О среднегеометрическом приближении сегментной функции алгебраическим полиномом Текст научной статьи по специальности «Математика»

является решением уравнения (9) с функцией w(x). Рассмотрим соответствующую краевую задачу L = L(q,M). Нетрудно увидеть, что функция Д(А) является характеристической функцией этой задачи L. Таким образом, спектр последней совпадает {Ak}k>i- Единственность функции M(x) следует из единственности решения основного уравнения (9). Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых (проект МК-1701.2007.1) и грантов РФФИ и ННС (проекты 07-01-00003 и 07-01-92000-ННС-а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Юрко В.А. Обратная задача для интегро-дифференциальных операторов // Мат. заметки. 1991. Т. 50 (5). С. 134-144.

2. Buterin S.A. On an inverse spectral problem for a convolution integro-differential operator // Result. Math. 2007. Vol. 50. P. 173-181.

3. Бутерин С.А. Обратная спектральная задача восстановления оператора свертки, возмущенного одномерным оператором // Мат. заметки. 2006. Т. 80 (5). С. 668-682.

УДК 517.518.82

И.Ю. Выгодчикова

О СРЕДНЕГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ СЕГМЕНТНОЙ ФУНКЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПОЛИНОМОМ

Постановка задачи

Пусть значениями функции Ф(-) в узлах сетки T = {to <ti < ... < tN} являются фиксированные отрезки (сегменты) Ф(^) = [yi,k; ], причем У2,k > yi,k, k е [0 : N]. Рассмотрим задачу:

п(A) := max d(A,tk) —> min , (1)

ke[0:N] AeRn+i

где d(A,tk) = di(A,tk) • d2(A,tk), d(A,tk) = |pn(A,tk) - y,ki e [1 : 2], k e [0 : N], pn(A,t) = a0 + a1t +... + antn - алгебраический полином степени не выше n с вектором коэффициентов A = (a0,a1,... ,an) е Rn+1. Задачу (1) можно записать в виде

max

ke[0:N ]

(Л,Л yi,k + V2,k\ (V2,k - yi,k pn (A,tk) -- 1 '

2

min ,

AeRn+1'

то есть требуется минимизировать максимальное по всем узлам сетки Т расстояние между квадратом разности значения алгебраического полинома

2

и серединой сегмент-значения функции Ф(-) и квадратом половины длины сегмент-значения функции Ф(-) в этом узле за счет выбора коэффициентов алгебраического полинома.

Функции di(A,t) непрерывны и выпуклы по A при каждом фиксированном t G T. Функция d(A,t), а также целевая функция n(A) задачи (1) непрерывны, но не являются выпуклыми. Если yk := y2,k = V\,k, Vk G [0 : N], то задача (1) сводится к известной выпуклой задаче П.Л. Чебышева о равномерном наилучшем приближении дискретной функции алгебраическим полиномом фиксированной степени:

Ф(А) := max |yk - Pn (A,tk)| —► min . (2)

ke[0:N] v AeRn+i

С экономической точки зрения задача (1) может быть весьма полезной для построения динамики долевых соотношений компонентов в системе.

Пример. Пусть в моменты T = {0 < 1 < 2} зафиксирована следующая структура портфеля, состоящего из двух активов: {0, 25 : 0, 75; 0, 5:0, 5; 0, 25 : 0, 75} (второй актив является доминирующим). Построим полином степени 1, применяя задачу (1). Получаем 2 решения p*(t) = 0, 25 + 0, 25t и p**(t) = 0, 75 — 0, 25t, каждое из которых позволяет точно указать размер долей активов в портфеле в каждый момент. Если применять задачу (2), беря в качестве приближаемой функции долю каждого из активов, а также их среднее арифметическое, то получим менее удачные результаты: pl(t) = 0,375, p1* = 0,625 и pf* = 0, 5.

Ясно, что если существует полином, удовлетворяющий равенствам:

pn (A, tk)= yifc,k, Vk G [0 : N], где ik = 1 или ik = 2, (3)

то вектор его коэффициентов будет решением задачи (1), при этом минимальное значение целевой функции будет равно нулю. Если N < n, то каждое решение задачи (1) будет удовлетворять системе (3), в случае N < n задача имеет бесконечно много решений, а при N = n решений точно 2n+1.

Вспомогательные утверждения

Используя известные факты из математического анализа, несложно получить следующие утверждения.

Лемма 1. Пусть T = {t0 < t1 < ... < tN} и gk = g (tk), g [tk, tk+1, • • •, tk+s] - разделенные разности s-го порядка, s < n, k G [0 : n—s]. Тогда выполняется неравенство:

i г и 1 2s • I

|g [tk^k+ъ ...^k+s^ < si • ,

где h = min |tk+i — tkI = max |gA — gk—1|. ke[0:n—1] kG[1:n]

Лемма 2. Пусть yi, У2 G R, yi < У2- Функция f (y) := |y - yi| • |y -

a) достигает локального максимума при y = 0, 5 (yi + y2);

b) достигает абсолютного минимума при y = yi и при y = y2;

c) убывает на множествах y G (-го; yi], y G [0, 5 (yi + y2); y2];

d) возрастает на множествах y G [yi; 0, 5 (yi + y2)], y G [y2;

Лемма 3. Пусть yi; y2,y G R и f (y) = |y — yi| • |y — y2| < y. Тогда выполняется неравенство: |y| < 0, 5 |yi + y2| + 0, + y2)2 + 4 |yiy2| + 4y. Существование решения

Лемма 4. Пусть A G Rn+i и N > n. Множество M ^A^ :=

= | A G Rn+i : n (A) < n (Aj не пусто, замкнуто и ограничено.

Доказательство. Пусть T := {tj0 < ... < tjn} С Т. Возьмем любое A G M ^A^. Из неравенства n (A) < n (A^ вытекает

|Pn (A, j) - yi,jfc 1 • |Pn (A, j) - y2 1 < n • Отсюда п0 лемме 3 получаем неравенство:

|Pn (A,tjfc)| < 0, 5 |yi,jfc + y2,jfc|+0, ^(yi,jfc + y2,jfc)2 + 4 |yi,jfcy2,jfc| + 4n (A) •

Пользуясь формулой Ньютона [1, с. 303] и леммой 1, учитывая, что числа yijfc и сетка T фиксированы, несложно увидеть, что коэффициенты такого полинома будут также ограничены некоторой константой [2, с. 19]. Непустота и замкнутость множества очевидны. Лемма доказана.

Теорема 1. Задача (1) всегда имеет решение.

Доказательство. Утверждение вытекает из равенства min n(A) =

= min n(A), непрерывности функции n(A) и леммы 4. Теорема доказа-agM(A )

на.

Обозначим через n* := min n (A) минимальное значение целевой функ-

АеД"+1

ции задачи (1), а через Q := {A G Rn+i : n (A) = n*} - множество решений этой задачи. Далее считаем N > n + 1.

Необходимое условие решения

Теорема 2. Если вектор A* G Rn+i является решением задачи (1), то найдутся (n + 2) точки а := {tj0 < ... < £jn+1} С T, для которых

d (A*,j)= n (A*), Vk G [0: n + 1]. (4)

Доказательство. Пусть А* С Яп+1 является решением задачи (1) и П (А*) > 0. Предположим, что утверждение теоремы не выполняется. Тогда имеем б (А*,^) = п (А*) ,Ук С [0 : г], где Т := {^0 < ... < ^} С Т,

0 < г < п, а

й (А*,г) < п (А*), V е Т \ Т. (5)

Если г < п, то возьмем произвольно (п — г) точек ^ < ... < е Т\Т и построим вектор Ае, решив систему уравнений:

Рп (Ае, ) = рп (А*, ) + е, если рп (А*, ¿¿к) < у^ или

Рп (А*,^) е [ ^^; у2л) , (б)

Рп (Ае,£^) = Рп (А*, — е, если рп (А*, ) > У2Л или ( )

п I *

Рп (А*, ¿¿к) е (у^; ^^ е [0 : г], Рп (Ае, ¿¿к) = Рп (А*, ¿¿к), k е [г + 1 : п], если г < п.

Из леммы 2 и (5), (6) получаем при достаточно малом е > 0, п (Ае) < п (А*), что противоречит оптимальности вектора А*. Теорема доказана.

Таким образом, решения задачи (1) можно отыскать, решая относительно компонент вектора А и неизвестного п* системы уравнений

й (А*, ¿¿к) = п*, Vk е [0 : п + 1]

и проверяя каждый раз равенство п* = п(А).

Достаточное условие решения

Теорема 3.Пусть для точек а := {¿¿0 < ... < ¿¿„+1} С Т и вектора А* выполняются равенства (4), причем

(—1)^к (Рп (А*,¿¿к) — ш+б¿к) < 0, Vk е [0 : п + 1], & е 0 : = 1 — 6. (7)

Тогда А* - единственное решение задачи (1).

Доказательство. 1. Предположим, что решением задачи (1) является некоторый вектор А, то есть п(А) < п(А*). Ввиду (4), имеем й(А,^к) < < й(А*,^к), Vk е [0 : п + 1].

2. Без потери общности в рассуждениях считаем <^0 = 0. Положим у1 := = Шло, У2 := У 2 ¿о. В таком случае

/ (Рп (А, ¿¿о)) = й(А, ¿¿о) < й(А*, ¿¿о) = / (Рп (А*, ¿¿о)).

По лемме 2 функция / (у) убывает на полуинтервале у е (—го; у1ло], причем из (9) при к = 0 вытекает Рп (А*,^о) < у1ло, следовательно, неравенство Рп (А, ¿¿о) < Рп (А*, ¿¿о) не имеет места, значит, Рп (А, ¿¿о) > Рп (А*, ¿¿о).

3. Продолжая расуждать аналогично для к е [1 : п + 1], получаем

(—1)к (Рп (А, ¿¿к) — Рп (А*, ¿¿к)) > 0, Vk е [0 : п + 1]. Последнее возможно только при А = А*. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

2. Ремез Е.Я. Основы численных методов чебышевского приближения. Киев: Наук. думка, 1969.

УДК 514.764

С.В. Галаев, А.В. Гохман

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ СО СВЯЗЯМИ

В работе [1] была рассмотрена материальная точка, масса которой зависит только от её положения, в то время как абсолютные скорости отбрасываемых частиц равны нулю. Автором работы была дана геометрическая интерпретация движения такой точки. А именно было показано, что траектория точки переменной массы совпадает с геодезической проективно-евклидовой связности. В работе [2] на движение точки переменной массы были наложены связи, в результате чего траектории движения такой точки должны были касаться неголономного многообразия специального вида. Как и в работе [1], удалось найти связность, теперь уже в неголономном многообразии, геодезические которой совпадают с траекториями движения точки.

В настоящей статье мы продолжаем изучать движение точки переменной массы, но уже в случае произвольной линейной связи. Назовём точку M(Xа) евклидова пространства R3 положением материальной точки M с переменной массой m(xa), где m(xa) интерпретируется как положительная функция m : R3 ^ R (а, ß, y =1, 2, 3).

Предположим, что на движение точки M наложена линейная связь. Это означает, что траектория движения точки всюду касается некоторого него-лономного многообразия X2. Будем считать, что в пространстве R3 задана ортонормированная система координат (ха) и P : T(R3) ^ X2 - проектор, определяемый связью. Векторные поля еа = P(да) = — Г^д3 в каждой точке пространства R3 определяют допустимый базис соответствующей площадки неголономного многообразия X| (a,b,c = 1, 2). Мы полагаем, что движение точки M подчиняется закону

dmr = An, (1)

dt

где n = Г3^ + Г:]д2 + d3 — нормальное векторное поле к неголономному многообразию X2, A — неопределённый множитель. В ортонормированных координатах уравнение (1) перепишется в виде

mxa + damx axа = АГ^, (2)

mx3 + mx ax3 = А.