CC BY
35
УДК 539.3
Г. В. Павилайнен
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 2 (№9)
ИЗГИБ ТОНКИХ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН ИЗ ПЛАСТИЧЕСКИ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Рассмотрим задачу упругопластического изгиба круглой тонкой трансверсально-изотропной пластины, свободно опертой по контуру и находящейся под действием равномерного давления, учитывая различие между пределами текучести материала при сжатии и растяжении.
В отечественной и зарубежной литературе [1, 2] рассматриваемый эффект встречается под названием эффекта SD (strength-different). Подробное описание можно найти в монографии [2], в которой под эффектом SD подразумевают изменение абсолютных значений компонент напряжений, соответствующих поверхности текучести, при замене знаков всех компонент на противоположные. В [1] предложен критерий текучести ор-тотропного материала, учитывающий влияние среднего нормального напряжения. Запишем этот критерий применительно к трансверсально-изотропной круглой пластине. Для этого введем необходимые параметры A, m и k формулами
Здесь через (о"я)р, (&д )р обозначены пределы текучести при одноосном растяжении в направлении, перпендикулярном плоскости пластины и в направлении плоскости пластины соответственно, а через (о~8)с, (&д )с — аналогичные пределы текучести при одноосном сжатии. Таким образом, критерий текучести в полярных координатах приобретает вид
/ сгр — Аагад + сгр + та = у/Зк, (3)
Введем для удобства записи в дальнейшем параметр ¡3 в виде то = а/3/3 и
^ = ^(аг+ав) (4)
— среднее напряжение.
При (<гя)р = (&д )р, (<7в)с = (ад)с имеем т = 0, А =1 и критерий (1) переходит в известное соотношение Мизеса. При А, большем единицы, и т = 0 имеем критерий, предложенный в [3].
Рассмотрим пластину в упругопластическом состоянии, вертикальное сечение которой изображено на рис. 1. Как и в случае изгиба балок [5], учет среднего нормального напряжения приводит к нарушению симметричного развития пластических областей сверху и снизу пластины. Нейтральная поверхность, т. е. та, на которой напряжения обращаются в ноль, в этом случае уже не совпадает со срединной.
© Г. В. Павилайнен, 2003
1
1
Введем цилиндрическую систему координат, поместив начало в центре пластины на нейтральной поверхности твх. Неизвестными функциями г становятся расстояния от плоскостей пластины до нейтральной плоскости П1 (г), П2(г) и расстояния от нейтральной поверхности до границы пластических зон пз(т), П4(г) (см. рис. 1) Из-за потери симетрии неизвестных функций стало в четыре раза больше, чем в случае в = 0.
Рассмотрим вопрос о распределении напряжений по толщине в центре пластины при условии, что имеются пластические области. Для большинства конструкционных материалов предел текучести при одноосном сжатии больше, чем при растяжении, поэтому в дальнейшем будем считать величину т положительной. Пластические деформации в этом случае развиваются сначала внизу в центре пластины, а потом появляются наверху в центре пластины. Ограничимся теми случаями, когда пластичность у края вообще не появляется.
Отметим, что, как и в случае балок [5], при изгибе пластины выполняются соотношения
+ П2 = 2Н,
1 1 (5)
(т - тЖТ + 72тКТ = (т - тЖГ + т2тКГ-
Второе соотношение представляет собой требование равенства изгибающих моментов над нейтральной осью и под ней.
Перейдем к выяснению зависимости между напряжениями и деформациями в упругой и пластической областях пластины.
В упругой области справедливы классические соотношения
е 20 \ е 20 . .
аг=п-т{£г+ь'£в), °в = Т\-г ее + ^г • (6)
(1 - V) (1 - V)
В пластических областях выполняются основные соотношения теории течения [5]:
д/2 д/2 сМ1 = с1Х——, скд = с1Х——. (7)
даг в дав
Здесь ер, е^ — пластические деформации,
12 = \(<т;-Аа гав+а2в). (8)
По аналогии с [3, 4] будем считать, что в пластине с достаточной степенью точности реализуется условие простого нагружения, следовательно, результаты теории течения и
теории малых упругопластических деформаций совпадают, дифференциалы деформаций могут быть заменены самими деформациями, а членами порядка в2 по сравнению с единицей можно пренебрегать.
Продифференцируем (7), имея в виду (3). Получаем после преобразований
к
(2 - А) где Ф = А(2 + А)к/3.
2ег+Аев "
ф
к
(У в =
+ А£г 9Я ф
(2 - А)
Найдем Ф. Подставим (9) в (3) Пренебрегая членами порядка в2, имеем
(9)
Ф = ±\/з^±4)+ ^ + (10)
Знак перед корнем выбираем из тех соображений, что Ф является аналогом интенсивности деформаций в пластической области и должна быть положительной величиной. При выборе знака + это условие выполняется. Отметим, что в [6] было предложено другое выражение для Ф, которое фактически приводило к более громоздким соотношениям, не меняя их сути.
Переходим к исследованию напряженного состояния и условия равновесия трансверсально-изотропной пластины при учете эффекта ББ.
Напряженное состояние пластины можно определить двумя моментами
Мг = аг гйг, Мд = ад г ¿г (11)
и поперечной силой
2
Уравнение равновесия имеет вид
д = -\Рг. (12)
Шг + Мг-Мв = д (13)
¿т т
Преобразуем соотношения (11). Разобьем интегрирование по схеме
—П4 0 П3 П2
М1 = J ар г ¿г + J аР{г<1г + J аР{г<1г + J а^гйг, I = т,в. (14)
—ГЦ — П4 0 П3
В первый и четвертый интегралы подставляем соотношения (9), а во второй и третий — соотношения (6), причем воспользуемся гипотезой Кирхгофа—Лява
ег = г£г, ед = г^д. (15)
и имеем ввиду перемену знака г при переходе через г = 0. Запишем все соотношения относительно нейтральной поверхности. Моменты приобретут вид
—П1
—П1
= З^ГТ) Шг + О + + +
2(2 - A) VА2 ^Ч e
2Gh3
Мв = 3(l-t/) + <+) + + <г)) + (16)
kh2 Л. 2 2ч (2^0 + Ae. „ Л , , 2 ^ (2Ь + ACr
2(2 - a) у^ч e ч V e
Через Х1, Х2, Хз, Х4 обозначены величины
т »?2 ?тз т
Отметим, что в этих формулах знаком + помечены величины, которые надо вычислять для нижней части пластины, т. е. при положительном г, а знаком — величины, относящиеся к верхней части пластины, когда г отрицательно. Введем в рассмотрение величину Фо, равную
/ 2 + A
фо = Л/ "Г^-5-(er ~ 2cos2/uO£r£0 + £д), (18)
у 12 cos2 но
где но определяется соотношениями
1 + и / 2 — А 1-й / 2 + А
sin но = 2 \/ 1 - Av + v2' cos Мо = 2 \J 1 - Av + v2' (19)
Введем величину Со = Фо/1z|. Очевидно, выполнено равенство
2GФ0 = 2Ge0|z| = k - fia. (20)
Воспользуемся далее методом решения, предложенным В. В. Соколовским для изотропной пластины [4], и представим параметры искривления нейтральной поверхности в двух видах: через e и ш, а также через Со и ф:
2л/3 лД^осов(ф ±но)
|>J 2 + A v2 + A sin но
где но определяется соотношениями (19), а определяется равенствами
л/2ТА V2^a
sin а = -, cosa = -,
2 ' 2 '
а между ш и e имеет место зависимость
tg wtg а = tg фtg но- (22)
Остановимся особо на определении £о. Эту величину нужно определить из условия (3) на границе между упругой и пластической областями. На основании (20) имеем
k — ва
= W- (23)
Подставим сюда соотношения закона Гука. На границе упругой и пластической областей в верхней части выполнено |z| = hx4, sign z = -1, тогда
k 1
= 2ghX4 i _ -¡щ/ (24)
Для нижней части пластины, рассуждая аналогичным образом и используя условия |z| = h\3, signz = 1, получаем
= 2GhX31 + jog:- (25)
Теперь подставим полученные соотношения в выражения для моментов (16). Получаем
Mr9 = Vzkh2 (-^-+--А /СОБф т F втф)+
' \М-2(5совф M + 2(i совф J К
V3kh2 (_____. . , 4/3 ^ ^ 2 2
л/зkh2 (______4/3 w 2 2 \
Н—, cosuj =F Fsinw--, - (у, — Yo),
где M = л/3лД^Д F= \J'
2- A
2 + А'
Вспомним, что для пластины выполнены соотношения (5), подставим туда выражения (17) и приведем (5) к виду
XI + Х2 = 2,
XI ~ \ха _ XI ~ \хз (27)
1-/3/3 ~ 1 + /3/3
Используя (27), выразим XI и х2 через хз и Х4, т.е.
XI = 1 - /3/3 - 1ХЗ(1 - /3/3) + ^(1 + /3/3)Х4,
1 1 (28) Х2 = 1 + /3/3 + -хз(1 - /3/3) - "(1 + /3/3)Х4.
Подставим (28) в выражения для моментов (16), а затем полученные выражения в уравнения равновесия (13) и приведем уравнения равновесия к следующему виду, используя новую безразмерную переменную р
50^ + 5^ + 5^ + 53^ + 5^ + 55=0. (29)
¿р ¿р ¿р ¿р ¿р
Коэффициенты при производных являются функциями неизвестных величин. В этом уравнении неизвестные XI и Х2 можно исключить, продифференцировав (28). Выражения для коэффициентов представляют собой громоздкие соотношения и они приведены в[6].
2 = р^2-А 2 9 4Ш Г
Перейдем к выводу уравнения совместности деформаций. Вспомним, что для верхней части пластины выполняется
сон(ф±ц0) З/гл/2 - А ^
£е\ sinМо V2 + A 2GhXi(M - 2/3cos ф)'
а для нижней
I 1 = cos(V>±Mo) 3fcV2^4
sin Мо V2 + A 2Gfcx3(M + 2/3 cos V)' 1 j
Подставим (30) и (31) в уравнение совместности, которое в данном случае распадается на два уравнения, а именно:
ар ар
для верхней части пластины и
Т3^1 + Т4^+Т5= 0 (32)
ар ар
для нижней. Выражения для коэффициентов громоздки и здесь не приводятся. Их можно найти в [6]. Итак, задачу удалось свести к системе трех линейных дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами относительно трех неизвестных функций хз(р), Х4(р) и w(p). При =1, в = 0, Хз = Х4 система совпадает с системой Соколовского [4], при =1, в = 0, Хз = Х4 с системой [3]. Система нелинейна и имеет особую точку р = 0. Полученная система интегрируется численно с использованием программы на языке Pascal. Обсудим те результаты расчета, которые показывают влияние эффекта SD.
Рассмотрим пример расчета, построенный при следующих предположениях. Пусть в пластине реализовано состояние, при котором на нижней части пластины есть пластическая область, а на верхней достигается пластическое состояние только в одной точке центра пластины. Такая ситуация, очевидно, возможна, и она имеет то преимущество, что упрощаются начальные условия и не надо интегрировать третье уравнение системы. Зададим разницу между пределами текучести при сжатии и растяжении 20%, а разницу пределов текучести из-за анизотропии — 15%. Тогда начальная глубина пластической области в центре нижней части пластины определяется непосредственно и равна Хз = 0.83, Х4 = 1-0. Это и будут исходные начальные данные для численного дифференцирования системы. Проведем четыре расчета системы: первый — для изотропной пластины (A = 1,в = 0) второй — для изотропной пластины с эффектом SD (A = 1,в = 0.532) третий —для трансверсально-изотропной (A = 1.32, в = 0) четвертый—для трансверсально-изотропной с эффектом SD (A = 1.32, в = 0.532) Предел текучести при растяжении в плоскости пластины примем за единицу. В результате имеем следующие значения параметра нагрузки:
вариант 1 — р = 1.00; вариант 2 — р = 1.18; вариант 3 — р = 1.21; вариант 4 — р = 1.32.
Видно, как повышаются прочностные свойства пластины, однако следует отметить, что эффект ББ дает меньший вклад в рост нагрузки, чем пластическая анизотропия.
Рассмотрим теперь размер пластической зоны при одинаковой ее глубине, разных приложенных нагрузках и разных вариантах расчета. Данные представлены на рис. 2. Наблюдается сходная картина. Наибольшая пластическая зона, очевидно, наблюдается в изотропном случае. Разница в значениях безразмерного радиуса пластической зоны для вариантов 1 и 4 достигает 8%, но это при различных значениях приложенной нагрузки, а в пересчете на реальный радиус достигает 28% — это почти треть радиуса.
центр ы ЯгЗ Я
Наконец, вернемся к вопросу о правомерности сопоставления теории течения и теории малых упруго-пластических деформаций и подтвердим результатами расчета предположение о реализации простого нагружения вблизи центра пластины. Для этого сделаем расчет параметра ш, который является аналогом угла вида напряженного состояния и характеризует угол отклонения направлений главных осей девиатора напряжений от направлений главных осей девиатора деформаций сдвига. На рис. 3 приведены результаты расчета всех случаев от момента появления пластической зоны внизу пластины, до смыкания пластических зон. Момент смыкания зон регистрируется выполнением условия
Хз(0)+ Х4(0) = 0.
На рис. 3 видно, что параметр ш вблизи центра пластины меняется медленно, а чем дальше, тем быстрее. Линейное возрастание этого параметра начинается приблизительно при значении параметра радиуса пластины 0.6г. Следовательно, рассмотрение задачи до достижения пластическими областями этого размера абсолютно правомерно.
Наконец, сопоставим величины отношения параметра нагрузки и радиуса пластической области для разных расчетных случаев. Пусть
з = -Р
Это позволит качественно оценить скорость распространения пластичности по поверхности пластины. Получаем соответственно: вариант 1 — в = 0.045; вариант 2 — в = 0.043; вариант 3 — в = 0.050; вариант 4 — в = 0.044. Вывод следующий: в трансверсально-изотропной пластине скорость распространения пластичности по поверхности пластины является наибольшей, а учет эффекта ББ существенно снижает ее, приближая к значениям изотропного варианта.
значение параметра oj
0,013
0,022 0,020 0,018
7V/2
расчета
значение безразмерного радиуса р
Рис. 3
Результаты проведенного расчета позволяют также исследовать зависимость (параметр нагрузки — глубина пластических областей) и находить значения напряжений и деформаций в любой точке пластины.
Pavilaynen G. V. The bending of thin circular plastic anisotropic plates.
The system of nonlinear differential equations for bending thin circular plastic anisotropic plates with different strengh effect (SD) are considered. Numeric results comparison finds out the increase of strong characteristics of SD plates.
Литература
1. Рыбакина О.Г. Критерий текучести анизотропного материала, обладающего эффектом SD // Исследования по упругости и пластичности. Л., 1982. №14. С. 132-142.
2. Druker D.C., Stockton F.D. Instrumentation and fundamental experiments in plasticity // J. Proc. of the Soc. for Experim. Stress Analysis. 1953. Vol. 10, N 2.
3. Павилайнен Г.В. Исследование упругопластического изгиба трансверсально-изотропных круглых пластинок // Проблемы теории трещин и механика разрушения. Л., 1986. C. 146-158.
4. Соколовский В.В. Теория пластичности. М., 1969.
5. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М., 1954.
6. Ыатвеева Е.В., Павилайнен Г.В. Учет эффекта разносопротивляемости материала при изгибе пластин // Вторые Поляховские чтения. Избранные труды. СПб., 2000. C. 294-304.
Статья поступила в редакцию 6 июня 2002 г.
Summary
