Прямая и обратная задачи для абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробную производную Адамара и неограниченный оператор Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ АБСТРАКТНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩЕГО ДРОБНУЮ ПРОИЗВОДНУЮ АДАМАРА И НЕОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР

Т.А. Манаенкова

Белгородский государственный университет,

ул.Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: manaenkova taOmail.ru

Аннотация. В банаховом пространстве рассматриваются прямая и обратная задачи типа Коши с левосторонней дробной производной Адамара порядка а € (0,1). Устанавливается корректная разрешимость рассматриваемых задач с неограниченным оператором. Для обратной коэффициентной задачи указаны достаточные условия её однозначной разрешимости.

Ключевые слова: операторное уравнение, дробная производная Адамара, обратная ко-эффициенная задача.

Пусть X - банахово пространство, B - линейный, замкнутый, плотно определенный

оператор в X с областью определения D(B) и непустым резольвентным множеством. При

0 < а < 1 рассмотрим обратную коэффициентную задачу

AD?+ u(t) = Bu(t) + (ln t)k-1p, (1)

lim All-au(t) = u0, (2)

limA/f, u(t) = u1, (3)

t^e

где k > 0,

Щ / (ln j) U(S) ^

1

- левосторонний дробный интеграл Адамара порядка ß > 0 (при ß = 0 оператор A/f+ является единичным) (см. [1, с. 250], [2, с. 110]),

d

ÄDa1+u(t) =

- левосторонняя дробная производная Адамара порядка а £ (0,1), Г(-) - гамма-функция, uo, ui £ X.

Как следует из результатов работы [3], корректная постановка начальной задачи для уравнения

ADa+u(t) = Bu(t) + h(t), t > 1 (4)

при а € (0,1) и достаточно гладкой функции к(Ь) состоит в задании условия (2).

Определение 1. Решением задачи(1)-(3) называется пара (п(Ь),р), где п(Ь) € О(Б) непрерывная при Ь € (1, е] функция такая, что А/11+Тап(^) представляет собой непрерывно дифференцируемую приЬ € (1, е] функцию, р € X, наконец, п(Ь) ир удовлетворяют (1)-(3).

Определение 2. Задача (4), (2) называется равномерно корректной, если существует заданная на X, коммутирующая с Б операторная функция АТа(Ь) и числа М > 0, и € Я такие, что для любого п0 € О(Б) функция ЛТа(1)п0 является её единственным решением, и при этом

||ат«(ь)|| ^ м(1пг)а-1 г, ь> 1.

Замена независимой переменной Ь и неизвестной функции п(Ь)

Ь = ет, т > 0, п(Ь) = п (ет) = ь(т) (5)

переводит задачу (4), (2), однородную и неоднородную, в уже исследованные задачи для дифференциальных уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля

d

¿т

DoVM = зг^'М

где 1^,ау(т) = —-------г (т — s) а v(s) ds — левосторонний дробный интеграл Римана-

+ Г(1 - а) J

о

Лиувилля порядка 1 — а. Указанные замены переводят уравнение (4), начальное условие (2) в следующие соотношения

D0>(t) = Bv(t), т > 0, (6)

lim I^~-№v(t) = uo, (7)

r^0+ 0+

D0+v(t) = Bv(t) + h (eT), т > 0. (8)

Разрешимость задач (6), (7) и (8), (7) установлена в [3].

В работе [3] приводятся условия на оператор B и функцию h(t), обеспечивающие

корректную разрешимость задачи (8), (7), которые легко переносятся на задачу (4), (2). Эти условия в банаховом пространстве E, обладающем свойством Радона-Никодима (см. [4, с. 15]), формулируются в терминах оценки нормы производных резольвенты R (Аа) = (AaI — B) 1 (Аа - главная ветвь степенной функции), которая существует в точке Аа при Re А > ш. Упомянутые оценки имеют вид

dnR (Аа)

dAn

M Г(п + а)

<7——^---------г-^-, п =0,1,2,... 9

_ (Re А — ш)п+а w

T

и являются необходимым и достаточным условием равномерной корректности задачи

(4), (2).

В дальнейшем нам понадобятся следующие условия.

Условие 1. Оператор В таков, что задача (4), (2) равномерно корректна.

Условие 2. Выполнено одно из следующих требований:

a) к(і) Є С(1, ж), абсолютно интегрируема в окрестности точки і = 1, принимает значения в О (В), Вк(і) Є С (1, ж) и также абсолютно интегрируема в окрестности точки і = 1;

b) АІІ-аН(і) непрерывна при і > 1, непрерывно дифференцируема при і > 1 и АПаН(і) абсолютно интегрируема в окрестности точки і = 1 .

В случае неограниченного оператора В, удовлетворяющего условию 1, решение задачи (4), (2) при Н(і) = 0 имеет вид (см. [3])

а+іж

u(t) = ATa(t)u0 =---------aD}+° і Xа 4хR (А") щ сІХ, щ Є D(В), а > тах(0, и), (10)

2пі +

а в общем случае

t

u(t) = ATa(t)u0 + J ATa h(s) ds . l

При этом функция h(t) должна удовлетворять условию 2.

Установим далее необходимое условие единственности решения обратной задачи (1)-(3) с неограниченным оператором B.

Теорема 1. Пусть B - линейный замкнутый оператор в E. Предположим, что обратная задача (1)-(3) имеет решение (u(t),p). Для того, чтобы это решение было единственным, необходимо, чтобы ни один нуль целой функции Ea,k+a+@ (z) не являлся собственным значением оператора B.

□ Предположим противное, пусть некоторый нуль ^n из счетного множества нулей функции Ea,k+a+e(z) является собственным значением оператора B с собственным вектором hn = 0.

Введем в рассмотрение функцию w(t) = ^(t)hn и подберем скалярную функцию ф^) так, чтобы функция w(t) удовлетворяла уравнению (1) при p = hn и нулевому начальному условию (2). Легко проверить, что функция ф(1) должна быть решением следующей задачи Коши

AD^+^(t) = ^(t) + (in t)k- 1, (ii)

о—гоо

lim Al1-a^(t) = 0. (12)

Задача (11), (12) имеет единственное решение (см. [5]), которое представимо в виде

t а_ і а фЦ) = J Еа,а (ßn ^ (lns)fc_1ds.

1

Поскольку ßn - нуль функции Ea,k+a+ß (z), то получаем

lim AIß+ ф(г) = r(k)Ea,k+a+ß (ßn) = 0.

t^e

Таким образом, функция w(t) = ф(ї)кп удовлетворяет уравнению (1) при p = hn и нулевым условиям (2) и (3), что противоречит предположению единственности решения, поскольку пара (u(t) + w(t),p + hn) также является решением задачи (1)-(3). I

Для установления однозначной разрешимости задачи (1)-(3) с неограниченным оператором B, удовлетворяющим условию 1, сведем эту задачу, учитывая (10), к операторному уравнению

Gp = q, (13)

где

t

Gp = limA/f+ J(ln s)k~lATa p ds = limAIk^ßATa(t)p, G : E -> E, (14)

і

1

q = ЩЛ (Ul - limA/f+ATa(i)M°) , q Є D{B). (15)

А уР Аг

ТЛ/1 \ \и 1 — 11111

Г(к) V

Таким образом, однозначная разрешимость задачи (1)-(3) сводится к задаче о существовании у ограниченного оператора G, заданного соотношением (14), обратного оператора, определенного на некотором подмножестве банахова пространства Е. Для выяснения последнего факта мы получим более удобное для исследований представление оператора с помощью резольвенты К (Xа) = (XаІ — В) 1, сузив при этом область определения оператора G до плотного в Е множества О (В).

Теорема 2. Пусть оператор В удовлетворяет условию 1. Тогда для любого р Є О (В) справедливо представление

а+іж

Ср=[ za~1Ehk+a+|3(z)R(za)p dz, (16)

а—гоо

□ Пусть вначале р Е О (В2) и, стало быть, р = Д2(Л)р0, р0 Е Е, где Л € р(В), р(В)

- резольвентное множество оператора В, И,е Л > а > ш. Тогда из (14), (10), используя полугрупповое свойство дробного интегрирования и тождество Гильберта, после интегрирования по частям получим

о+г<^

1 Г г*

сР = |ш%+«в|Гй у ф;Щ?)В>(Х)р,<Ь =

0 — 100

о+г<^

5™ Л1*+3+а~1^Ь1 / ^-ях~а)й2(.х)ро^ 0 — 100

1 п. д г Л г\к+а+в—1 ¿8

пт / т - — х

Г(к + а + в) Г——е дг у \ 8 у 8

о+г<^

1 [ а-1 * / Д (^“) Р0 Д2(Л)ро Д(Л)рс

Х 2тгг У ~ 5 1(А-л«)2 Л-с" (Х-га)2) ^

о—гж

1п Г о+г^

= , 1 ,лип4 [ ^мтщо ^ (17)

Г(А: + а +/3) сЫ ] 2тг1 ] z1 ~а(\-га)

0 о—гж

при этом интегралы по прямой И,е г = а от функций вида

za-1 ехр(г/у) И? (\)ро .

(А-л«)3^' ’

обратились в нуль в силу леммы Жордана.

Последний интеграл абсолютно сходится. Поэтому, изменив порядок интегрирования и воспользовавшись равенством 1.17 [6]

*

^1Еи1+1^) = ^ - зУ4-1 (¿5, > О , (18)

0

из (17) выводим представление

о+г^

д 1 [ (1п г)к+а+в Д (га) р0

Ср = 11111 ¿ —-—: -5- £л д.+а+1з+1(с1п^)с?с =

1 г—е дг 2ш } г1—а (Л - га)2 1,к+а+в+п ;

о—гж

о+г^

1 Г (1п г)к+а+в—1 д (га) ро ^ . 1 . ,

= 1пп-—: / ----------------5----- Ех к+а+1зЬ1п1)(1г =

^е2т } л1-«(Л--)2 ^+“+^ '

ог

o+itt

1 [ Ei,k+a+e (z)R (Za) Р0

2ni J z1-a (A - za)2

a—ioo

dz

O+itt

1 f Ehk+a+l3{z)R (za) ((A - za) I + (zaI -B)){\I-B)p =

2ni J z1-a (A - za)

oi

2

o+itt

1 Г ^k+a+^z) peD(B2) . (19)

2ni J z1-a (A - za) v 7 v ' v ’ K 1

oi

Если обозначить р1 = (Л1 — А)р, то р1 € О(В) и р = Д(Л)р1. Поэтому равенство (19) примет вид

о+гж

СД(Л)Р1 = ^7 / ^|Г-(ДД(")Р1 ^ Р‘ев<в)- <2°)

о—гж

Левая и правая части равенства (20) представляют собою ограниченные операторы, которые совпадают на О(В). В силу плотности О(В) в Е, равенство (20) справедливо при всех р1 Е Е. Но тогда р = Д(Л)р1 Е О (В) и для таких р справедливо представление

о+гж

&Р=Ь I Я «АВ)) Р<Ь =

о—гж

о+гж

= [ г""1#!,&+<*+/?(-)# (-") Р сЬ . ■

Переходим теперь к установлению достаточных условий однозначной разрешимости задачи (1)-(3). Как следует из теоремы 1, нам придется потребовать, чтобы ни один нуль дn функции Ea,k+a+e(z) не являлся собственным значением оператора B. Более того, для установления разрешимости потребуем, чтобы все нули принадлежали резольвентному множеству p(B). Учитывая их асимптотику

/ п i \ а

д,1/" = 2тт% + (к + /3 - 1) In 27г|/г| + — sign ??, ] + In ———— + о(1), /?. —> ±оо , (21)

V 2 / Г(к +в)

отметим, что при к + в > 1 условие будет налагаться лишь на конечное число нулей дп, n = 1, 2,...,n0 с Re ^n/a < а, поскольку остальные автоматически принадлежат p(B). В случае к + в < 1 нулей с Re ^l/a < а будет счетное множество.

oi

Теорема 3. Пусть оператор В удовлетворяет условию 1, к + в > 1, а > ш и и0, и1 Е О (В3). Если каждый нуль ^п, п = 1, 2, ...,п0 функции Еа,к+а+в(г) с И,е ^Ца < а принадлежит р(В), то задача (1)-(3) имеет единственное решение.

□ Существование единственного решения задачи (1)-(3) (или операторного уравнения (13)) сводится к доказательству существования обратного у ограниченного оператора О, определяемого равенством (14) (или (16)). При и0, и1 Е О (В3), в силу инвариантности О(В) относительно АТа(Ф), правая часть уравнения (13) д принадлежит О (В3). Покажем, что оператор О имеет обратный оператор О—1 : О (В3) ^ Е.

Поскольку каждый нуль ^Ща функции Еа,к+а+в (га) с И,е ^Ща < а принадлежит р(В), то он принадлежит р(В) вместе с некоторой круговой окрестностью Пп. Пусть Г - контур на комплексной плоскости, состоящий из прямой И,е г = а > ш и границ 7п круговых окрестностей Пп, т.е.

Г = {Ие г = а} У 'Уп.

Ке <о

Возьмем Л Е р(В), И,е Л > а > ш и рассмотрим ограниченный оператор

„ а [ га—1Д (га) д дг „ ^ ^ . .

Та =—:/ --------------Т :Е^Е. 22

2т1"1 7 Еа^.+а+1з (л") (л" — Л)

Отметим, что интеграл в (22) абсолютно сходится в силу выбора контура Г, оценки (9), асимптотики (21) и известного (см. [6, с. 134]) асимптотического поведения функции Миттаг-Леффлера при 0 < а < 2 и |г| ^ ж

Яа,/х(~) = -~(1_м)/"ехр (с1/")-а

п — ^ { 1

I] а]) + 0 (]ТрГ) 1 |аг§л|<//тг, //€ (а/2,тт{1,а}), (23)

,.=1-^ \ I г | п+1

п 1 / 1 \

В“-(-*) = -Ег(,1-од)^+0(№п)' ^2|аг8,|<^ (24)

Пусть д Е О(В), а < а1 < И,е Л. Тогда, подставляя (16) в (22) и применяя тождество Гильберта, получим

ох+гж

а [ га—1Д (га) дг 1

ГСд= — --------Г) 5 <*£

2п^ Еа,к+а+в (га)(га — Л)3 2п ]

Г ох—гж

о\ +гж

а [ [ ~"“1Г'“1£и-+«+Ж) Д (-") д - я (£")_? ^5)

(2пг)Ч ) Еа,к+а+в (га) (га — Л)3 £а — га

Г о1 — гж

Интеграл в (25) абсолютно сходится, поэтому меняя порядок интегрирования, будем иметь

ох+гж

тс = д [ ;а-1Е{га)д(1г Г £°-1-Еи+а+/?(£) ^ _

9 (27тг)2 J Еа^к+а+1з (л°) (л° — Л)3 У £"-2"

Г о1 — гж

ох+ж

а Г Г га—1 дг

' ~ —-• (26)

(2пг)2 ] * —Р- ^ , и Еа,к+а+в (**)(*> _ X)3 (^ — **)

Внутренний интеграл (после замены ц = га) во втором слагаемом (26) равен нулю в силу выбора контура Г и леммы Жордана. А для вычисления интегралов в первом слагаемом, используем равенство (18), формулу (см. [1, с. 33])

х+ ж

ра,— I ^а

£■

ехр(-і£)£„д (¿"л") СІЇ =

^а £а ,

равенство ІиЕа1 (іага) = і^Еа ^+1 (іага) (и > 0) и лемму Жордана. Таким образом, для

д Є О (В), справедливо равенство

YGg

02 +ІЖ

а ( г°-1Е{га)д (1г Ит/*-+«+Д-1 [ С"1 ехр(^)

(2™)2 У Еа,к+а+в (**) (£а _ X)3 ^ і Є _ £а

Г 02- г<Ж

= Л / Нт/‘'+«+^1В„д (*•>;«) =

27гг 7 £,0д.+а,+/з (л") (л" — Л) і_>1

а Г л" 1К{2а)д сЬ 1 Г Я(і])д сії] ‘2ттг ] (-« - Л)3 27гг У (?у - Л)3

К3(Х)д

Г (Г)а

где (Г)а - контур, полученный из контура Г после замены ц = га: г Є Г, ц Є (Г)а.

Коммутирующие операторы Т, G, К(Х) ограничены и область определения О(В) плотна в Е, поэтому равенство YGq = К3(Х)д справедливо и для д Є Е, YG : Е ^ О (В3). Отсюда следует, что оператор G-1g = (XI _ B)3Yg при д Є О (В3) является обратным по отношению к G. Действительно,

GG-1g = G(XI _ B)3Yg = К3(Х)(ХІ _ В)3д = д, д Є О (В3) ,

G-1Gg = (XI _ B)3YGg = д, д Є Е.

Что касается решения задачи (1)-(3), то принадлежащий Е элемент р имеет вид р = (Л/ — В)3Тд, где элемент д € О (В3) определяется равенством (15), оператор Т -равенством (22), Л € р(В), Ив Л > а > ш, а для функции п(Ь) справедливо представление

£

u(t) = ATa(t)uo + AT

a \ -)р ds.

В случае к + в < 1 у функции Еа,к+а+в(%) нулей ^п с Ив ^Ща < а будет счетное множество, поэтому мы потребуем выполнения следующего условия.

Условие 3. Каждый нуль ^п, п € % \ {0} функции Еа^+а+в(%) с к1Ша < а принадлежит р(В) и существуют е € [0,1) и й > 0 такие, что

Я(^п)

sup

Re ^r/a<o

К,

< d.

Теорема 4. Пусть выполнены условия 1 и 3, к + в < 1 и и0, и Є В (В3). Тогда задача (1)-(3) имеет единственное решение.

□ Также как и в теореме 3, введем в рассмотрение оператор Т, определяемый равенством (22). В рассматриваемом случае контур Г содержит уже счётное множество окружностей 7„, и для доказательства абсолютной сходимости интеграла в равенстве (22) рассмотрим интеграл по окружностям 7„, где п достаточно большие (|п| > По). Пусть (уп)а

- контур, получаемый из уп после замены £ = га: г Є уп, £ Є ('Уп)а. Тогда

а Г га~1К(га)д dz 1 Г ЩОя ^

У Еа<к+а+13 (л°) (с" - Л)3 2т У Еа<к+а+/3(£)(£ - Л)3

ЦІТп и(7п)0

= ^ ________Д (^п) Q__________ ^27)

n=-<^,|n|>no ,fc+«+e (^n) ^n)

при этом, поскольку (см. [6, формула (1.5) на с. 118])

Еа,к+а+/3 (f^n) ~ (Еа,к+а+/3—1 (Нп) ~ (к + Q! + /3 — 1)Ea^.+a+l3 (Нп)) i

a^n

то, учитывая асимптотику (23) функции Миттаг-Леффлера и асимптотику (21), получим

^(2 к ¡3)/а !(2n|n|)fc+e 1 exp (i Im цЦа

1

Ea,k+a+p Ы I r(A: + /3) r(A: + [3 _ ^

(к + а + ß - 1 )ßn к ß)/a 1 (27г|7г |)А'+/3 1 exp (г Im ßh/a^ к + а + ß - I f 1

2 n |

Г(к + в) Г(к + в )цп \|^га|

Таким образом,

Е' (и ) - 1 (— Ь 1Ш ^ ‘С ( 1 II (28)

Ы Г(* + « у27г|п|у + I • ( >

В силу равенства (28), условия 3 и асимптотики (21) ряд (27), а, следовательно и интеграл по У 7„, абсолютно сходятся.

Сходимость же в равенстве (22) интеграла по прямой И,ег = а, очевидно, следует из неравенства Хилле-Иосиды и асимптотики (24).

Дальнейшее доказательство аналогично доказательству теоремы 3, мы его опускаем и доказательство теоремы 4 тем самым завершено. В

Заметим, что в работе [5] рассмотрен случай, когда оператор В является генератором экспоненциально ограниченной Со-полугруппы. В этом случае решение задачи (4), (2) и оператор О имеют другой вид, но условия однозначной разрешимости обратной коэффициентной задачи (1)-(3) остаются прежними.

Рассмотрим обратную коэффициентную задачу с регуляризованной дробной производной Адамара порядка а £ (0,1)

Ada+u(t) = ÄDaa+ (u(t) - и(а)) = ÄDaa+u(t) - ( ln

Г(1 - a)

вида

Aß<a+u(t) = Bu(t) + (ln t)k-1p , (29)

u(1) = uo, (30)

limA/f,u(t) = ui. (31)

t^e

Учитывая формулу связи между решениями прямых задач с регуляризованной и нере-гуляризованной дробными производными Адамара (см. [5])

ASa (a exp t) u0 = Ii-aATa (a exp t) u0 ,

запишем решение прямой задачи (29), (30) в виде

t

u(t) = ASa(t)u0 + J ATa h(s) ds ,

l

где

а+гж

л8а(1)и0 =----- А"-1£ЛД (Л") и,0 ¿А, щ € Б (В), а > тах(0, и) ,

2т ]

а-гж

при этом функция к(Ь) должна удовлетворять условию 2.

Поскольку влияние неоднородности в случае регуляризованной дробной производной Адамара определяется тем же выражением, что и в случае нерегуляризованной дробной производной Адамара, то условия однозначной разрешимости обратной коэффициентной задачи (29)-(31) при к > 1 будут таким как и в теоремах 3 и 4.

Литература

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. - Мн.: Наука и техника, 1987.

2. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differential equations. Math. Studies. V.204 / A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo. - Elsevier, 2006.

3. Глушак А.В. О задаче типа Коши для неоднородного абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной // Вестник ВГУ. Серия: Физика, математика. - Воронеж, 2002. - 1. - С. 121-123.

4. Arendt W., Batty C., Hieber M., Neubrander F. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems / W. Arendt, C. Batty, M. Hieber, F. Neubrander. - Berlin: Birkhauser Verlag, 2001.

5. Глушак А.В., Манаенкова Т.А. Абстрактные дифференциальные уравнения с дробными производными Адамара // АМАН, 2009.

6. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М.М. Джрбашян. - М.: Наука, 1966.

DIRECT AND INVERSE PROBLEMS FOR THE ABSTRACT DIFFERENTIAL EQUATION THAT CONTAINS HADAMAR FRACTIONAL DERIVATIVE AND UNBOUNDED OPERATOR

T.A. Manaenkova Belgorod State University,

Pobedy str., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: manaenkova taOmail.ru

Abstract. Direct and inverse Cauchy type problems with Hadamar fractional derivative of order a € (0,1) in the Banach space is considered. It is proved the well-posed solvability of given problems with the unbounded operator. Sufficient conditions of the unique solvability are specified for the inverse problem.

Key words: operator equation, Hadamar fractional derivative, inverse coefficient problem.