О равномерной ограниченности нормированных собственных функций задачи типа Т. Редже в случае весовых функций, удовлетворяющих условию Липшица Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.43

О РАВНОМЕРНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ НОРМИРОВАННЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ЗАДАЧИ ТИПА Т. РЕДЖЕ В СЛУЧАЕ ВЕСОВЫХ ФУНКЦИЙ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ УСЛОВИЮ ЛИПШИЦА

© 2011 г. Г.А. Айгунов, Карван Х. Жвамер

Дагестанский государственный университет, Dagestan State University,

ул. Гаджиева, 43а, г. Махачкала, Gadjiev St., 43a, Makhachkala,

Республика Дагестан, 367000, Republic Dagestan, 367000,

[email protected] [email protected]

Рассматривается спектральная задача (q(x) eC[0.aj, p(x) e Lip1), — y"(x) + q(x)y(x) = A2p(x)y(x) (0 < x < a), y(0) = 0,

[a V72

J p( x)| y( x) dx I = 1, где X — спектральный параметр. Задача возникает в разных вопросах математической физики. Т. Редже, изучавший ее (в случае p(x) = 1) в связи с теорией рассеяния, показал, что если q(x) в левой полуокрестности точки a удовлетворяет условию q(x) ~СЦ (a — x)M , x ^ a — 0; ц > 0, CM Ф 0 , то задача имеет дискретный спектр , и система собственных функций задачи полна в L2[0aj. Доказано, что нормированные собственные функции задачи, когда весовая функция p(x) e Lipl, равномерно ограничены.

Ключевые слова: условие Липшица, собственная функция, собственное значение, равномерная ограниченность, оценка, весовая функция, спектральная задача.

In given article is considered spectral problem (q(x) eC[0.aj, p(x) e Lipl), — y'"(x) + q(x)y(x) = X2p(x)y(x) (0 < x < a), y(0) = 0,

fa -,1/2

y'(a) — iXy(a) = 0, I J p(x)\y( x)| dx I = 1, where X — spectral спектральный parameter. The problem appears in different questions mathematical physicists. Т. Regge, under study its (in the event of p(x) = 1) in connection with theory of the dissipation has shown that if q(x) in left half vicinity points satisfies the condition q(x) ~CM (a — x)M, x ^ a — 0; ц > 0, См Ф 0, that problem has a discrete spectrum Xn and systev own function problems packed in L2 j0 aj. In work is proved that normalized eigenfunctions of the problem when weight function p(x) e Lip1 are evenly limited.

Keywords: condition of Lipshic, eigenfunction, eigenvalues, even insufficiency, estimation, weight function, spectral problem.

Рассмотрим спектральную задачу (q(x) e С, ций в L2 [0 a]. В случае уравнения 2n-ro порядка и

p(x) e Lip1), p(x) = 1 аналогичная задача рассмотрена в работах [3,

— y" (x) + q(x)y(x) = Xp(x)y(x) (0 < x < a), (1) 4]. Для p(x) Ф1 асимптотика собственных значений

y(0) = 0, y' (a) — iXy(a) = 0, (2) для задачи более общего вида изучена в [5, 6].

.1/2 Хотя к настоящему времени многие спектральные

| I p(x)|y(x)|2 dx I = 1 (3) задачи изучены довольно хорошо и общую теорию их

^о у можно считать завершенной, непосредственное приме-

где X - спектральный параметр. нение этой теории к конкретньш задачам в ряде случаев

„ ,,, затруднительно. Поэтому исследование таких задач

Задача (1)-(2) возникает в разных вопросах мате- т/-

представляет интерес. Кроме того, многие классические

матической физики. Т. Редже 111, изучавший ее (в

результаты получены при очень жестких ограничениях случае p(x) =1) в связи с теорией рассеяния, показал, на гладкость коэффициентов, в то время как коэффици-что если q(x) в левой полуокрестности точки a удов- енты задач, возникающих в современных приложениях,

летворяет условию q(x) ~ С (a — xf, x ^a — 0; ц > 0, в большинстве своем не удовлетворяют требуемым ус* ловиям гладкости. В связи с этим возникла практическая

Смф 0, то задача имеет дискретный спектр Хп, и сис- и теоретическая необходимость в изучении задач с нетема собственных функций задачи (1)-(2) полна в гладкими коэффициентами и рассмотрении их решений

L2 Г0 al. В [2] изучена асимптотика собственных значе- в обт°тбщенном смысле.

1' J Цель настоящей работы - получение равномерных

ний и получены 2-кратные разложения в равномерные оценок для нормированных собственных функций

сходящиеся ряды по собственным функциям, из кото- задачи (1)-(3) в случае весовых функций, удовлетво-

рых вытекает 2-кратная полнота собственных функ- ряющих условию Липшица

Результаты работы являются новыми и могут быть Обозначим через 0[Оа] класс непрерывных на

[0, а] функций %(х), удовлетворяющих неравенству

а1

использованы при решении различных задач механики, теории упругости, математической физики, оптимального управления, так как на практике спектральные краевые задачи моделируют многие прикладные

задачи. , , _

Справедлива следующая Рассмотрим счетное подмножество % (х)| I е б[о,а]

Jq(x)dx

a0

<Cq , где Cq = const, [a0,aj с [0,a].

Лемма. Для любого p(x) e Lip 1 и s > 0 существует

,a|

x t

класса Q[0,a], удовлетворяющее условию Lim J J qi (s)dsdt =

функция ps(x) e Cz[o,a] такая, что ps(a)=p(a), ps(0)=p(0), ' 00

a .- a --= f (x), где fa (x) - функция, удовлетворяющая усло-

W Ps (x)dx = JJp(x)dx, max p(x) - ps (x) <s, r

o o xe[0,a| s i вию Липшица, а сходимость равномерная на [0, aj.

maxip'e(x)| < 2N и max|p"(x)| < с/s, где с - кон- Пусть р ф 1, р > 0, q(x) eQ[0], Xe C - комплекс-

xe[0,a] xe[0,a]

^ ч ное, Im(X) < const (т.е. p - фиксированное, а X - любое

станта, не зависящая от p(x) и s. v ' v н ^ F

Доказательство. Разобьём промежуток [0, aj на

из полосы Im(X) < const комплексной плоскости).

m равных частей (m - произвольное) точками Обозначим чеРез y(х,Л, q) решение задачи Коши

0 = х0 < Xj <... < xm—1 < xm = a, а середины промежутков - y"(x) + q(x)y(x) = XX py(x), х е (0, a), y(0) = 0, y'(0) = 1.

[xH, x ] обозначим через x" (таких точек m, а именно Тогда справедлива

x",x",...x'm). Рассмотрим ломаную линию, соеди- Теорема. Существует константа Q =С0(б[0,я])

няющую точки (x0,p(x0)),(xj5p(x1)),...,(xm,p(xm)). (единая для всего класса Q[0aj) такая, что

Она является графиком функции p0 (x), удовлетво- Уx, X, q)|

„ ^ ч| „ лт / max-'—'-< С„ для всех достаточно

ряющей неравенствам max p(x) — p0(x) < N^m и xe[0,a] a . |2 ,,, 0

xe[0, a] (\p\y(x,X, q)| dx)

p0 (x)| < N там, где p'0 (x) существует. 0

больших по модулю значений X .

Рассмотрим другую ломаную линию, соединяющую

* Jr r J r , 7 г Из этой теоремы и предыдущей леммы вытекает

точКИ (x0,p0(x0)), (x1,Po(x1)), (x2,P0(x2))...,(xm , P"(x'm ))

(xm > \0( xm )) .

Эта ломаная является графиком функции p (x), удовлетворяющей соотношениям |p" (x)| < N там, где pj(x) существует и max |p(x) — p (x)| < Na/m .

xe[0, a]

Следствие. Пусть q(x) - непрерывная функция, весовая функция p(x) е Lip 1 и p(a) ф 1. Тогда решение задачи Коши — y"(x) + q(x)y(x) = X2p(x)y(x), x e (0, a), y(0) = 0, y'(0) = 1 удовлетворяет соотношению

|y( x)| t

. . . „ , max-!-1-< const < да для всех достаточно

На участках [x,xM], где i = 1,2,...,m-1, построим xe[0,a] a , ,2 , л1/2

кривые p (x) соотношениями pe (x) = p (x) + —'- (x - xi )4 -

] a 9

'(fp(x)|y(x)\ dxf

0

8д3 и больших значений X из полосы Im(X) < const.

3p 2 5 ii Доказательство. Так как решение задачи Коши

— дд (x — xi) + 8Pi, где Л = xi — x" = a'2m , непрерывно зависит от весовой функции p(x), то и

p" (x") — p" (x' ) a 2

P =p0—i-p0—i+1-. На участках [0, x" ] и [x",, a] функционал (Jp(x)|y(x, X)| dx)1/2 также непрерывно

2 0

положим pe (x) =p (x) (там же p (x) = p (x)). зависит от p(x). Следовательно, функционал

Пусть m = 2[Na/ s] + 2. Непосредственная про- max y(x,X)

xe[0,a]

верка показывает, что все условия леммы, кроме ~- также непрерывно зависит от

a 1=- ^--((p( x) y( x,X)|2 dx)1/2

равенства ¡yip (x)dx = }^p( x)dx, выполнены. 0

0 0 __весовой функции p(x). Отсюда существует число

Более того, имеет место неравенство pS (x) < N . £(Д) такое что

Найдём число S из условия (x) (1 +Ssm- x)dx = тж]y(x,х, p) 1 m^jy(x,х, p)|

0 ~2~ ,

в I^Тр(Х)-Т^х^х (1^(х)]^(х,^,Ц (\Р(х)\у(хл,^^х)1/2

= . Тогда ^ = 0а ( , _ -. При если Я и Р(х) - Р(х) <0 е(К), где Я > 0 - про-

|1 х ире (х)ёх 1 1

0 V а ) извольная константа. Возьмем некоторое Я и по

малых е число 8 также мало, а функция р (х) = е(Я) и лемме построим функцию рЕ (х), прибли-

= Р(х)(1 + 881п-х)2 удовлетворяет условиям леммы. жающую Р(х) (р(х) - р(х) < ^(Я) и рЛа) = р(а)). а

Рассмотрим задачу Коши с весовой функцией ре (х) вместо р(х). В этой задаче ре (х) е С 2[о, а], и поэтому

можно произвести двойную замену E = \

dt

о A2(t)

y(x) = A(x)\(%(x)), где А(x) = p-V4s (x)p1/4(a).

В результате получим задачу -\"(E) + (q(x)A(x) - A" (x)) A3 (x)\(E) = Л2 p(a)\(E) ,

a dt о A2(t)'

нале) и, поэтому, если показать, что

J 4 s (Ж

рав-

fa 2 v1/2

С0>0 такая, что max \\(ä)\ \p(a)\n(<E)\ dE

(Ф,аГ 0

< C.

/

Отсюда и из соотношений y(x) = A(x)\(E(x))

x dt 0 A(t)

|2

E(x) = J 2" x очевидно следует, что существует C0 >0

-1/2

Оценим выражение

J qs (Ed

ременной x в интеграле, получим

J [q(x)A(x) - A" (x)]A3 (x)%'(x)dx

0

dx

J qE (Ed

s

J [q(x)A(x) - A''(x)] A3(x)

A (x)

J q(x) dx -Ja(x)A "(x)dx 0 A (x) 0

<

<

J-

q( x)

0 A-2(x)

S q(x) ' A-2(x)

dx

+

dx

+

J A( x) A'' ( x)dx

0

s

[A(x)A'(x)]\s -J[A '(x)]2dx

<

J q(x dx

0 A (x)

+

\A(s) A '(s)|

+

I A(0) A ' (0) +

J[A'(x)]2 dx

где s e [0, a].

Из определения A(x) = p 1/4 s (x)pU4(a) следует, что A(0) =p-U4s(0)pU4(a) = p-U4 (0)p14(a),

(0, J —d—), \(0) = 0, \(0) = A(0). Так как

А'(x) = -1 p14(a)p;ii4(x)p'e (x) ,

А ' (0) = -1 pU4(a)ps-5' \0)p's (0) =Zpsl

4 4p(0) \ p(0)

a rlt a

A(0) = p-1'4(0)p1'4(a) и ¡JL- = p-l,2{a)\pl'2s(t)dt =

0 A (t) 0

a _

= \pV2dt p"112 = a = const (не зависящая от s), то,

0

обозначая A3 (x)[q(x)A(x) — A"(x)] = qs (4), получим — jj"(4) + 7s(4M4) = Xp(a)V(4), # e (0, a) , V(0) = 0 , i(00) = p-u 4(0)py 4(a) .

Оцениваемый в теореме функционал не зависит от значения y (0) (так как все решения уравнения, удовлетворяющие условию y(0)=0, могут быть получены из решения задачи с условиями y(0)=0, y'(0)=0 умножением на константу, которая сократится в функцио-

p(a) ?(0) 4 p(0)

Поэтому

ylp(a)p's (s)

J qE (E)dE

< px)dx +

0 V p(a)

pS (0) p(a)

I- 1 - I- + I-, — as .

44ps\s) 4p(0)ll p(0) J I6p(7)

По лемме \p's(x) < 2N и p(x)-s<pS(x) < p(x) + s .

Следовательно, J q (E)d%

< J ^ ) -Jp(x) + sdx -

04 p(a)

номерно по е и / е [0, а] ограничен для всех малых £>0, то по теореме будет существовать константа

такая, что тах|у(х,Л, р)|||р(х)|у(х,Л, р)| dx\ < С

хе[0,а] I о у

для всех < Я, а в силу произвольности Я - для всех рассматриваемых X .

. Переходя к пе-

| ipfl)N | N lp(a) | a y[p(ä)N2 ^ + 2[ min px) - s]3 2 + 2p(°)i p(0 + J 4J[p( x) -s]5 .

xe[0,a] * J

Так как e мало, следствие доказано. Докажем теперь теорему, для чего проведем оценку ср" (x, Л), <р(x, Л) и (р'(x, Л) (<р(x, Л) - решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям р(0, Л) = 0 , р'(0, Л) = 1, р0 (x, Л) - решение задачи Коши с постоянным коэффициентом p(x) = p). Как было установлено [7], р0(x,X) =

= —^—(-shCTjxcos Sjx + ich^xsin^x), и поэтому

(7l2 +S12

р" (x,Ä) = (chiTj x cosS x - ishiTj x sinS x) (несложные преобразования опускаем). Так как при больших Щ

имеют место соотношения a1^ypa и S^JpS , то, очевидно, |р" (x, Л)| < const равномерно по x e [0, a] и Л из рассматриваемой полосы. Рассмотрим ряд

x

р(x,Ä) = р0 (х,Л) + J [q{Tx) - q]< (x - тх ,Л) р0 (тх ,X)dTx +

o

да x

+ ZJ[q(^i)-q<0(x-Т1,Л) X

i=2 0

4 т

х J ...\Tl[q(Ti) - q]<0(Ti-i-Ti ,Л)<0(т1,Л) dri ...dTi.

0

Введем обозначения f (x) для i-го члена ряда

x

( fi(x) = J[q(Ti) - q]<0(x - Ti,Л)<0, X)dxi,...), в ре-

зультате получим

<p(x, Л) - <0 (x, Л) = Z fi (x) .

(4)

Если i > 1, то fi+i(x) = J[q(Ti)-q]<0(x-т^Л) f (Ty)dTx .

0

Интегрируя по частям, получим

0

+

0

0

0

0

0

s

i=1

f+i (x) = jw> (x - h = X)f¡ (h) Í [q(s) - q]ds\

-í{Wo(x-ъЛУ'(h)-%(x-h,Wi(h)\ ][q(s)-q]ds\dTl, ИЛИ

o o J

x

f+i(x) = í Wo(x- h¿)f,(h) - Wo (x- hA)f'(r)] *

с í [q(s) - q]dsdh .

(5)

Совершенно аналогично для / (х) можно получить соотношение

/1(х) = (6)

х т

= 1%0(х-т,Х)%0(т) - %>(х-т,Ы)ф0(т)]1[«СО -чЛ^лт.

0 0

Дифференцируя соотношения (5) и (6) по х, получим соотношения для производных

х х

/i+1(х) = /i(х)\[ч(т) - ч]Лт+\ (ч - хР) щ(х - т, Х)/(т) -

0 0

- %0 (х - т, Х)/'(т)] 1[Ч(т) - q]dsdт, (7)

0

х х

Л(х)=% ^ Х).1 [ч(т) - ч]Лт + 1 (ч -хХР) %(х - т, Х)%0(т, Х) -

0 0

т

- % (х - т, Х%" (т, Х)]|[ч(т) - «\dsdT (8)

0

(здесь учтено, что % (х, Х) = (ч - Ы р) % (х, Х)).

Пусть %(х, Х)| достигает своего максимума % в точке х0 е [0, а], максимум % '(х, Х)| равен % . Тогда график функции %(х, Х)| лежит выше треугольника с вершиной в точке (х0%т) и боковыми сторонами с угловыми коэффициентами %, -% .

Пусть также х1, х2 ,...х^0 - точки максимумов %(х,Х)|, лежащие правее х0 (в порядке возрастания); х-1,х-2,...,х-^ - левее х0 (в порядке убывания). Совершенно аналогично в точках х также можно построить треугольники, «вписанные» под график функции %(х, Х)|. В силу выбора угла наклона боковых сторон треугольников основания этих треугольников не пересекаются. Кроме того, если отбросить крайние треугольники с вершинами в точках х и

х , то основания оставшихся треугольников будут лежать внутри отрезка [0, а] (более того, внутри отрезка \x-k1, хк0 ]) (рисунок).

Из выбора класса Q[0 a] следует, что

í [q(s) - q]ds

< Q = const < да, и поэтому из (5) и (8) получаем

1/1 (x) < x, \/;(x)\ < ^+Q[(p^-qr)C02 + C02]x,

щ \X\ XI

где Q и Q - такие константы, для которых выполне-

cn

ны

неравенства |w0(x,X)| <-ру и |^0(x,X)| < C'0 (так

как

i , sh 2a,x + sin2 S,x ^

|Wo(x,X) <-----, то, очевидно, Cq и Co суще-

V Si

ствуют). Используя рекуррентные соотношения (5) и (7),

C

Точки максимумов %(х, Х)

Пусть х", х" - вершины, лежащие на [0, а] построенного нами треугольника с вершиной в точке г = 1 - к1 ,...0,...к0 - 1; / (х) - функция, определенная на [ х , х ] и графиком которой являются боковые стороны

а 2 к0-1 х"

треугольника. Тогда | р%(х, Х)| Лх > £ 1 р2 (х)Лх.

0 ¡=1-к1 х

получим, что ряд (4) сходится и |^(x,X)-%(x,X)\ <Cr Оценим каждый из интегралов J pf 2(x)dx . Так

(оценки |/2(x)|,|/3(x)|,..., и /(x)\,\/"(x)|,... проводятся

последовательно для i = 2, 3,...). Справедливо

Утверждение. Имеют место соотношения:

1) < ' (x, X)| < cons/ < да, x е [0, a];

2) существует const 0, единая для всего класса Q[0a], такая, что число точек локального максимума <(x,X)| на

(0,a) не меньше, чем const 0 • ;

3) существует const 1, единая для всего класса б[0,а], такая, что для двух последовательных точек максимума x' и x" функции x,X)| справедливы неравенства

, \ф(x',X)| „ , const 1

B — --\<B, где В=1 ^ 1

\<p(x'' ,X)|

как они однотипны, вместо них рассмотрим

xo

xo

í pfo(x)dx = j pfo(x)dx + í pfo(x)dx = 2p í fo2 (x)dx.

x 0

x 0

На участке [ х0, х" ] график /0 (х) - прямая линия

х0

У = /)(х) -% (х - х0), и поэтому |рр02( х)Лх =

х0

= 2р |[/0 (х0) - (р'т (х - х0)]2 Лх . Найдем точку х'0. Так

как y(xl ) = o, то x¡¡ = x0 +

следовательно,

Wm

fo(xo)

x5 " Wm

í-2

ífo (x)dx = 2P í [fo(xo)-W'm (x - xo )] dx =

xo xo

o

o

<

o

x

f0( x0 )

f0( x0)

= 2р 1 [/0(х0)-%тх]2Лх = 2р[/0£(х0)^^ -

0 %т

~т' ^ -1/02(х0) , (%т)2 У03(х0\_2р)3(х0) -%т/0(х0) %т)2 ]■

Совершенно аналогично и для других I справед-

А 2р/ 3( х.)

ливо равенство /р2 (х)Лх = ) °. Отсюда полу-

хг 3%т

чаем 1р%(х,Х)|2Лх> ? ^р^ = ^ ?/3(х,).

0 '=!-к1 3%т 3%т '=«1

Если воспользоваться 3-м пунктом утверждения, по-

лучим fi (xi) > f0 (x0)B w . Следовательно, Jpp(x,X)| dx

>

-к 2p k° -2,3,

= fc3( xc)

p'm B-1 -1

k0 + k -1~ oonst 0J\I , то 1 - B

?1-k0 -k1

1-B

-const"^

a о

И1 — g-consnco^0 и cons^, отсюда jp<(x, X)\ dx >

0

3 const з Г> J 0 (x0)—;—л/ X . Из этого неравенства следует, что

<m

max <( x,X)| i ,

xe[0,afy ' A , f ^ J f3f„ \ const3 M^,

Jpp(x,X)| dx

— < f0 (x0)l f0 (x0) ■ , 2 , I I Pm

f0 (x0

const1

Pm

2p k0 -1

> -f Z f03(x0)B-i > ^p-f,3^)■ 0 Z f03(x0)B-W . Учиты-

Pm i=1-k1 Pm w=0

вая, что эта сумма является геометрической прогресси-

a 2 2p -k1 - 1 2

ей, получим J pp(x, X) dx > —--——-— f (x0) =

[ — B1_k0 -k1

pm const1'

Так как по второму пункту утверждения

Так как по нашему выбору f0 (x0) ~ ronst^ , а

p'm ~ const, то теорема доказана.

Таким образом, нами доказано, что нормированные собственные функции задачи (1)-(3) в случае весовых функций, удовлетворяющих условию Липшица, равномерно ограничены.

Литература

1. Редже Т. Аналитические свойства матрицы рассеяния // Математика. 1963. Т. 7, № 4. С. 83 - 89.

2. Кравицкий А.О. О разложении в ряд по собственным функциям одной несамосопряженной краевой задачи // Докл. АН СССР. 1966. Т. 170, № 6. С. 1255 - 1258.

3. Гехтман М.М. О некоторых аналитических свойствах ядра резольвенты обыкновенного дифференциального оператора четного порядка на римановой поверхности // Докл. АН СССР. 1971. Т. 201, № 5. С. 1025 - 1028.

4. Айгунов Г.А. Об одной краевой задаче, порождаемой несамосопряженным дифференциальным оператором 2и-го порядка на полуоси // Докл. АН СССР. 1973. Т. 213, № 5. С. 1001 - 1004.

5. Айгунов Г.А. Спектральная задача типа Т. Редже для обыкновенного дифференциального оператора 2и-го порядка // Функц. анализ, теория функций и их приложения. Махачкала, 1975. Вып. 2, ч. I. С. 21 - 41.

6. Айгунов Г.А., Гаджиева Т.Ю. Изучение асимптотики собственных значений одной регулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 2и-го порядка на полуоси // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. № 5. С. 14 - 19.

7. Айгунов Г.А., Гаджиева Т.Ю. Оценка нормированных собственных функций задачи типа Т. Редже в случае гладких коэффициентов // ФДУ и их приложения. Махачкала, 2009. С. 18 - 26.

Поступила в редакцию

13 октября 2010 г.

1/2

a

0

0

0