CC BY
47
УДК 51-72:530.145
О СТРУКТУРЕ КОНФОРМНО ИНВАРИАНТНЫХ МОДЕЛЕЙ В ОДНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
А.В. Галажинский, О. Лехтенфельд*, К.В. Половников
Томский политехнический университет *Ганноверский университет, г. Ганновер, Германия E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
Изучается общая структура конформно инвариантной квантовой механики в одномерном пространстве. Исследуется поведение системы относительно унитарных преобразований, генерируемых конформной алгеброй. Строится унитарное преобразование, посредством которого любая конформно инвариантная квантовая механика в одном измерении может быть преобразована в свободную систему, с нелокально реализованной полной конформной симметрией.
В последнее время наблюдается всплеск интереса к конформно инвариантным моделям в одномерном пространстве. С одной стороны этот интерес обусловлен исследованием различных аспектов А^1Б/С¥Т соответствия. Несмотря на значительный прогресс в понимании АёБ/СВТдуальности [1], содержательные примеры АёБ^С^Т соответствия практически неизвестны. В этом контексте изучение конформно инвариантных моделей в одном измерении и установление взаимосвязи с теориями поля в двумерном пространстве анти де Ситтера представляет значительный интерес.
С другой стороны конформная группа определяет изометрии метрики пространства анти де Сит-тера и модели частиц на таком фоне автоматически являются конформно инвариантными. Поскольку геометрия анти де Ситтера описывает область вблизи горизонта событий целого класса экстремальных черных дыр (см., например, обзор [2]), в работах [3, 4] было высказано предположение о том, что конформная механика может обеспечить определенную информацию о квантовых свойствах черных дыр. Данная идея интенсивно развивалась в ряде работ [5-10], где, в частности, была построена и исследована конформная квантовая механика на пространстве модулей системы статических черных дыр в четырехмерном и пятимерном пространствах. В этом контексте также привлекательно выглядит гипотеза Гиббонса и Таунсенда [4], согласно которой N=4 суперконформное расширение одномерной модели Калоджеро [11] в пределе большого числа частиц способно обеспечить микроскопическое описание экстремальной черной дыры Райсснера-Нордсрема вблизи горизонта событий. Построение лагранжевой или гамильтоновой формулировки для N=4 суперконформной модели Калоджеро представляет собой открытую проблему [12-15].
Отдельное направление исследований посвящено изучению одномерных (конформно инвариантных) моделей в контексте теории интегрируемых систем и точно решаемых моделей квантовой механики (см. классические обзоры [16, 17]). Наиболее при-
стальное внимание привлекли различные модификации модели Калоджеро и их разнообразные физические применения (см. монографию [18] и цитируемую там литературу). Подробное обсуждение одномерных систем в контексте современной теории калибровочных полей приведено в работе [19].
Целью настоящей работы является изучение общей структуры конформно инвариантной квантовой механики в одномерном пространстве. В частности, исследовано поведение конформной системы общего вида относительно унитарных преобразований, генерируемых конформной алгеброй. Построено унитарное преобразование, посредством которого любая конформно инвариантная квантовая механика в одном измерении может быть преобразована в свободную систему, с нелокально реализованной полной конформной симметрией. В практических вычислениях использование такого преобразования позволяет существенно упростить анализ спектра и построение волновых функций, а также предлагает принципиально новый метод построения суперсимметрич-ных расширений.
Рассмотрим квантовую механику п частиц в одномерном пространстве, определяемую оператором Гамильтона общего вида1
н = Х 2тр‘р1 + и (Х"Х
.=1 ¿.1П,
где М1 - масса и р - оператор импульса /-ой частицы, и - потенциал взаимодействия исходной конформной квантовой механики.
Класс конформно инвариантных моделей выделяется наложением коммутационных соотношений алгебры Ли да(1, 2)
[ДБ]=/Д [ДК]=2/Д [ДКИК (1)
где Б и К - генераторы дилатаций и специальных конформных преобразований в стандартной реализации [20]:
В = -1 X(Х‘р1 + рх‘), К = 1XтХХ ■ (2)
1=1 1 =1
д
1 В данной работе используется естественная система единиц (Й=1) и стандартное координатное представление р, = —
дх‘
Первое равенство в (1) подразумевает ограничение на вид потенциала взаимодействия
[V,В] = IV ^ X х'Аи + 2и = 0,
,=1 дх'
которое в дальнейшем мы предполагаем выполненным.
Простейшим примером конформно инвариантной модели в одном измерении является система п невзаимодействующих частиц. Соответствующий гамильтониан обозначим символом И0.
Рассмотрим унитарное преобразование наблюдаемых
О ^ О' = е1ООе-О,
где в качестве оператора О выберем произвольный элемент конформной алгебры
О=аИ+рК+уБ,
а, в, у- произвольные вещественные постоянные.
Используя формулу Бейкера-Хаусдорфа
Применим суперпозицию указанных преобразований к операторам И, Б, К и наложим дополнительное условие на коэффициенты
вЯ=-1^Я=-а.
В итоге имеем унитарное преобразование
И^И„, Б^Б, К^К+а2е‘Ооие‘с
(4)
Оп = [О,[О,...[О, О]...] (праз),
находим, что операторы И', Б', К'являются линейными комбинациями исходных И, Б, К, при этом соответствующие коэффициенты представимы в виде бесконечных рядов по а, в, и у.
Наложение условия
у2=4ав,
позволяет оборвать ряды на конечном (третьем) шаге и приводит к значительному упрощению
Н' = (1 + у + ав) Н + в(2 + у) В +в2 К,
В'=-«(1+^)н+(1 4)В+ 4 -!)К •
К' = а2Н + а{у — 2) + ^1 --2)) К■ (3)
В частности, выбирая коэффициенты в следующем виде:
ав=1^у=-2, отображаем исходный гамильтониан в генератор специальных конформных преобразований К.
Как уже отмечалось ранее, гамильтонип ан системы невзаимодействующих частиц Н0 = X у- р!р!
1=1 1
и операторы (2) реализуют представление конформной алгебры (1). Для данного представления можно рассмотреть оператор
О0 = ЯН0 + аК + 8 В,
где Я, а, 8- произвольные вещественные постоянные, и построить преобразование, аналогичное (3). В частности, следующий выбор коэффициентов: Яа=-1, 8=2,
позволяет отобразить оператор К в гамильтониан И0 свободной системы.
Таким образом, предъявлено унитарное преобразование, посредством которого любая конформно инвариантная одномерная квантовая механика может быть преобразована в свободную систему. Отметим, что специальные конформные преобразования реализованы в ней нестандартным и, в частности, нелокальным образом.
Полезно подчеркнуть, что стационарные состояния щ конформного гамильтониана И могут быть построены в терминах оператора обратного преобразования V11 и стационарных состояний свободной системы щ0 (см., например, работы [21-23], где в этом контексте обсуждается модель Калоджеро)
щ=Р‘щ.
Покажем, что построенное преобразование не зависит от выбора размерного параметра а, который не фиксируется изложенным выше формализмом. Принимая во внимание явный вид операторов О и О0
О = аН +1К - 2В, а
О0 =-а Н 0 - 1К + 2В, 0 0 а
и коммутационные соотношения (1), которые выполнены как для И, так и для И0, находим
йе
= - Ж е°0 (В -1К), йа а а
1
¿е0 = 2-(В - 1К)еО, йа а а
откуда следует желаемый результат й
йа
(е°0 е‘О ) = 0.
Наиболее интересным физическим примером, иллюстрирующим общие рассуждения, приведенные выше, является модель Калоджеро [11], описывающая парные взаимодействие п тождественных частиц, расположенных на вещественной прямой
(5)
где g - константа связи. Детальный квантово-механический анализ процессов рассеяния для модели (5) был проделан в работе [24]. В частности, было установлено, что процесс рассеяния п частиц с асимптотическими импульсами (кь...,к„) приводит только к перестановке возможных к без изменения их значений (отметим, что гамильтониан (5) инвариантен относительно группы перестановок тождественных частиц). Асимптотические волновые функции системы до и после рассеяния отличается только на фазовый множитель. Иными словами, рассеяние в системе (5) выглядит так же, как и рассеяние в системе п невзаимодействующих частиц (в этом контексте см. также монографию [18]).
В заключение отметим, что предложенное преобразование может быть использовано для построения суперсимметричных обобщений исходной конформной механики. Для этого достаточно построить суперсимметричное расширение свободной системы, возникающей в результате преобразования (4), и применить к нему обратное преобразование. Мы надеемся, что данный метод окажется
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Aharony O., Gubser S., Maldacena J., Ooguri H., Oz Y. Large N Field theories, string theory and gravity // Phys. Rept. - 2000. -V. 323. - P. 183-386.
2. Mohaupt T. Black holes in supergravity and string theory // Class. Quant. Grav. - 2000. - V. 17. - P. 3429-3482.
3. Claus P., Derix M., Kallosh R., Kumar J., Townsend P., Van Proey-en A. Black holes and superconformal mechanics // Phys. Rev. Lett.
- 1998. - V. 81. - P. 4553-4556.
4. Gibbons G.W., Townsend P.K. Black holes and Calogero models // Phys. Lett. B. - 1999. - V. 454. - P. 187-192.
5. Michelson J., Strominger A. Supergravity spectrum on AdS_2 x SA2 // J. High Energy Phys. - 1999. - V. 9909. - P. 005-029.
6. Michelson J., Strominger A. The geometry of (super) conformal quantum mechanics // Commun. Math. Phys. - 2000. - V. 213. -P. 1-17.
7. Britto-Pacumio R., Strominger A., Volovich A. Two-black-hole bound states // J. High Energy Phys. - 2001. - V. 0103. -P. 050-071.
8. Britto-Pacumio R., Maloney A., Stern M., Strominger A. Spinning bound states of two and three black holes // J. High Energy Phys. -
2001. - V. 0111. - P. 054-076.
9. Maloney A. Spradlin M. Strominger A. Superconformal multiblack hole moduli spaces in four-dimensions // J. High Energy Phys. -
2002. - V. 0204. - P. 003.
10. Gaiotto D., Strominger A., Yin X. Superconformal black hole quantum mechanics // J. High Energy Phys. - 2005. - V. 0511. -P. 017-025.
11. Calogero F. Solution of the one-dimensional N-body problem with quadratic and/or inversely quadratic pair potentials // J. Math. Phys.
- 1971. - V. 12. - P. 419-436.
12. Wyllard N. (Super)conformal many-body quantum mechanics with extended supersymmetry // J. Math. Phys. - 2000. - V. 41. -P. 2826-2838.
эффективным при построении N=4 суперконфор-много расширения модели Калоджеро.
Работа выполнена при поддержке Совета по грантам Президента РФ (гранты МД-8970.2006.2, НШ-4489.2006.2), Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 06-02-16346, № 06-02-04012), Немецкого научного фонда (грант № 436ЯШ 113/669/0-3) и Международной ассоциации ИНТАС (грант № 03-51-6346).
13. Galajinsky A. Comments on N=4 superconformal extension of the Calogero model // Mod. Phys. Lett. A. - 2003. - V. 18. -P. 1493-1498.
14. Bellucci S., Galajinsky A., Krivonos S. Many-body superconformal systems from hamiltonian reductions // Phys. Rev. D. - 2003. -V. 68. - P. 064010.
15. Bellucci S., Galajinsky A., Latini E. New insight into WDVV equation // Phys. Rev. D. - 2005. - V. 71. - P. 044023.
16. Olshanetsky M., Perelomov A. Classical integrable finite-dimensional systems related to Lie algebras // Phys. Rept. - 1981. - V. 71. -P. 313-404.
17. Olshanetsky M., Perelomov A. Quantum integrable systems related to Lie algebras // Phys. Rept. - 1983. - V. 94. - P. 313-400.
18. Sutherland B. Beautiful models. - Singapore: World Scientific, 2004. - 398 p.
19. Gorsky A., Mironov A. Integrable many body systems and gauge theories // Preprint hep-th/0011197.
20. De Alfaro V., Fubini S., Furlan G. Conformal invariance in quantum mechanics // Nuovo Cim. A. - 1976. - V. 34. - P. 569.
21. Gurappa N., Panigrahi P.K. Equivalence of the Calogero-Sutherland model to free harmonic oscillators // Phys. Rev. B. - 1999. -V. 59. - P. 2490-2493.
22. Brzezinski T., Gonera C., Maslanka P. On the equivalence of the rational Calogero-Moser system to free particles // Phys. Lett. A. -1999. - V. 254. - P. 185-196.
23. Basu-Mallick B., Gupta K.S., Meljanac S., Samsarov A. Quantization and conformal properties of a generalized Calogero model //
Preprint hep-th/0609n1.
24. Polychronakos A. Nonrelativistic bosonization and fractional statistics // Nucl. Phys. B. - 1989. - V. 324. - P. 597-630.
