О монотонном алгоритме решения задачи аппроксимации многозначного отображения алгебраическим полиномом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.826

И. Ю. Выгодчикова

О МОНОТОННОМ АЛГОРИТМЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ АППРОКСИМАЦИИ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПОЛИНОМОМ

Рассмотрим обобщение известной задачи П. Л. Чебышева об аппроксимации функции алгебраическим полиномом фиксированной степени [1, с. 13]. Начнем с дискретного случая. Требуется отыскать решение задачи минимизации максимального по всем узлам дискретной сетки T = {t0 < ... < tN} уклонения образов многозначного отображения Ф(-) от значений алгебраического полинома степени не вышеп:

p(A) = max max f (A,k) —> min , (1)

kG0,N AeRn+1

где Ф^) = [y1,k; y2,k], y2,k > y1,b k = 0,N, A = (ao,a1,..., an) G Rn+1, pn(A,tk) = ao+a1t +... + antn, f (A, k) max{y2,k-pn(a,tk); pn(a,tk) -y1,k}, p* = min p(A).

AGRn+i V У

В целях исключения тривиального решения с использованием алгебраической интерполяции считаем N > п + 1.

Если yk = y1;k = y2;k, k = 0, N, задача (1) сводится к задаче П. Л. Чебышева [1]:

max I yk - pn(A,tk) |—> min . (2)

kGo,N AgR"+

Несмотря на наличие широкого класса прикладных программ для приближенного решения задач оптимизации и возможности сведения задачи (1) к задаче линейного программирования, целесообразно найти оптимальный вычислительный алгоритм решения задачи, не увеличивающий объема вычислений, шаг за шагом приближающий к цели и на конечном шаге дающий точное решение.

Пусть y1;k = y2,k хотя бы для одного k G О, N. Базисом назовем

упорядоченное множество (п + 2) точек вида а = {tj0 < ... < tjn } С T.

p

лами:

iy2,jk + (1 - i)y1,jk k - четн0, P1_i(a,k)=4 k = 0,n + 1 ,i = 0,1, (3)

iy1,jk + (1 - i)y2,jk k - нечет но.

Сформулируем для амплитудных функций дискретные задачи П. Л. Чебышева [11:

рг(А,а)= max | щ(а,к) - pn(A,tj}k) |—> min ,

k=0,n+i AeRn+1 /^ч

Рг(°)= min Pi{A,a) = Pi(Ai(a),a),i = 0,1.

AeRn+1

По критерию решения дискретной задачи П. Л. Чебышева [1] для задач (4) однозначно определены числа Н0(а) и Нх(а)7 удовлетворяющие равенствам:

hi(a) = (-1)k+i(yi.5+o.5.(-i)k+i,jfc(j) - Pn(Ai(^),tjk)), к = 0,n + 1,i = 0,1.

(5)

Положим hß(а) := max{h0(a), h1(a)}. В [2] доказано, что hß(а) > 0.

Пусть m = max ^м-^ м = {к = 0N : y2'k-yi'k = m}.

k=0,N 2 2

Из (1), (4) вытекают неравенства:

p(A) > m,p(A) > pi(a, а), У A е Rn+1,i = 0,1. (6)

Используя (4), (6), заметим, что для любого базиса а выполняется

неравенство: p* < p* = min p(A),i = 0,1, а если при этом известно,

AeRn+1

что задача (1) имеет единственное решение и p* > m, то hß (а) < p* [3].

В [4] предложена процедура решения задачи (1), включающая 3 этапа. В [3] этот алгоритм оптимизирован для частного случая задания исходных данных. Для общего случая задания исходных данных требуется показать, что указанный алгоритм позволяет монотонно увеличивать минимальное значение целевой функции текущей базисной амплитудной подзадачи до тех пор, пока не будет получено решение задачи или сделан вывод о его неединственности (при невозможности дальнейшего увеличения этого показателя). В последнем случае осуществляется поиск крайней точки множества решений [5].

Процедура решения задачи для случая, когда самых широких сегментов не менее чем (n + 2), изложена в [2]. Этот прием можно применять для более широкого класса задач - когда самых широких сегментов не менее чем (n + 1), а также для случая, когда заведомо известно, что решение задачи единственно.

Далее рассматриваем произвольный случай.

1. Пусть {j0 < ... < jn} С M. Решаем относительно A систему

Vlj +

pn(A,tjl) = , yi е ö~n

и проверяем равенство p(A) = т. Если оно выполняется, вектор A будет решением задачи (1).Если нет, переходим к шагу 2.

2. Решаем на текущем базисе а = {tj0 < ... < tjn+1} С T две подзадачи (4), применяя чебышевскую интерполяцию [1].

Заметим, ввиду (6), в качестве начального текущего базиса целесообразно выбирать такой, что {jo,... , jn+i} П M = 0.

Анализируем возможность включения в базис узла£ко, для которого f (Ae(а), ko) = max f (A^(а),к). Ясно, что f (A^(a),ko) > h^(а).

k=0,N

3. Пусть k0 удовлетворяет неравенству f (A^(a), k0) > h^(а). В таком случае переходим к новому базису a = {tj0 < ... < tjn+1} С T путем добавления в исходный базис а узла tk0 и исключения из него одного узла с условием, что новый базис таков, что при переходе от узла j к узлу tjfc+1, k = 0,n + 1, изменяется знак разности между Фд(а, •) и значением алгебраического полиномаpn(A^(а), •) в этом узле (по модулю эти уклонения одинаковы во всех узлах нового базиса, за исключением узла tk0, в котором эта величина больше).

После этого переходим ко 2-му шагу, выбрав в качестве нового текущего базиса а базис а.

Указанная процедура преобразования базиса аналогична известному алгоритму Балле - Пуссена [1, с. 26] и подробно изложена в [2]. Там же доказано, что это преобразование приводит к выполнению неравенства he (а) > he (а), которое, ввиду [3] и (6), в случае единственности решения, позволяет монотонно перебирать базисы, что ускоряет процесс достижения равенства р* = h^(а).

4. Если f(Ae(а),к0) = h^(а), то либо на текущем шаге получено решение исходной задачи, либо множество решений задачи (1) содержит бесконечно много элементов и его можно охарактеризовать, отыскав крайние точки [5].

Рассмотрим непрерывный случай. Пусть yi(t) и y2(t) - скалярные функции, определенные и непрерывные на отрезке [a; b] = 0 и y1(t) < y2(t) Vt Е [a; b], Ф(£) : R ^ 2R - многозначное отображение, образом которого в каждой точке отрезка t Е [a; b] является отрезок Ф(0 = [y1 (t);y2(t)]. Рассмотрим задачу:

p(A) := maxmax{y2(t) - pn(A, t), pn(A, t) - yi(t)} ^ min . (7)

В [6] доказано, что задача (7) имеет решение и получен критерий решения. Введем дискретизацию рассматриваемого отрезка [a; 6], T = {a = to < t1 < ... < tN = 6}. Решая па текущей сетке дискретную

задачу проверяем, будет ли уклонение аппроксимирующего дискретную выборку полинома от исходного многозначного непрерывного отображения на [а; Ь\ таким же, как и па множестве Т. Если так, решение текущей дискретной задачи будет решением непрерывной задачи. В противном случае добавляем в сетку Т одну из точек от резка [а; Ь\ максимального уклонения текущего аппроксимирующего полинома от исходного многозначного отображения. Процесс продолжаем до того момента, как будет получено точное решение, либо останавливаемся на приближенном решении при превышении числа узлов дискретной сетки наперед заданного значения. В непрерывном случае, даже при невозможности дальнейшего расширения указанным способом множества Т, вывод о неединственности решения задачи (3) сделать нельзя [7].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимаке, М,: Наука, 1972.

2. Выгодчикова И. Ю. О монотонном алгоритме решения задачи приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом // Математика. Механика : еб. науч. тр. Вып. 6. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. С. 27-30.

3. Выгодчикова И. Ю. О единственности решения задачи наилучшего приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом // Изв. Сарат. ун-та. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 6, вып. (1) 2. С. 11-19.

4. Выгодчикова И. Ю. Об алгоритме решения задачи о наилучшем приближении дискретного многозначного отображения алгебрическим полиномом // Математика. Механика : сб. науч. тр. вып. 4. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. С. 27-31.

5. Выгодчикова И. Ю. О крайних точках множества решений задачи о наилучшем приближении многозначного отображения алгебраическим полиномом // Математика. Механика : сб. науч. тр. вып. 5. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. С. 15-18.

6. Выгодчикова И. Ю. О наилучшем приближении непрерывного многозначного отображения алгебраическим полиномом // Математика. Механика: сб. науч. тр. Вып. 2. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. С. 13-15.

7. Дудов С. И., Выгодчикова И. Ю., Сорина Е. В. Внешняя оценка сегментной функции полиномиальной полосой / / Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49, № 7. С. 1175-1183.

УДК 514.764

С. В. Галаев, А. В. Гохман

О ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛАХ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗЬЮ

Дается геометрическая интерпретация динамической системы с неин-тегрируемой линейной связью. С помощью теоремы Нетер, продолженной на случай почти контактного пространства, предлагается метод построения первых интегралов неголономной гамильтоновой системы.