О центре алгебры рациональных когомологий некоторых пространств петель относительно умножения Понтрягина Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таким образом, \\/пк — /пр \\+ ^ 0 при к,р ^ откуда ввиду доказанной леммы получаем, что последовательность (¡пк) фундаментальна по метрике ря. Итак, последовательность (/п) содержит сходящуюся подпоследовательность (/пк), и теорема 2 доказана.

Автор выражает искреннюю благодарность В. И. Гаврилову, предложившему тему и руководившему исследованиями, и А. В. Субботину за обсуждение результатов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ганжула Л.М. Об одной F--алгебре голоморфных функций в верхней полуплоскости // Math. Montisnigri. 2000. XII. 33-45.

2. Ефимов Д.А., Субботин А.В. Некоторые F-алгебры голоморфных функций в полуплоскости // Math. Montisnigri. 2003. XVI. 69-81.

3. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.

4. Данфорд Н, Шварц Дж.Т. Линейные операторы, общая теория / Пер. с англ. М.: ИЛ, 1962.

5. Кусис П. Введение в теорию пространств Hp. М.: Мир, 1984.

6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

Поступила в редакцию 13.12.2006

УДК 515.145.5, 515.146.39, 512.554.32

О ЦЕНТРЕ АЛГЕБРЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ КОГОМОЛОГИЙ НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВ ПЕТЕЛЬ ОТНОСИТЕЛЬНО УМНОЖЕНИЯ ПОНТРЯГИНА

А. Ю. Онищенко

Введение. Пусть X — гладкое односвязное четырехмерное многообразие. На когомологиях его пространства петель ОХ умножение Понтрягина задает структуру ассоциативной, но, вообще говоря, некоммутативной алгебры. В данной работе вычисляется центр Н*(ОХ, относительно умножения Понтрягина в случае, когда второе число Бетти 62 = 62 (X) больше 1.

Эта задача допускает следующую переформулировку. В работе [1] построено умножение Уайтхеда-Самельсона, которое задает на гомотопических группах п*(ОХ) структуру градуированной алгебры Ли. Как известно [2], имеет место изоморфизм Н*(ОХ) = и(п*(ОХ)). Поэтому вычисление центра алгебры Н*(ОХ, о^) сводится к вычислению центра универсальной обертывающей алгебры Ли и(п*(ОХ) ®

В работе [3] вычислена алгебра Ли Ь = п* (ОХ) ® для полных пересечений, частным случаем которых являются односвязные четырехмерные многообразия. Из этой работы следует, что для рассматриваемых нами многообразий Х градуированная алгебра Ли Ь задается одномерными образующими X 1,..., Хп, где п = &2, и соотношением ^ е][хг,х]] = 0. Здесь матрица (е^) определяется так. Умножение на двумерных когомологиях Х задает двойственное отображение А : Н4 (Х, ^ Н2 (Х, ® Н2 (Х, . Пусть у1,...,уп — базис Н2(Х,о^), а [Х] — фундаментальный цикл многообразия Х. Тогда А[Х] имеет вид ег]Уг ® у]. При гомоморфизме Гуревича элемент Хг € п\(О,Х) = П2(Х) переходит в уг для всех г.

Всюду в дальнейшем гомологии и когомологии рассматриваются с коэффициентами в Также будем считать, что матрица (е^]) приведена (над к диагональному виду.

Основным результатом работы является следующее утверждение.

Теорема 1. В случае Ь2 > 2 центр алгебры и(Ь) тривиален. В случае Ь2 = 2 центр порождается элементами [Х1,Х2] и [Х1,Х1].

Заметим, что для случаев 62 =0 и 62 = 1 центр 2(Н*(ОХ; может быть вычислен достаточно просто. При 62 = 0 когомологии пространства петель ОХ порождены двумя образующими: Н*(ОХ; = Л(хз) ®Р(уб), где Л(хз) — внешняя алгебра от трехмерной образующей, а Р(уб) — полиномиальная алгебра от шестимерной. В данном случае [хз,хз] = уб, [хз,уб] = [уб,уб] = 0. При 62 = 1 нетрудно показать, что Н*(ОХ; = Л(х1) ® Р(у4). Здесь все элементы коммутируют, поэтому 2(Н*(ОСР2; 0>)) = Л(х1) ® Р(у4).

Вернемся к общему случаю. Свободную градуированную алгебру Ли Ь = Ь(х1,...,хп) будем рассматривать как подпространство в свободной тензорной алгебре Т = Т(Х1,... ,хп). При этом коммутатор

определяется формулой [x,y] = x ® y — (—1)degxdegyy ® x. В алгебре Ли L элемент ^ Sij[xi, Xj] порождает идеал I, а в алгебре T этот же элемент порождает ассоциативный идеал J. Тогда U(L) = U(L/I) = T/J.

Нетрудно проверить, что элемент x принадлежит Z(U(L)) тогда и только тогда, когда [x,xi] = 0

n

для любого i = 1,...,n. Поэтому Z(U(L)) = (П Xj)/J, где Xi = {x Е T(xi, ...,xn)\[x,xj\ Е J}. Таким

i=1

образом, задача поиска центра сводится к задаче поиска пространств Xi и их пересечения. Для решения этой задачи мы используем теорию базисов Гребнера-Ширшова.

Базис Гребнера-Ширшова идеала J. Приведем необходимые определения и свойства. Более подробное изложение можно найти в [4, 5].

На образующих xi, где i = 1,...,n, введем порядок xi > ••• > xn. Введем также два различных порядка на ассоциативных словах (мономах), составленных из символов xi,...,xn. Пустое слово будет соответствовать единице алгебры T.

Положим 1 > u для любого непустого слова u, uvi > UV2 при vi > V2 и xiU > xjv при xi > xj. Положим также u ^ v, если либо l(u) < l(v), либо l(u) = l(v) и u < v, где l(u) — длина слова u.

Для элемента u Е T обозначим через u его старший относительно порядка < моном.

Определение 1. Если существует слово w = a f = gb (w = f = agb), то ассоциативной композицией элементов f,g Е T относительно w называется выражение (f,g)w = af — gb (соответственно (f,g)w = f — agb).

Для элементов f,g Е T будем писать f = g mod (S,w), если f — g = ^ aiaiSibi, где ai — числовой коэффициент, ai, bi — мономы из T, Si Е S и aiSb ^ w.

Определение 2. Множество S называется замкнутым относительно ассоциативной композиции, если для любых f,g Е S существует слово w, такое, что (f,g)w = 0 mod (S,w).

Определение 3. Моном f называется 'редуцированным относительно S, если f = asb для любого элемента s Е S и любых мономов a, b.

Лемма 1 [4]. Любой моном v может быть представлен в виде v = ^ aivi + ^ f3jajSjbj, где все мономы ы редуцированы относительно S, cti,(3j Е Q, Sj Е S, cij,bj — мономы из Т, причем djSjbj^Qu.

Определение 4. Базисом Гребнера-Ширшова идеала свободной ассоциативной алгебры T называется порождающее этот идеал множество S, замкнутое относительно ассоциативной композиции.

Лемма 2. Базисом Гребнера-Ширшова идеала J является множество S = {fi, f2}, где fi = (еиxixi + ----+ ennxnxn)/eii, f2 = [xi,e22x2x2 +-----+ ennxnxn]/e22■

Доказательство. Покажем, что множество S замкнуто относительно ассоциативной композиции. Ассоциативная композиция элемента fi = xixi с самим собой может быть составлена двумя способами: относительно слова xixi (fi = fi = xixi) и относительно слова xixi xi (fixi = xifi = xixixi):

(f1, fi)xixi = fi — fi = 0,

(/l, /lbizizi = Xifi - fiXi = —(xix2x2 - X2X2Xi) H-----h — (xixnxn - XnXnXi) = — f2.

eii eii eii

Ассоциативная композиция f2 с собой не определена, так как не существует слова w, такого, что w = axix2x2 = xix2x2b. Остается рассмотреть ассоциативную композицию fi и f2. Она может быть составлена единственным способом, а именно по равенству fx2x2 = xif 2 = xixix2x2. Покажем, что (fi,f2)xiX1X2X2 = 0 mod (S,xixix2x2). Действительно,

(fi, f2)xi xix2x2 = fix2x2 — xif2 =

= —/i(fff Х3Х3 H-----h Irj£xnxn) + f2x 1 + {x2x2 H-----h ^xnxn)fi = 0 mod (S, xixix2x2)-

Здесь мы использовали то, что f ixixi = xixixixi ^ xixix2x2 для i > 2, f2xi = xix2x2xi ^ xixix2x2 и xixifi = xixixixi ^ xixix2x2 для i > 1.

Таким образом, система S = {fi, f2} замкнута относительно ассоциативной композиции, а следовательно, является базисом Гребнера-Ширшова идеала J. □

Ключевое для нас свойство найденного базиса заключается в следующем утверждении.

Лемма 3 [5]. Если S — базис Гребнера-Ширшова идеала J, то для любого элемента f Е J слово f содержит подслово S, такое, что s Е S ■

Вычисление центра Z(U(L)). Для начала вычислим пространство Xi. Остальные пространства Xi можно будет получить из Xi перенумерацией переменных.

Будем в дальнейшем использовать следующее обозначение: и = £k=2 — (£kk/£ii)xkxk- Покажем, что любое редуцированное относительно S выражение имеет однозначное представление специального вида. Лемма 4. Для любого многочлена y £ T существует единственное представление вида

y = ^ ик(xiAk + xi^kxi + Ckxi + Dk) mod (S), (1)

k=0

где многочлены Ak, Bk, Ck, Dk не содержат мономов, начинающихся на xi, x2x2 или оканчивающихся на xi, а Bk, Ck не содержат мономов степени 0.

Доказательство. Любой элемент y £ T можно представить в виде y = £ ukYk, где Yk не со-

k=0

держит мономов, начинающихся с x2x2. Можно заметить также, что если многочлен y редуцирован относительно S, то и ukYk будут редуцированы относительно S. Это означает, что для любого y £ T выполняется равенство y = £ ukYk mod (S), где Yk редуцированы относительно S и не содержат мо-

k=0

номов, начинающихся с x2x2- Выделим из Yk все мономы, начинающиеся с xi, заканчивающиеся на xi, начинающиеся и заканчивающиеся на xi, и все остальные мономы, не удовлетворяющие этим свойствам: Yk = xiAk + xiBkxi + Ckxi + Dk. Дополнительно потребуем, чтобы все мономы вида axi, где а £ Q, были отнесены к xiAk. В этом случае представление будет однозначным.

Покажем, что Ak, Bk, Ck, Dk удовлетворяют условиям леммы. Действительно, каждый из них не начинается с xi,x2x2 и не оканчивается на xi либо по построению, либо потому, что многочлен Yk редуцирован относительно S и не содержит мономов, начинающихся с Х2Х2• □

Лемма 5. Пусть многочлен y представлен в виде (1) и [xi,y] £ J. Тогда для коэффициентов представления имеют место соотношения

D'k + Е (ek-i,mx2(xix2)m + Pk,mj(m + 1)) +

m=0

+ £ ( — 1)|Bfc>™+ilBk,m(w(xix2)m + xi7(m)) = 0

(2)

m=0

(—i)KAk + Ck = 0, Bk-i + (—1)|Dk l+iDk = 0, Ak-i + Hk-i + £ (—ak-i,mx2 — ak,m[x2,u] + ( — 1)lCkmlCk,mU)(xix2)m +

m=0

+ £ (—ak,mx2 + (—1)lCk'mlCk,m)xiY(m) = 0,

m=0

где Ak, Bk m,Ck,m,D'k,№kопределены формулами (4)—(7).

Доказательство. Будем считать, что многочлен y представлен в виде (1). Приведем [xi,y] к такому же виду:

[xi, y] = [xi^ uk (xi Ak + xiBk xi + Ck xi + Dk)] mod (S). k=0

Заметим, что [xi,u] = 0 mod (S), так как xixi = и mod (S) и [xi, [xi,xi]] = 0. Следовательно, [xi,ukA] = uk[xi,A] mod (S), а значит,

[xi,y] = ^uk([xi,xiAk] + [xi,xiBkxi] + [xi,Ckxi] + [xi,Dk]) mod (S). (3)

¿'k<

k=0

Будем приводить правую часть равенства к виду (1) покомпонентно. Рассмотрим первое слагаемое:

uk[xi,xiAk] = uk+iAk + (—1)lAkUkxiAkxi mod (S).

Проверим, соответствует ли оно требованиям представления (1). Многочлен Ak не начинается с xi,x2x2, не оканчивается на xi и редуцирован относительно S, однако Ak может содержать мономы степени 0. Представим Ak следующим образом:

Ak = l^k + Ak, (4)

где ik £ Q, а Ak не содержит мономов степени 0. Тогда коммутатор [xi, xi Ak] может быть представлен в виде (1) следующим образом:

uk [xi,xiAk ] = uk+i(Ak + ik) + (—1)lAkluk xiAk xi mod (S).

Рассмотрим второе слагаемое в правой части формулы (3):

шк[х1,Х1 Бкхг] = шк+1Бкх1 + (-1)Б 1+1хгБкш шоё (5).

Легко видеть, что первое слагаемое удовлетворяет требованиям представления (1). Однако второе слагаемое может не быть редуцированным относительно 5. Это возможно, если Б к заканчивается на Х1Х2. Представим Бк в виде

Бк = (вк,тХ2 + Бк,т)(Х1Х2)т (5)

т=0

так, чтобы многочлены Бк,т не содержали мономов вида @Х2. Заметим, что Бк,т также не содержат мономов степени 0, поскольку Бк не содержит мономов, начинающихся на Х1, и мономов степени 0. Вычислим Х1Бкш.

Справедливо равенство Х1 х2ш = шх1х2 + х1[х2,ш] шоё (5), так как [Х1,ад] = 0 шоё (5). Следовательно,

т— 1

(х1 х2)тш = ш(х1х2)т + ^21(х1х2)гх1[х2,ш](х-[_х2)т—г—1 шоё (5).

г=0

Обозначим т—1 (х1Х2)гХ1[х2,ш](х1 Х2)т—г—1 через х^(т). Тогда Х1Бкш можно представить в виде

Х1Бкш = ^ вк,т(Х1 Х2)т+1ш Х1Бк,т(Х1 Х2)тШ =

т=0 т=0

= вк,тШ(Х1 Х2)т+1 + ^2 вк,тХ17(т + 1) + ^ Х1Бк,т(ш(Х1Х2)т + Х^(т)).

т=0 т=0 т=0

Все слагаемые этого выражения редуцированы относительно 5, так как Бк,т не содержит мономов степени 0, не оканчивается на Х1 и на Х1Х2. Все остальные требования представления (1) также выполнены. Рассмотрим теперь третье слагаемое в (3):

[Х1, СкХ1] = Х1СкХ1 + (-1)тСкш шоё (5).

Как и ранее, мы видим, что первое слагаемое удовлетворяет требованиям представления (1). Второе же может не быть редуцированным относительно 5, если Ск содержит мономы, оканчивающиеся на Х1Х2. Представим Ск таким образом:

Ск =^2 (ак,тХ2 + Ск,т)(Х1Х2)т. (6)

т=0

Тогда С к ш в представлении (1) будет иметь вид

Скш = ^2 (ак,тХ2 + Ск,т)(Х1 Х2)тш = ^ (ак,тХ2 + Ск,т)(ш(Х1Х2)т + х^(т)) =

т=0 т=0

= Е (ak,m((ux2 + [x2,w]) + Ck,m^)(xix2)m + ^ (ak,mx2 + Ck,m)xiY(m) mod (S).

m=0 m=0

Запишем четвертое слагаемое [xi,Dk] формулы (3) в виде (1): [xi,Dk] = xiD'k + (—1)IDkl+i(D'k)xi, где

Dk = Xk + D'k, (7)

а Dk не содержит мономов степени 0. Окончательное представление [xi,y] имеет вид

[xi,y] = J2 шkxi

Dk +Y1 (ek-i,mx2(xix2)m + I3k,m7 (m + 1))

m=0

+

+ E E ^xi(—1)lBk-m+ilBk,m(^(xix2)m + xiY(m)) + ^ukxi((—1)\A'k\A'k + Ck)xi +

k m=0

+ ^ ик (Бк-1 + (-1)|дк 1+1Б'к )Х1 + ^ ик(А— + ^-1)+ к к

+ £ ^^ ( — ак-1,шХ2 — ак,т[Х2, И + ( — 1)1Ск-т1Ок,ти)(Х1 Х2)т+

к т=0

+ (—ак,тХ2 + ( — 1)Ск'т1Ск,т)Х17(т).

И

к т=0

По лемме 4 такое представление единственно. Но [Х1,у] € ■, т.е. [Х1,у] = 0 шоё (5). Следовательно, все коэффициенты такого представления должны быть равны нулю. Приравняв коэффициенты при мономах вида шк, шкХ\ шкХ\... Ж1, шк ... Х\ к нулю, получим систему уравнений (2). □

Найдем Ак ,Бк ,Ск ,Бк, удовлетворяющие системе уравнений (2).

Лемма 6. Если Ск,т,^к удовлетворяют системе уравнений (2), то Ск,т = 0,^к = 0. Доказательство. Предположим по индукции, что Сп,т — 0 для п < к. Докажем утверждение для п = к. Из второго уравнения системы заключаем, что 1 = £ ак-1,тХ2(Х1Х2)т. Подставим это выражение в четвертое уравнение системы (2):

2^-1 + ак,т[Х2,и] + ( — 1)1Скт1Ск,т^)(Х1Х2)т +^( — ак,тХ2 + (-1)|Скт1 Ск,т)х^ (т) = 0.

т=0 т=0

Отсюда получаем ц.к-1 = 0, так как других мономов степени 0 в этом выражении нет. Кроме того, слагаемое Ск тш(х1 Х2)т содержит мономы, которые оканчиваются на Х2Х2(х1Х2)т. Других мономов такого вида в выражении нет, а следовательно, они должны взаимно сокращаться. Но это возможно только при

Скут = 0. □

Лемма 7. Пусть ак, т удовлетворяет системе уравнений (2). Тогда если п > 2, то ак,т = 0. Если же п = 2, то ак,т — любое число из Q.

Доказательство. С учетом того что Ск,т = 0 и цк = 0, четвертое уравнение приводится к виду

^2 -ак,т([Х2,И](Х1 Х2)т + Х2Х^(т)) =0.

т=0

При п = 2 выполнено [Х2,и] = 0, 7(т) = 0, а следовательно, уравнение вырождается к виду 0 = 0. Других условий на ак,т в системе (2) нет, а значит, ак,т может быть любым. Если же п > 2, то ак,т = 0, так как слагаемые вида ак>тХ2Х1^(т) начинаются с Х2Х1, а среди ак:ГП[х2, ш}{х\х2)т таких мономов нет. □

Лемма 8. Если Бк,т,Бк, вк,т удовлетворяют системе уравнений (2), то Бк,т = Бк = 0, вк,т = 0. Доказательство. Предположим по индукции, что Бп = Б'п = 0 для п < к. Докажем утверждение для п = к. Из третьего уравнения системы (2) заключаем, что Бк = 0. Подставив это в первое уравнение системы, получим

^2 вк, т7(т + 1) + Бк,т(и(х1 Х2)т + Х17(т)) = 0.

т=0

Выражение Бк,тш(х1 Х2)т содержит мономы, оканчивающиеся на Х2Х2(Х1 Х2)т. Других мономов такого вида в этом выражении нет, следовательно, Бк,т = 0. Подставив это равенство в предыдущее уравнение, получим £ (Рк,т1(,т + 1)) = 0- Следовательно, (Зк,т = 0. □

т=0

Обобщая результаты предыдущих трех утверждений, мы можем сформулировать условия на Ак,Бк, Ск,Ок для того, чтобы они удовлетворяли системе уравнений (2). Теорема 2. Система (2) имеет следующие решения: Ак = 0, Бк = 0, Ск = 0, Бк = \к € Q при п > 2;

Ак = £ ак,тХ2(х1 Х2)т, Бк = 0, Ск = £ ак,тХ2(х1 Х2)т, Бк = \к € Q при п = 2.

Доказательство. Действительно, из леммы 8 следует, что Бк = 0, Бк = \к. Из лемм 6, 7 следует, что Ск = 0 при п > 2 и Ск = £ ак,тх2(х1 Х2)т при п = 2. Из второго уравнения системы (2) получим А'к = Ск, и так как ¡лк = 0, то Ак = Ск- □

Используем теперь результаты теоремы 2, чтобы получить явный вид всех многочленов у € Т, удовлетворяющих условиям [Х1,у] € ■. Теорема 3. Если [х1, у] € ■, то

у = £ вк(е22Х2Х2 +-----+ еппХпХп)к + у', где у' € ■, вк € при п> 2;

у = £ ак,т(х2Х2)к[х1,Х2]т + у', где у' € ■, ак,т € 0>, при п = 2.

Доказательство. Подставим решения системы (2), полученные в теореме 2, в представление (1). В случае n = 2 дополнительно заметим, что Е ak, muk((xix2)m + (x2xi)m) выражается в виде

Е Рк,т{х2Х2)к[Х1,Х2}т mod (S). □

При n > 2 для y Е Xi можно найти более удобное выражение, чем в теореме 2. Действительно, е22x2x2 + ••• + ennxnxn = —eiixixi mod S, а следовательно, y = fik(xixi)k mod S.

Доказательство теоремы 1. Рассмотрим пересечение пространств Xi. Рассмотрим сначала случай n > 2. Покажем, что если i,j > 1, то Xi П Xj = J ф 1. Действительно, любой элемент в Xi можно представить в виде y = Е akx2k + y', аналогично для z Е Xj имеем z = Е @kx^k + z'. Если бы y и z совпадали, то Е akx2k — Е akx^k Е J, что невозможно, так как в силу критерия принадлежности старший член выражения должен был бы содержать xixi или xix2x2. Следовательно, Р| Xi = J ф 1.

В случае n = 2 мы можем заметить, что пространства Xi и X2 совпадают; более того, выражение y = Е ak,m(x2x2)k[xi,x2]m + y' описывает подалгебру, порожденную [xi,x2] и [xi,xi], так как [xi,xi] = ~^х2х2 mod (S).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Samelson H. A connection between the Whitehead and the Pontryagin product // Amer. J. Math. 1953. 75, N 4. 744-752.

2. Milnor J, Moore J.C. On the structure of Hopf algebras // Ann. Math. 1965. 81. 211-264.

3. Neisendorfer J. The rational homotopy groups of complete intersections // 1ll. J. Math. 1979. 23, N 2. 175-182.

4. Bokut L.A., Klein A.A. Serre relations and Groebner-Shirshov bases for simple Lie algebras // Int. J. Algebra Comput. 1996. 6. 389-412.

5. Бокуть Л.А. Неразрешимость проблемы равенства и подалгебры конечно определенных алгебр Ли // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1972. 36, № 6. 1173-1219.

Поступила в редакцию 14.02.2007