CC BY
30
ГАЮРОВ Х.Ш., кандидат физикоматематических наук, доцент.
СОДИКОВА Х.М -соискатель.
Таджикский государственный университет права, бизнеса и политики.
О СУЩЕСТВОВАНИИ ДВУМЕРНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
СОЛИТОНОВ В МОДЕЛИ ИЗОТРОПНОГО КЛАССИЧЕСКОГО АНТИФЕРРОМАГНЕТИКА ГЕЙЗЕНБЕРГА
В последние десятилетия анализ неодномерных нелинейных возмущений в магнетиках становится важным направлением в физике твердого тела и конденсированных сред в связи с возможностью их экспериментального обнаружения [1 ,12, 13]. Особенно большое значение это направление приобретает в связи с открытием высокотемпературных сверхпроводников, где слоистая структура керамик представляет собой антиферромагнетик Си02. Особое место среди локализованных нелинейных возмущений занимают двумерные топологические солитоны (магнитные вихри), которые довольно подробно описаны в ферромагнетике [1].
С точки зрения физических приложений устойчивые частицеподобные решения нелинейных уравнений, описывающих антиферромагнетики, представляют наибольший интерес. Наличие топологических индексов (ненетеровских интегралов движения), часто называемых топологическим зарядом, открывает дополнительные возможности для существования частицеподобных решений [2-4], хотя, вообще говоря, не гарантирует их существования и устойчивости. Среди нелинейных моделей, допускающих существование локализованных полевых распределений с ненулевым топологическим зарядом, частный интерес представляют сигма-модели, широко использующиеся в физике твердого тела и конденсированного состояния, а также и в физике элементарных частиц [1, 5-6]. Физически важный класс сигма-моделей включает и гейзенберговские магнетики, в рамках этих моделей трехкомпонентный изовектор эа (х, ^), а = 1,2,3 (вектор
антиферромагнетизма) принимает свои значения на сфере £2 [1].
Ниже мы рассмотрим вопросы существования и устойчивости стационарных и динамических топологических солитонов в изотропной модели антиферромагнетика (АФМ) Гейзенберга.
Вначале рассмотрим двумерную 0(3) - симметричную сигма - модель, возникающую, в частности, при квазиклассическом описании изотропных антиферромагнетиков. Лагранжиан и плотность Гамильтониана есть
(1) ^ = 1 д^а^*а = 1 [(^0*а У к*а ^ }
$аяа = 1; ц = 0,1,2; к = 1,2; а = 1,2,3,
(2)
H = 1 [(50Sa )2 +(5kSa )2 ]
(подразумевается суммирование по индексам ц, к, а ). Решения, зависящие от времени, модели (1), подчиняются уравнениям Лагранжа-Эйлера, полученным из (1) с учетом условия = 1;
тогда как стационарные (Э5. = 0) локализованные решения описываются уравнением
соответствующего целым значениям функционала топологического индекса ^ называемого степенью отображения ВС на £2, В2 компактифицируется
топологические солитоны, являются также стационарными решениями в нерелятивистской модели классического ферромагнетика (ФМ) Гейзенберга и были аналитически найдены для произвольных Q = m в [4], там же было показано, что на этих "метастабильных" локализованных решениях достигаются локальные минимумы величины H st. Тем не менее, в связи с масштабной инвариантностью моделей ФМ и АФМ Гейзенберга, эти минимумы для заданных Q не являются изолированными, они формируют
однопараметрическое семейство локализованных решений
sa (х / R) уравнения (4), имеющих одинаковую энергию Hso/ = 4nQt. Таким
образом, для этих решений строгое неравенство S2Hst > 0 не может быть выполнено, вместо него выполняется S2Hst > 0 (подразумевается варьирование и минимизация Hrf при фиксированных (т.е. нулевых) значениях интеграла импульса P). Тем не менее, эти топологические солитоны характеризуются в [4] как "метастабильные", т.е. классически стабильные. С другой стороны, в [8] был сделан вывод о "раскачивающейся" ("rolling") неустойчивости стационарных топологических солитонов в 0(3) сигма - модели, т.е. в изотропном АФМ Гейзенберга (см. [9]). Ниже мы представим результаты наших исследований устойчивости этих солитонов, называемых нами для краткости солитонами Белавина-Полякова или БП солитонами.
Используем вначале вариационный подход, основанный на хорошо известной технике пробных функций (ТПФ) (см. напр. [10]). В терминах угловых переменных, в, р,
(5) S = sin в cos р, s2 = sin в sin р, s3 = cose,
(3)
(4)
^2 s+(s ksa )2 st = a
которое определяет экстремумы SHst = 0 функционала
граничными условиями sa (да) = sa0 [4,5]. Эти экстремумы, или стационарные
и БП солитоны с топологическим зарядом Q = m есть
(6) es (^ R) = 2arctgJ , ps = m^,
2 2 2 X . У
r = X + У , cos% = —, sinХ =
r r
Рассмотрим пробные функции, которые описывают БП солитоны с малыми возмущениями (они также являются БП солитонами),
(7) вр (r, R, SR) = в (r, R + SR), SR << R,
для них P=0, так же как и для невозмущенного солитона. Проведем
масштабное преобразование реального солитона. Энергия H БП солитонов с топологическим зарядом Q = m есть
(8) Hm = 4шп
и не зависит от радиуса R, так что очевидно, что для возмущений типа (7)
(9) SnH = 0, n = 1,2,...®
Наличие малых возмущений, сохраняющих соотношения (9), усложняет доказательство устойчивости БП солитонов, т.к. в общем случае
неравенство S Hp > 0 являющееся достаточным условием устойчивости солитона (9), не является справедливым. Тем не менее, тот факт, что минимумы
(10) H„ = jH„d2 X
для данных Q при фиксированных P, достигаются на БП солитонах (6), указывает на их устойчивость. Это можно лучше понять, если отметить, что переход
от БП солитона (6) с R = R к соседнему, с R = R + SR, SR << R потребует дополнительного количества энергии для совершения промежуточного переходного процесса (в течение которого будет существовать положительно
. m
Ъ 1 (5 tsa)2)-
определенная плотность кинетической энергии, ~(Э15а,
Во втором подходе решалась эволюционная задача для динамических уравнений (3), используя солитоны (6) в качестве начальных данных. Для проведения компьютерных экспериментов использовался метод конечных разностей с использованием явной схемы второго порядка точности. Эта техника была разработана и апробирована на известных солитонных решениях в одномерном случае, двумерный аналог этого метода оказался также достаточно эффективным, в частности, интеграл энергии сохранялся с точностью порядка 10 6 в компьютерных экспериментах с начальным распределением эа (х, о) дэа (х,0)/ д = 0, с различными топологическими
зарядами. В компьютерных экспериментах исследовалась эволюция во времени БП солитонов на квадратной пространственной сетке
N x N, - L < x <+L, - L < x <+L и интервале времени (0, T); выбор шага по времени т удовлетворял условиям устойчивости явной численной схемы.
Полезно рассматривать разность между распределением плотности энергии H (x, У ), вычисленной для времен t=0 и t= T. Максимальное значение этой величины во всей области вычислений не превышала 10-5 от плотности энергии H в центре солитона. Эти результаты определенно указывают на
устойчивость рассматриваемого солитона.
Aналогичные компьютерные эксперименты были проведены для БП солитонов с топологическим зарядом Q = 2, (в этом случае R = 1, N = 501, T = 8.4, L = 2.5, т = 0.006 ). Для солитонов с Q > 2, максимумы плотности энергии сосредоточены в кольце |x| = Rr.
Максимальное значение отклонения плотности энергии дН во всей области интегрирования не превышало 1.6 -10-3; плотность энергии H в этих точках равна « 5.3 и относительное отклонение не превышает величины 3 -10 4. Таким образом, численные результаты определенно указывают на устойчивость "кольцеобразных" солитонов.
Таким образом, видно, что вплоть до времен t БП солитоны сохраняются с высокой точностью; отметим, что этот результат полностью совпадает с результатами, полученными и в спектральном подходе.
Итак, мы приходим в выводу о том, что стационарные топологические солитоны устойчивы независимо от значения Q в соответствии с утверждением [4]. Тем не менее, строгое доказательство устойчивости БП солитонов в рамках нелинейной теории пока не найдено, что может быть объяснено двумя причинами.
Во-первых, это наличие таких возмущений БП солитов, на которых д2H = 0, что является особенностью масштабно инвариантных моделей. Вторая причина носит более общий характер: как известно, здесь нет строго доказанных утверждений наподобие известной теоремы Ляпунова об устойчивости движения.
Ключевые слова: неодномерные нелинейные возмущения, магнетики, физика твердого тела, конденсированная среда, высокотемпературные сверхпроводники, слоистая структура керамик, антиферромагнетик, двумерные топологические солитоны,
локализованные поля, ненулевой топологический заряд.
ЛИТЕРАТУРА:
1. A.М.Косевич, БА.Иванов, A.С.Ковалев. Нелинейные волны
намагниченности. Динамические и топологические солитоны. М., Наукова Думка, 1983, 190 с.
2. T.H.R. Skyrme, Proc. Roy. Soc., A26O (1961) 127; Nucl. Phys., 31 (1962) 556.
3. L.D.Faddeev, Lett. Math. Phys.1 (1976) 2В9.
4. A.A.Belavin and A.M.Polyakov. JETP Lett. 22 (1975) 245.
5. R.Rajaraman, Solitons and Instantons (North-Holland, Amsterdam,1982).
- 1O2 -
6. A.S.Schwartz. Quantum Field Theory and Topology (Springer-Verlag, 1993).
7. L.D.Faddeev. DAN SSSR (Sov. Doklady), 210 (1973) 807.
8. R.A.Leese, M.Peyrard and W.J.Zakrzewski. Nonlinearity 3 (1990) 387.
9. W.J.Zakrzewski. Nonlinearity 4 (1991) 429.
10. I.L.Bogolubsky, Phys. Lett. A73 (1979) 87; ТМФ 43 (1980) 378.
11. I.L.Bogolubsky, A.A.Bogolubskaya. JINR preprint E5-95-273, Dubna, 1995.
12. В.П.Воронов, А.М.Косевич. ЖЭТФ, 90, (l986), 2145
13. Б.А.Иванов, В.А.Стефанович. ЖЭТФ, 91 (1986), 638
%.Ш. ГАЮРОВ, Х.М. СОДИЦОВА ОИДИ ВУЦУДДОШТАНИ СОЛИТОЩОИДУЧЕНАИ ТОПОЛОГИ ДАР МОДЕЛИ ИЗОТРОПИИ АНТИФЕРРОМАГНЕТИКИИ \ЕИЗЕНБЕРГ Тадцицотуои аналитики ва адади оиди устувории солитонуои дученаи дорои заряди топологи дар сигма-модели изотропии гайристатсионари гузаронида шуда, дар мацола бо истифодаи усули вариатсиони ва тар^резии компютери, бевосита нишон дода шудааст, ки солитонуои топологи дар антиферромагнетики дучена устувор боци мемонанд.
KH.SH. GAIYROV KH. M. SODIKOVA
THE EXISTENCE OF TWO-DIMENSIONAL TOPOLOGICAL SOLITONS IN THE HEISENBERG’S MODEL OF ISOTROPICAL ANTIFERROMAGNET
Stability of two-dimensional solitons with topological charge in isotropic non-stationary sigma-model has been investigated both analytically and numerically. Trial technique function and direct computer simulations have showed the stability of topological solitons in two-dimensional antiferromagnets.
