Коэффициенты зеркального отражения и пропускания электронов проводимости через шероховатую диэлектрическую прослойку Текст научной статьи по специальности «Физика»

Сер. 4. 2008. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ФИЗИКА

УДК 538.975

А. Е. Кучма, Д. В. Ковалевский, Н. В. Воронин

КОЭФФИЦИЕНТЫ ЗЕРКАЛЬНОГО ОТРАЖЕНИЯ И ПРОПУСКАНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ПРОВОДИМОСТИ ЧЕРЕЗ ШЕРОХОВАТУЮ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКУЮ ПРОСЛОЙКУ*)

Введение. Кинетические свойства слоистых квазидвумерных систем существенно зависят от рассеяния носителей тока на границах слоев (интерфейсах). На практике интерфейсы всегда оказываются в той или иной степени неидеальными. Важной разновидностью подобной неидеальности является геометрическая шероховатость, т. е. отклонение интерфейса от идеальной атомной плоскости, обусловленное случайными неровностями. Геометрическая шероховатость обуславливает ряд важных наблюдаемых физических эффектов, требующих учета при разработке новых устройств микро-и наноэлектроники, базирующихся на использовании слоистых систем.

Одним из ярких эффектов такого рода является эффект гигантского магнитосо-противления (ГМС) в металлических многослойных системах ферромагнитный металл - немагнитный металл, открытый в конце 1980-х гг. (авторам открытия в 2007 г. присуждена Нобелевская премия по физике). Сопротивление некоторых подобных систем (Ее/Сг, Со/Си и др.) значительно изменяется по величине при изменении взаимной ориентации магнитных моментов (ферро- или антиферромагнитная ориентация) в соседних ферромагнитных слоях. Многочисленные эксперименты показали, что величина ГМС для конкретной многослойной системы оказывается очень чувствительной к статистическим характеристикам шероховатости интерфейса магнитный металл - немагнитный металл, а именно к средней амплитуде шероховатостей и корреляционной длине [1]. Вскоре после открытия этого эффекта корпорацией 1ВМ на его основе были разработаны и внедрены в массовое производство новые считывающие головки для жестких компьютерных дисков [2].

Следует упомянуть также магнитооптический эффект в многослойных системах магнитный металл - немагнитный металл и магнитный металл - диэлектрик, теоретически предсказанный в последнее десятилетие в работах [3, 4]. Показано, что оптические свойства таких многослойных систем, подобно эффекту ГМС, зависят от взаимной ориентации магнитных моментов в соседних ферромагнитных слоях. Это, в частности, открывает интересные перспективы бесконтактного зондирования систем с ГМС. Величина рассчитанного магнитооптического эффекта, как и эффекта ГМС, оказывается весьма чувствительной к степени шероховатости интерфейсов: в частности, при идеально гладких интерфейсах эффект оказывается строго нулевым. Таким образом, явный

*) Работа поддержана грантом Правительства Санкт-Петербурга для молодых кандидатов наук (проект PD07-1.2-77) и выполнена в сотрудничестве с Международным центром по окружающей среде и дистанционному зондированию имени Нансена.

© А. Е. Кучма, Д. В. Ковалевский, Н. В. Воронин, 2008

учет неидеальности интерфейса становится в данном случае одним из ключевых звеньев теоретической схемы.

Если электроны туннелируют через тонкий шероховатый интерфейс из одного проводящего слоя в другой, граничное условие для добавки к равновесной функции распределения можно сформулировать в терминах коэффициентов зеркального отражения и пропускания, как это и было сделано в [3, 4]. При этом эффект туннелирования описывался на основе решения стандартной квантовомеханической задачи для гладких интерфейсов, а для учета шероховатости приходилось привлекать дополнительные соображения. Простейшим из них, в принципе, могло бы стать использование постоянного коэффициента зеркальности р, подобно тому как это сделано в теории Фукса-Зондгеймера классического размерного эффекта в проводимости тонкой пленки [5, 6]. Однако такой подход сопряжен с рядом трудностей как практического, так и теоретического характера уже при интерпретации результатов измерений проводимости тонких однослойных пленок (большой разброс величины, рассчитанной различными авторами по результатам экспериментов для одного и того же материала, вплоть до нефизичных отрицательных значений, и т. п. [7]). Одной из причин указанных трудностей является явно упрощающее предположение теории Фукса-Зондгеймера о независимоти коэффициента зеркальности ни от величины, ни от направления квазиимпульса падающего на поверхность электрона.

Попытки учета угловой зависимости коэффициента зеркальности предпринимались несколькими авторами (обзор ранних работ в [8]), и наибольшую известность среди них получил подход Соффера [9]. Однако рассмотрение в [9] проведено для конкретной (гауссовской) модели автокорреляционной функции отклонений поверхности от средней плоскости, причем получившая известность простая замкнутая формула для угловой зависимости коэффициента зеркальности

где Н - среднеквадратичная высота шероховатости, Хр - длина волны де Бройля, $ - угол падения или отражения, справедлива лишь в пределе нулевой корреляционной длины («предельно шероховатая» поверхность).

В настоящей работе рассмотрена альтернативная простая модель для расчета зависящих от величины и направления квазиимпульса электрона коэффициентов зеркального отражения и пропускания через тонкую шероховатую диэлектрическую прослойку, справедливая при различных формах корреляционной функции и ее параметрах (в частности, при произвольном соотношении корреляционной длины шероховатостей и фермиевской длины волны электронов).

Постановка задачи. Рассмотрим систему, состоящую из двух полубесконечных проводящих слоев (металлических или полупроводниковых), разделенных тонкой шероховатой диэлектрической прослойкой средней толщины Ьо (рис. 1а). Направим ось г перпендикулярно средней плоскости прослойки, тогда любой точке системы сопоставляется пара (гц ,г), где гц - радиус-вектор в плоскости прослойки. Пусть локальная толщина прослойки в точке гц равна Ь(гц) = Ьо + ДЬ(гц). Высота потенциального барьера в диэлектрике ив превышает кинетическую энергию электрона проводимости, однако поскольку Ьо составляет всего лишь несколько монослоев, электроны способны туннелировать через барьер. Эффективная масса электрона в левом проводящем слое равна тх, в правом - Ш2. Кроме того предполагается, что между проводящими слоями

а)

я

§

и

о

я

§

и

о

ц,

Е

и

I

б)

Рис. 1. а) Полубесконечные проводящие слои, разделенные шероховатой диэлектрической прослойкой; б) Схематическое изображение одномерного сечения модельного потенциала в некоторой точке прослойки г у

существует разность потенциалов V* (если слои образованы из разных материалов, и* может быть обусловлена разностью их фермиевских энергий; если слои образованы из одного и того же ферромагнетика, она может быть обусловлена противоположной ориентацией намагниченностей в слоях, что создает эффективную разность потенциалов для электрона с определенной проекцией спина на выделенное направление). Требуется рассчитать коэффициент зеркального отражения электрона от шероховатой диэлектрической прослойки, а также коэффициент пропускания через прослойку.

Дельтаобразный потенциальный барьер. Ниже шероховатая прослойка будет моделироваться дельтаобразным потенциальным барьером с зависящей от гц мощностью. Обсудим сначала соответствующий предельный переход на примере идеально гладкой прослойки. В данном случае уравнение Шредингера имеет вид

П2к2

Тг_д_

~2дг

1

г(г) дг

+ + и(г)Я> = ЕЯ>,

2т

(1)

где кц - параллельная плоскости прослойки составляющая квазиволнового вектора к, а профиль потенциала дается зависимостью (рис. 1б)

V (г)

0,

ио,

и„

г < 0,

0 < г <Ь0, г > Ьо.

Проинтегрируем уравнение (1) по толщине прослойки, принимая, что при поперечном движении от левой до правой ее границы волновая функция электрона меняется

незначительно, а также пренебрежем кинетической энергией электрона по сравнению с высотой потенциального барьера в прослойке, т. е. положим

Н2к2 тт . .

< ив. (2)

Е

2т1

В итоге, придем к соотношению

Ф'(+0)

Ф'(-О) _ 2ЦвЬо Гг2

Ф(0).

(3)

т2 т1

Малое изменение волновой функции на толщине прослойки приводит также ко второму соотношению

Ф(+0) = Ф(-0). (4)

0

т

т

_

2

Граничные условия (3)-(4) вместе соответствуют ситуации, когда потенциальный барьер в области прослойки заменяется дельтаобразным потенциалом Цоб(г) мощностью и0 = иоЬ0 (модель Кронига-Пенни [10]).

Рассматривая структуру решения исходного уравнения (1) и учитывая (2), убеждаемся, что для малого изменения волновой функции в прослойке достаточно потребовать выполнения неравенства

УЗтЫТо, 1

----г----Ъ0 < 1,

п

накладывающего ограничение на среднюю толщину прослойки. Здесь то - эффективная масса в диэлектрической прослойке (т(г) = то при 0 < г < Ьо). Отметим, что то является во многом подгоночным параметром развиваемой теории, так как само понятие эффективной массы предполагает наличие зонной структуры, последняя же обусловлена периодичностью кристаллической решетки, а в изучаемой системе толщина диэлектрической прослойки составляет всего лишь несколько монослоев.

Обратимся теперь к случаю шероховатой прослойки. Обобщением развитой выше модели на данный случай является дельтаобразный потенциальный барьер Цэ(гц )8(г) с зависящей от Г| мощностью и0(гц) = и0 + Ди(гц), где Ди(гц) = иоДЬ(гц). При этом граничные условия (3)-(4) принимают вид

Ф^гц.+О) Ф^гц.-О) 21МП)_ч (5)

т2 т1 П2

Ф(гц, +0)=Ф(гц, —0). (6)

Условие сшивания решений на шероховатом интерфейсе (5) допустимо применять лишь при выполнении дополнительного ограничения на величину шероховатости, так как мы рассматриваем разность производных не на истинной границе прослойки (координата г которой, вообще говоря, зависит от гц), а при г = 0. Поэтому должны потребовать, чтобы фаза волновой функции незначительно изменялась на расстояниях Дг ~ ДЬ(гц). Для г < 0 имеем: Ф(гц, г) ~ вгкг2, откуда приходим к условию

кг\](ДЬ2) < 1, или кг 1 <§; 1. (7)

ио

Поскольку для моделирования явлений переноса интерес представляют электроны, движущиеся с фермиевской скоростью, в связи с ограничением (7) следует отметить, что при развитых шероховатостях предложенная модель применима для металлов только для описания скользящего падения электронов на интерфейс. Для полупроводников же область применимости модели оказывается намного шире, т. к. фермиевская длина волны для них в десятки раз больше, чем для металлов, и при малых толщинах диэлектрической прослойки расчеты можно вести при произвольных углах падения.

Теория возмущений для задачи рассеяния на интерфейсе. Удобно перейти к импульсному представлению в плоскости прослойки. Наложим периодические граничные условия (период равен Ь), так что кц принимает только дискретные значения: кц = (2пп1/Ь, 2пп2/Ь), где п1, п2 - любые целые числа. Преобразование Фурье имеет вид

фкц(» = ^ У Ф(гц,ф-гк11г11сй”||, (8)

(«)

где S = Ь2. Обратное преобразование дается рядом

Ф(гц,г)=5>(к||,фгк"г"

км

Применяя преобразование Фурье (8) к граничному условию (5) и замечая, что произведение ^о(гц)Ф(г||, 0) переходит в свертку, приходим к соотношению

»к„(-Н» »ь,(-0) ЭДф (0)+2у, (9)

я

В правой части (9) фигурирует Фч, для которого следует выписать аналогичное равенство

П(+°) фд(~°) _ 2^0, { Л 2_

Ш2 т\ К2 я К2 ^ ч ч ч

т/Фч(0) + ^ЕЛ^-Ч'Фя'(°)’ (10)

ч

причем достаточно рассмотреть (10) при q = кц, так как при q = кц в сумме в (9) Фкц домножается на Ли0 = 0 (среднее от добавки к потенциалу, пропорциональное средней добавочной толщине прослойки, по определению считаем равным нулю). Далее следовало бы выписать аналогичное (10) равенство для Фч/ и т.д. Желая замкнуть бесконечную цепочку равенств, применим теорию возмущений в первом порядке. Считая возмущение падающей монохроматичной волны малым и учитывая, что q = кц, можем оставить в сумме в правой части (10) лишь одно слагаемое:

ФЧ(+0) ФЧ(—0) 2и0 2

= 1^фч(0) + ^Л£/ч-к||Фк||(0). (И)

т2 т1 п2 п2

С помощью (11) Фч(0) может быть выражено через Фкц (0). Действительно,

при г < 0 (левый проводящий слой) Фч(г) ~ ехр(—*к12г), т.е. имеем отраженную от про-

слойки волну (падающая волна отсутствует ввиду того что q = кц, а исходная блохов-ская волна предполагалась монохроматичной). При г > 0 (правый проводящий слой) Фч(г) ~ вхр^к2гг) (прошедшая волна). Амплитуды прошедшей и отраженной волн

должны быть равны между собой в силу вытекающего из (6) условия Фч(+0) = Фч(—0),

при этом данные амплитуды в точности равны Фч(0). Сшивая решения, получим:

2 Лиа_к||

Фч(°) = ^2 ъкг^д) И*2,(д) 2Ц„ ФкИ ^

ТП1 7П2 Ь2

где

ки(д) = ^ —-2--------д2, к2г{д) = \1-----------р----------Ч2 ■ (13)

Подставляя решение (12) в (9), приводим граничное условие для квазиволнового вектора к| к виду

Фк (+0) Фк (—0) 2и „

к"1 ' к"1 ' еЯФк||(0), (14)

Ш2 ші Ь2

где Це® - эффективная мощность дельтаобразного барьера

1,- = "' + гЕа„1 'Х.,Г к- <15>

<} ТП 1 ГҐІ2 Ь2

Второе условие - непрерывность волновой функции - остается без изменений:

Фк|, (+0) = Фк|, (-0).

Выполняя в (15) стандартный переход от суммирования по квазидискретным волновым векторам к интегрированию

5

и производя усреднение по ансамблю реализаций прослойки со случайной шероховатостью, приходим к соотношению

Ueff = ио +

25

(2%Н)2

с1ц-

(Аикп -qAU'q-k|, )

кг^(д)

+

гк2^(д)

т2

ШI

П2

(17)

Для применимости теории возмущений добавки к волновой функции при q = кц должны быть малы по сравнению с невозмущенной волновой функцией. Это приводит к ограничению

уДЫР)

ио

на среднеквадратичную случайную добавку к мощности дельтаобразного потенциала. Последнее условие означает малое значение среднеквадратичной случайной добавки к толщине прослойки по сравнению со средней толщиной прослойки: у/(ДЬ2)/Ьо <С 1.

Коэффициенты зеркального отражения и пропускания. Выведенные условия сшивания волновых функций на шероховатом интерфейсе (14), (16) имеют, формально, такую же структуру, как и для гладкого интерфейса, однако эффективная мощность дельтаобразного барьера и^, согласно (17), оказывается зависящей от квазиимпульса электрона. Формальное сходство со случаем гладкого интерфейса позволяет стандартным образом рассчитать коэффициенты зеркального отражения и пропускания через шероховатую прослойку. Волновая функция в первом слое представляется в виде суммы падающей и отраженной волн

*кп (х) = егкл* г + А(кц )е

-гк\яг

х < 0,

(18)

а во втором слое она имеет вид прошедшей волны

*кп (х)= В(кц )е*к2‘г,

х > 0.

(19)

В (18)—(19) к\г и могут быть найдены по формулам (13), в которые вместо ц подставляется кц. Подстановка (18)—(19) в (14), (16) приводит к следующим выражениям для коэффициентов зеркального отражения и пропускания:

Й12 = |А|2 =

2

п2

Жа

п2

(20)

Т12 =

|В|2

к1г

т1

.£2г '

т2 у

при вещественном к2г при мнимом к2г.

(21)

тл

2

2и

к

—г

Вновь подчеркнем, что в (20)—(21) величина иед- зависит от квазиимпульса. Кроме того, согласно (17), она, вообще говоря, является комплексной величиной. Это приводит к тому, что для коэффициентов зеркального отражения и пропускания через шероховатый интерфейс не выполняются свойства, привычные для случая гладкого интерфейса. Так, например, не имеет места условие обратимости: коэффициент пропускания из первого слоя во второй не равен таковому при обратном движении из второго слоя в первый: Т12 = Т21. Кроме того, сумма коэффициентов зеркального отражения и пропускания оказывается меньше единицы: Д12 + Т12 < 1. Последнее неравенство проще всего проиллюстрировать на примере полного внутреннего отражения (Т12 = 0) — все электроны, падающие на шероховатый интерфейс из первого слоя, отражаются обратно, но не все из них отражаются зеркально, поэтому Д12 < 1.

Модели корреляторов. Для численных оценок коэффициентов зеркального отражения и пропускания необходимо тем или иным образом конкретизировать входящий в (17) коррелятор добавки к потенциалу в импульсном представлении (Дик||_чДич_кц), который связан преобразованием Фурье с коррелятором в координатном представлении Г(гц — г'ц) = (Ди(гц)Ди(г'ц)):

(Д[/кД[/_к) = ±1 ,Р(ц)е-ШгЫц = ^к. (22)

я

Рассмотрим несколько конкретных моделей коррелятора.

а) Дельтаобразный коррелятор. При очень плавных шероховатостях Г5(р) = (Ди(гц)Ди(г'ц))5 = (Ди2) и, согласно (22), коррелятор в импульсном представлении может быть аппроксимирован дельта-функцией:

4п2

(Д[/кД[/_к)5 = —(Д[/2)5(к).

Тогда из (17) немедленно получаем

ттЪ =Т! , 2 (АЦ2)

ГП\ ТП2 ь2

б) Гауссовский коррелятор. Если коррелятор в координатном представлении имеет, как это часто предполагается, гауссовский вид

Гс(р) = (Ди (г)Ди (г'))с = (Ди2)е_«22(г_г')2/2, где цо соответствует обратной корреляционной длине, то в импульсном представлении

_ 2л (АЦ2) -5 <7§

(Д£/кД£/_к)с = —Д-е ^§. (24)

После подстановки (24) в (17) в интеграле по q можно перейти к полярным координатам. Интегрирование по углу сводит (17) к однократному интегралу:

Т (

2(Ли2) Г ч1° Ы)

и^=и0+ 'е ^ , . 4 V, .-—(25)

(%о) У ^іг(д) I ^2г{д) _ Шо 4 '

п ті 7П2 й,2

2

к

е

где I0(Z) - модифицированная функция Бесселя [11]:

_п

При ц0 ^ 0 (предельно гладкие шероховатости) гауссовский коррелятор переходит в дельтаобразный, а (25) — в (23).

в) Полиномиально-гауссовский коррелятор. Две вышеприведенных модели коррелятора (дельтаобразная и гауссовская) обладают одним общим недостатком. Рассмотрим коррелятор в импульсном представлении при к = 0. Поскольку при нулевом волновом векторе преобразование Фурье от Ди(г), согласно (8), сведется к усреднению Ди(г) по площади 5, то в пределе больших площадей, по определению Ди (г), результат будет нулевым. Таким образом, на нулевом волновом векторе коррелятор в импульсном представлении должен обращаться в нуль, что не имеет места ни в случае дельтаобразного, ни в случае гауссовского коррелятора.

Желая удовлетворить новому дополнительному условию, используем модельный полиномиально-гауссовский коррелятор вида

(Д[/кД[/_к)рс = 5 цо

Видно, что теперь при к = 0 коррелятор обращается в нуль. В координатном представлении имеем:

(Ди(г)Ди(г'))рс = (Ди2) (1 — ц2(г — г')2/2) е_?22(г_г')2/2. (26)

Вид коррелятора (26) показан на рис. 2.

Несложно заметить, что полиномиально-гауссовский коррелятор фактически может быть получен дифференцированием гауссовского коррелятора по параметру (с точностью до нормировочного множителя). Подобным же образом связаны и эффективные мощности дельтаобразного барьера в рассматриваемых двух случаях. Выполняя дифференцирование, приходим после ряда преобразований к результату

_я____

2<?п

1о . к\\ Ч\ 07, „Т ( к\\Ч

=и°+Jv" '

n m 1 7П2 h2

Идентичные проводящие слои. Рассмотрим подробнее случай, когда левый и правый проводящие слои идентичны, т. е. mi = m2 = m, U* = 0, kiz = k2z. Для расчета явлений переноса интерес представляют электроны, характеризуемые фермиев-ским волновым вектором kp. Пусть угол падения электрона на интерфейс равен $, тогда kiz = k2z = kp cos$, кц = kp sin$. Рассчитаем коэффициент зеркального отражения R. Будучи безразмерным, он зависит лишь от безразмерных параметров задачи. Для случая дельтаобразиого коррелятора таковыми являются угол -9, отношение а = \J{AU2)/Uo и параметр

Й2^ = J2_Ef_ . }

Н mU0 кРЪ0 UD ’ V ’

где Ер = h2kp/2m - фермиевская энергия. Как отмечалось выше, параметр а должен быть малым для применимости теории возмущений. Отношение Ер/Ud, входящее

П

Рис. 2. Полиномиально-гауссовский коррелятор в координатном представлении

в (27), также должно быть мало, чтобы было оправдано приближение дельтаобразного барьера. Рассматривая случай полуметаллов и полупроводников и принимая среднюю толщину прослойки Ьо равной лишь нескольким монослоям, чтобы через нее было возможно туннелирование, получаем, что крЬо ^ 1; тем не менее, для некоторых ситуаций параметр в может считаться небольшим числом. В случае гауссовского или полиномиально-гауссовского коррелятора возникает еще один безразмерный параметр задачи

^ _ Чо _ Хр кр ?’0 ’

где Хр - фермиевская длина волны, г0 - корреляционная длина. Случай £ ^ 1 отвечает плавным (по сравнению с длиной волны электрона) шероховатостям, случай £ - «предельно некоррелированной» поверхности.

Коэффициент зеркального отражения в зависимости от введенных безразмерных параметров может быть представлен в виде

Яп

1 - а2/

где э ={5, G, PG},

1 — а2 /з — *Р сов -в

/8(М)

1

1 — *Р сов в ’

(28)

(29)

2

т

■ х!о

1 -

Зх,

(30)

/РС(р,£,3) = -е х

^2 I вт # \ т х Н--------Е2— I -/о

-Зх. (31)

У 1 -*рл/1 -£2Ж2

о

Ряд общих выводов можно сделать из анализа формул (28)-(31), не прибегая к непосредственным численным расчетам. Прежде всего, отметим, что при любой модели коррелятора для скользящих электронов (в ^ п/2) коэффициент зеркального отражения стремится к единице: такие электроны «не чувствуют» шероховатости.

Рассмотрим далее случай гауссовского и полиномиально-гауссовского корреляторов в пределе £ ^то. Из (30)-(31) видно, что при этом /с ^ 0, /рс ^ 0. Но, согласно (28), тогда коэффициент отражения стремится к своему значению для идеально гладкого интерфейса. Итак, «предельно некоррелированная» поверхность для электрона оказывается гладкой при любом угле падения.

Для случая дельтаобразного коррелятора легко получить приближенную формулу для коэффициента зеркального отражения, считая а и в малыми параметрами:

2

Я5 (в) = 1 — (1 + 4а2)в2 cos2 в = 1 — 1 + 4

(Д[/2)

Г/2

и0

( Н2 к р\‘ \тй^)

!в.

Принимая в = 0,3, находим для нормального падения (в = 0): в случае гладкого интерфейса Я5 = 0,910; если же принять а = 0,2, то Я5 = 0,896. Таким образом, шероховатости, для которых применима развитая теория возмущений, незначительно уменьшают коэффициент зеркального отражения, сам по себе достаточно близкий к единице.

Численные расчеты для коэффициента зеркального отражения приведены на рис. 3-5. Рис. 3 иллюстрирует монотонную угловую зависимость коэффициента зеркального отражения как для трех рассмотренных выше моделей коррелятора, так и для случая идеально гладкого интерфейса. Расчеты велись при а = 0,2, в = 0,3, £ = 2. Видно, что во всех трех случаях коэффициент зеркального отражения минимален при нормальном падении, а в случае скользящего падения он равен единице.

Рис. 4 иллюстрирует монотонную зависимость Я при нормальном падении от параметра £ для гауссовской и полиномиально-гауссовской модели коррелятора. Как отмечалось выше, при плавных шероховатостях (£ ^ 0) результат совпадает со случаем дельтаобразной модели коррелятора, а при «предельно некоррелированной» поверхности (£ ^ то) - со случаем отражения от идеально гладкого интерфейса.

Наконец, рис. 5 показывает монотонное убывание Я при нормальном падении с ростом амплитуды шероховатости (параметр а) для различных моделей коррелятора.

Подводя итог, можно констатировать, что для рассматриваемого случая идентичных проводящих слоев в области применимости развитой теории коэффициент зеркального отражения (сам по себе достаточно близкий к единице для идеально гладкого интерфейса) слабо зависит от структуры корреляционной функции, описывающей шероховатость поверхности, а также от значений ее параметров. Введенная модель полиномиально-гауссовского коррелятора, использование которой разрешает методическое противоречие, присущее использованию дельтаобразного или гауссовского

е

2

£

2

2

х

е

£

£

0, deg

Рис. 3. Зависимость коэффициента зеркального отражения от угла падения 5 в случае идентичных проводящих слоев для идеально гладкого интерфейса (smooth) и шероховатого интерфейса с дельтаобразной (5), гауссовской (G) и полиномиально-гауссовской (PG) моделями коррелятора: для расчетов выбраны значения параметров а = 0,2, в = 0,3, Е, = 2

коррелятора, при численных расчетах приводит к результатам, сходным качественно и количественно с получаемыми в модели гауссовского коррелятора.

Заключение. Предложенная простая модель для расчета коэффициентов зеркального отражения и пропускания электронов проводимости через тонкую шероховатую диэлектрическую прослойку приводит к формулам (20)—(21) для указанных коэффициентов, формально имеющим ту же структуру, что и для задачи об идеально гладком дельтаобразном барьере. Однако входящая в (20)—(21) эффективная мощность дель-таобразного барьера Ueff, определяемая соотношением (15), оказывается комплексной функцией, зависящей как от величины и направления квазиимпульса падающего электрона, так и от статистических характеристик шероховатости интерфейса. Вычисления для различных моделей корреляционной функции толщины прослойки привели к численно сходным результатам.

Предложенная модель может применяться для анализа широкого класса кинетических явлений в квазидвумерных слоистых структурах. В частности, авторы планируют использовать ее для расчета статической проводимости тонкой пленки с шероховатыми диэлектрическими покрытиями.

1 10 100 Ь =

Рис. 4. Зависимость коэффициента зеркального отражения при нормальном падении от параметра £,, характеризующего корреляционную длину шероховатости интерфейса:

обозначения те же, что на рис. 3; а = 0,2, в = 0,3 Я

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 а - (<Ди2>/ио)1'2

Рис. 5. Зависимость коэффициента зеркального отражения при нормальном падении от параметра а, характеризующего амплитуду шероховатости интерфейса:

обозначения те же, что на рис. 3; в = 0,3, Е, = 2

Kuchma A. E., Kovalevsky D. V., Voronin N. V. Specular reflectance and transmittance of conduction electrons traveling through rough thin dielectric layer.

A system consisting of two conducting half-spaces separated by a rough thin dielectric layer through which the tunneling of conduction electrons takes place is considered. A simple model for calculating specular reflectance and transmittance of electrons through the layer is proposed. Their values depend on electron incidence angle, the magnitude of its quasi-momentum, and statistical properties of interface roughness. The general formulae are made specific for three models of roughness correlation function (delta function, Gaussian and polynomially Gaussian) and are illustrated by numeric computations. The developed model can be used for the description of broad range of kinetic phenomena in quasi-two-dimensional layered structures.

Key words: quasi-two-dimensional systems, rough interfaces, specular reflection.

Литература

1. Tsymbal E. Y., Pettifor D. G. Perspectives of giant magnetoresistansce // Solid state physics. / Ed. by H. Ehrenreich and F. Spaepen, Academic Press, 2001. Vol. 56. P. 113-237.

2. Dagotto E. Nanoscale phase separation and colossal magnetoresistance. Springer, 2002. P. 393-403.

3. Кубраков Н. Ф., Звездин А. К., Звездин К. А., Котов В. А., Аткинсон Р. Новый ин-тенсивностный магнитооптический эффект в материалах, обладающих гигантским магнито-сопротивлением // Журн. эксперим. теор. физ. 1998. Т. 114. № 3(9). С. 1101-1114.

4. Белотелов В. И., Звездин А. К., Котов В. А., Пятаков А. П. Негиротропные магнитооптические эффекты в магнитных тонких многослойных пленках металл-диэлектрик // Физ. тверд. тела. 2003. Т. 45. № 10. С. 1862-1869.

5. Fuchs K. The conductivity of thin metallic films according to the electron theory of metals // Proc. Camb. Phil. Soc. 1938. Vol. 34. P. 100-126.

6. Sondheimer H. The mean free path of electrons in metals // Advan. Phys. 2001. Vol. 50. P. 499-537.

7. Leung K. M. Electrical resistivity of metallic thin films with rough surfaces // Phys. Rev. (B). 1984. Vol. 30. P. 647-658.

8. Ларсон Д.-К. Размерные эффекты в электропроводности тонких металлических пленок и проволок // Физика тонких пленок / Под ред. М.-Х. Франкомба и Р.-У. Гофмана. М., 1973. Т. 6. С. 97-170.

9. Soffer S. B. Statistical model for the size effect in electrical conduction // J. Appl. Phys. 1967. Vol. 38. P. 1710-1715.

10. Харрисон У. Теория твердого тела. М., 1972.

11. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М., 1973.

Принято к публикации 10 июня 2008 г.