CC BY
22Труды Петрозаводского государственного университета
Серия “Математика” Выпуск 7, 2000
УДК 515.12
О СТЕПЕННЫХ СПЕКТРАХ И КОМПОЗИЦИЯХ ФИНИТНО СТРОГО ЭПИМОРФНЫХ ФУНКТОРОВ
А. В. Иванов
Степенным спектром sp(F) ковариантного функтора F в категории Сотр называется множество степеней точек всевозможных пространств вида F(X). Определение финитно строго эпиморфного функтора было введено в [1] в связи с исследованием вопроса о гомеоморфности пространств вида Fn(X), Gm(Y), где F, G — функторы, m,n Е N. В настоящей работе доказано (теорема 1), что для любого подмножества К С N (1 Е К) существует финитно строго эпиморфный функтор ехрк, удовлетворяющий всем условиям нормальности, кроме сохранения прообразов, для которого sp(expK) = К. Теоремы 2 и 3 показывают, что если F — финитно строго эпиморфный функтор и sp(F) = iV, то композиция F о G финитно строго эпиморфна для любого функтора (7, сохраняющего свойство конечности пространства, а функтор G о F финитно строго эпиморфен для любого (7, если F обладает дополнительно свойством продолжения конечных сечений.
Понятие финитно строго эпиморфного функтора в категории Сотр (в дальнейшем мы рассматриваем только бикомпактные пространства, все отображения непрерывны) было введено в [1] в связи с исследованием вопроса о гомеоморфности пространств вида Fn(X),Gm(Y), где F и G — функторы, ш,п — натуральные числа, а X, Y — пространства из класса однородных по характеру ft-метризуемых бикомпактов несчетного веса. В [1] было показано, что для финитно строго эпиморфных полунормальных функторов F и G из гомеоморфности пространств Fn(X) и СШ(УГ), как правило,
© А. В. Иванов, 2000
следует гомеоморфность Гп-1(Х) И в т-1 (У). Это утверждение позволяет свести исходную задачу о гомеоморфизме между Ет(Х) и СП(УГ) (т > п > 3) к задаче о гомеоморфности Гт-п+2(Х) и (?2(К), которая в большинстве конкретных случаев решается отрицательно. При изучении финитно строго эпиморфных функторов естественно возникает понятие степенного спектра вр^) функтора Е как множества степеней точек всевозможных пространств вида Е(Х).
В данной работе исследуются строение степенных спектров финитно строго эпиморфных функторов и поведение свойства финитно строгой эпиморфности при операции композиции функторов. Доказано (теорема 1), что для любого подмножества К С N(1 Е К) существует финитно строго эпиморфный функтор ехрк, удовлетворяющий всем условиям нормальности, кроме сохранения прообразов, для которого вр(ехрк) = К. (Для любого сохраняющего прообразы функтора Е вр{Е) содержит все промежуточные значения.) Теорема 2 показывает, что если Е — финитно строго эпиморфный функтор и вр(Е) = ЛГ, а функтор переводит конечные пространства в конечные, то С финитно строго эпиморфен. Если Р, кроме того, обладает свойством продолжения конечных сечений, то композиция (7 о Е финитно строго эпиморфна для любого (7 (теорема 3). Утверждение теорем 2 и 3 справедливо и для функтора суперрасширения Л, хотя вр(Х) = N \ {2}. В то же время существует финитно строго эпиморфный функтор бесконечной степени, квадрат которого не финитно строго эпиморфен (предложение 5). Из полученных результатов следует, что всевозможные конечные композиции рассмотренных в [1] функторов ехр, Л, Р, Мк(к > 2) являются финитно строго эпи-морфными функторами и, следовательно, на них распространяются утверждения, доказанные в [1].
Мы будем рассматривать только ковариантные функторы, действующие в категории Сотр. Напомним некоторые определения (см. [3]). Функтор Е называется мономорфным, если для любого вложения г : У —У X отображение Р(г) : Е(У) —Е(Х) также является вложением. Для мономорфного функтора Е и замкнутого подмножества У С X пространство Е(У) естественно отождествляется с подпространством Е(г)(Е(У)) пространства Е(Х). Функтор Е сохраняет пересечения, если для любого бикомпакта X и любой системы {Уа : а Е А} замкнутых подмножеств X имеет место равенство
Е(П{Уа :аеА}) = П{Р(Уа) : а Е А}.
Если Р — мономорфный функтор, то для любой точки £ Е ^(Х) определен носитель зирр(£) следующим образом:
зирр(£) = П{У С X : £ Е ^(У)}.
При рассмотрении композиции функторов ^ и С мы будем использовать следующие обозначения носителя точки £ Е ^(С(Х)), смысл которых ясен из контекста: вирр({;,Г) С (?(Х), вирр(^ Г о С) С X. Если £ Е ^(Х) и \зирр(^)\ = п, то говорят, что £ имеет степень п:
<1ад{£) = п.
Функтор Р называется непрерывным, если он перестановочен с операцией перехода к пределу обратного спектра. Непрерывный мономорфный сохраняющий пересечения функтор называется полунор-малъным, если он сохраняет точку и пустое множество. Композиция полунормальных функторов полунормальна. В дальнейшем мы будем рассматривать только полунормальные функторы, хотя некоторые из доказанных ниже утверждений справедливы и для более широкого класса.
Функтор Г сохраняет прообразы, если для любого отображения / : X —у У и любого Л С У
(Р(/))~1Р(А) = Р(Г1А).
Функтор Р называется эпиморфным, если он сохраняет эпиморфизмы. Функтор Р сохраняет вес, если для любого бесконечного X 'ш(Х) = и)(Г(X)). Если Р — полунормальный функтор, то любой бикомпакт X естественно вкладывается в Р(Х) и мы можем считать в этом случае, что X = ^(Х) С ^(Х). Для любого натурального п Рп(Х) = {£ Е ^(Х) : с1ед(1;) < п}. Подпространство Рп(Х) всегда замкнуто в X. Более того, соответствие X —у Рп(Х) однозначно определяет подфунктор Рп функтора Р, который также является полунормальным (см. [4]). В последующем через п мы будем обозначать не только натуральное число, но и дискретное пространство, состоящее из п точек: п = {0, ...,п — 1} (натуральные числа отождествляются с соответствующими орданалами). Следуя [4], для каждого п Е N введем обозначение: Рпп(Х) = Рп{Х) \ РП_1(Х) (при этом ^Ро(Х) = 0).
Степенным спектром Р будем называть следующее множество
зр(Р) = {к: *Е#,*Ы*О^0}.
Натуральное число к принадлежит степенному спектру F тогда и только тогда, когда существует бикомпакт X и существует элемент £ Е F(X) такой, что deg(^) = к (см. [4]). Легко видеть, что степенные спектры функторов ежр, Р, J\fk(k > 2) равны N, a sp(А) = 7V\{2}, так как не существует максимальной сцепленной системы с носителем из двух точек1. Для всякого полунормального функтора Fie sp(F), поскольку F сохраняет точку. Пример функтора континуальной экспоненты ехрс показывает, что числом 1 может исчерпываться весь степенной спектр функтора (см. [3]). Очевидно, что для всякого F и любого п Е N
sp(Fn) = {к : к Е sp(F),k < п}.
Пусть п, т — натуральные числа. Определим отображение (рпт : п —У т следующим образом: у?пш(г) = г при г < ш, у?пш(г) = т — 1 при г >т. Функтор F называется финитно строго эпиморфным [1], если для любых п,ш Е sp(F), п > т выполняется включение
F((fnm) (Fnn (ri)) ^ FmmijYl) .
В [1] показано, что финитно строго эпиморфными функторами являются exp, Л, Р и Мк (к > 2).
Замечание 1. Из финитно строгой эпиморфности, вообще говоря, не следует эпиморфность F. Соответствующим контрпримером может служить функтор ежрс, который не эпиморфен, но является финитно строго эпиморфным тривиальным образом, поскольку sp(expc) = {1}.
Будем говорить, что степенной спектр функтора F непрерывен, если sp(F) равен начальному отрезку натурального ряда N или sp(F) = N. Имеет место
Предложение 1. Если функтор F сохраняет прообразы, то степенной спектр F непрерывен.
Доказательство. Пусть n Е sp(F) и n > m > 2. Пусть фпгп : п —у m — отображение, фигурирующее в определении финитно строгой
Определение упомянутых здесь функторов экспоненты ежр, вероятностных мер Р, суперрасширения Л и полных /с-сцепленных систем Мк можно найти в [2]
и[3].
эпиморфности, и пусть £ Е Рпп(п). В [3] показано, что функтор, сохраняющий прообразы, сохраняет носители. Следовательно,
<Рпт(зирр(£)) = зирр(Р((рпт)(£,)) = то
и, значит, Ртт(т) ф 0, т. е. то £ зр(Р). □
Замечание 2. Примером функтора, который имеет непрерывный степенной спектр и не сохраняет прообразы, может служить функтор
М2.
Напомним, что полунормальный функтор Р называется нормальным, если он сохраняет вес, эпиморфен и сохраняет прообразы (см.
[3]). В силу предложения 1 степенной спектр всякого нормального функтора непрерывен.
Теорема 1. Для любого подмножества К с N (1 Е К) существует финитно строго эпиморфный функтор Гк, удовлетворяющий всем условиям нормальности, кроме сохранения прообразов, степенной спектр которого равен К.
Доказательство. Пусть X — бикомпакт и п е N. В пространстве ехрпХ рассмотрим разбиение Дп, единственным нетривиальным элементом которого является множество ехрп-\Х, и фактор-пространство ехрпХ/Кп обозначим через ехр^Х. Заметим, что ехр^Х = ехр\Х = X. Пусть — точка соответствующая
множеству ехрп-\Х. Для всякого £ Е ехр^Х определим множество н(£) С X следующим образом: если £ / , то £ — п-точечное подмно-
жество X и мы полагаем н(£) = £, если же £ = то, по определению, н(£)=Хи{Х}2.
Рассмотрим произведение
г = П ехр°пх
пек
и выделим в Z подпространство Гк(X) следующим образом:
¥К[Х) = {{£п :п Е К} : н(£к) С н(£п) при к < п}.
2Формальное включение в множество м(£) элемента X необходимо здесь для того, чтобы различать м(^) и м(£) в случае, когда |Х| = пи( = 1.
Покажем, что Гк(X) замкнуто в Z. Пусть х — {£п : п Е К} 0 Гк(X). Тогда для некоторых к,п Е К, к < п н(£к) ^ н(£,п)- Возможны два варианта: 1) |м(£*)| = к и 2) н(£к) = X и {X}, т. е.
1) Если \н(£к)\ = к, то |м(£„)| = п и £к <£ Пусть £* =
{Ж1,... ,хк}, £п = {г/1, • • •, Уп}. Пусть г/ь ..., ик — попарно непересе-кающиеся окрестности точек х\,..., Хк и VI,..., Уп — аналогичные окрестности 2/1,..., 2/п, удовлетворяющие дополнительному условию: [/* П V} = 0, если ж; ф yj. Рассмотрим окрестности
06 = 0(ии...,ик)и 0£п = 0(Уи...,КО
точек ^ И £п В ехриХ И ехрпХ соответственно (О (С/1, . . . , и к) -
базисное открытое множество топологии Вьеториса, см. [3]). Очевидно, что О^к П ехрк-\Х = 0^п П ехрп-\Х — 0 и для любых г]к Е Vп Е 0^п н(г]к) (£. н(г]п). Следовательно, у точки г най-
дется окрестность в Z, которая не пересекается с ГК (X).
2) Если £к = ££, то п(£п) = £п = {2/1, • • •, уп}- Возьмем в X окрестности ... ,Уп точек 2/1, • • •,уп с непересекающимися замыканиями: \Уг\ ^ \Уз\ ~ ® ПРИ * / .?• Пусть 0£п = 0№,...,К) — базисная окрестность £п в ехрпХ и ехр^Х. Рассмотрим следующее открытое множество в ехркХ:
и 0(^,...,^).
Легко видеть, что если г)к Е ехр^Х и существует г]п Е 0£п такое, что н(т]к) С н(т/п), то г\к Е ИЛ Покажем, что П ежр^Х =
0. Предположим противное. Тогда для некоторого набора й,..., пересечение [0(Уг1? . . . , )]Пежр^_1Х непусто. Пусть 7 = {^1, ... ,Ж/}
— точка из этого пересечения. Среди чисел %\,...,г& найдется irn такое, что 7 П [Т^т] = 0. Пусть и — окрестность множества 7 в X, которая не пересекает У{т. Тогда 0(11) — окрестность 7 в ехркХ, не пересекающая 0(У{г,..., У{к), — противоречие.
Возьмем теперь в ехркХ окрестность О множества ехрк-гХ, которая не пересекает IV, и пусть О^ — соответствующая О окрестность точки ^ в фактор-пространстве ехр^Х. В силу выбора IV для любых г]к Е О^ и г]п Е 0^п имеем н(г]к) (£. н(г]п). Следовательно, у точки г есть окрестность в произведении Е (определяемая парой координатных окрестностей и 0£п), которая не пересекает РК(Х).
Итак, Ек (X) замкнуто в^и, следовательно, является бикомпактом.
Пусть / : X —> У — непрерывное отображение. Для всякого п Е К рассмотрим отображение ехрп/ : ехрпХ —у ехрпУ. Поскольку
ехрп/(ехрп-1Х) С ехрп-хУ,
отображение ехрп/ естественно порождает непрерывное отображение ехр°п/ : ехр°пХ —у ехр^У. При этом ехр°п(г<1х) — ^ехрох и ехРп(1 ° 9) — ехРп1 ° ехРп95 т- е- ехРп — функтор в категории Сотр. Очевидно, что ехр1 — тождественный функтор.
Пусть £ = {£п : п Е К} — точка из Гк (X). Положим
^(/)К) = Ь!Ш:пе4
Легко проверить, что н(ежр2/(60) С н(ехРп1(£>п)) при &,п Е К, к < п. Следовательно, ГК(/)(£) Е РК(У). Итак, для всякого отображения / : X —>• У определено непрерывное отображение Рк(/) : РК(Х) -► РК(У). При этом Рк(1(1х) = и Рк(/ о #) =
Гк/оГкд. Таким образом, построен функтор ¥к в категории Сотр. Покажем, что этот функтор является искомым.
Заметим, что функторы ехр^ мономорфны, непрерывны, сохраняют точку, вес и пустое множество. Отсюда сразу следует, что Ек также мономорфен, сохраняет точку и пустое множество. Функтор Гк сохраняет вес, поскольку имеет место включение
РК(Х) эХ = Хх П {О-
пек\{ 1}
Проверим непрерывность Гк. Пусть *5 = {Ха,7г^ : а,/3 Е А} — обратный спектр, X = Нт *5 и 7га : X —> Ха — предельная проекция. Тогда
гх = Ит{гХа, Д ехр°п(ж%) :а,/3 € А}
пЕК
(здесь ZA — П В силу непрерывности функторов ехРп- Имеем
Рк(Ха) С гХа, Рк(ж%) = П ехр°п(ж%)\Рк{Хау
пек
Следовательно, предел спектра Гк(Б) = {Ек(Ха), ГК(7Г^) : а^/З Е А} лежит в Zx^ Покажем, что Нт (5) = ЕК(Х). Поскольку
включение РК(Х) С Нт Гк (Б) выполняется автоматически, достаточно проверить, что \1тГк(Б) С ГК(Х). Пусть £ = {£п : п Е К} Е Zx \ РК(Х). Тогда существуют п,к Е К, п > к такие, что н(£к) н(^п)- Значит, найдется индекс а Е А такой, что
н(ехр°к(тга)(£к)) н(ехр^(7га)(£п)). Следовательно, £ 0 НтРк(5').
Итак, функтор ГК непрерывен.
Гк сохраняет пересечения. Поскольку Гк непрерывен, достаточно показать, что Гк (А П В) = Гк (А) П Гк (В) для любых двух замкнутых подмножеств А, В С X (см. [3, с. 165]). Доказательство этого утверждения не представляет труда.
Гк эпиморфен. Пусть / : X —> У — эпиморфизм и £ = {£п : п Е К} — точка из ГК(У). Для всех п Е К таких, что £п / множества н(£п) = £п образуют растущую последовательность конечных подмножеств У (ограниченную, если начиная с некоторого = (1, и неограниченную в противном случае). Построим в X последовательность {г]п : п Е К^п ф в которой |?7П| = п, г]п С щ при п < к и /(?7п) = £п- Дополним эту последовательность (при необходимости) координатами гпри п Е К, £п = и получим точку г] Е РК(Х), для которой ГК (/)(г]) = £.
финитно строго эпиморфен. Пусть ш, п Е , п > ш и £ = {£/ :
I Е К} Е Р^гп(т). Поскольку |згфр(£)| = га, имеет место равенство £т = га. Определим точку г) = {г)1 : I € К} € Гк(п) следующим образом. Положим ту/ = £/ при I < т, щ = I при га < I < п и ту/ = г]® при I > п. Тогда 8ирр(т}) = п и Рк(фпгп)(г)) =
Остается вычислить степенной спектр Легко проверить, что для всякой точки £ = {£п : п Е К} Е Рк (X) имеет место равенство
вмрр(£) = [и{£„ : п £ К,£п ф £°}].
Таким образом, если носитель £ конечен, то он состоит ровно из п точек, где п — наибольшее число из К, удовлетворяющее условию £п / Отсюда следует, что зр(Рк) = К. □
Определение. Построенный при доказательстве теоремы 1 функтор Гк обозначается в дальнейшем через ехрк.
Переходим к изучению свойств композиции функторов.
Предложение 2. Пусть Г и С — функторы. Тогда для любого X и любого £ Е Р(С(Х))
вирр(^ Р о (?) = [и{згфр(ту, С) : ту Е зирр{£, ^)}]. (1)
Доказательство. Пусть supp(£,F) = А с G(X) и supp(£,F о G) = В С X. Тогда G(B) С G(X) и £ Е F(G(B)), следовательно, Л С G(B). Значит, для любого г] £ A supp(r/, G) С В — включение справа налево тем самым доказано.
Пусть D — множество, стоящее в правой части формулы (1). Для любого г] Е A supp^^G) С D, следовательно, г] Е G(D). Таким образом, Л С G(D). Значит, £ Е F(G(D)), откуда по определению носителя получаем supp(^ F о G) С D. □
Замечание 3. Следующий ниже пример показывает, что в правой части формулы (1) нельзя убрать замыкание. Пусть X = [0,1], F = ежр, G = А. Пусть г]п, п > 3, — максимальная сцепленная система в X с носителем {0, ~, 1 — ~} и £ = {?7n : п > 3} U {0}. Тогда £ Е ежр(А(Х)) и
supp(£, ежр о А) / U{supp(?7, А) : 77 Е supp(£, ежр)} =
= U{{0,£,1 - : п > 3},
так как последнее множество не является замкнутым.
Предложение 3. Если F и G — функторы, то sp(F о G) D sp(F) U sp(G).
Доказательство. Пусть n Е sp(F) и £ е Fnn(n). Поскольку п с G(n), имеет место включение F(n) С F(G(n)) и, следовательно, £ Е F(G(n)). В силу предложения 2
supp(£, F о G) = [U{supp(r/, G) : г) Е supp(£, F) = п}] = п.
Таким образом, sp(F) С sp(F о (?).
Пусть теперь n Е sp(G) и £ Е Gnn(n). Тогда £ Е G(n) С F(G(rij) и
supp(^, F о G) = [U{supp(77, G) : rj е supp(£, F) = {£}}] = п.
Следовательно, sp(G) С sp(F о (?). □
Функтор F будем называть финитным, если он переводит конечные пространства в конечные.
ТЕОРЕМА 2. Пусть F — финитно строго эпиморфный функтор и sp(F) = TV. Тогда для любого финитного функтора G функтор F о G финитно строго эпиморфен.
Доказательство. В силу предложения 3 sp(F о G) = N. Пусть п,&
— натуральные числа, n > к и : п —>• к — стандартное отображение. Рассмотрим точку £ Е F(G{k)) с носителем, равным к. В силу
предложения 2 и дискретности к имеем
к = вирр{^ і^о(?) = и{вирр(г], С) : 77 Є вирр^, і*1)}.
Поскольку С?(&) конечно, вирр({;,Г) = {771,..., ?7т} — конечное множество. Среди точек г)і найдется хотя бы одна, носитель которой содержит к — 1 Є к. Пусть, ДЛЯ определенности, к — 1 Є вирр^т, (?) = Рт С к. Для каждого /, к <1 < п определим отображение ді : рт —>• п по формуле <7/(г) = і при і Є рт, і / к — 1 и ді (к — 1) = I. Положим 7/ = 0(ді)(г]гп) Є Є(п). Поскольку ірпк ° ді = Для любо-
го I С(<^пА;)(7/) = 'Пт- Далее, рассмотрим тождественное вложение %к : к ^ п и положим |J)j = С(й)(%), і = 1,...,ш. Как и выше, 0(ірпк)(^) — rlj^ Введем обозначение:
Н — {/^11 • • • і Ц>т ч 'Ук ч • • • ч 'Уп — 1} С Ст (ті) .
По построению множества Н отображение
СОпй)!# : Н -у виррі^Г)
гомеоморфно стандартному отображению (раь из определения финитно строгой эпиморфности (индексы этого отображения: а =
т + п — &, Ь = ш). Поэтому в силу финитно строгой эпиморфности функтора Е найдется точка /і Є Р(Н) С і^(С(п)) с носителем зирр(ц,Г) = Н, для которой Г(0((рпк)){ц) = Имеем
зирр(/і, і^оС) = и{згфр(?7, О) : г] Є Я} = п
(последнее равенство является непосредственным следствием построения множества І7). На этом проверка финитно строгой эпиморфности завершена. □
Будем говорить, что функтор Е обладает свойством продолжения конечных сечений, если для любых п, к Є -/V, п > & и любого отображения Н : Л —>• Е(п), заданного на конечном подмножестве Л С Е(&) и удовлетворяющего условию Г(ірпк) °Н = і(іа, существует непрерывное продолжение Н : Е(&) —>■ Е(п), для которого Г(ірпк) о Н — %(1р(к)-Свойством продолжения конечных сечений обладают все финитные функторы, а также функтор вероятностных мер Р, поскольку Р((рпк) есть мягкое отображение (п — 1)-симплекса Р(п) на (к — 1)-симплекс Р(к) (см. [3]).
ТЕОРЕМА 3. Пусть (? — финитно строго эпиморфный функтор, обладающий свойством продолжения конечных сечений, и зр((?) = N. Тогда для любого функтора Р композиция ^ о С финитно строго эпи-морфна.
Доказательство. Как и в теореме 2, зр(Е об?) = N. Возьмем п,к Е N1 п > к, и пусть £ Е (Е о С)кк(к). Имеем
згфр(£, Е о (?) = С) : г] Е зирр(£, Г)} = к.
Выберем из множества вирр(^ Е) С б?(&) конечный набор различных точек {771,..., г]т} так, чтобы и^гфр^-, (?) : ^ = 1,..., т} = к. Поскольку функтор (? финитно строго эпиморфен и зр((?) = -/V, для каждой точки 77* существует Е (?(п) такая, что С?(</?п&)(а^) = щ и згфр(/^,(?) = (згфр(?^, (?)). Так как (? обладает свойством про-
должения конечных сечений, для отображения Н : {771,...,77т} —>• С?(п), задаваемого формулой /1(77^) = /х*, существует непрерывное продолжение Н : О (к) —>■ С?(п), удовлетворяющее условию (?(</?п&) о Н = idG(k)^ Положим ц = Е(#)(£). Очевидно, что Е((?(</?п&))(/л) = £. Поскольку Н — вложение, зирр{ц,Г) = Н(вирр({;, Е)). Таким образом, /^1,..., /хш Е зирр(/а, Е). Следовательно,
зирр{ц, Е о (?) = и{згфр(т7, (?) : г] Е зирр{ц, Е)} I)
I) и{згфр(/^, (?) : г = 1,..., ш} = п. □
В формулировках теорем 2 и 3 требуется, чтобы спектр финитно строго эпиморфного функтора был равен ТУ. Как мы сейчас покажем, это требование существенно.
Предложение 4. Квадрат финитно строго эпиморфного функтора ехр2 не является финитно строго эпиморфным функтором.
Доказательство. Пусть у?42 : 4 —2 — стандартное отображение (отметим, что 2,4 Е вр(ехр2 о ехр2)) и пусть £ = Е
ехр2(ехр2(2)). Очевидно, ЧТО Зирр(^,ехр2 о ежр2) = 2. Пусть Г] Е ежр2(ежр2(4)) И ехр2(ехр2(<р42))(г1) = £• Тогда Г) = {{0},Л}, где Л £ ехр2{4) И (/?42 (А) = {1}. Следовательно, 8ирр(г},ехр2°ехр2) ф 4. □
Замечание 4. Аналогично можно доказать, что композиция ехрп о ехрп не финитно строго эпиморфна для любого п > 2.
Следующее предложение показывает, что существует финитно строго эпиморфный функтор бесконечной степени, квадрат которого не финитно строго эпиморфен.
Предложение 5. Функтор ехрк о ехрк не финитно строго эпиморфен при К = {1,2}и{п:п> 16}.
Доказательство. Покажем прежде всего, что вр(ехрк о ехрк) э 4. Рассмотрим в ехрк(4) две точки г]г = {г]гп : п Е К},г = 1,2, где VI = {0}, Г)2 = {0,1}, Г)\ = {2}, Г)I = {2,3} И I); = ^ 3 при п > 16. Положим далее £ = {£„: п е К}, £1 = {т?1}, £2 = {?/1,^2}, £п = Тогда £ € ехрк(ехрк(4)) и вирр(^, ехрк о ехрк) = 4.
Рассмотрим теперь отображение (£42 : 4 —> 2. Построенная выше точка г]1 содержится также и в ехрк (2). Положим 7 = {7П : п Е К}, где 71 = {771}, 7П = при п Е К, п > 1. Ясно, что 7 Е ехрк(ехрк(2)), зирр{^(,ехрк о ехрк) = 2 и |згфр(7, ежрк)| = 1. Пространство ежр^(4) содержит 16 точек, а именно 4 точки с носителем мощности 1 и 12 точек с носителем мощности 2 (типа построенных выше 771,772)- Следовательно, для любого /л Е ехрк (ехрк (4)) носитель Ц В ехрК (4) содержит не более двух точек. Если 8ирр(11, ехрк о ехрк) = 4, то зирр{ц,ехрк) = {а1, а2} (и, значит, /1 имеет вид {/лп : п Е К}, где /II = {а1}, ц2 = {а1, а2}, /лп = ПРИ п > 2) и каждая точка имеет двухточечный носитель в пространстве 4, причем згфр^1) и зирр(а2) = 4. При этом неизбежно носитель одной из точек аг (пусть, для определенности, — а1) отображается при (£42 в точку 1 Е 2, а на носителе второй точки а2 отображение </?42 взаимно однозначно. Следовательно, точки /Зг = ежрк(</?42)(аг), г = 1,2, различны, поскольку \зирр((31)\ = 1. Имеем
у = ехрК (ехрК (1Р42))(м) = {ехр°п(ехрК (<р42))(Цп) ■ П € К},
где ехрЧ{ехрк{(р42))({а1}) = I/?1}, ехр%{ехрк{(р42))({а1,а2}) =
{/З1,/?2}. Следовательно, вирр^',ехрк) = I/?1,/?2} и, значит, 7' 7^ 7. Итак, показано, что для любого ц € (ехрк о ехрк )44 (4)
(ехрк О ехрк)((р42)(ц) ф 7,
— функтор ехрк о ехрк не является финитно строго эпиморфным. □
3Через ^ здесь, как и выше, обозначается единственная нетривиальная точка фактор-пространства ехрпУ/ Яп для любого У.
Предложение 6. Для любого Е функтор Е о А финитно строго эпи-морфен. Если Е — финитный функтор, то А о ^ также финитно строго эпиморфен.
Доказательство. Е о А. Пусть п,к Е о А), п > к и пусть
£ Е (Е о А)кк(к). Имеем
вирр{£, Е о А) = и{згфр(т7, А) : г] Е вирр^, Г)} = к.
Для каждой точки г] Е вирр^, Е) С А(&) определим /1(77) Е А(п) следующим образом. Если зирр(г]) ^ к — 1, то в А(п) имеется единственная точка 7, для которой А(</?п&)(7) = 77, и мы полагаем /1(77) = 7. Если же вирр(г]) Эк — 1, то возможны два варианта: 1) вирр(г]) ф {к — 1},
2) вирр(г]) = {к — 1}. В первом случае вирр(г]) содержит, по крайней мере, три точки. В силу финитно строгой эпиморфности А в А(п) найдется точка 7 с носителем вирр{7) = (</?п&)-1(згфр(?7)), для которой А(</?п&)(т) = V' Тогда положим /1(77) = 7. Если же зирр(г]) = {& — 1}, то в качестве Н(г]) возьмем единственную максимальную сцепленную систему в А(п), содержащую все множества вида {0, ш}, к — 1 < ш < п, и множество {& — 1,...,п — 1}.
Итак, на эирр{^ Е) определено отображение Н : эирр{^ Е) —>• А(п), удовлетворяющее условию \((рпк) ° Ь = Ъ(18ирр^^у Из построения следует, что
и{згфр(/г(77)) : г] Е згфр(£,Е)} = п.
Пусть Н : А(&) —>• А(п) — какое-нибудь продолжение /г, для которого выполняется равенство А° Н = гйщу Пусть ц — Е(#)(£). Тогда, как и при доказательстве теоремы 3, получаем, что ^(А(у?п*.))(/х) = £ и зирр(ц, Е о А) = п.
А о Е. Пусть п,к Е зр(А о^), п>&и£е(Ао Е)кк{к). Тогда
к = эирр{^ А о Е) = и{згфр(?7, Е) : г] Е вирр^, А)}.
Пусть вирр{^ А) = {771,..., ?7т}. Если ш > 3, то мы можем построить точку /л Е (А о Е)(п) с носителем зирр(/а, А о Е) = п, для которой (А о = £. Для этого достаточно дословно повторить соот-
ветствующую часть доказательства теоремы 2, имея в виду то, что А финитно строго эпиморфен и ш Е зр(А) при ш > 3. Аналогичные построения осуществимы и в случае ш = 1, п — к > 2. Остается рассмотреть один случай: ш = 1, п = & + 1. Определим вложения д{ : к —>• п, г = 1,2, по формулам: <71 (& — 1) = к — 1, <72(& — 1) =
к, 9i(j) = j при j < к - 1 (г = 1,2). Положим л = F(gi)(rj1) е F(n). Ясно, что 7i / 72 (так как supp(71) / supp(j2)) и = туь
г = 1,2. Покажем, что множество F(n) не исчерпывается точками 71,72. Поскольку п С F(n), необходимо рассмотреть лишь случай п = 2. При этом к = 1, 7i = 0, 72 = 1. Если F(2) = {0,1}, то в X(F(2)) нет элементов с двухточечным носителем и, следовательно,
2 0 sp(A oF) — противоречие.
Итак, в F(n) найдется точка 73, отличная от 71 и 72. Рассмотрим в F(n) максимальную сцепленную систему ц с носителем {71,72,73}-Имеем: ц Е (АоF)(n), supp{[i,\oF) — п и (АоF){ipnk){fi) = Строгая эпиморфность А о F полностью доказана. □
Из теоремы 3 и предложения б непосредственно вытекает
Следствие. Любая конечная композиция функторов exp. А, Р, Мк (к > 2) является финитно строго эпиморфным функтором.
Resume
The degree spectrum sp(F) of functor F is a set of degrees of points in spaces of the form F(X). We prove that for any subset К С N there is strictly epimorphic functor F satisfying certain normality conditions with sp(F) = K. We also prove that for strictly epimorphic functor F the composition F о G is strictly epimorphic if sp(F) = N and G preserve finite spaces. The composition G о F is also strictly epimorphic for any G if F has extension property for finite sections.
Литература
[1] Иванов А. В. О функторах конечной степени и п-метризуемых бикомпактах/ / http://www.topology.karelia.ru
[2] Иванов А. В. О пространстве полных сцепленных систем// Сибирский матем. журнал. 1986. Т. 27. № 6. С. 95-110.
[3] Федорчук В. В., Филиппов В. В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Изд-во МГУ, 1988.
[4] Fedorchuk V., Todorcevic S. Cellularity of covariant functors// Topology and its Applications. 1997. V. 76. P. 125-150.
Петрозаводский государственный университет, математический факультет,
185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33
