Суперрасширения моделей Ландау Текст научной статьи по специальности «Математика»



УДК 539.12.01

СУПЕРРАСШИРЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ЛАНДАУ

Е.А. Иванов

Объединенный институт ядерных исследований, лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова, Дубна E-mail: eivanov@theor.jinr.ru

Дан обзор недавних работ по суперрасширениям нерелятивистской квантовой заряженной частицы, движущейся в однородном магнитном поле на плоскости R2 (модель Ландау), и частицы на сфере S2: S 1/(2)/1/(1) в поле монополя Дирака (модель Хэлдей-на). Рассматриваются модели на суперсфере S 1/(2|1) / (У(1|1), суперфлаге Sl/(2|1)/[l/(1)xl/(1)] и их планарные пределы, исходя из геометрической интерпретации этих моделей и их бозонных прообразов как d= 1 аналогов нелинейных сигма моделей типа Весса-Зумино-Новикова-Виттена. При квантовании суперсимметричных моделей возникают состояния с отрицательной нормой, и для преодоления этой трудности необходимо вводить нетривиальную метрику на пространстве квантовых состояний. Характерной чертой планарных моделей является наличие у них скрытой динамической N=2 суперсимметрии мировой линии. Ключевые слова: суперсимметрия, нелинейная сигма модель, монополь Дирака.

Superextensions of Landau Models Е.А. Ivanov

The paper is a review of recent works on superextensions of the model of non-relativistic quantum charged particle moving in a homogeneous magnetic field on the plane R2 (Landau model), and a model of the particle in the field of Dirac monopole on the sphere S2: SU(2)11/(1) (Haldane model). We consider the models on the supersphere Sl/(2|1)/l/(1|1), superflag S(7(2|1)/[L/(1)xL/(1)] and their planar limits, based upon a geometric interpretation of these models and their bosonic proptotypes as cf=1 analogs of nonlinear sigma models of the Wess-Zumino-Novikov-Witten type. While quantizing supersymmet-ric models, there arise states with the negative norms and, in order to overcome this difficulty, it proves necessary to introduce a non-trivial metrics on the Hilbert space of quantum states. A characteristic feature of the planar models is the presence of hidden dynamical N = 2 worldline supersymmetry.

Key words: supersymmetry, nonlinear sigma model, Dirac monopole. Введение

Модель Ландау [1] описывает заряженную частицу, движущуюся на плоскости под воздействием однородного магнитного поля, ортогонального к этой плоскости. Сферический вариант модели Ландау (модель Хэл-дейна [2]) описывает заряженную частицу на сфере S2:SU(2)/U(\) в поле монополя Дирака, помещённого в центр. Эти модели и их обобщения имеют много приложений. В частности, они составляют теоретическую основу квантового эффекта Холла [3].

Существует несколько подходов к построению суперсимметричных расширений моделей Ландау (см., например, [4]). В данном обзоре будут рассматриваться модели нерелятивистских частиц, движущихся на супермногообразиях, которые представляют собой расширение плоскости или двумерной сферы антикоммутирующими фермионными координатами. Одна из причин интереса к модели Ландау и её суперрасширениям состоит в том, что эти системы тесно связаны с некоммутативной (супер)геометрией: после квантования в них возникает взаимно-однозначное соответствие между низшими уровнями Ландау (НУЛ) и не(анти)коммутатив-ными («fuzzy») (супер)многообразиями. Кроме того, модель Ландау и её суперрасширения можно интерпретировать как d= 1 аналоги двумерных сигма моделей Весса-Зумино-Новикова-Виттена (ВЗНВ). Модели ВЗНВ имеют многочисленные приложения, в том числе и в теории струн.

Задачи Ландау на суперсфере SU(2\\)/U(\\\) размерности (2|2) и суперфлаге SU(2\\)/[U(\)xU(\)] размерности (2|4), т.е. минимальные суперрасширения модели Хэлдейна на S2, были рассмотрены в работах [5-7] (см. также [7]). Также оказалось полезным изучить планарные пределы этих суперобобщений. Планарные модели могут быть получены из своих криволинейных аналогов устремлением к бесконечности радиуса сферы S2 (т.е. переходом к пределу контракции). Такие модели были построены и исследованы в [8, 9], а также в [10]. Согласно терминологии работ [8, 9], модель, возникающая как предел SU(2\l)/U(l\l)-модели, именуется моделью Ландау на суперплоскости, а модель, получаемая контракцией из *$Т/(2|1)/[[/(1)х[/(1)]-модели, носит название модели Ландау на планарном суперфлаге.

Данная работа представляет собой обзор моделей Ландау с суперсимметрией в пространстве отображения [4-9] как простейших обобщений исходной модели Ландау. При обсуждении планарных моделей значительное внимание уделено присутствию в них скрытой 2 суперсимметрии мировой линии, что, по-видимому, является их общим свойством [9, 10]. Также обсуждается проблема состояний с отрицательной нормой [8] в квантовых суперсимметричных моделях Ландау; показано, что во всех случаях нормы можно сделать неотрицательными [9] за счёт введения нетривиальной метрики на пространстве состояний [11-14].

1. Модели Ландау: бозонный случай

Стандартная планарная модель Ландау описывается следующим лагранжианом:

4 =1г\2 -¡к(гг -гг)=\г\2 +{Агг + А-г). (1.1)

Здесь ~ комплексные координаты

2-мерной эвклидовой плоскости, 2к — напряжённость внешнего однородного магнитного поля,

А = -¡кг, А- - ¡кг,

(1.2)

д-гА2~д2А-=-Ик.

Второе слагаемое в (1.1) - простейший с1= 1 член Весса-Зумино (ВЗ).

Соответствующий канонический гамильтониан имеет вид

Н = -(а*а + аа*)=а*а + к, С1-3)

где

а - ¡(д- + кг),

а+ = Цд2-кг), (1-4)

[а,а*] = 2к.

Он коммутирует со следующими операторами:

Р2 = -Цд2 + кг), Р2 = -¡(д, - кг), [Р2,Я2] = 2к,Рь = гд2-гд-2, (1.5) [Н,Р2] = [Н,Р2] = [Н,РЬ] = 0.

Таким образом, эти операторы определяют инвариантности данной теории [15]: Р ? Р и ^ генерируют соответственно «магнитные трансляции» и вращения в 2£)-мер-

ном «пространстве отображения». Эти генераторы - квантовые аналоги нётеровских зарядов, связанных с инвариантностью относительно трансляций, г' = г + а, ~г — г + а ,

и (7(1) вращений, г = е,аг, ~г = е~шг .

Волновая функция, соответствующая низшему уровню Ландау (НУЛ), НЧ*{0) = ,

определяется следующим уравнением: а%0)(г,г) = 0 <=> (д, + кг)Ч{0) = 0 ->

(1.6)

т.е. она сводится к голоморфной функции.

Волновая функция, отвечающая £ -му УЛ (I = 1,2,...), строится следующим образом:

т(0(г,I) = [¿(д, - й)Уе-ф,2г(г)(2), (17)

т.е. также сводится к голоморфной функции. Каждый УЛ имеет бесконечное вырождение из-за (Р2,Р2) инвариантности. Соответствующие волновые функции образуют бесконечномерные представления этой группы с базисом гт,т> 0 [14].

Инвариантная норма определяется как интеграл

_ ' 2_ (1.8) : \dzdze 2*"12' у/{(){г)у/{(){г) < оо.

Он сходится для любого монома гт .

Покажем теперь, что модель Ландау можно интерпретировать как й = 1 аналог модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена. Будем считать 2к в [Рг,Р~] = 2к независимым генератором («центральным зарядом») и построим нелинейную реализацию этой неабе-левой группы магнитных трансляций в фактор-пространстве по одномерной подгруппе, порождаемой 2 к Выбирая экспоненциальную параметризацию для соответствующих элементов фактор-пространства, получаем:

g ]dg = ¡со2Р2 + ¡сок2к, О-9)

со2 = йг, со2 = dz, сок=— ^г - гdг).

Видно, что ВЗ член в Ьь есть не что иное, как 1-форма Картана, связанная с генератором 2к. Операторы рождения и уничтожения а и а приобретают геометрический смысл ко-вариантных производных

Ч-:=д-г+кг, (1.10)

в то время как волновая функция, отвечающая НУЛ, задаётся ковариантным условием Коши-Римана

=0,

= С1 11 >

z = z + а,

(«Г

z + а.

Всё это допускает прямое обобщение на сферу Сферический аналог планарного лагранжиана Ландау Ьь (т.е. лагранжиан модели Хэлдейна) записывается в виде

Lb =

- is

(1 + r2\z I2)2

(zz - zz).

(1.12)

l + r2lz|2

Первое слагаемое в (1.12) - <1= 1 проекция инвариантного интервала на второе слагаемое - й = 1 ВЗ член на фактор-пространстве 52:5(7(2)/(7(1), г - «обратный» радиус 81. Для простоты мы положим в дальнейшем г = 1.

Квантовый гамильтониан имеет вид

н = -~ (1+|2|2){Уг,УЛ,

где

v =д.-

1 + ZZ

V. =8. + s-

I Н- ZZ

(1.13)

-. (1-14)

После квантования унитарные волновые функции на каждом У Л (Р = 0,1,2,...) образуют конечномерные неприводимые представления группы 811(2) со «спинами» 5, 5 + 1/2, 5+1,... Таким образом, каждый ¿-и УЛ имеет конечное вырождение (2$ + 1 + £) (в этом состоит важное отличие от планарного случая и связано оно с тем фактом, что 5 ¿7(2) является компактной группой, в то время как её контракция, группа магнитных трансляций, некомпактна). Волновая функция НУЛ определяется ковариантным условием аналитичности на

Можно показать, что эта волновая функция сводится к голоморфной функции от z, компоненты которой образуют неприводимый S U(2) мультиплет со спином 5. Волновые функции, отвечающие высшим УЛ, строятся подобно планарному случаю и выражаются через голоморфные функции, описывающие неприводимые S (7(2) мультиплеты со спинами s + 1/2, 5+1, ...

Как в планарном, так и в S2 случаях, разность энергий НУЛ и первого УЛ стремится к бесконечности с ростом параметров к или 5. В этом пределе выживает только НУЛ, который описывается ВЗ членом. Из-за того что ВЗ член имеет первый порядок по производной по времени, в теории с лагранжианом, в котором есть только ВЗ член, канонический гамильтониан равен нулю, и возникают связи второго рода. Соответствующие операторы координат, коммутирующие с гамильтоновы-ми связями, параметризуют некоммутативные многообразия. В S2 случае возникает некоммутативная («fuzzy») версия 2-сферы [16].

Чтобы это показать, рассмотрим только ВЗ член в (1.12) (с г = 1). Гамильтоновы связи имеют вид

<р = р + is -~<ср - р - is -

+ zz z

+ zz

Г 0, * 0.

(1.16)

При квантовании по Гупта-Блейлеру (равным образом можно было бы использовать и квантование по Дираку) связи ю «0 интерпретируются как связи первого рода и накладываются на комплексные вектора состояния

= (1-17)

где после квантования (р -> -¡д/дг, р -» -> -¡д/дг)

+ ZZ

(1.18)

(р — -г

■+ s-

дг 1 + zz

У . ЛР „ = 0.

(1-15)

Условие (1.17) есть определение подпространства физических состояний. Решением (1.17) с учётом (1.18) является представление

Ч'Дг,1) = (1 + гг)~' ФДг). (1.19)

Голоморфная волновая функция ФДг) не произвольна. Стандартное требование, что физические состояния нормализуемы, означает, что 5'(7(2)-инвариантная норма полной волновой функции Ч'^г,!) должна быть конечной

jdzd z

jdju (1 + zz):

Здесь

d/л

dzd z

< 00 .

(1.20)

(1 + гг)2

- стандартная мера интегрирования на 2-сфе-ре £ :£[/(2)/С/(1) в параметризации стереографической проекции. Тогда условие (1.20) требует, чтобы функция ФДг) была полиномом

степени не выше 2^. Коэффициенты такого полинома для любого фиксированного 5 (число этих коэффициентов равно,очевидно,2.у+1) образуют неприводимый 81/(2) мультиплет со спином 5 .

Обычные координаты на сфере, т.е. г, 2 , не коммутируют с оператором ф , определённым в (1.18) и выделяющим физическое подпространство в полном гильбертовом пространстве в соответствии с условием (1.17). Модифицированные операторы положения X , сохраняющие условие (1.17) при действии на физические вектора состояния, однозначно определяются из требования коммутируемости с ф :

7- И Э 2 Э Z — z-----Ь z — |.

s I dz dz

= _ lid д ) Z = z н—1 —+z — |. s \ dz dz !

(1.21)

На аналитических функциях ФДг) эти операторы принимают вид

7 ^ Wo д) Z => u = —z| 2s - z— .

л- v dz >

v - 1 5

Z => u

(1.22)

s dz'

из которого следует, что они переводят полиномы степени 2^ по ; в полиномы той же степени, т.е. сохраняют подпространство физи-

ческих состояний. Коммутатор модифицированных координатных операторов равен

[Z,Z] = -lz-d—z^-2s .

S \ OZ OZ

2 ( d z — dz

(1.23)

[и,и] : . ; z — -2s

где в правых частях стоят две эквивалентные формы генератора £/(1) преобразований. Таким образом, вместе с £/(1) генератором координатные операторы Z,Z или им образуют алгебру группы SU(2), т.е. они параметризуют некоммутативное многообразие. Это многообразие есть не что иное, как «размытая» («fuzzy») сфера. На пространстве компонент волновой функции ФДг) эти координаты представляются (2,s+l)/(2s+l) матрицами, пропорциональными понижающему и повышающему генераторам группы SU(2) с коэффициентом пропорциональности 1/л (параметр 2s называется «уровнем размытости»).

После перенормировки (Z,Z) -> J—(Z,Z) и

V .v

перехода к «квазиклассическому» пределу s —> оо (пределу контракции) «размытая» сфера превращается в некоммутативную плоскость.

2. Пример: фермионный аналог модели Ландау

Под суперсимметричными моделями Ландау понимаются квантово-механические модели заряженной частицы на однородном суперпространстве с добавленными ферми-полями, такие, что в бозонном пределе они сводятся либо к исходной модели Ландау для заряженной частицы, движущейся на плоскости в однородном магнитном поле, либо к её сферической версии. Есть две возможности суперсимметризации: (i) добавлением к бозонным координатам их нечётных партнёров по суперсимметрии на мировой линии, т.е. переходом к d= 1 супермультиплетам; (ii) введением суперсимметрии в пространстве отображения и трактовкой дополнительных фермионных полей как грассмановых координат, расширяющих исходное бозонное многообразие до некоторого суперпространства. Модели первого типа отвечают той или иной версии суперсимметричной квантовой

механики [17] (см., например, [18]). Мы будем рассматривать модели второго типа. В этом случае фермионные поля имеют ясный геометрический смысл: в планарных моделях это нечётные координаты, расширяющие 2-мерную плоскость до (2|2) или (2|4)-мер-ных суперплоскостей, а в моделях, связанных с супергруппой £(7(211), это координаты, дополняющие сферу З^ВД/ВД до некоторых однородных супермногообразий полной супергруппы.

Примечательно, что две планарные суперсимметричные модели Ландау, построенные с привлечением второго подхода (см. разделы 3 и 6), вдобавок обладают ещё и скрытой N=2 суперсимметрией на мировой линии.

Мы начнём с простейшего примера «фермионной модели Ландау», в которой бо-зонные 2В координаты г, г исходной модели Ландау заменены фермионными координатами С .С .

Соответствующие лагранжиан и гамильтониан записываются в виде

1 г ^ (2Л)

Н г = — \a,ai\= - а + а - к, а = д_ -л-ц ,

+ } = -2 к.

Инвариантностям отвечают генераторы «магнитных супертрансляций» П.,П. и поворотов I'), где

П ,=д,+кС, П 7 = д7+кС,

' 4 « « ' (2.3)

Р =Сс. ■ . {П(,Щ} = 2к.

Нетрудно проверить, что действительно

[Н,, ис] = [НПП:] = [Н,, ^.] = 0. (2.4)

Супералгебра (2.3) есть простейший пример суперрасширения абелевой алгебры и{ 1), супералгебра и(1|1). Рассматривая 2кк&к независимый и(1) генератор, лагранжиан (2.1) можно интерпретировать как лагранжиан с!= 1 сигма модели на однородном пространстве £/(1/1)/[£/(1)х{/(1)], в котором ^.ц играют роль косетных координат, связанных с фер-

мионными генераторами П. и П;,а ВЗ-член

- пулбэк 1-формы Картана при £/(1) генераторе 2 к.

Квантовое «гильбертово пространство» модели включает основное состояние и единственное возбуждённое состояние:

^ = И0 =<^,(5

а^») = ау') = о, (2.5)

Пары (А0,В0) , (А,, В,) образуют неприводимые мультиплеты группы магнитных супертрансляций, с энергиями -к и к.

Уже на этом примере обнаруживается проблема, характерная для рассматриваемого типа суперрасширений модели Ландау. Это появление «духов», т.е. состояний с отрицательной нормой.

При естественном определении внутреннего произведения,

<ф\¥>= \dCdC ф(с,С [£,£), (2.6)

находим:

<у/{0)\у/(]) >= 0,

>=2кА0А0 + В0В0, (2.7) < | у/0) >= -2кА]А] - В,В,.

Состояния А],В] обладают отрицательной нормой, т.е. они - духи. Их присутствие может приводить к нарушению унитарности1.

В данном случае эта трудность преодолевается за счёт введения нетривиальной метрики на «гильбертовом пространстве»: «ф\ц/ »:=< Сф\у>,

а(у/(0) + <//(,,)=у/(0)-у/П, (2.8)

С = -к [НГ

При этом генераторы симметрий II .11

и 1') коммутируют с метрикой О, так что новое внутреннее произведение остаётся инвариантным. Однако свойства эрмитова сопряжения операторов, которые не коммутируют с й, изменяются, например:

1 Появление духов в г/= 1 суперсимметричных моделях с кинетическими членами второго порядка для фер-мионов было отмечено в [18]. Обсуждение проблемы духов в суперсимметричной квантовой механике с высшими производными содержится в работах [19, 20].

аг = -а+=>Я; = ага -к, {а,а1} = 2к.

Пусть в общем случае О - оператор, такой, что [Я, О] = 0. Тогда Ох = вО^в = <9+ + + СОа, Ос = [в,О], и [Н,Ос] = 0. Таким образом, по генераторам, коммутирующим с гамильтонианом, но не коммутирующим с С, можно восстанавливать «скрытые» симметрии.

На этом мы закончим обсуждение упрощённой модели и перейдём к более содержательным примерам.

3. Модель Ландау на суперплоскости

Модель Ландау на суперплоскости описывается следующим лагранжианом:

1 = 1{+1ь =

/ • * (3-1)

=| г - \K\zz -22 + ^ + ^).

Соответствующий квантовый гамильтониан даётся выражением

Я = а а - о}а = с. .с - д,д_ +

+ к{гдг+сд^-гд:-^дс)+ (3.2)

Полный набор симметрий, помимо тех, которые порождаются генераторами Р., Р. и П^, включает также новые симметрии с генераторами

(3.3)

С = ^ + ^ = гд. + Сд: - гдг - Со?,

[Я,0] = [Я,2+] = [Я,С] = 0. (3.4)

Эти генераторы образуют супералгебру /5'С/(1|1), которая представляет собой контракцию полупростой супералгебры £!У(2|1),

ш,е*}=с, [с,е]=[с,е+]=о,

[в,Рг] = гПс,{в\П =

Как обычно, предполагается, что волновая функция НУЛ ч/{Щ исчезает под действием операторов уничтожения а и а:

(3.5)

(а, + кг)у/ (0) = (дс- - < V(0) = о

(3.6)

К, =1 2

,2 Н ц/{0) = 0.

Таким образом, эта волновая функция обладает дополнительным двукратным вырождением, у/{аУ2,О = А10)(2) + <;Вт(г).

Гильбертово пространство для £ -го УЛ представляется волновой функцией

Ну/{п = 2к £у/

(О

где у/{±'\2,С) = А{±п(г) + СВ[п(г) . Каждый УЛ с I > 0 четырёхкратно вырожден.

Естественное ЙЪ'( 1 ] 1 )-инвариантнос внутреннее произведение,

ф \у/>= =: С.С ).

с1/л = с!2с!гс!Сс1С,

<

(3.8)

приводит к отрицательным нормам для некоторых состояний, как и в фермионной модели. Однако все нормы можно сделать неотрицательными путём введения той же самой операторной метрики на гильбертовом пространстве

С = -к Н г =

= - [г г . + к-¿¡С, + к(сг. - )].

К

(3.9)

Метрика С коммутирует с генераторами всех симметрий, за исключением (? и П1. Следовательно, по отношению к новому произведению < Оф | ц/ > оператор, сопряжённый к 0, не совпадает с ф. Новый сопряжённый оператор Qt легко вычисляется:

к

(ЗЛО)

5 = + к-гС - - <5_).

Поскольку I) и От коммутируют с полным гамильтонианом Я (так как [Я, С] = 0), их разница Я также коммутирует, [Я,6*] =

= [Я,^1] = 0 . Таким образом, операторы £и

генерируют новую (скрытую) симметрию модели.

Эти операторы можно записать в виде

Б = Бх=аа\ (3.11)

Теперь легко проверить, что они удовлетворяют (анти)коммутационным соотношениям:

[Я,5] = [Я,^] = 0, {5,31\ = 2кН, (3 р>

Иными словами, (2к)~ш Б, (2к)'ш и Я образуют N = 2, 1 супералгебру Пуанкаре.

Генераторы аннигилируют основ-

ное состояние, соответствующее НУЛ,

£(//(0)=£У0)=0, (3.13)

поэтому это состояние есть синглет N = 2 суперсимметрии. Следовательно, N=2 суперсимметрия не нарушена, и волновые функции, отвечающие высшим УЛ, образуют её неприводимые мультиплеты. Каждое такое состояние состоит из двух неприводимых мультиплетов супергруппы /£1/(111), чем объясняется четырёхкратное вырождение УЛ с ¿>0.

На классическом уровне скрытая суперсимметрия мировой линии реализуется следующими преобразованиями полей т.С и сопряжённых к ним

& = 8£=-гё. (3.14)

На массовой поверхности они замыкаются на производную полей по времени с учётом уравнений движения г = 21 кг, С, = ИкС, ■ Рассматриваемая N - 2 суперсимметрия необычна тем, что она существует только при кф 0, т.е. представляет собой род динамической суперсимметрии.

Как показано в [4], эту реализацию можно воспроизвести в рамках явно N=2 суперсимметричного суперполевого подхода вне массовой оболочки.

4. Модель Ландау на суперфлаге

Модель Ландау на суперфлаге [6] описывает движение заряженной нерелятивистской частицы на супермногообразии 57У(2|1)/ /[[/(1)х£/(1)] («суперфлаге»). Комплексные координаты на этом многообразии можно выбрать следующим образом:

= = » = 1,2. (4.1)

Здесь 2,2 ~ координаты сферы 5,::5'(7(2)/[/(1) в параметризации стереографической проекции, т.е. г параметризуют комплексное проективное пространство СР(]):{г}. Спинорные координаты достраивают это бозонное многообразие до супермногообразия СР^]1)\{2М}. Соответственно супергруппа 5£/(2) реализуется на таких координатах голоморфными преобразованиями

8г = а + а г2 - (¿2 + г£, )(£1 - ), Л;' = а £2 + £•' + (г • ц )ц ', (4.2)

Супералгебра 2|1) содержит 4 бозонных генератора Л^,,/*- (г, А: = 1,2), образующих подалгебру 5м(2) ®м(1) и £[/(2) - дублет фер-мионных генераторов Q:, О' ■ Генераторы подчиняются следующим (анти)коммутационным соотношениям:

Бозонные параметры а, а в преобразованиях (4.2) связаны со взаимно-сопряжёнными генераторами Jn, принадлежащими фактор-пространству 8Щ2)/и(\), а грассмановы параметры е',£к ~ с фермионными генераторами Q . Преобразования, соответствующие

двум и( 1) генераторам : 7(12) и /% получаются взаимным коммутированием преобразований (4.2). В дальнейшем вместо генератора /% коммутирующего с ,/,, , часто будет

использоваться специальная комбинация [/(1) генераторов:

В - Р -—J . (4.4)

9

Динамика частицы, движущейся на супермногообразии 5(7(211)/[С/(1)х (7(1)], с каноническими свободными членами у бозонов и фермионов (соответственно второго и первого порядков по производной по времени) описывается следующим лагранжианом:

Ь = со+со' + NA + МВ.

(4.5)

Здесь со+ и со = (со+У - й= 1 -проекции взаимосопряжённых бозонных 1-форм Картана на фактор-пространстве 5(7(2|1)/[(У(1)х(7(1)], два независимых ВЗ члена А и В - аналогичные проекции 1-форм связности, ассоциированных с генераторами В. Константы N и М подобны параметру 5 в (1.12). В бозонном пределе, когда фермионные координаты полагаются равными нулю, лагранжиан (4.5) переходит в (1.12). Явное выражение для (4.5) можно получить с помощью формул

СО* = 2 СО + £ ' СО,,

А = [.¿А, +4'А,]+С£., В =Е'В. + с.е.,

(4.6)

где

со — К | К 2 ,

со,

со,

А, =

а2 =

в, = -¡к Ч

_ _ ч (4.8)

К2 = \ + гг + {£1-г$2%-г4г).

Квантовый гамильтониан системы даётся выражением

Н = Н„= -К\КХ У^У'/0 + ЛГ, (4.9)

где, как и в бозонной модели, 2И = 2б - целое положительное число и

У(Л° = дг - ¡Шг, V г : = 1Ш-г. (4.10)

Благодаря тому, что все ферм ионы обладают кинетическими членами первого порядка по производной по времени, в теории возникают связи второго рода. При квантовании по Гупта-Блейлеру антиголоморфную поло-

вину этих связей следует накладывать на вектора состояния, выделяя тем самым подпространство физических волновых функций (ср. (1.17)):

| У) = 0 0 = 1,2),

где

ср =дд^-со~'со,[дд2 + Мд\х\К2д2]-+ N81п Кгд£, - Мд 1п Кхд%,.

(4.11)

(4.12)

Физические волновые суперфункции, полученные как решение уравнений (4.11), имеют вид

У = (4.13)

где ~ «сдвинутая» координата:

глА = г-1Г+ (4-14)

Гамильтониан (4.9) диагонализуется на следующем наборе физических собственных функций:

X Ф

(4.15)

где

^=д1-2{М)2л\ + 22л. (4.16)

Используя явный вид гамильтониана (4.9) в координатном базисе г, г . и аналитичность редуцированной волновой функции в (4.15), можно непосредственно проверить, что

¿ = 0,1,2, ...

'(4.17)

Соответствующее 5(7(211) инвариантное внутреннее произведение определяется как

< чу ^ | У/* >=

(2И + £ + \)\

\2(ЛГ + < + 1) ,

= 28 ' " ' + гг)к 'х

(2Ы + 1)! х {{М - £2\2М + 2И + £ + \)А А +

+ 12 ^ Т + (М - £2){ц/ 'V, + V ¥г)+

N + е + 1

I .2 .1

.. 1вГ' + гу/ " \у/2 + г^,)}.(4.18)

1 + гг

Поля А(2),Щг), у/, определяются г -разложением аналитического суперполя Ф !.-. _ I'

Ф

(ы+е,м-' 2)

М-Л

(Ы + 1,М-п)

\

(4.19)

(в (4.18) соответствующие индексы опущены).

Из этой формулы следует, что волновая функция, соответствующая I -му УЛ , имеет положительную норму при условии, что

(

М>~. 2

(4.20)

Поэтому при фиксированном М пространство физических состояний состоит из векторов, соответствующих

0<£<2[М], (4.21)

где [М] означает целую часть. Иными словами, число УЛ в модели Ш(2|1)/[[/(1)х{/(1)], в отличие от бозонной 5"[/(2)//7(1) модели, конечно при естественном определении внутреннего произведения. Тем не менее, оказывается, что, как и в предыдущих случаях, можно переопределить внутреннее произведение без нарушения 5"[/(2|1) инвариантности так, что при любом М норма волновой функции для любого У Л будет положительной [13]. Доказательство этого утверждения является довольно сложным, поэтому приводить его здесь не будем. Продекларируем лишь результат.

Переопределим внутреннее произведение на суперфлаге следующим образом:

« У | У »=< Т | в у/ >=>||| ¥ |||2 = | &¥), где для - 2Ы' -1 < 2М < 0

-1 +

:ог

2М' + 2( + \ 1 = 0, в:= 1

-Сд _Э„

(4.22)

и для 2М < -2И' - 1

&ан = 1 " " 2М ~ " 2М ~ М'У-

Все состояния в этих интервалах обладают неотрицательной нормой по отношению к переопределённому внутреннему произведению2. Оператор Оа„ хорошо определён и при М - 0. Специфичность этой точки в пространстве параметров модели состоит в том, что в этом случае присутствуют состояния с нулевой нормой, поэтому физическое гиль-

бертово пространство следует определить как фактор по подпространству состояний с нулевыми нормами.

5. Модель Ландау на суперсфере

Под суперсферой СР(1|1) = Щ2|1)Я/(1) с ¿У(1|1):(/3,/%£>2,£?2) понимается комплексное супермногообразие

2л=(2°Х)={г,С\ 2 й =(2')=(*, С)

где г - комплексная координата на СР]: 81/(2)/ /Щ1) и ^ - её грассманов партнёр. Супергруппа 81Л2\\) реализована на этих координатах аналитическими преобразованиями

& = ¿Лг + е + £г2 - (е2 + ,

/ _ (5Л)

8С = — (а + иХС + £ - £2г + £2С,.

Здесь Х,£,е,/и ~ параметры инфинитезималь-ных 11(2) преобразований и е - грассмановы параметры преобразований с нечётными генераторами.

Суперсфера (СС) - естественное суперрасширение обычной 2-сферы 5,2:5'[/(2)/[/(1). Это кэлерово супермногообразие, с кэлеров-ской 2-формой

Г = 21(11А лс/гв д^д АК = с1А, где К = + гг + ~ кэлеров суперпотенциал и А = -¡(с1гАдА-£1гвдн)к = с12аАд + + с12в Ан ~ кэлерова связность.

Инвариантный лагранжиан модели Ландау на суперсфере СР"'П является естественным обобщением лагранжиана 5"2 модели:

ь = гА~гвхВА + м{гААл + гвАъ\

1 + С С =£ (5.2)

О • -- •'0 + «Г

^¿г 1

<5 ^

(1 + ¿г)

,2 ' &((

+ 22

Квантовый гамильтониан даётся выражением

?сн - 5И >

То же можно показать для М > 0.

у(;> = эА- ы(дАк),

(5.3)

Здесь а, Ь - грассмановы чётности, соответствующие индексам А и В.

Волновая функция '(/.. /. \. отвечающая £ = О (т.е. НУ Л), является ковариантно-аналитической:

НЧ{0Щ = 0.

Волновые функции для I > 1 определяются следующим образом:

ш(Л') = ш(А') , ш(^)

Т ( Т ( + )/ 1 1 ( )' •

ш(Л') _ + V' ' ' 1 ■ (I)

т (+)< у 1( '

Ш(ЛГ) -

^у<ЛЧ|1 у(//+2р-1) у(/У+2?-1)

Р=1

(5.4)

у(_Л')ф(±) = д ^ ф,*, =

<±> - 0-"К ( т

При естественном определении 5"£/(2|1) инвариантного внутреннего произведения

<0|Ч/>= Iа 11.е и т =>

I , „

Т||2=

(5.5)

(гУ//0 = (]гс1гд„д,

волновые функции Ч/,(Л/) для разных взаимно ортогональны. Норма волновой функции с фиксированным I выражается через поля в ^-разложениях

9V = 4 + ¿У,, <р1+) = XI + С?,.

следующим образом:

ч" '1!!2: +

-(ум. -т. + 5у, ХХ- + -¥,) + (5-6) 1-—:-1-ХеХе+ II-

1 + гг

Видно, что «естественная» норма не является положительно определённой, т.е. мы сталкиваемся с тем же явлением, что и в простейшей фермионной модели Ландау и в модели на суперфлаге. Поэтому есть опасность того, что соответствующая квантовая теория не-

унитарна. Однако, как и в предыдущих случаях, можно ввести метрический оператор на гильбертовом пространстве состояний, такой, что все нормы становятся неотрицательными по отношению к переопределённому внутреннему произведению. Этот оператор можно найти, исходя из того замечательного свойства, что квантовая модель Ландау на суперсфере при фиксированном параметре N оказывается эквивалентной квантовой модели на суперфлаге при М= 0 и N'=N-1/2. Доказательство дано в [14]. Эта эквивалентность видна уже из сравнения норм (4.18) и (5.6). Метрический оператор для суперсферы можно получить из (4.22), выбирая там подходящие значения параметров.

6. Модель планарного суперфлага

Здесь мы рассмотрим специфические черты ещё одной /577(111) инвариантной модели, обобщающей модель Ландау: модели Ландау на планарном суперфлаге [8].

В планарном пределе, когда 577(2|1) переходит в /£77(111) и - в эвкпидову 2-плос-кость, лагранжиан (4.5) переходит в следующий лагранжиан [8]:

1 = {\ + Ш\г\2 -ао +

Основное отличие данной модели от модели Ландау на суперплоскости состоит в том, что в (6.1) фигурирует дополнительная ферми-онная переменная Её можно интер-

претировать как поле Намбу-Голдстоуна, связанное с /577(111) и генераторами и.и . Благодаря этой дополнительной переменной удаётся построить второй ВЗ член и одновременно избежать появления нестандартного кинетического члена второго порядка для с.с . Несмотря на эти привлекательные свойства, в квантовой теории при естественном выборе внутреннего произведения всё ещё присутствуют отрицательные нормы.

В теории имеются связи на фазовом пространстве (из-за фермионных членов 1-го порядка в (6.1)). Решая эти связи, можно найти общую структуру волновой функции:

(6.2)

После такого переопределения норма (под знаком интеграла по г,г) принимает вид

Квантовый гамильтониан в применении к этим «физическим» волновым функциям записывается в виде

Н = а а , [а,а \ = 2к,

(6-3)

На I - м УЛ физическая киральная волновая функция имеет специальный вид: она выражается через аналитическую функцию аргументов 1*2.С.¿) согласно формуле

Уг =дг-2кг„ (6-4)

= 2к> Ч'' .

/ЗТУОЦЭ-инвариантное внутреннее произведение определяется как

< ф I у >=

\clii \dcdq

ФТ =

- К™ Фс„ЧсН,

(6.5)

где с1/л = ~ мера интегрирования

модели на суперплоскости. Разлагая волновую функцию в ряд по грассмановым переменным

(6.6)

можно показать, что

|| ¥ ||2ос ^ге-2к1:'2 [(2М

х (2кА*А + В* В) + 2кС*С + £>*£>]. (6.7)

Таким образом, при I > 2М >0 и М < 0 возникают отрицательные нормы. При I = 2М есть также и нулевые нормы.

Как и в ранее рассмотренных случаях, внутреннее произведение можно переопределить посредством введения нетривиального метрического оператора на гильбертовом пространстве. На аналитических функциях этот оператор задаётся выражением

Оая=[4,д,] = -\ + 2&(. (6.8)

+ 2кС*С +

(6.9)

Теперь при М < 0 все состояния имеют положительную норму. Это справедливо и при М = 0, за тем исключением, что половина состояний с С = 0 имеют нулевую норму. Естественно определить (супер)пространство физических состояний как фактор по подпространству состояний с нулевыми нормами. В результате состояния с нулевыми нормами не дают вклада в физический спектр. Заключаем, что при М = 0 модель на пла-нарном суперфлаге имеет точно такой же спектр, включая вырождение, как и модель на суперплоскости. Следовательно, при М=0 обе модели эквивалентны. При М>0 остаются отрицательные нормы для значений (. < 2М, так что в этом интервале параметров небходимо сохранить «наивное» определение нормы.

Как и в модели на суперплоскости, переход к новому определению нормы меняет правило эрмитова сопряжения 751/(111) суперзаряда Q, в результате чего естественным путём появляются новые сохраняющиеся суперзаряды. В применении к аналитическим волновым функциям эти суперзаряды определяются выражениями

Бап = 21к${2М -Мап),

{8ап,Б1„} = 2к{Нап-АкМ).

Эта квантовая суперсимметрия на мировой линии существует при М < 0, поскольку невозможно достичь положительной определённости антикоммутатора в (6.10) при М>0 во всей области изменения параметров и на каждом УЛ.

Заключение

Кратко суммируем содержание работы.

Самосогласованные суперрасширения бозонной модели Ландау можно построить [5-10], исходя из их геометрической интерпретации как одномерных сигма моделей ВЗНВ типа на градуированных расширениях

либо группы «магнитных трансляций», лежащей в основе исходной модели Ландау, либо группы £С/(2), которая является группой симметрии модели Хэлдейна.

Хотя «естественный» выбор инвариантного внутреннего произведения в рассматриваемом типе суперрасширений приводит к квантовым состояниям с отрицательной нормой, этот недостаток можно преодолеть посредством переопределения внутреннего произведения в пространстве состояний в духе работ [11, 12].

Характерной общей чертой планарных суперрасширений модели Ландау является присутствие в них скрытой динамической N = 2 суперсимметрии [9, 10]. Сохраняется ли это свойство в моделях Ландау на суперсфере и суперфлаге и если нет, то что служит его аналогом? Можно ли во всех случаях воспроизвести это свойство (или его возможные обобщения), исходя из подходящего суперполевого формализма, как в модели на суперплоскости? Есть ли обобщения на высшие N7 Желательно иметь ответы на эти вопросы. На первый вопрос уже дан частичный ответ в недавней работе [14], где показано, что скрытой симметрией квантовой модели на суперфлаге при М ^ 0 является супергруппа Ш(2|2).

Что же касается возможных физических применений, то хотелось бы в полной мере осознать, какие явления описываются суперсимметричными версиями квантового эффекта Холла и каков физический статус дополнительных фермионных переменных в этом контексте.

Автор благодарен организаторам семинара за предложение написать эту статью. Большинство изложенных в ней результатов получено совместно с Андреем Бейлиным, Томасом Картрайтом, Лукой Мезинческу и Полом К. Таун-сендом, которым автор выражает свою искреннюю признательность.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, (проекты №06-02-1668408-0290490) и гранта ИНТАС 05-1000008-7928.

Список литературы

1. Landau L. Diamagnetismus der Metalle 11 Z. Phys. 1930. Vol.64. P.629.

2. Haidane F.D.Mi Fractional Quantization of the Hall Effect: A Hierarchy of Incompressible Quantum Fluid States // Phys. Rev. Lett. 1983. Vol.51. P.605.

3. Quantum Hall Effects: Field Theoretical Approach and Related Topics, Singapour: World Scientific, 2000.

4. Ivanov E. Supersymmetrizing Landau models // Theor. Math. Phys. 2008. Vol.154. P.349.

5. Ivanov E., Mezincescu L., Townsend P. K. Fuzzy CP^m) as a quantum superspace. Preprint UB-ECM-PF-03/31, Univer-sitat de Barcelona; arxiv: hep-th/0311159.

6. Ivanov E., Mezincescu L., Townsend P. K. A super-flag Landau model. Preprint UB-ECM-PF-04/08, Universität de Barcelona; arxiv: hep-th/0404108.

7. Hasebe K, Kimura Y. Fuzzy supersphere and supermonopole // Nucl. Phys. B. 2005. Vol.709. P.94 .

8. Ivanov E., Mezincescu L., Townsend P. K. Planar superLandau models // JHEP. 2006. Vol.0601. P. 143.

9. Curtright Т., Ivanov E., Mezincescu L., Townsend P.K. Planar super-Landau models revisited // JHEP. 2007. Vol.0704. P.020.

10. Hasebe K. Quantum Hall liquid on a noncommutative super-plane//Phys. Rev. D. 2005. Vol.72. P.105017.

11. Bender C. Introduction to PГ-symmetric quantum symmetry // Contemp. Phys. 2005. Vol.46. P.277-292.

12. Bender C. Making sense of non-Hermitian Hamiltonians // Rept. Prog. Phys. 2007. Vol.70. P.947.

13. Curtright Т., Mezincescu L. Biorthogonal quantum systems //J. Math. Phys. 2007. Vol.48. P.092106.

14. Beylin A., Curtright Т., Ivanov E., Mezincescu L., Town-send P.K. Unitary Spherical Super-Landau Models // JHEP. 2008. Vol.0810. P.069.

15. Elvang Hi, Polchinski J. The Quantum Hall Effect on R4 // Preprint NSF-ITP-02-120, University of California; arxiv: hep-th/0209104.

16. Madore J. The fuzzy sphere // Class. Quant. Grav. 1992. Vol.9. P.69.

17. Witten E. Dynamical breaking of supersymmetry // Nucl. Phys. B. 1981. Vol.188. P.513.

18. Akulov V.P., Pashnev A.I. Supersymmetric quantum mechanics and spontaneous breaking of supersymmetry at the quantum level // Theor. Math. Phys. 1985. Vol.65. P.1027.

19. Volkov D. V., Pashnev A.I. Supersymmetric Lagrangian for particles in proper time // Theor. Math. Phys. 1980. Vol.44. P.770.

20. Robert D., Smilga A.V. Supersymmetry vs ghosts // J. Math. Phys. 2008. Vol.49. P.042104.