О возмущении абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Римана-Лиувилля, нелинейным оператором Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983

О ВОЗМУЩЕНИИ АБСТРАКТНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩЕГО ДРОБНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ, НЕЛИНЕЙНЫМ ОПЕРАТОРОМ

Х.К. АВАД, А.В. ГЛУШАК

Белгородский государственный университет e-mail: [email protected]

Доказывается однозначная разрешимость задачи типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные, при возмущении уравнения нелинейным слагаемым.

Ключевые слова: уравнение дробного порядка, однозначная разрешимость задачи типа Коши, возмущение, подчиненный оператор.

В банаховом пространстве Е рассмотрим следующую задачу типа Коши

Dau(

IimC

(ї-1

), t > О,

(1.1)

(1.2)

где 0 < а < 1, D

■сг—1

Щ

=Iі"

- 1 ■■■'' - левосторонний

Г(1-<т) 'V

дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка 1 — « (/1-я - тождественный оператор при а= 1), ияц(0 = — /1_яы(е) - левосторонняя дробная производная Римана-

Лиувилля порядка а, Г(-) - гамма-функция, А - линейный, замкнутый, плотно определенный оператор, Б (ґ) - также линейный, замкнутый, плотно определенный, но уже переменный и, вообще говоря, неограниченный оператор, наконец, Г (гг, IV) -нелинейный оператор, рассматриваемый как возмущение оператора А.

Условие 1. (і) и0 <Е О (Л) {О (Л) - область определения оператора Л).

(ІІ) Оператор А таков, что при некотором (3, удовлетворяющем неравенству . ), равномерно корректна задача

г-о

Пусть

этом

-разрешающий оператор задачи (1.3), (1.4), т.е., г;(

(13)

(14)

:ii,, и при

L, Mt > 0.

(15)

Укажем, что при 0 < /? < 1 равномерная корректность задачи (1.3), (1.4) исследовалась в [1, 2, 3], а при = 1 оператор А должен быть генератором С0-полугруппы.

Условие 2. (І) Оператор В О и при этом О (А) с О.

(II) Для любого х Є О функция О®. абсолютно интегрируема в нуле.

(III) Для любого х Е Е существуют постоянные у Е 7 -: ' . с Г; (эффект сглаживания) и

имеет не зависящую от t область определения принадлежит С((0, оо), Е) и 1), М2 > 0 такие, что

t,т Ё (0, со).

(1.6)

Отметим, что если оператор —А является сильно позитивным (терминология заимствована из [4]), т.е., если

, Ие Я > 0. М3 > 0.

1+1 л I

то в условии 1 можно взять /? = 1, а неравенство (1.6) означает, что оператор В (t) подчинен дробной степени (—А)" (см. [4, с. 298]). Перестановочность операторов А и B(t) не предполагается.

Условие 3. (і) Для любой функции w(t) имеющей абсолютно интегрируемую дробную производную D“w(t) функция DaF(tfw(iy) принадлежит С((0, эт), Е) и абсолютно интегрируема в нуле.

(ІІ) Для w = 0 справедливо неравенство

||f(t. 0)|| < С0(1 + 1), ¡.і >0, Cq > 0.

(iii) Оператор F(r,w) удовлетворяет равномерному по t > 0 условию Липшица

? w2) -

< L\\w2 — Will.

Условие 4. Банахово пространство Е обладает свойством Радона-Никодима (см. [5, с. 15]).

Например, рефлексивные банаховы пространства обладают этим свойством, а пространства ¿^(п.Ь), С[а, Ь\, с0 (пространство последовательностей, сходящихся к нулю) не обладают.

Как будет доказано в дальнейшем, условия 1 - 4 обеспечат однозначную разрешимость задачи (1.1), (1.2).

При доказательстве нами будет использована функция (см. [6, с. 357])

(1.7)

где ¿г > 0, т > 0, 0<у<1 и ветвь функции г,г выбрана так, что йе г11 >0 при йе г > 0. Эта ветвь является однозначной функцией на комплексной ¿-плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси. Сходимость интеграла (1.7) обеспечивается множителем ехр(—тгу).

Если в интеграле, определяющем функцию /г Дг) перейти от интегрирования по прямой г = а > 0 к контуру, состоящему из двух лучей г = гехр( — г(?) и г = гехрОА), где 0 < г < «», п/2 < в < тг, то при г > 0 для функции /г„¥(0 получится представление

1 Г®

/г.г(0 = ~ ,|0 ехрСггсоэб? — тг^созубОБтСсгвт# — гг^ту# + 9) с1г. (1.8) Функция /|:Л,(с) неотрицательна и имеет место представление

ехр(—тЯл') = ехр(—Яг)/ГУ(Г) с?С, г > О, Я > 0, 0 < V < 1. (1.9)

Теорема 1. Пусть выполнены условия 1, 4 г/ л < Тогда задача

limDa 1uft) = и

Ґ-'й

û-

(111)

равномерно корректна, и ее разрешающий оператор определяется формулой

г СО

Га(Ои0 = /0 /г.у(07>(т)и0 гіт, (1.12)

где V = а/Р,а функция /ГЛХХ) определяется равенством (1.7).

Доказательство. Если задача типа Коши (1.3), (1.4) равномерно корректна и Ке Я > 0, то, как доказано в [2], АР принадлежит резольвентному множеству р(А) оператора А, для любого х Є Е справедливо представление резольвенты

# _ 4-00

(113)

)х = /0 exp(—At)Tp(t)x dt,

и при этом для всех целых п > О

с!Лг'

МГ(п+р) (Rs Я)п+Р'

Re Я > 0.

(1.14)

В банаховом пространстве Е, обладающем свойством Радона-Никодима, выполнение неравенств (1.14) (даже для действительных Л > 0) является и достаточным условием равномерной корректности задачи (1.3), (1.4). При этом разрешающий оператор имеет вид

7>(0“о = Dl~P^Co-iГ ^_1ехр(ЯОй(Я^)гг0 dA, ш0 > 0. (1.15) Учитывая представления (1.13), (1.9) и оценку (1.5), при v = or//? будем иметь

dt= Г

ж

О

Следовательно, в силу (1.8) справедливы неравенства

dnR{(ia)x

ЄХЇ

tir.

df(r

< Mi llzl

ï^exi

/-ÇO

rRe fï) rfrj exp(rscos0 — tsycos\

ds

Г ® г“®

М4||хи0 т"ехр(—тЯв ;<) ЙГ ]0 5_Яехр(г5СО50) ¿5

М6Г(п+*)]|*||

п — 1+«

СМ НУ

что и доказывает равномерную корректность задачи (1.10), (1.11).

Разрешающий оператор этой задачи, в силу представлений (1.15), (1.13) и

(1.7) имеет вид

Та(Ои0 = Я1_а^С_7Г Яа“1ехр(ЯО«(Яа)к0 с1Л =

= С ТрЮщіІтО} “¿т//_7Г Л“ Хехр(Яс - Яут) ¿Я = /” Л.у(07>(т)и0 гіг.

Теорема доказана.

Замечание 1. В частном случае V =

имеем

=55в«р(-£).

и равенство (1.12) принимает вид

Сформулируем далее доказанную в [7] теорему о разрешимости задачи типа Коши для неоднородного уравнения.

Теорема 2. Пусть выполнено условие 1, а функция О^Ъ.(£) принадлежит С ;; С. . '■! и абсолютно интегрируема в нуле. Тогда неоднородная задача

+

), г > о,

(116)

(117)

имеет единственное решение, которое определяется равенством

-І

III

)«о + /0 Тр(г -

(118)

Теорема 3. Пусть выполнены условия 1 - 4 и а < /? < 1. Тогда задача (1.1),

(1.2) имеет единственное решение, для которого справедлива оценка

ы

«і ПЮ 1 п,, „ ■ Со МХ ГЦ?) Ср МХ ГО?) ГО.) ^ц_!

Г(я+Ч Г(и+^)

Г{й)

+ 1 Мі М21

^а+6—1 гг I

!*) II и» 11 +

+ Со

где 5 =

, £^ р(-) - функция типа Миттаг-Леффлера.

Доказательство. Учитывая теоремы 1 и 2, сведем задачу (1.1), (1.2) к интегральному уравнению, которое в силу (1.12), (1.18) запишется в виде

Г п г! ар М

«(0 = /0 Л.у(ОТ>(т)и0 йт + /0 /0 /гг.у(Г-5)7)8(т)Г(5,В(5)и(5)) йхйя, (1.19)

где и0г Тр(т)и0 е ¿>(/1) с Д V = а/(3. Обозначив да(1) = В(1)м({), получим

-да г? г *30 г л

*(0 = /0 Л.у(0адгд(т)и0 (/г+/0/0 !*(«)) с/и/®. (I.20)

Для решения интегрального уравнения (120) применим метод последовательных приближений, положив

= | /,(Г)ед(Фо с1г + ] J - в)В(г)Тр(т]

О 0 0

С1Т(15,

Мп + 1

г®

/о Л.у(0^(г)Гр(г)и0 + /0 /0 Л.У(Г -5)В(Г)Гр(т)Г(5,УИ„(5)) с*гс^, л 6 N.

Используя неравенство (1.6) и условие 3(п), оценим норму

Никсон 5

< Мп

..[Ч - - г х) (1.21)

'О ■'о

Учитывая определение функции £д,(я) равенством (1.7), а также интегралы 2.3.4.1, 2.3.3.4 [8], получим

Г /ы

у

1 г (7+¿«э

1 га _ 2т ^

2ГГ1 ■'С-ИП

*

-г

6X1

Г*)

2гт1

/а+.‘00 е“*-**-?) с1г = > 0 (1.22)

-'и-юз ГГуГ1- йуУ) ' 4 7

гси1-РЮ)

Учитывая равенство (1.22), из (1.21) выводим оценку

II(г) || < м2

I п.1-г)

ы-1 +мгс0

Г(1

га-г)Г(р)еК1-т#-> ^ М2 Г(Д/У>/ и. Со «.Со

+М2С° Г(у(1 -у)+ц) - Г(5) V Иио11+5С + ,

Используя условие 3(ш), аналогично оценим норму разности

ГЬ гоз

Г('р(1 -у)-Г.

Г(Д)ГОи) Г(5+^)

+

О-

— IV1

^/0 /о /т.у(С-г?)||б(О7>(т)(/г(^и'1)-Г(5,0))|| ¿тс^<

< ¿ «I г (¿Л-) rt г»

Учитывая (1.23), для гс Е № по индукции получаем

■■ „ п*-1п || ■ С*гп8 . Со1ХпД)ГЕр) пД-Кн-Л П24ч

11 Г(п5) V 11 011 пе Г(п6+ц) )' ( . '

Следовательно, ряд Ц“=1 :(г)) сходится равномерно в любом

интервале [с0, £1], 0 < С0 < Г!. Поэтому и?„ (г) на том же промежутке равномерно сходится к непрерывной на [г0, Гх] функции тю (Г), которая удовлетворяет интегральному уравнению (1.20). В силу (1.24) для нее справедлива оценка

II /ЛИ . V» II /*\ / *-\ II V® ь* м^*\ВМ „

1МОИ 5 2” , 1К(0 - «-„.,(011 < 1Е.0 X

х (и . _£о_ (>с+1)а , с0 г((к+рЗ) гро (>с+1)д^-Л <

V II ОII (/с+1)Д Г((К+1)5+р) /

<М, Г(8м(г*-Чи ПУ00 * м*гк{6М *** | с т5 У°° **м* »*(«/»> *** ,

2 С / ) II о112.й_о г((к+1)5) 0 ^*-0 Г((*+1)<5+1)

+C0rQ¡) ¿*Aí£ rk(5/v) tfc5>

= M2 r(5/v) M2 r(5/v) t5)||u0|| + C0t5£*5+1(L M2 r(<5/v) t5)+

+C0Г(^|)t8+,l~ 1E$'S+ll (i M2 Г(S/V) t5)), (1.25)

где fppt-)-функциятипаМиттаг-Леффлера, г Е [to.fi], 0 < t0 < tL.

Поскольку промежуток [f0r f 1 ] произвольный, то функция w(r) -непрерывное на (0, со) решение уравнения (1.20), удовлетворяющее на (0Дсо) неравенству (1.25), т.е., абсолютно интегрируема в нуле. Более того, из равенства (1.20) и условия 2(ii) мы заключаем, что Е C((Q,ro), £) и D“w(t) абсолютно

интегрируема в нуле.

Наконец, из равенства (1.19), с помощью теоремы 2, мы получаем решение V'.' ;:) задачи (1.1), (1.2) в виде

Г® irí jг® .

w(t)=J0 A.v(07>(t)iíо rfT + J0 Jo /r.v(f - s)7>(t)F(s, w(s)) drds,

для которого, в силу (1.5), (1.25), (1.22) и условия 3(ii) справедлива оценка

IH0II ^ С /r.v(t)||7>(T)“o|| dT +

+ /0 J0 /r.v(t-s)||7>C0f(s.0)|| ^s+JoJo /r.v(t-*)||ty(0(F(*.'

^ Мг ПР)*“-1 „ , с0 МгПР) ta , С0 МгГ(Р)ГСи) ,

— Г (а) 0 Г(а+1) Г(я+|И)

L Мх ПЛГС1-^Г) ■■ .. rt

Г(а) -“olí/o (*~Оа ls* lEs.sМг Г(¿>/v) s5) ds: +

с„ i мг гОТ wjjj (f _ s).-Ve„m(í. Mj r(í/v)sí) ds +

+

Г(я)

Со L Мг M2 Г(0) T(5/v) Г(м) ft

Г(и)

Мх r(jS)tff_I ,

Г(ег)

+ L М1 М2

/0 (t-*)e lss+fl 1Ess+fl(L М2 Г(5/v)ss) ds =

i „ , Со ЛЧГ(Д) ttt , Со .щпртю ,

V Г(я+ L) r(«+ft)

t“+í-1£í.a+í(¿ М2 r(¿)/v) t5)||u0|| +

+C0 t«+5E*w+5+1 (¿ М2 Г (0 t5) +

+C0 Г(n)t«+s^-'Es,a+s+¿L M2 Г(<5/v) t*),

при этом мы использовали равенство

/

О] = fK+P-L

а, рг у > 0.

Установим далее единственность решения задачи (1.1), (1.2). Пусть имеется другое решение, которое мы обозначим У (О. Тогда в силу теорем 1 и 2

\д_г _ /■ 00 _ _

у(0 = /0 Л.»(07>(т)мо <*г+/0 /0 /г у(£ - ^(*)£($. И'(*)) ЛгЛ*,

где И^гт) - решение интегрального уравнения (1.20).

Докажем единственность решения этого интегрального уравнения в классе непрерывных на (0, со) функций, допускающих оценку

< М0Г5_1е"г,

(1.26)

где 5 = v(l — /?у) < 1. Отметим, что функции, для которых выполнена оценка (1.25), входят в указанный класс в силу известного (см. [9, с. 134]) асимптотического поведения функции Миттаг-Леффлера для 0 < а < 2

Е (z} — — z^~Р)/°— У" „ -------- -------1- о (—-—) z G R z —* -4-оо

<r eXp^Z > Lí=1 rta-oj) z¡ + V|*|n+V' ztrt*z +ÜO-

Г(р-а])

Пусть Ь > 0, !: £ (0, £>], еп -* 0, п - достаточно большое натуральное число. Поскольку мы рассматриваем класс функций удовлетворяющий неравенству (1.26), то обозначим через

т = sup (t1 “є

О „-Hi І

— wT

ie[o.b]

Учитывая равенство (1.22), после очевидных преобразований будем иметь

= ¿М,Г(1

Следовательно,

\1*тю-м

Г(5)

L М,

і

/

(Г — s)* lse 1ела ds = LM21

Продолжая этот процесс, придем к неравенству

. t ^ 1кМ2Гк(1 - у)т

кГ*(1

+ 1

eW£ iis <

откуда, переходя к супремуму, получим

_ ¿*Мгк[*{1-|0Г(о)

т <--------т.---ттч---1

(1.27)

Множитель

ЬкМ2кГк(1-

является общим членом ряда, определяющего функцию Миттаг-Леффлера, поэтому он стремится к нулю. Стало быть из (1.27) получаем

т = sup (t1 ве nt|

откуда, в силу произвольности b > 0, следует W(t) = w(t) при Г > 0, что и завершает доказательство единственности. Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть выполнены условия 1 - 3 и а = /? < 1. Тогда задача (1.1),

(1.2) имеет единственное решение, для которого справедлива оценка

к

< М ta-1||u II + <*° Ml ta +

— 1 0 a

+L Мі м2]

[ta~y Е1уа у+1а М2\

Л-1

+

+ с0

у.а -у+21

м7

+ с0

м?

г1-п

Доказательство. Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 3, при этом для сведения к интегральному уравнению используется только теорема 2.

Замечание 2. Утверждение теоремы 4 справедливо и при а = р = 1. В этом случае условие 2(11) следует заменить следующим требованием: для любого х Е О функция 5(0* принадлежит С1( [0, Е).

Установим теперь теорему о непрерывной зависимости решения задачи (1), (2) от начальных условий.

Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 3 и пусть ип (О -последовательность решений задачи

Оаиг

), г > о,

КшЯ“ 4^,(0 = дг1 Е

t-rO

(1.28)

(129)

Если дп — и0 £ П(Л), Адп — Лиа, и В(Х)дп сходится к В(Ог*о равномерно по Г £ (О, Й] для любого Ь > О, то последовательность (0 решений задачи (1.28), (1.29) сходится к решению и(г) задачи (1.1), (1.2) равномерно по Г Е [С0, Ь] для любых 0 < £0 < Ь.

Доказательство. Рассмотрим последовательность I которая является решением задачи

= и,

Г(я)

,

оаи„

Аи„

+

г(я)

Г(сг)

ИшО“ 1и„

(-0

0.

(130)

(1.31)

В силу теорем 1 и 2 функция ип (О удовлетворяет интегральному уравнению

У» (О — 1тя

и» (0 = /0 /0 /г.Т

\ 5СГ“1 \

' Г(я; 4 ) Г{и)

, как и при доказательстве теоремы 3 получим

+

Г{«)

(1.32)

где удовлетворяет интегральному уравнению

И^СО = £ /” Л.у(г - 5)В(07>(0 (> («. ^„(5) +

Г(ст)

.)+£**•)

(1.33)

Пусть я, к достаточно большие натуральные числа, г > 0. Учитывая (1.33), как и при доказательстве неравенства (1.27), получим

щ г сел-;

і и2 П6М г і

Г(а)П.Я)

т

/о &

г{<?)

у>-1 5а-Ц

зир (г1 “е ге;о.ь]

о„-^г і

Се-

10-11

- 1К

II +

|| + 1 ||£(в)0„ - В^)дк II) сіє, || ) < М„т + £г М0< 1.

Следовательно, т < , и в силу полноты пространства Е последовательность

л-8 „-со!

Ж,

сходится равномерно по Г Є [0, £?] к непрерывной на

функции

(-і ое Таким образом, \/Уп(ґ) сходится равномерно по С Є [С0,Ь], 0 < Г0 < Ь

к функции \\ принадлежит нуле.

Из равенства (1.32) вытекает равномерная по С £ функции

, которая удовлетворяет неравенству (1.26), в силу условия 2(іі) 4), при этом ЛІУ(ґ) Є С((0, °а), £) и абсолютно интегрируема в

сходимость С/цСг) к

=/; г

Г{а)

-----Аип) сітсіє,

Г(я)

равномерно по

которая является решением задачи (1.30), (1.31). Наконец,

га-1

t Е [С0,Ь] сходится к функции ц(£) = !/(£) 4----------ц0, которая удовлетворяет задаче

Г(я)

(1.1), (1.2). Теорема доказана.

Замечание 3. Утверждение аналогичное утверждению теоремы 5 о непрерывной зависимости решения задачи (1.1), (1.2) от начальных условий справедливо и при и = /У < 1.

Отметим также работу [10], в которой теорема о возмущении линейным оператором 5(0 доказана для уравнения, содержащего дробную производную Капуто, в предположении что оператор А - генератор аналитической полугруппы и = .. Из этой же работы заимствован следующий пример.

Пример. Пусть Е = ¿2(^Г1) и, следовательно, условие 4 выполнено (см. [5, с. 20]). На множестве О(Л) = Щ2т (Ди) определим оператор А следующим образом

Г.*) =Х

|р| =2т

Яр(.ї)

где

р=2т а

Г+1МП

|5т

для

¿"»«(и)

1

любых х, £ Є (сильная

эллиптичность); коэффициенты а^Сл) при |р| = 2т удовлетворяют равномерному в Н" условию Гельдера. Оператор А, таким образом, удовлетворяет условию 1 при

У? = 1

Оператор В (і) определим на О = 1(Дт) => 0(>1) равенством

^ ^ ^ 1 _ч , г Vі ж. ^

2->\р\*2т-1 ар\ї>х) ¿хРі■■■дхРп ¿-‘\р\<2т-1 ^}p\J:^Xl,

д>>1 дРпи^.О

где П с й|!; коэффициенты ор(г,я;) при |р| < 2т — 1 и каждом г > О непрерывны, ограничены по х € J?n и удовлетворяют условию Гельдера с показателем к > а по £ равномерно по х Ей'1; коэффициенты bp(t,x, непрерывны,

^яТ! in I

/д" in \Ьр(*2.х.О- bpit^x.O

Оператор B(t) удовлетворяет условию 2 при некотором у Е (0/1).

Пусть оператор F(f,w) удовлетворяет условию 3. Тогда при

¡Mt: € '' -.R :, в силу теорем 3, 5 задача (1.1), (1.2) корректно поставлена и

однозначно разрешима.

Замечание 4. Доказанные утверждения содержат, в частности, результаты о корректной разрешимости задачи типа Коши для неоднородного уравнения

если функция A(t) удовлетворяет условиям теоремы 2.

Работа второго автора выполнена при поддержке РФФИ, проект № 06 - 08 - 96312

Список литературы

1. Костин В.А. К задаче Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными. ДАН СССР. 1992. Т. 326. № 4. С. 597 - 600.

2. Глушак А.В. О задаче типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной. Вестник ВГУ. Серия физика, математика. Воронеж. 2001. № 2. С. 74 - 77.

3. Глушак А.В., Поваляева Ю.В. О свойствах решений задачи типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной. Spectral and Evolution Problems. Simferopol. 2004. V. 14. P. 163 - 172.

4. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука. 1966.

5. Arendt W., Batty C., Hieber M., Neubrander F. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems. Basel. Boston. Berlin: Birkhäuser Verlag, 2001.

6. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир. 1967.

7. Глушак А.В. О задаче типа Коши для неоднородного абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной. Вестник ВГУ. Серия физика, математика. Воронеж. 2002. № 1. С. 121 - 123.

8. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука. 1981.

9. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука. 1966.

10. El-Borai M.M. Some probability densities and fundamental solutions of fractional evolution equations. Chaos. Solitons and Fractals. 2002. V. 14. P. 433 - 440.

ON A PETRURBATION OF AN ABSTRACT DIFFERENTIAL WITH RIEMANN-LIOUVILLE FRACTIONAL DERIVATIVES BY NONLINEAR OPERATOR

H.K. AWAD, A.V. GLUSHAK

Belgorod State University e-mail:[email protected]

Established that one-valued solvability of Cauchy problem for abstract differential equation contains fractional derivatives by perturbation equation with nonlinear operator.

Key words: equation of fractional order, one-valued solvability of Cauchy problem, subordinate operator.