О течении в местной сверхзвуковой зоне при околозвуковом обтекании крылового профиля Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVIII 1 987 М2

УДК 533.6.011.35 : 629.7.025.73

О ТЕЧЕНИИ В МЕСТНОЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ЗОНЕ ПРИ ОКОЛОЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ КРЫЛОВОГО

ПРОФИЛЯ

В. А. Паньженский, А. С. Петров

Получены приближенные аналитические зависимости, описывающие поле скоростей в местной сверхзвуковой зоне крылового профиля, обтекаемого околозвуковым потоком идеального сжимаемого газа. Приведены сравнения с экспериментальными данными и расчетными исследованиями. Приведено приложение полученных результатов к расчету волнового сопротивления профиля.

В ряде практически важных задач околозвуковой аэродинамики необходимо знать закономерности течения в местной сверхзвуковой зоне, примыкающей к поверхности крылового профиля. В первую очередь это относится к задаче об определении волнового сопротивления профиля, для решения которой необходимо знать глубину сверхзвуковой зоны и распределение чисел М потока в ней. Приближенное аналитическое решение этой задачи было впервые дано в работе [1]. В работах [2—4] проведено экспериментальное исследование этой проблемы. Приближенный метод определения глубины сверхзвуковой зоны, основанный на экспериментально обнаруженном факте о приблизительно линейном характере распределения чисел М потока вдоль сказка уплотнения, предложен в работе [5].

Задачу, рассматриваемую в настоящей статье, можно поставить следующим образом. Пусть профиль обтекается плоскопар^ллельным потоком невязкого, термодинамически идеального сжимаемого газа с числом Маха Моо. На поверхности профиля известно распределение давления или местные числа М потока. Известно также начало местной сверхзвуковой зоны и форма контура профиля. Требуется определить поле скоростей в сверхзвуковой области течения.

Для решения поставленной задачи воспользуемся уравнениями Эйлера, записанными в естественной системе координат, в которой за направление координат линий выбрано направление касательной к линии тока C*F = const) и нормаль к ней. Уравнения получены А. А. Никольским в работе [6]

й» 1 1 д ,, , I

д%~~ « М! дп

дЬ - 1 I - М2 д ,, , I

дп ~~ % М* йт J

Здесь д —угол наклона вектора скорости к оси ох\ М — местное число

М потока; р — статическое давление жидкости; к= 1,4; я дп~ —

операторы дифференцирования по касательной к линии тока и по нормали к ней.

Уравнения (1) справедливы как для безвихревого, так и для завихренного течения газа без трения и теплопередачи. Ограничимся слу-

чаем безвихревого течения. В реальных течениях условие безвихрен-ности достаточно хорошо выполняется вне области пограничного слоя и до скачков уплотнения. В этом случае статическое давление потока р зависит только от местного числа М [7] (в случае вихревого течения давление зависит еще и от линии тока)

здесь ро — давление торможения.

Подставляя (2) в (1), получаем следующие уравнения:

/дМ\

а» \ п )

дх / у, — 1

М 1 + -д— М2

» <м,-')(4т)

дп [ % — 1

М ( 1 + —2~ М2

(3),

Начальные условия заданы на дуге АВ, принадлежащей поверхности профиля:

»|ля = М*); М|дв = М0(т). (4)

Точку А будем считать началом местной сверхзвуковой зоны, точку В,— ее концом. Уравнения (3) имеют локальный характер и в области справедливы лишь приближенно. Поэтому решение задачи Коши для уравнений (3) с начальными условиями (4) во всей местной сверхзвуковой зоне будет также носить приближенный характер.

Напомним геометрическии смысл производных и , входящих в левую часть уравнений (3). Нетрудно заметить, что

дд

есть кривизна линии тока, а — кривизна семейства линии, ортогональных к ним [8]. Введем обозначения:

На контуре профиля АГт совпадает с известной кривизной поверхности профиля Ко (*):

Ki\AB =— К0 ('с) .

Будем для определенности считать, что контур профиля на участке АВ выпуклый, не имеет плоских отрезков и точек перегиба. Вслед-

д К

ствие этого /С(т)<0. Будем считать также, что <С1, т. е. кривизна

контура профиля в области сверхзвуковой зоны близка к постоянной.

Нашей задачей является определение поля скоростей в пространстве местной сверхзвуковой зоны. Для ее решения проинтегрируем первое уравнение системы (3) вдоль линии, перпендикулярной линии тока, от поверхности профиля до точки (т, п) пространства. Вдоль этой линии т=const, и число М потока меняется от М0(т) на поверхности до неизвестной величины М (п, т) в точке (т, п)

п п м J

д М

Проводя интегрирование, и выражая М (т, п) через остальные величины, получаем

П

J К^ йп

М0(т)й°____________________

(6)

М(т, п)

V.

+ ■

1

2 (т)\1 -е °

П

г| кт_ ап

Функция К- (т, /г), входящая в правую часть полученного равенства, неизвестна. Для ее нахождения поступим следующим образом. Разложим К-. (т, п) в ряд Тейлора по степеням п:

дК

К,(т, Й) = /С0(х) + Т^

АВ

•П + ... .

(7)

М (т, п)

Ёсли ограничиться только главным членом разложения (7), то (6) принимает вид:

___________М0 (т)е^(т)'п_________

Vfr1 , Х“1 м2 , 2*0<х)-л\ (8)

1 +—2~Щ (*)|1 -е I

Так как по предложению Ко (г) <0, то числа М потока монотонно падают по мере удаления от поверхности профиля. Если теперь предположить дополнительно, что I/Со(тг) -п|<1 и разложить (8) по степеням этого малого параметра, то придем к линейному закону изменения скоростей в сверхзвуковой зоне, полученному в работе [5]:

М

(х, я) = Мо(т) + Мо(*)[і +2^Мо(^)]/СоМ-я + 0(Ко-я)2

(9)

Степень соответствия формул (8), (9) объективной реальности будет рассмотрена ниже.

Получим второй член разложения (7). Для этого заметим, что из (3) и (5) следует

= дКп_ . дп дъ ’ дт

д ( Кп \

дп \М2—1 / •

(10)

Тогда из второго уравнения системы (3) и из (10) следует

дп

дх

дх

/дМ\

М 1

•м»

Проводя дифференцирование, получаем

дп

(М5-1)М0

АВ

2 Мд (1

Мо|И м

+

М?(1 +

X ---- 1 ;,\2

О Мп

Здесь и далее введены обозначения:

Мп-^ М — а2М°

Формально М0 и М0 известны из начального условия (4) М | ав= = М0(т), и задачу нахождения дК"с. можно считать решенной. Од-

д п АВ

нако в практически важных случаях, когда Мо(т) заданы в дискретных точках поверхности профиля, их нахождение сопряжено со значительными погрешностями, так как связано с численным дифференцированием. Для того чтобы избежать этого, воспользуемся хорошо известным фактом о том, что разгон потока в местной сверхзвуковой зоне на поверхности крылового профиля происходит примерно в два раза медленнее, чем для соответствующего течения Прандтля—Майера. Этот факт хорошо подтверждается экспериментально [9]. «Классическое» течение Прандтля—Майера не может, как известно [10], содержаться в местной сверхзвуковой зоне профиля. Запишем уравнение течения Прандтля—Майера в следующем виде [11]:

аМ

М.^1 + ^-2^ мз | |/М2-]

(12)

При движении вдоль линии тока

= = сШ = М-йх.

Тогда (12) можно записать в виде

М=-рК;-М(1 +^М2')1/М2 — 1 . (13)

Здесь введен коэффициент р, который равен единице для течения Прандтля—Майера и половине для течения в местной сверхзвуковой зоне на поверхности профиля.

Теперь, используя (13), можно выразить М0 = М|лв и М0 = мив через значения числа М0 (х) и кривизны К0(*) в соответствующей точке поверхности. Подставляя их в (11), получаем

^7г1 в = 3Р2^о(М2о- 1)М§(1 +^М?)-В(М?-1)3/2^0- (14) Таким образом, для течения на профиле дК,

д п

Для течения Прандтля — Майера

лв=4- <м° -1) м02 (1 + V1 м°) - 4 (м°- 2)3/2 д~£

д п

АВ = 3 К\ (М2о - 1) М2о (1 + ^ м2) - (М2—1)3/2 ^°-

Окончательно получаем следующую приближенную зависимость для кривизны линий тока в местной сверхзвуковой зоне:

К, (х, п) = Ко (х) + 3 Г- Ко (х) (м2 - 1) м§ (1 + -^ Мо) Л-

— (М^—1)3/2Р^Я. (15)

Заметим, что кривизна линий, ортогональных линиям тока, легко получается из (13) и второго уравнения (3):

«) = — р (М2 — 1)3/2 /Ст Я).

Выпишем еще раз общую формулу, описывающую распределение скоростей в сверхзвуковой зоне:

М(т, п) —

М0е°

У*

Г Кх4п

/ у«

I к^п + Ч-мо\1-*°

(16)

I к, Лп « /С0У„ + 4- Р2 ЩМ1 -1) (1 + ^ М?) (/Со у„?

1 дА”

Отметим, что при р = 0 формула (16) совпадает с формулой (8),

полученной В предположении К, (т, п)^Ко{х). При описывает

течение в местной сверхзвуковой зоне профиля, а при р=1 — неограниченное течение Прандтля — Майера.

На рис. 1 приведено сравнение различных приближенных законов распределения скорости в сверхзвуковой зоне при М0=1,3. Видно, что при р = 1 и малых УпКо, формула (16) достаточно хорошо описывает точное поле скоростей неограниченного течения Прандтля—Майера. При этом следует отметить, что применительно к профилю, величинам

Уп Ло^О,15-^0,2 при характерной величине кривизны поверхности профиля /Со^0,3-г- 0,4 соответствует расстояние уп от поверхности, примерно равное половине его хорды. Расчеты проведены в предположении

О х

Расчеты по формуле (16) при р = 1/2 показывают, что в этом случае

отношение ^ чрезвычайно слабо зависит от М0(т), по крайней

^0 (Х)

мере, при изменении числа М0 от 1 до 1,3, что соответствует характерному случаю течения в местной сверхзвуковой зоне профиля. Эта особенность позволяет во многих случаях пользоваться универсальной зависимостью

^|-=/(/Ce«,Momax), (17)

соответствующей максимальному значению Мо в исследуемом диапазоне.

На рис. 2 эта зависимость приведена для числа М0=1,3 и дано ее сравнение с экспериментальными данными, полученными в работе [4] для крылового профиля 1. Кривизна верхней поверхности профиля 1 показана на том же рисунке. Все экспериментальные данные, относящиеся к разным числам Моо и Мо, удовлетворительно согласуются с универсальной кривой. Отметим, что линейный характер отношения М/М0 сохраняется только для очень малых значений параметра уп Ко-По методу [12—14] были проведены также специальные расчетные исследования схематического симметричного профиля 2, результаты которых приведены на рис. 3. Там же приведена кривизна поверхности профиля. Согласование расчетных данных с универсальной зависи1 мостью (17) можно считать удовлетворительным.

Некоторые количественные отличия, наблюдаемые в основном при сравнении с экспериментальными данными, объясняются, вероятно, неучетом влияния вязкости в теории и ее общим приближенным характером.

м/мв

0,9

08 -

оЛ

Расчет

о ЛС -0,87; М0 130 ; а = 1

л 0,81, 1,258, 1

О 0,85; 1253 , 1‘

V 0,8 7; 1,200, 0

о 0,85; 1,225; 0

Профиль 1

J

0,5 х

Расчет

по формуле (15) а о ^ (Мо~!,3)

Линейный

закон

ШвЧ,3)

±_

т

о,.10

Рис. 3

015

№ \УЛ\

Эксперимент [профиль 1)

Расчет (профиль 2)

1 УпЧ

' М„~0.65 \а = -/° ° Мх=0,85\

0,695; -Г * 0,87;

0,65 ; 3° ° 0,15;

■ 0,87 , .Г *

—расчет по формуле(18)

Из (16) можно получить важную для практических приложений формулу для глубины сверхзвуковой зоны Уо и высоты скачка уплотнения. Оставив в (16) только главные члены и учитывая, что на верхней границе г/о сверхзвуковой зоны М=1, получаем

у0«-щГГ1п(М0). (18)

На рис. 4 приведена следующая из (18) зависимость Уо\Ко\~ «1п(М0) и ее сравнение с результатами обработки экспериментальных и расчетных исследований профилей 1 и 2.

Формула (16), описывающая поле скоростей в местной сверхзвуковой зоне, может быть использована также для расчета волнового сопротивления профиля при его закритическом обтекании, если известна форма его контура и число М перед скачком уплотнения. На рис. 5 показан пример такого расчета, проведенного с использованием экспериментальных данных работы [2] и метода определения волнового сопротивления [1]. Поле скоростей в работе [2] определялось методом

Рис. 5

интерферометрии. Сплошной кривой на рис. 5 нанесены результаты, полученные с помощью формулы (16). В этом случае из экспериментальных данных использовалось только число М у основания скачка уплотнения. Точками на рис. 5 обозначены величины волнового сопротивления, полученные с использованием экспериментальных данных о поле скоростей по всей высоте скачка уплотнения. Согласование результатов следует признать удовлетворительным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Христиан ович С. А., Серебрийский Я. М. О волновом сопротивлении. — Труды ЦАГИ, 1944, вып. 550.

2. Боксер В. Д., Дмитриева В. Б., Невский Л. Б., Серебрийский Я. М. Определение волнового сопротивления профиля методом интерферометрии при околозвуковом обтекании. — Ученые записки ЦАГИ, 1975, т. 6, № 1.

3. Б о к с е р В. Д. Экспериментальное исследование высоты местной сверхзвуковой зоны и волнового сопротивления при околозвуковом обтекании профиля. — Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. 12, № 6.

4. П о т а п ч и к А. В. Экспериментальное исследование поля течения вблизи профиля при околозвуковых скоростях. — Труды ЦАГИ, 1979, вып. 2010.

5. Боксер В. Д., Серебрийский Я. М. Приближенный метод определения волнового сопротивления профиля при наличии местной сверхзвуковой зоны. — Ученые записки ЦАГИ, 1978, т. 9, № 5.

6. Никольский А. А. О плоских вихревых течениях газа.—

В кн.: Аэромеханика,—М.: Наука, 1976.

7. К очи н Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика, ч. II, — М.: Физматгиз, 1963.

8. Самойлович Г. С. Гидроаэромеханика. — М.: Машиностроение, 1980.

9. Серебрийский Я. М., Рыжкова М. В. Исследование местной сверхзвуковой зоны и аэродинамические характеристики профилей при скорости звука. — Труды ЦАГИ, 1948.

10. Н и к о л ь с к и й А. А., Таганов Г. И. Движение газа в местной сверхзвуковой зоне и некоторые условия разрушения потенциального течения. — ПММ, 1946, т. X, вып. 4.

11. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1970.

12. Mu rm an Е. and Cole J. Calculation of plane steady transonic flows. — Presented at AIAA 8-th Aerospase Scienses Meeting, New York, 1970.

13. Лифшиц Ю. Б. К теории трансзвуковых течений около Профиля.— Ученые записки ЦАГИ, 1973, т. 4, № 5.

14. Bauer F., Garabedian P., Korn D., Jameson A. Supercritical wing sections, II Lect. — Notes in Economics and Math.

Syst, 1975.

Рукопись поступила 18/If 1983 г.