории оболочек // Докл. АН УССР. Cер. А. 1986. № 1. С. 18-21.
17. Awrejcewicz J., Krysko V. A., Papkova I. V., Krysko A. V. Deterministic Chaos in One-Dimentional Continuous Systems. Singapur II World Scientific series on Nonlinear Science Series. 2016. 561 p.
УДК 531.8:004.94
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ СИНТЕЗА РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ ТРЕТЬЕГО КЛАССА ПО ЗАДАННОЙ ЦИКЛОГРАММЕ С ОСТАНОВКАМИ В КРАЙНИХ ПОЛОЖЕНИЯХ
В. Г. Хомченко, Е. А. Кривохатько
Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
DOI: 10.2520б/2310-9793-2017-5-1-172-17б
Аннотация - Предложен алгоритм построения рычажных механизмов третьего класса, позволяющий простыми графическими средствами создавать исполнительные механизмы для перемещения рабочих органов цикловых машин-автоматов с приближенными остановками в крайних положениях. Показано, что, в связи с получением предложенным методом высокой кинематической точности выстоя рабочего органа, в некоторых случаях можно отказаться от строгого выполнения чебышевского приближения. На основе созданного алгоритма для числового расчета параметров механизма получены необходимые аналитические зависимости. Приведен пример, в котором с использованием пакета MathCAD результаты графического синтеза подтверждены численными расчетами.
Ключевые слова: геометрический алгоритм, шарнирный механизм третьего класса, машины-автоматы, циклограмма, выстой рабочего органа, математическая модель.
I. Введение
В современных машинах-автоматах циклического действия различных отраслей промышленности, таких как машиностроительная, полиграфическая, текстильная, шинная и другие, для обеспечения согласованного высокоскоростного движения рабочих органов широко используются рычажные механизмы [1, 2, 3]. Одной из проблем широкого применения таких механизмов является проектирование их для реализации наперед заданной циклограммы с выстоями рабочего органа в обоих крайних положениях. С помощью рычажных механизмов теоретически можно обеспечить только приближенные остановки рабочего органа машины-автомата. Однако за счет оптимизации параметров расчетные отклонения могут быть столь незначительны, что такие механизмы можно считать более точными, чем кулачковые механизмы, теоретически точно воспроизводящие остановку рабочего органа.
II. Постановка задачи
При использовании рычажных механизмов, обеспечивающих приближенные остановки выходного звена за счет предельных положений, приходится применять для обеспечения остановок в обоих крайних положениях, как правило, восьмизвенные механизмы [1]. В данной статье предлагается геометрический алгоритм синтеза рычажного механизма, выполняющего такие же функции, но имеющего в своем составе шесть кинематических звеньев.
Синтезу такого механизма посвящен ряд работ [1, 4, 5]. В данной статье основное внимание уделяется геометрическому аспекту проектирования шестизвенного рычажного механизма, обеспечивающего приближенные остановки в обоих крайних положениях, и получению на этой основе уточненной аналитической геометрической модели.
III. Теория
В обобщенном виде циклограмму движения рабочего органа с остановками в крайних положениях можно представить следующим образом (рис.1). В качестве параметров циклограммы выступают: ф1, ф2, фВ1 и ^ - углы поворота входного звена механизма при прямом и обратном угловом перемещении рабочего органа машины-автомата, при его первой остановке и угол размаха рабочего органа.
