CC BY
18
УДК 530.12
О справедливости принципа эквивалентности в полупространстве-времени
H.A. Черников*, Н. С. Шавохинаt
* Лаборатория теоретической физики Объединенный институт ядерных исследований Россия, 141980, Московская область, Дубна f Лаборатория ядерных проблем Объединенный институт ядерных исследований Россия, 141980, Московская область, Дубна
Доказано, что в полупространстве-времени статическое однородное поле тяжести не только в ньютоновской, но и в эйнштейновской теории физически равноценно равномерно ускоренной прямолинейно движущейся системе отсчета.
1. Задача о падении частицы на горизонтальную
плоскость
Однородное статическое гравитационное поле с потенциалом U = дг мы изучаем в средней школе. Такое поле и движение в нем частицы (материальной точки) вполне описывается системой отсчета (x,y,z,t), движущейся с ускорением д вверх по оси Z. Переход к ней от покоящейся системы (x, y,z,t) достигается преобразованием
х = х, у = у, z = z + -t2, t-t. (1)
Нетрудно видеть, что частица, свободно движущаяся в системе отсчета со шляпкой, свободно падает в системе отсчета без шляпки. Действительно, если
x = x0 + vit, y--yo + v2i, z = z0 + v3i, (2)
то согласно (1)
д 2
X = х0 + Vit, у = Уо + v2t, z = z0+ V3t - -t . (3)
Понятно, что константы хо, уо, z0, v\, г>з здесь являются начальными данными для системы уравнений
d2x d2y d2z
Ж"0' ж = (4)
По такому образцу А. Эйнштейн [1] начал рассматривать статическое гравитационное поле в теории относительности, высказав надежду на то, что и в СТО такое поле удастся изучить с помощью перехода к равномерно и прямолинейно движущейся системе отсчета. Эту гипотезу Эйнштейн назвал принципом эквивалентности.
Но это начинание Эйнштейна в свое время не увенчалось бесспорным успехом, и принцип эквивалентности не получил однозначной оценки. Так, Дж. Синг [2] предложил принцип эквивалентности похоронить, а С. Вейнберг [3] решил, что принцип эквивалентности безупречен. Обстоятельно рассмотрев этот вопрос,
В.А. Фок [4] пришел к важному заключению: принцип эквивалентности Эйнштейна не может иметь места во всем пространстве-времени.
Между тем, в работе [5] одного из авторов данной статьи доказано, что принцип эквивалентности имеет место в полупространстве-времени г > 0. Понятно, что это не противоречит заключению Фока.
В ньютоновской же теории, как мы видели выше, принцип эквивалентности имеет место во всем пространстве-времени, иначе говоря, он выполняется всегда и всюду, а точнее говоря, при всех значениях абсциссы х, ординаты у, аппликаты г и времени t мировой точки. Уравнения (4), пока на них не наложено никаких условий, описывают падение частицы в бездонную пропасть. При этом плотность источника гравитационного поля во всем пространстве-времени равна нулю, так как вторая производная по г потенциала U = gz равна нулю. К тому же преобразование (I) взаимно однозначно во всем пространстве-времени. Ничего такого, согласно заключению Фока, в теории относительности быть не может.
Учитывая это, мы рассмотрим падение частицы не в бездонную пропасть, а на горизонтальную плоскость z = 0. Для этого достаточно рассмотреть гравитационное поле над плоскостью г = 0, т. е. в области г > 0. Такое поле порождается источником, плотность котрого равна нулю в области г > 0, а вне этой области не зависит ни от х, ни от у, ни от t.
Именно эту задачу поставил и решил Галилей, именно с нее начала развиваться теория гравитации, именно она ныне входит в программу преподавания физики в средней школе.
Мы с самого начала нацелились рассмотреть здесь аналогичную задачу в теории относительности. Потому и положили заранее U — gz. Иначе надо было положить U = Uo + gz, где Uq — произвольная константа. Далее мы будем считать, что
г 0. (5)
Этим условием мы накладываем освобождающую склерономную связь на уравнения движения частицы в рассматриваемом поле тяжести.
Преобразование (1) переводит четырехмерную область
— 00 < X < ОС. —00 < у < ОО, 2^0, -оо < t < оо (6)
в четырехмерную же область
9
— эо < х < ос, — оо < у < оо, г ^ -t~, -ос < t < оо, (7)
уравнения (4) движения частицы в гравитационном поле заменяет на уравнения
(8)
(¿í2 dt2 dt2
ее свободного движения, а склерономную освобождающую связь (5), наложенную на уравнения (4), перекладывает на уравнения (8), превращая ее в реономную освобождающую связь
(9)
Таким образом, задача о дижении частицы в гравитационном поле с потенциалом U — gz в области (6) заменяется на задачу о свободном движении частицы в области (7).
В работе [5] показано, что в теории относительности аналогом преобразования (1) является преобразование
С^ Í С^ \ с5 * í ^
X = X. íi = у, z + — = Z + — ch-, ct — ( 2 + — ) sh -, (10) 9 \ 9 J с V 9 ) с
где в — — быстрота, набираемая равномерно ускоренной системой отсчета (х.у,2,£) за время а с — скорость света в вакууме, т. е. тот же параметр, что входит и в преобразование Лоренца
х -- х, у = у, 2 = 2 сЬ - + бЬ -, с£ = г эЬ - + с£ сЬ -.
с с с с
Скорость у, набираемая системой отсчета (х, у, г, 4) за время Ь, равна
V = с Л -
С С2 +
Дифференцируя (10), находим
<±е — с1х, = ¿.у,
d2
cdí
сЬ у d2 + ^ (с + ^т)
а следовательно,
cdí + =
с+ dí + d2 с + ^ ) dí - d2
ехр
е*р | --
cdí — d2 =
так что метрика Пуанкаре-Минковского
в результате подстановки (10) преобразуется к следующему виду.
(Н)
(12)
(А)
(13)
сЧт2 = ^Х2 - dy2 - d22 + ( С + 9— \ dí2.
Заметим, что формула (А) тесно связана с формулой Лобачевского
(14)
(В)
для угла параллельности. Это не случайно, а закономерно. А.П. Котельников в своем докладе, сделанном им в 1923 году к столетию открытия Лобачевским неевклидовой геометрии, ввел понятие пространства скоростей в теории относительности и доказал, что оно является пространством Лобачевского с параметром к (входящим в формулу (В)), равным скорости света с. Доклад опубликован в 1927 году [6]. Котельников показал, что быстрота з является длиной в пространстве скоростей. В ньютоновской механике, где пространство скоростей евклидово, быстрота совпадает со скоростью V. В пространстве же скоростей Лобачевского
V , в
-
с с
(С)
чем объясняется формула (11). См. об этом обзоры [7,8].
В работе [9] метрика (14) рассмотрена в качестве решения уравнения Эйнштейна
Дтп = 0. (15)
Там показано, что в области (6) она описывает однородное статическое гравитационное поле в общей теории относительности.
Преобразование (10) переводит четырехмерную область (6) в четырехмерную же область
— ОО < X < оо, —оо < у < сю,
—сю < £ < сю, (16)
уравнения геодезических
— = 0, ^ = 0,
с1Т2 (1т2 '
для метрики (14) заменяет на уравнения геодезических
п <12У „ „ аЧ п
для метрики (13), а склерономную освобождающую связь (5), наложенную на уравнения (17), перекладывает на уравнения (18), превращая ее в реономную освобождающую связь
1 I . (19)
Дважды продифференцировав функции (10), можно увидеть, каким образом уравнения (17) преобразуются в уравнения (18):
Ё?® = — = (20) с1 г2 с1т2' с!т2 с1т2'
с1т2
А2г Л дг
¿т
,
сЬ — +
+
а2*
+
2д ¿г <И
с1 г2 с2+дгАт&т^
с +
дг
с1т2
аТ2+Ч Ы
, 9*
вЬ — + с
+
a2í 2о а^ <и +
с+ —^ сЬ —. с / с
_ат2 с2 + дг ат а-г
Согласно четвертому из уравнений (17), производная по г от величины
Е= V
&г
-1с
(21)
где
У = 1 +
равна нулю, так что величина (21) в процессе движения частицы сохраняется. Это есть удельная энергия чпстицы, т. е. энергия частицы, поделенная на ее массу покоя. В пределе с —> оо выражение (21) переходит в известное школьникам выражение
Е=±у2+дг, (22)
где
Действительно, из (14) следует, что
Ё. = 1 (23)
с!т у/У* - У2/С2'
так что
а отсюда нетрудно найти (22) в пределе с —> оо.
Наряду с энергией Е итегралами движения частицы в статическом однородном поле тяжести являются две компоненты импульса и1, и2 и угловой момент тп12, равные
и1 = , и2 = ш12 = хи2 - уи1. (25)
ат ат
Заметим, что преобразование (10) получается в результате перехода на псевдоевклидовой плоскости от декартовых координат £ к полярным координатам
1 с2 9Ь та\
г = г + —, у - —. (26)
Я с
2. Комментарии
Известно, что Галилей (1564-1642) открыл закон свободного движения (закон инерции) и закон свободного падения тел, а Кеплер (1571-1630) открыл законы движения планет. Опираясь на их результаты, Ньютон (1643-1727) установил законы механического движения.
Ньютон же ввел понятия покоящихся и произвольно движущихся как твердое тело систем отсчета и постулировал, что время не зависит от движения системы отсчета. Основы механики и теории гравитации Ньютон изложил в книге [10].
Из законов движения он вывел пятое следствие (о свободном, инерциальном движении) и шестое следствие (о свободном падении в произвольно зависящем от времени однородном гравитационном поле —g(t)). Такое падение и не только в рассмотренном выше случае, когда —д не зависело от t, в ньютоновой механике описывается поступательным движением системы отсчета во всем пространстве-времени.
В частности, свободное движение описывается инерциальным движением системы отсчета.
Переход от неподвижной системы отсчета к системе отсчета, движущейся поступательно, достигается преобразованием
f=r + /(i), t = t (27)
пространства-времени в себя, где f(t) произвольно зависит от времени.
Система отсчета движется поступательно с ускорением —g{t), если вторая производная функции f(t) равна -g(t).
(28)
Как обычно, г — ri + yj + zk, f=xi + yj + zk. Отметим следующие три свойства преобразований (27).
I. Преобразование (27) взаимно однозначно при любой зависимости /(£).
II. Якобиан \дхр/дх'1\ преобразования (27) равен
1 0 0 f'x{t) О 1 0 j'y{t)
0 0 1 f'Jt) 0 0 0 1
при любой зависимости /(/,). Здесь и дальше
хл = X, х2 = у, х3 — г, х4 = t.
III. Преобразования (27) составляют абелеву группу.
Отметим и парадоксальное свойство однородного гравитационного поля. Дивергенция divg поля тяжести д(х, у, г, t) в ньютоновой теории пропорциональна своему источнику ■- плотности массы p(x,y,z,t), а следовательно, источник однородного поля тяжести, если и существует, то находится вне пространства-времени, в той самой бездне, о которой так вдохновенно сказал наш учитель М.В. Ломоносов:
«Открылась бездна звезд полна, Звездам числа нет, бездне дна».
Меньше требуется воображения, когда вектор g от времени не зависит. В этом случае достаточно представления о бездонной пропасти. Согласно Эйнштейну, «массы, создающие такое поле, можно представить себе находящимися в бесконечности» [10](Ст. 17, с. 190).
По закючению Фока, в теории относительности представить себе невозможно не только ту бездну, которая открылась Ломоносову, но и ту бездонную пропасть, которую представил себе Эйнштейн.
В ответ на похоронное предложение автора книги [2] сделаем следующее замечание. В случае падения частицы в однородном поле (в случае законов Галилея) тензор кривизны аффинной связности, описывающей гравитационное поле, равен нулю, а в случае движения планет (в случае законов Кеплера) тензор кривизны не равен нулю. Это утверждение верно и в теории относительности, если на место законов Галилея поставить решенную здесь при с < оо задачу о падении частицы на горизонтальную плоскость, а на место законов Кеплера поставить известную задачу Шварцшильда.
Как в случае постоянной с — ос, так и в случае постоянной с < ос наряду с гравитационной связностью задающей уравнения
d2ru drmdrn
SJL + r» _££_=о (29)
dr2 + mn dr dr ( '
движения частицы в гравитационном поле, имеется еще и фоновая связность Г7апп. Их разность
ра т-ia _ pa /оп\
1 mn mn mn v '
является тензором, называемым тензором аффинной деформации. Именно он, а не тензор Римана, является индикатором гравитационного поля. Если гравитационное поле отсутствует, то гравитационная связность совпадает с фоновой, и тензор аффинной деформации равен нулю. Можно сказать, что фоновая связность описывает гравитационное поле в его вакуумном состоянии. Гравитационное поле, пребывающее в своем вакуумном состоянии, тривиально.
Если в некоторой области пространства-времени тензорное поле аффинной деформации не равняется нулю, то в этой области присутствует нетривиальное гравитационное поле.
В рассмотренной здесь задаче все компоненты фононовой связности в координатной карте (х,у,г,Ь) равны нулю, так что в этой карте —
Согласно (17), в случае постоянной с < оо три компоненты тензора аффинной деформации в карте (х,у,г^) равны
а остальные равны нулю. Хотя в данном случае тензор Римана равен нулю, в области 2 > 0 имеется нетривиальное гравитационное поле, но пространство-время не перестает быть римановым. Ведь и евклидово пространство является римановым, а вот риманово пространство, конечно же, не является евклидовым.
В случае постоянной с — оо в карте (х, у, г, £) только одна компонента Р|4 = —д не равна нулю. Тензор кривизны и в этом случае равняется нулю, но пространство-время перестает быть римановым.
По поводу восторженной оценки принципа эквивалентности, данной в книге [3], и похоронного предложения, сделанного в книге [2], заметим, что между двумя этими экстремальными утверждениями лежат два заключения, сделанные в книге [4] и в письмах [5]. Хотя принцип эквивалентности Эйнштейна и не безупречен, но хоронить его нельзя.
Задача о падении частицы на горизонтальную плоскость как в ньютоновской механике, так и теории относительности не противоречит заключению Фока и своей актуальности не теряет.
Будем надеяться, что рассмотренная и решенная здесь задача войдет в программу преподавания физики на физических и математических факультетах университетов и педагогических вузов.
1. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. — М.: Наука, 1965. — Т. 1. — Ст., г.: 8, 1907; 14, 1911; 17, 1912; 18, 1912.
2. Синг Д. Общая теория относительности. — М.: ИЛ, 1963.
3. Вейнберг С. Гравитация и косология. — М.: Мир, 1975.
4. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. — М.: Наука, 1961.
5. Черников Н. А. // Письма в ЭЧАЯ. - № 2 [105]. - 2001. - С. 61.
6. Котельников А. П. Принцип относительности и геометрия Лобачевского // 1п тетопат N.1. ЬоЬа1зсЬеУ5кп. — Т. II. — Казань: Главнаука, 1927. — С. 37.
7. Черников Н. А. Геометрия Лобачевского и релятивистская механика. — ЭЧАЯ, 1973. - Т. 4, С. 773.
8. Черников Н. А. Введение геометрии Лобачевского в теорию гравитации. — ЭЧАЯ 1992 _Т 23 С 1155
9. Черников Н. А. // Сообщение ОИЯИ Р2-2001-22. - 2001.
10. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. — М.: Наука,
(31)
Литература
1989.
UDC 530.12
On Justification of Einstein's Equivalence Principle in
Half-Spacetime
N. A. Chernikov, N. S. Shavokhina
* Laboratory of Theoretical Physics Joint Institute for Nuclear Research Dubna, Moscow Region, 141980, Russia ^ Laboratory of Nuclear Problems Joint Institute for Nuclear Research Dubna, Moscow Region, 141980, Russia
It has been proved that in the half-spacetime a homogeneous static gravitational field is physically equivalent to an uniformly accelerated straight-linearly moving reference system not only in the Newtonian, but also in the Einsteinian theory.
