Научная статья на тему 'О возможности учета пластической анизотропии при изгибе круглых пластин'

О возможности учета пластической анизотропии при изгибе круглых пластин Текст научной статьи по специальности «Нанотехнологии»

CC BY
78
22
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ / ТРАНСВЕРСАЛЬНАЯ ИЗОТРОПИЯ / ЭФФЕКТ SD / ELASTOPLASTIC BENDING / TRANSVERSE ISOTROPY / STRENGTH-DIFFERENT EFFECT

Аннотация научной статьи по нанотехнологиям, автор научной работы — Юшин Р. Ю.

Рассмотрена круглая трансверсально-изотропная пластина с эффектом SD, свободно опертая по одному из краев, находящаяся под действием равномерного давления. Была построена разрешающая система третьего порядка из дифференциальных уравнений с нелинейными коэффициентами. Общая идея состоит в том, что задача решается полуобратным методом. Для одной пластины с известными пределами текучести на сжатие и растяжение в плоскости пластины, а также в плоскости, перпендикулярной ей, задаем разные глубины пластической области в центре пластины сверху. Получаем значения глубин пластической области в центре пластины снизу. Используя разностную схему, получаем значение шагов интегрирования, при которых пластические области выходят на край пластины сверху и снизу. После этого находится нагрузка, вызывающая такие пластические области, а также находятся и реальные размеры этих областей. Итак, разрешающие дифференциальные уравнения для круглых трансверсально-изотпро-пных пластин с эффектом

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

SD выведены. Результаты представлены в графиках и рисунках A round transverse isotropy plate simply bearing by one of the border and uniformly pressurized was considered. The resolving system of a three differential equations with non-linear coefficients was built. The main idea consists by solving task with semi-inverse method. Taking up one plate with a known yield points under the pressing and stretching in a plane of a plate and in a plane which is perpendicular our plate. By setting different depths of a plastic domain in a center of a plate from above, we obtain values of depths of a plastic domains below. Using numerical computation we obtain values of integration steps when the plastic domains from above and below comes out to a border of the plate. After that we obtain values of loads under which these plastic domains evolves and obtain real size of plastic domains. So, deferential equations of the transversal-isotropic round plates with effect SD are fully completed. The results are presents at pictures and plots.

Текст научной работы на тему «О возможности учета пластической анизотропии при изгибе круглых пластин»

О ВОЗМОЖНОСТИ УЧЕТА ПЛАСТИЧЕСКОЙ АНИЗОТРОПИИ ПРИ ИЗГИБЕ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН*

Р. Ю. Юшин

С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

Введение

Технический прогресс общества в областях проектирования и строительства ставит все более сложные математические задачи. Современные конструкции создаются из новых материалов и сплавов, прочностные свойства которых существенно отличаются от традиционных. Поведение новых сплавов в сложных конструкциях еще далеко не изучено, поэтому старые методы расчетов на прочность должны быть усовершенствованы для учета новых прочностных эффектов.

В работе рассматривается задача упруго-пластического изгиба круглой тонкой пластины, равномерно нагруженной по одной из поверхностей, свободно опертой, изготовленной из титанового сплава, обладающего свойствами трансверсальной изотропии и эффектом разносопротивляемости растяжению и сжатию. Аналогичная задача без учета указанного эффекта рассмотрена в [1]. Эффект разносопротивляемости в зарубежной литературе встречается под названием «эффект SD» (strength-different). В данной работе, как ив [2], исследуются случаи упруго-пластического состояния до перехода в чисто пластическое состояние. В работах [1, 2] использованы критерии текучести Мизеса и Бекофена [3]. В предлагаемой работе используется критерий, предложенный

0. Г. Рыбакиной [4], который учитывает и анизотропию, и эффект SD.

Исследование задачи осложнено тем, что отсутствует симметрия в развитии пластических зон на верхней и нижней поверхности пластины [5]. Однако и в этом случае удается построить систему нелинейных дифференциальных уравнений, которая поддается численному интегрированию [6]. При таком способе построения уравнений упругопластического изгиба удается решить задачу до конца, т. е. построить зависимость нагрузка—прогиб в центре пластины.

1. Критерии текучести

В [4] был предложен критерий текучести ортотропного материала, учитывающий эффект SD, а именно:

\/F(<72 - оз)2 + G(a3 - CTi)2 + H(ai - СГ2)2 + ст2 + ^-03 = 1- (1)

Здесь <71, <72, —главные нормальные напряжения, F, G, H, ai, а2, аз —постоян-

ные. Для трансверсально-изотропной пластины при плоском напряженном состоянии

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №04-01-00257).

© Р. Ю. Юшин, 2010

(ах = 0) выполняются равенства

Р = ° = ЇЙ + ЙІ; я = ї(ї? + ї?'“

' 11 \2 . . , о 3 ( 1 14

~ ГУ^ аі "" “2 "" 2 “ <С

т*Р гг*с в и в

где ар

*р _

пределы текучести при одноосном растяжении в направлении оси г и плоскости пластины соответственно, <г£, а*с — пределы текучести при одноосном сжатии в направлении оси г и плоскости пластины соответственно.

Критерий текучести (1) для трансверсально-изотропной пластины имеет вид

^ <т2 — Аагад + <70 + (За = к

(3)

где

1

1 \ а*Р

а = -(<7Г + ав)] (3 = 3 4 8

а

к =

2

1 1

При ар = аС = ав, а*р = а*С = а* имеем в = 0, и критерий (3) переходит в

известный критерий [2]

— А<7г<70 + <7^ = %/3&*, к* = -у=.

а/3

(4)

*

2

а

Г

2. Аналитическое решение

На рис. 1 изображено сечение круглой пластины радиуса Д, высотой 2Н, находящейся в упруго-пластическом состоянии. Учет среднего нормального напряжения приводит к нарушению симметричного развития пластических областей сверху и снизу. Нейтральная поверхность, т. е. та, на которой напряжения обращаются в ноль, в этом случае уже не совпадает со срединной.

Пусть распределенная нагрузка на верхней плоскости пластины такова, что и на верхней и на нижней гранях имеются пластические области. На поверхности z = 0 при r = 0, аг = ад = 0. В пластической области, расположенной сверху пластины, материал подвергается сжатию, и при r = 0, аг < 0, ад < 0

|аг1 = |ад1 = а*sc,

а для пластической зоны, расположенной внизу в зоне растяжения,

as — аг — ад

при Or > 0, ад > 0.

Примем для определенности, что предел текучести при растяжении меньше, чем предел текучести при сжатии [5]. Тогда

a*sp < a*c; в> 0.

Пластические деформации в этом случае развиваются сначала внизу в центре пластины, а потом появляются наверху в центре пластины. Ограничимся теми случаями, когда пластичность от края вообще не появляется.

На рис. 2 схематично изображена эпюра напряжений в центральной оси пластины.

Рис. 2. Эпюра напряжений.

Введем согласно рис. 1 величины П1(т), П2(т), Пз(т), П4(т) и функции а4(т), аз(т), где

( а4(т) = П1(т) - П4(т),

\ аз(т) = П2(т) - пз(т).

При изгибе пластины выполняются соотношения ( П1 + П2 = 2Н,

\ (т - т)°*с + \т°*8с = (т - тЖр + ^

Второе соотношение (6) представляет собой требование равенства площадей заштрихованной фигуры над нейтральной осью и под ней (рис. 2).

В [6] детально описан вывод уравниия равновесия, а также уравнения совместности деформации, которое для нашей задачи распадается на два — сверху и снизу пластины.

Решение сводится к интегрированию этой системы третьего порядка дифференциальных уравнений с нелинейными коэффициентами, а именно, в новых переменных

аз(р), а4(р), ^(р), введенных ранее в (5) для обеспечения корректности расчета. Уравнение равновесия преобразуется к виду

(2Т'$ - т +'>£)+ * -(2Г‘+1>$)+ + Аз = °- (7)

причем

/2(а2 - аэ) (cos ф - F sin ф) C202 - 2(02 - аэ) .

м=р[ -------5--------г—-------;--------------------- cosw - Fsmu-t)-

\ 3 1+t cos ф 2

С2а1 , ^ , ,N

(cos СО — Р sinw + t)

2

( 2(ai - 04) (cos ф - F sin ф) C^i - 2(ai - 04)

Ai = p --------------------------------1------------------(cosw -Fsmuj+t)

\ 3 1 -t cos ф 2

C1a2 , ^ . ,N

(cos U) — r sin ш — t)

2

((а2 - a3)2(sin ф + Fcos ф + tF) (а1 - a4)2(sin ф + F cos ф - tF)

A2 = -pB1 I -------------o/_, , ,-----—------------h

As = -

\ 3(1+1 cos ф)2 3(1 -1 cos ф)2

F cos w)(a! + a2 — (ai — а4)2 — (02 — аэ)2),

p2 (F sin ^ — 2t) (a2 — (ai — 04 )2) (F sin ^ + 2t) (a2 — (02 — аэ )2)

2F / 2 2F 2, 2F

sin-0 / (d2 — аз) (аг — a4)

3 1 + t cos ф 1 - t cos ф

(1 — v)(2 + A) cos2 ф 2в (1 — v) (2 + A) a* c

ГДеВ1 (1 + z/)(2 — A) cos2 w ’ ^ (1+^) (2-A)tgW> Tl a*/ + a*sc^

a*p

T2 = s——, Ci = 1 +tcos ф, C2 = 1 — tcos ф. Уравнение совместности деформации

а/ + as

для верхней части пластины преобразуется так:

Л4{2Т2^-{2Т1 + 1)^)+Л5% + Лб = 0’ (8) а уравнение совместности деформации для нижней части пластины так:

АГ (2Т^ - (2Т2 + + А8^ + А9 = 0, (9)

у dp dp у dp

где

A4 = p cos^ — p0)(1 — t cos ф); A5 = pBi^i — a4)(sin(ф — p0) — t sin p0);

A6 = —2(0i — 04)2(1 — t cos ф) sin ф sinp0; A7 = pcos^ — p0)(1 +1 cos ф);

A8 = pBi(02 — 0Э)^ш(ф — p0) +1 sinp0); A9 = —2(02 — 03)2(1 +1 cosф) sinф sinp0,

2 л/Зрл/2 - A 2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

a p =---------2----r — безразмерная переменная.

4kh2

По аналогии с [2], система имеет особую точку p = 0. Данная система может быть реализована числено разностным методом с шагом по p, начиная вблизи центра пластины. В результате расчета строятся зависимости Wj(pj), 03(pi), 04(p*) на каждом шаге.

Расчет имеет промежуточную точку аз = 0, после чего принимается аз = 0 и расчет продолжается для а4.

Значение р1 при аз = 0 фиксируется и определяет безразмерный радиус пластической области на верхней поверхности пластины. При достижении условия а4 = 0 фиксируется значение р”, определяющее безразмерный радиус пластической области на нижней поверхности пластины.

Ниже приведен рисунок, схематически изображающий пластические зоны одной и той же трансверсально-изотропной пластины с эффектом 8Б, построенный после выполнения вычислений по разностной схеме при задании глубины пластической области сверху пластины в центре, равной 0.1 (сплошная линия) и 0.25 (пунктирная линия) (см. рис. 3). По оси г отмечены числовые значения безразмерных глубин пластической области; р^1 и р”1 —шаги интегрирования, при которых пластическая область сверху и снизу пластины выходит на соотвествующий край пластины, для начальной грубины пластической области в центре, равной 0.1; а р^2 и р”2 —шаги интегрирования, при которых пластическая область сверху и снизу пластины выходит соотвествующий край пластины для начальной грубины пластической области в центре равной 0.25.

м-— рТ рТ

0.25

р

0.3 “

'ъ р? р?

Рис. 3. Пластические области при эффекте ЯЮ.

3. Замыкание задачи. Перейдем к определению нагрузки р и радиуса пластической области с при растяжении. Из численного решения на первом этапе нам известны параметры р”, ф^, щ, где г — номер шага интегрирования, при котором реализуется ситуация края пластической области внизу пластины. Сопоставим упруго-пластическое решение и решения для упругого кольца, следуя [2]. Воспользуемся требованием непрерывности моментов в радиальном и круговом направлениях, а также условием свободного опирания пластины Мг (а) = 0 (рис. 4).

„ ) 4 V ( е

2

>

> ГЪ М(с- 0)=М(С+О) \ М(а)=0

Рис. 4. Граничные условия.

Все эти условия сводятся к решению квадратного уравнения относительно неизвестной нагрузки, которое имеет вид

К2Р + К1Р + Ко = 0.

(10)

Здесь

К2 =

3а4(3 + 1у)у/2^А

64р2к2Н4

К1 = -51

J2v/Зv/23A 4 /э? А’ /?2 ’

Ко = 51 - 5з -

(3 + у)р1 4а/23Х

51 =

1

л/Зл/2^4

(^1 + ^2) <уС°в^'1 ~ _ Лвтфг),

где С и С2 были введены ранее в формуле (6).

Очевидно, что необходимо выбрать р > 0. После вычисления нагрузки находится и радиус нижней пластической области с” по формуле

( пл2 _ УЗрл/2 А ( ^пл2 КП) 4А-/г2

-(спУ-

(11)

Аналогично решаем уравнение (10) для р^ и находим радиус пластической области для верхней поверхности пластины, т. е. в области сжатия.

4. Результаты и их анализ. Ниже приведены результаты для анизотропных пластин (в = 0) из титановых сплавов, радиусом 1м, толщиной 20 см, а*р = 650 МПа, без эффекта 8Б, имеющих разные коэффициенты анизотропии.

Радиус пластической области, И/И

Рис. 5. Зависимость радиус—глубина пластической области в центре пластины для разной степени анизотропии.

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Глубина пластической области

Рис. 6. Нагрузка—глубина пластической области в центре пластины для разной степени анизотропии.

Рисунок 5 демонстрирует зависимость радиуса пластической области от ее глубины в центре пластины для А = 1.0, А = 1.1, А = 1.2, А = 1.3. Видно, что чем больше выражена анизотропия, тем значительнее глубина пластической области в центре пластины.

Тот же самый результат наблюдается и для нагрузки. Чем существеннее анизотропия пластины, тем больше нагрузка, вызывающая ту же самую глубину пластической области в центре пластины, по сравнению с изотропной пластиной. Таким образом, трансверсально-изотропная пластина выдерживает большие нагрузки.

Проведенные исследования позволяют выявить влияние пластической анизотропии на зависимости «нагрузка—радиус пластической области» и «глубина—радиус пластической области», что делает возможным прогнозирование прочностных свойств пластины.

Литература

1. Павилайнен Г. В. Упруго-пластический изгиб круглой трансверсально-изотропной пластинки // Вестн. Ленингр. ун-та. 1983, №13, С. 70-75.

2. Соколовский В. В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. С. 607.

3. Бекофен В. Процессы деформации. М., 1977. С. 288.

4. Рыбакина О. Г. Критерий текучести анизотропного материала, обладающего эффектом ЯЮ. Исследования по упругости и пластичности // Вестн. Ленингр. ун-та, 1982, №14. С. 132142.

5. Матвеева Е. В. Павилайнен Г. В. Учет эффекта разносопротивляемости материала при изгибе пластин // Вторые Поляховские чтения: Избранные труды. СПб., 2000. С. 294-304.

6. Юшин Р. Ю. Упруго-пластический изгиб трансверсально-изотропных пластин // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды» / Под ред. А. Л. Смирнова, Е. Ф. Жигалко. Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2007. С. 55-75.

Статья поступила в редакцию 10 сентября 2009 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.