О возможной скорости роста нормированных собственных функций задачи Т. Редже в случае суммируемых и непрерывных весовых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.43

о возможной скорости роста нормированных собственных функций задачи т. редже в случае суммируемых и непрерывных весовых функций

© 2010 г. Г.А. Айгунов, Карван Х. Жвамер

Дагестанский государственный университет, ул. Гаджиева, 43а, г. Махачкала, Республика Дагестан, 367000, [email protected]

Dagestan State University, Gadjiev St., 43a, Makhachkala, Republic Dagestan, 367000, [email protected]

Изучено асимптотическое поведение собственных функций одной краевой задачи в случае суммируемой и непрерывной весовых функций и достижимости верхних оценок.

Ключевые слова: спектральный параметр, собственное число, собственная функция, оценка собственной функции, весовая функция, метрика, нормировка, непрерывная зависимость, асимптотика спектра.

Given work is dedicated to study of the asymptotic behaviour eigenfunction one marginal problem in the event of .summing and unceasing weight functions and reachability upper estimation.

Keywords: spectral parameter, eigennumber, eigenfunction, estimation of eigenfunction, weight function, metrics, rating, unceasing dependency, spectrum asymptotic.

Пусть 0 < а <ж, 0 < т < М <ж - фиксированные числа; Ь+ [0 а] - совокупность всех суммируемых на

сегменте [0, а] функций р(х), удовлетворяющих условию т < р(х) < М. На множестве 1+

\р(x)y(x)\ dx I = 1

(3)

введем

обычную Ьх - метрику. В дальнейшем такие функции будем называть весовыми.

Рассмотрим спектральную задачу (р(х) е Ь+ [0; а], ц(х) е Ь+ [0; а]),

- у" (х) + д(х)у(х) = ЛЛр(х)у(х) (0 < х < а), (1) у(0) = 0, у (а) - Лу(а) = 0 , (2)

где Л - спектральный параметр.

Она впервые (в случае р(х) = 1) была рассмотрена Т. Редже [1], который показал, что система собственных функций задачи (1), (2) полна, и изучил асимптотику собственных значений этой задачи. В случае уравнения 2п -го порядка и р(х) = 1 аналогичная задача рассмотрена в [2, 3].

Для р(х) Ф1 задача (1)-(3) в случае гладких коэффициентов изучена в [4], где установлено, что при р(а) = 1 (нерегулярный случай) 1т(Лп) собственных чисел и собственные функции уп (х) задачи не ограни-

1

а

0

чены

равномерно lim|lm(An )=■», lim||yn (х)|[

[0,a]

Если р(а) Ф1 (регулярный случай), то и мнимые части собственных чисел 1ш(Яи), и собственные функции yn (x) равномерно по n е N ограничены (|Im(^n)| < const, \\Уп (x)|| о < const).

В рассматриваемом нами случае суммируемых или непрерывных весовых функций задача не изучена в достаточной степени и неизвестно, для каких весовых функций |1т(2и )| < const < ж для всех n е N.

В дальнейшем, если |1т(Яи)| < const для i = 1,2,..., то подпоследовательность j собственных чисел

назовем регулярной; если

liir_Im (а

Л,-) = - нерегу-

Ьп (4\с

[0,a]

0 <s < р0 (a) — 1 - произвольные фиксированные; r£ - множество весовых функций р(х), удовлетворяющих соотношению ||р(х) — р0 (x)|| < £ . Тогда

существует константа C = C£) > 0 и номер n0 = n0 (a0, £) е N такие, что для любого n > n0 существует кусочно-гладкая pn (x) е r£ такая, что р(x) = р0 (x), если x < a0 и справедливо неравенство

max У (x,p)|

xe[0,a]

,|1/2

> C, причем С не зависит от q, a0

лярной.

В [5, 6] установлено, что в случае гладких коэффициентов любая подпоследовательность собственных чисел регулярна, если р(а) Ф1, и нерегулярна, если р(а) = 1. В случае негладких коэффициентов вводим понятие регулярного и нерегулярного весов, используя соотношения |lm(2n )| < const для всех

n е N и limjlm| = ж соответственно, так как для

суммируемых весов нельзя полагать р(а) = 1 или р(а) Ф 1.

Для гладких коэффициентов в регулярном случае < const равномерно для всех n е N, в

К (р

р0 (х), а п0 не зависит от д и р0 (х).

Следствие. Если функция р0 (х) непрерывна, то существуют непрерывные весовые функции рп (х), удовлетворяющие условиям леммы и равенству Рп (а) = Ро(а) .

Действительно, рассмотрим р(х), удовлетворяющую всем условиям леммы для некоторого е , достаточно близкого к е и удовлетворяющего неравенствам 0 <е <е . По теореме о непрерывной зависимости собственных значений от весовой функции [10]

тах| Уп (х,р)| ^

■ > С(е), если

найдем 8 > 0 такое, что ||р(х) -р(х)\\

xe[0,a]

.1/2

L1[0,a]

An (Р)Г

<8 . В качестве р(х) можно взять

если

нерегулярном - lim||yn(x)|| =ж [4]. Поэтому

n^x" C[0,a]

встает вопрос о возможности роста С-норм собственных функций на регулярных подпоследовательностях

(|lm(2n.)| < const) для каких-либо более широких

классов весовых функций. Кроме того, интересно определить скорость этого роста (мы сравниваем

||yn. (x)||c, C ■ |, как и в случае задачи Штурма-

Лиувилля [7, 8]).

Этому кругу вопросов посвящена данная работа, где для классов суммируемых и непрерывных весовых функций устанавливается степень максимальной

I 11/2

скорости роста \Л„ .

Пусть Ап (р), yn (x,p) - собственные числа и собственные функции задачи (1) - (3), соответствующие p(x), m е N, 0 = x0 < ...< xm = a. Функцию p0(x) назовем кусочно-гладкой на [0, a], если р0 (x) имеет ограниченные производные любого порядка на (x, x+1), i = 0,...m—1.

Для доказательства «достижимости» верхних оценок в случае суммируемой весовой функции воспользуемся леммой, доказанной в [9].

Лемма. Цустъ q(x) = q е L+0,a], P0(x) е L+0,a] -кусочно-гладкая; р0 (a) Ф 1, 0 < a0 < a и

любую непрерывную весовую функцию, удовлетворяющую соотношениям р(а) = р0 (а), р(х) = р0 (х),

х < а0 и ||р(х) - р(х)||^ < шш(£, е — е) . Теор ема 1. Для любой д(х) = д е ¿[оа] сущест-

л Уп и1 С [

вует р(х) е L[0,a] такая, что lim ■

An И

-[0,a] 1/2

> 0.

Доказательство. Будем строить весовую функцию, на которой достигаются верхние оценки как

предел некоторых весовых функций р0 (x), р (x),...,

р,(x)

Пусть задана функция q(x) = q = const. В качестве р0^) возьмем некоторую константу р0(x) = р0, удовлетворяющую неравенствам m <р0 < M и

р0Ф 1, в качестве е - min

M-р0 1р0 -1 Р0 -'

2

2

2

При таком выборе е выполнены неравенства 1 < р0 —£<р0 + £< M, если р0 > 1, m <р0 —£< <р0 + £ < 1, если р0 < 1.

Поэтому гладкие весовые функции р^), удовлетворяющие неравенствам р0 —£< р(ж) < р0 + £ ассоциируются с регулярной краевой задачей (соответствуют регулярному случаю задачи Редже). Пусть а0 = а/2. Используя выбранные значения, по лемме

найдем C(£) и номер n0, выберем некоторое n > n0 и построим соответствующую функцию р (x).

= да.

Определим теперь число е1 > 0 так, чтобы выпол-

max |y( х,рЛ -е-

xe[0,a] 1 1 _

" 2

нялось неравенство

(VP ) + е )

/2

1 С > —, что

неравенства ек+1 < ek ,

ma^ y (X, рк+1) -ек+1 xe[0,a] j С

~ > ~2 ;

Кп, (Рк+1 )

+ е

к+

возможно при малых ех, так как по построению

р1(x) справедливо неравенство

max \Ущ (x, Р1)

xe[0,a] 1

К (Р1)

11 / 2

> С.

у = 1,2,...к +1, что имеет место при достаточно малых ек+х, так как левые части данных неравенств - непрерывные функции от ек+!, а при ек+1 = 0 получим

По р1(x), n1 и е1, используя [10], найдем 81 > 0,

верные неравенства

max

xe[ü,a]

Уп (X, Рк+1)

Кп j (Рк+1 )

1/2

>

С 2

для которого имеет место (р) - Л (р)| + что следует при у = к +1 из неравенства

¡У,(X,р) - Уi(X,Р!^ <е1 для всех весовых функ- x^lcujУпк+1 (xРк+1)1

ций р(х)

||р(X) -Р1(x)||J

1[0,a]

выбора числа

maX |Уп1(Х,Р)|

xe[0,aJ 1_[

Г/2

С

Пусть a1 = max

a + a.

0

a - -

го соотношениям

Р(х)-Рк(x)|<2е, р(х) = Рк(x), x < ak

имеют место соотношения

max

xe[0,a]

Уп^ (X, Р)

К (Р)

_ С

1/2 >

, a + як-] 8к j = \,2,...k, = max| —-—, a|, пк > maxJ<knJ .

к+1 •

неравенство

max

xe[0, a]

Упк+1 (x, Рк +1)|

К

И / 2

> С.

-Пк+1(Рк +1)|

Определим число е1+1 > 0 так, чтобы выполнялись

> С (верно по лемме), а при j < к

удовлетворяющих неравенству < 81. Для всех таких р^) в силу

Рк+1 =Рj (x) при x < aj и рк+1 (x) -Рj (x)| < 2е . По-

справедливо неравенство

этому получим

max

xe[0,a]

Уп f (X, Рк+1)

К,. (Рк+1)

1/2

С

> —, что следует из

По заданным

2 3е,

д(х), р (х), а1 и е по лемме найдем число С(е) и номер п0 (число С = С(е) остается прежним). Выберем п2 > тах(п0,п1) и построим соответствующую функцию р2 (х) .

Совершенно аналогично на к -м шаге получим функцию рк (х), числа ек > 0, дк > 0, ак е (0, а) , пк е N такие, что для любого р(х), удовлетворяюще-

выбора числа а у.

По рк+1(х), пк+1 и ек, используя [10], найдем 8к +1 > 0 такое, что

пк+1

<е

к+1

S \ К (р)- К (Рк+1 ^+у, (x, р) - у, (x Рк+1 щСг„,

i=1 1 С[0,"]

для всех р(x), удовлетворяющих неравенству

ЦрС^ -Рk+\(x)|h[0 a] <&к+1. И в качестве %+1 возь-

a + aь. &, 1 мем maxi-—, a - к 1

2

3е

Для всех таких р( x) выполнены неравенства

Чтобы для любого к по индукции определить функции рк (х) и числа ек , 8к, ак, пк , необходимо

получить из этого набора следующий набор: рк+1( х), ек+1 , 8к+1 , ак+1 и п

По имеющимся д(х), рк (х), ак, е по лемме найдем число С(е) (неизменное, так как е неизменно) и номер п0. Выберем пк+1 > тах(п0,пк) произвольно и построим соответствующую функцию рк+1 (х). Для рк+1 (х) по лемме справедливо

Лпу (р)-Лпу (рк+1) <ек+1 и \\Уп1 (х. р) - Уп1 (х. рк 1 <ек+1 ,

■1-1 II у у С[0,а]

у = 1,2,...к + 1.

В частности, эти соотношения имеют место для р(х) , если р(х) ф рк+1 (х) при х < ак+1 и

|р(х) -рк+1(х) < 2е .

а

Действительно, Цр(х) - рк(х) =

0

а к+1 а = Х|р(х) - рк+1(х)Vх + Х|р(х) - рк+1(х)рх =

0 а к +1 а а

= \\р( х) -рк+1( х) < 12ерх = 2е(а - ак+1) <

ак+1 а к+1 ^к+1 2

< 2е-= —8к<8к+!. Поэтому соотношения

3е 3

верны [10, следствие 1].

Таким образом, по индукции построим последовательности функций {рк (х)} и чисел {пк }, {ек }, 8к } и {ак}. При этом пк ^"Х при к (в силу выбора пк+1 > пк), ек+1 > ек для любого к ак+1 > ак для любого к и ак ^ а при к ^ х (в силу выбора

+

е

2

ak+1 > ■

a + a

2

—). Определим функцию p(x) следую-р0, если x < a0 или x = a,

щим образом: р(х) = ,

I р, если а^ < х < ак, к е N.

Покажем, что на р(х) достигаются верхние оценки, а именно для любого к е N справедливо неравен-

ство

max y

xe[Ü,a] к

(x, p)

K

il/2

C > —. 2

ная весовая

Л Уп ( ^ р)|| с

функция p(x).

такая,

lim

п—ы

[Ü,a]

а

K (р)|

1/2

> Ü .

max к 1(x, Pl)|

xe[Ü,a] 1 1

|1/2

> C(s).

||p(x) P2 (x)||¿1[ü,a] <^2 ,

C(ё, )

max

xe[Ü,a]

Уп, (X, P)

К, (P)

1/2

2

выполнены неравенства

где j = 1,2 (в частности, эти

неравенства имеют место и для непрерывных весовых функций, совпадающих с р^х) на [о, а1 ], р2(х) на [ах, а2 ] и удовлетворяющих равенству р(а) = р0 и

p)|

Так как по построению pm+1(x) = pm (x) при x < am, а p(x) по определению равна pm (x) при

x e (am1 am ] и pm+1 (x) при x e (am , am+1] , то

p(x) =pm+1(x) для всех x e (am_1, am+1]. Продолжая эти суждения, получим, что p( x) = pm+1 (x) для всех x e [Ü, am+1]. Так как m - произвольно, то p(x) = pk (x), если x < ak. Кроме того, очевидно, что |p(x) _ p (x)| < 2s . Из этих соотношений по выбору

числа ak следует требуемое неравенство.

Рассмотрим класс весовых функций p(x), непрерывных на [Ü, a]. Пусть также q(x) = q > Ü. Оказывается, что в этом случае справедлива

Теорема 2. Для любой последовательности {ак |ак >ак+1 > Ü, lim ак = Ü} существует непрерыв-

к—ы

неравенству ||p(x) _ p2 (x)||

<¿2).

11л1[0,а^ ~ 2)

По индукции (по аналогии со случаем суммируемой «нагоночной» функции), выбирая на каждом шаге свое значение е=ек и определяя ек так, чтобы выполнялись неравенства е < е

что

max

xe[Ü,a]

Уп, (X, pк )

K (p—)

1/2

'к _1, с(ё,)

>—-—, где j = 1,2,...——, полу-

p( x) =

то получим не-

Доказательство. Определим р0 (х) = р0 , е>0 и а0 точно так же, как это сделано при построении суммируемой «нагоночной» функции. Используя выбранные значения, по следствию леммы найдем число С(е), номер п0, выберем некоторое щ > п0 и построим непрерывную функцию р1(х) . Определим число С(е), удовлетворяющее неравенству

I ¿п 1(р1)|

Найдем числа е1, д1 и а1 точно так же, как и в случае суммируемой, «нагоночной» функции, введем обозначение =е . Для определенности будем считать, что ак < 1 для всех к (так как ак ^ 0 при к ^ да, то все ак < 1, начиная с некоторого к ф к0). Возьмем некоторую монотонно стремящуюся к нулю последовательность = ё,ё2,...ёk,... По заданным д(х) = д , р(х), е =ё2 и а1 по следствию леммы определим С(е2) и п0(е2). Выбрав п2 > тах(п0(е2),п1), построим соответствующую р2 (х) . По аналогии со случаем суммируемой «наго-ночной» функции определим числа е2, 82 и а2. Для всех р(х), удовлетворяющих неравенству

чим последовательности функций {pk (x)} и чисел {п—}, {s—}, №} и {a—}. При этом п— — ы при к —^ ы, sk+1 < sk для любого к , ak+1 < ak для любого к и ak — a при к —ы .

Если определить функцию p(x) по условию: p, если x < a0 или x = a, I p— , если ak_1 < x < ak, к e N, прерывную функцию.

Действительно, построение p— (x) по следствию леммы обеспечивает непрерывность p (x), а так как (как в случае суммируемой весовой функции) p(x) = p (x) для всех x e[ü, ak ], то из условия lim ak = a следует, что p(x) непрерывна на [Ü, a).

к—ы

По построению p— (x) имеет место неравенство

|p— (x) _ p01 <ёк, если x e [ak_1, a], поэтому |p(x)_p0| <ёк , если xe[ak_1,ak], следовательно, lim|p(x) _p0| = lim ёк = Ü, что дает p(a) = p0 . Тем

x—a к—ы

самым p(x) - непрерывная функция.

Так как |pk (x) _ p(x)| < ёк, если x e [a^, a], то по построению pk (x) и выбору чисел a, справедливы

неравенства

maxl упк (x, p)\ с{ёк)

xe[Ü,a]!

I |1/2

К (p)|

> ■

2

Определим последовательность {ек}, удовлетворяющую условиям ак • С(е) < С(ек) , что возможно для произвольной неубывающей положительной функции С(е).

Получим неравенства

maxlУпк (x,

xe[Ü,a] к 1

п к

(p)|

1/2

>

>

С(е) апкС(е)

2

2

или

max |Упк (x Р)|

xe[0,af к_[

I _ |1/2

апк ]КПк (Р)|

С (е) 2

> 0,

что равносильно утверждению теоремы 2.

Авторы приносят благодарность рецензенту за ценные замечания.

Литература

1. Редже Т. Аналитические свойства матрицы рассеяния // Математика. 1963. Вып. 7, № 4. С. 83-89.

2. Гехтман М.М. О некоторых аналитических свойствах ядра резольвенты обыкновенного дифференциального оператора четного порядка на римановой поверхности // Докл. АН СССР. 1971. Т. 201, № 5. С. 1025 - 1028.

3. Айгунов Г.А. Об одной краевой задаче, порождаемой несамосопряженным дифференциальным оператором 2и-го порядка на полуоси // Докл. АН СССР. 1973. Т. 213, № 5. С. 1001-1004.

4. Айгунов Г.А., Гаджиева Т.Ю. Оценка нормированных собственных функций задачи Т. Редже в случае гладких коэффициентов // ФДУ и их приложения. Махачкала, 2009. С. 18-26.

5. Айгунов Г.А. О разложении в ряд по собственным функциям одной не самосопряженной задачи, порождаемой

дифференциальным оператором 2и-го порядка на всей оси // Функциональный анализ, теория функций и их приложения. Махачкала, 1974. Вып. 1. С. 36 - 42.

6. Айгунов Г.А., Гаджиева Т.Ю. Изучение асимптотики собственных значений одной регулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 2и-го порядка на полуоси // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. № 5. С. 14-19.

7. Гехтман М.М., Айгунов Г.А. К вопросу о точных оценках нормированных собственных функций оператора Штурма - Лиувилля на конечном отрезке с непрерывной положительной весовой функцией // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1996. № 4. С. 3-10.

8. Айгунов Г.А., Жвамер Карван Х. Изучение поведения собственных значений и оценка собственных функций задачи типа Т. Редже в случае суммируемой весовой функции на конечном отрезке [0, а] // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2009. № 6. С. 5-8.

9. Айгунов ГА., Жвамер Карван Х. К вопросу о достижимости верхних оценок собственных функций задачи типа Т. Редже // Вестн. ДГУ. Естеств. науки. Махачкала, 2009. Вып. 4. С. 33-40.

10. Айгунов Г.А., Жвамер Карван Х. К вопросу о непрерывной зависимости собственных чисел и собственных функций задачи Т. Редже от суммируемой весовой функции // Там же. Вып. 1. С. 36-43.

Поступила в редакцию

30 октября 2009 г.

а

>

>