CC BY
15
ГАЮРОВ ХАКИМДЖОН ШАРИФОВИЧ-
кандидат физико-математических наук, доцент, ШОИРА МУХАМЕДОВА- соискатель ТГУПБП
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БРИЗЕРОВ В ИЗОПРОСТРАНСТВЕ СИГМА-МОДЕЛИ
Исследование и анализ динамических свойств классических локализованных решений в моделях нелинейной теории поля, в частности модели трехкомпонентного "легкоосного" кирального поля единичного изовектора 8а(хД) (а=1, 2, 3), представляет значительный междисциплинарный интерес.
Для краткости обычно это поле называют сигма-моделью, или А3-полем, в целях того, чтобы подчеркнуть анизотропию этого поля во внутреннем пространстве единичной сферы 82. Эта модель, как и многие модели теории поля, действует в расслоенном пространстве, где обычное евклидово пространство К3 представляют собой базу, а слои представляют собой сферы 82.
Лоренц-инвариантное А3-поле можно получить в теории конденсированного состояния, например, при описании в континуальном, макроскопическом описании решеточных моделей антиферромагнетика Гейзенберга (АФМ) [1], ферромагнетиков с одноосной анизотропией [2].
Более того, А3-поля могут быть полезными, наряду с векторными калибровочными и спинорными полями, при разработке теоретических схем вне рамок Стандартной Модели физики высоких энергий, т. е. А3-поле может быть использовано в качестве альтернативы хиггсовскому полю [3]. В частности, максвелловское поле становится массивным в результате его «минимального» взаимодействия с А3-полем [4], и в рамках этой системы взаимодействующих максвелловских и А3-полей существуют частицеподобные решения (например, в [4-5] были обнаружены двухмерные осе-симметричные солитоны).
Особый интерес в нелинейных моделях теории поля представляют локализованные, так называемые солитонные решения. В моделях теории поля с двумя или более вакуумами могут существовать особо устойчивые топологические решения [6]. Именно решения подобного типа, а также решения с внутренней динамикой представляют интерес в теоретико-полевых конструкциях непертурбативных моделей для описания полей материи. Преимущества такого описания по сравнению со стандартными подходами очевидны - в нелинейных моделях нет расходимостей (с которыми обычно справляются методами перенормировки), и, по всей видимости, альтернативные подходы, основанные на нелинейных полевых теориях, будут представлять огромный интерес и развиваться в дальнейшем [7]. Таким образом, модель А3-поля имеет междисциплинарный интерес в теоретической физике.
АХБОРИДЩБСТ№3(39), 2009
ВЕСТНИК ТГУПБП №3(39), 2009
В представленной работе мы используем методы численного моделирования и численного анализа полученных решений.
Для получения квазиклассического описания антиферромагнетика Гейзенберга мы используем технику SU(2) обобщенных когерентных состояний и, после применения преобразования Холдейна [8], получаем в стандартных обозначениях теории поля плотность функции Лагранжа и гамильтониан модели (см. например [9]):
1
1
£ = ^[д 1 ^д1Sa + - 1)] = -[(дoSa )2 - (д+ & - 1)], (1)
2
1
Н = "[(дoSa)2 + (дlSa)2 + (1 - S2)], (2)
где Ба - компоненты вектора антиферромагнетизма, БаБа=1; а=1, 2, 3, 1=0, 1,... Б (здесь Б=1), т. е. подразумевается, как обычно, суммирование по повторяющимся индексам 1 и а.
Уравнения Лагранжа-Эйлера, следующие из (1), с учетом Бава=1, имеют
вид:
д 1д 1 ^ + (д 1 Sa д 1 Sa )si - Б3(5 13 - S1S3) = 0, (3) где 1=1, 2, 3; 5 - символ Кронекера. В комплексной параметризации уравнение (2) принимает вид:
(1 + 7 * 7)
2
д 7
2
д7
дг дх2
- 2 74
У
V
д7
дг у
Г—1
удх у
2
+ (1 - 7 * 7) 7 = 0
(4) 2
Уравнение (3) (или (4)) в меридианном сечении б2 =0 сводится к известному уравнению Бт-Гордона, обладающему солитонными решениями типа белл- и кинк-солитонов, а также очень интересными решениями типа бризерных, или бионных решений, обладающих динамикой внутренней степени свободы [10]. Аналитических методов решения уравнений вида (3) на данный момент не существует, хотя ранее и были получены некоторые топологические решения [4].
В данном сообщении нами представлены результаты численного решения уравнения (3) и получены новые бризерные решения модели классического антиферромагнетика Гейзенберга.
Для численного моделирования уравнений была написана разностная схема с весами явного типа, второго порядка точности как по времени, так и по координате. Моделирование велось на отрезке х е [-24,24] с шагом Ь=0.04 на промежутках времен Т е [0,200] с шагом по времени т=0.01. Для контроля точности численной схемы вычислялся интеграл энергии. Для анализа результатов численных экспериментов использовались программы визуализации и прикладные программы по быстрому преобразованию Фурье.
z(X, t)
t=0
1
7~
cosh
л
V
x
V2.
(
\
x
72
л
(5)
Для формирования бионного решения с вращением в изопространстве S2 задавались начальные решения в виде бионов уравнения sin-Гордон, однако с дополнительным вращением меридианного сечения в изопространстве:
" ( ) -
, zt(x,t) t-0 — _
cosh
J
Частоты вращения в изопространстве выбирались в интервале от СО =0.1 до СО =1.2 с шагом 0.1. СО
Для поглощения возмущения на границе области интегрирования были размещены поглощающие слои, т. е. использованы т. н. граничные условия типа «черный ящик». Численный эксперимент проводился вплоть до времен t=200. Формирование биона с вращением в изопространстве в целом проходил за время t=100, после чего интеграл энергии практически не изменялся. Результаты численных экспериментов для значений СО =0.3 приведены на графиках.
6.2 -
6.15 -
5 g_i___i_:__!___J_L___!__:_i____
! 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Т
Рис. 1
АХБОРИДДЫБСТ№3(39), 2009
ВЕСТНИК ТГУПБП №3(39), 2009
350
300 -
250 -
„ 200 -
w is
Period
рис 2.
На рис.1 показана зависимость полной энергии формирующегося бризера с вращением в изопространстве от времени. Потери энергии происходят за счет поглощения возмущений на границах. Полная энергия асимптотически стремится к энергии формирующегося решения. Фурье анализ (см. рис. 2) сформированного решения показывает наличие двух гармоник бионного решения. Очевидно, что вдобавок к бионной динамике, появляется дополнительная частота, вследствие вращения в изопространстве.
Полученные численные решения можно вполне назвать солитоном, поскольку оно соответствует понятию уединенной, локализованной волны, а наличие бионной динамики и вращения в изопространстве позволяет назвать полученное решение бионом с вращением в изопространстве сигма-модели.
Таким образом, методами численного моделирования получено новое решение нелинейной сигма-модели (классического антиферромагнетика Гейзенберга), которое ранее не было известно и не упоминается в литературе. По всей видимости, в экспериментах по рассеянию медленных нейтронов на
антиферромагнетиках, наличие вращения в изопространстве частицеподобных возбуждений может объяснить наличие дополнительных пиков в спектрах рассеяния.
Ключевые слова: классические локализованные решения, модели нелинейной теории поля, изовектор, киральное поле, сигма-модель, единичная сфера, модели антиферромагнетика Гейзенберга, максвелловское поле, солитонные решения.
ЛИТЕРАТУРА:
1. А. М. Косевич, Б. А. Иванов, А. С. Ковалев. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Киев: Наукова Думка, 1983.
2. J. Pouget, G. A. Maugin, Phys. Rev. B30, 5306 (1984).
3. R. Rajaraman. Solitons and instantons. (North Holland, Amsterdam, 1982).
4. В. П. Воронов, А. М. Косевич. ЖЭТФ, 90, 2145 (1986).
5. И. В. Барьяхтар, Б. А. Иванов. ЖЭТФ 85, 328 (1983).
6. А. М. Переломов. Решения типа инстантонов в киральных моделях. -УФН, 1981, 134, вып. 4, с. 577-609.
7. R. Leese, Nucl. Phys. B336, 283 (1991).
8. Kh. Kh. Muminov, V. K. Fedyanin, Phys. Scripta 62, 23 (200).
9. I. Bogolubsky, A. Bogolubskaya. Preprint JINR E17-95-273.
10. V. M. Makhankov, V. K. Fedyanin, Phys. Scripta 28, 221 (1983).
т.ш.глюров,
Ш.Ф. МУХЛМЕДОВЛ
ТЛРтРЕЗИИЛДЛДИИ бризерыо длризо-фазои сигмл- модел
Дар макола сигма-модели гайрихаттг тавассути усулъои тарърезии риёзг омухта шудааст. Намуди нави ангезишъои бионг (набзг, бризерг) бо дарал>аи иловагии динамикаи дохилг, ки дар натил>аи чархзании вектори антиферромагнетизим дар изо-фазо пайдо мешавад, бо усулъои ададг ёфта шудааст ва бо методи табдили зуди Фуре так>кик карда шуда, пайдоиши дарал>аи озоди иловагии динамикаи дохилг нишон дода шудааст.
kh.sh.gaiyrov sh.f. mukhamedova numerical simulation of breathers in sigma-model
Non-linear sigma-model has been investigated by use of numerical simulations. New type of bion (breather) with the additional degree of internal dynamics due to the rotation in iso-space of the vector ofantiferromagnetism has been derived numerically and investigated by use of fast Fourier-transform. The existence of additional degrees of freedom of internal dynamics has been shown by the author.
