Релятивистская сплошная среда в заданном силовом поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ СПЛОШНАЯ СРЕДА В ЗАДАННОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ

1Подосенов С.А., 2'3'4Потапов А.А., 5Фоукзон Дж., 1Менькова Е.Р.

1Всероссийский научно-исследовательский институт оптико-физических измерений, http://www.vniiofi.ru Москва 119361, Российская Федерация

2Институт радиотехники и электроники им. ВА. Котельникова, Российская академия наук, http://www.cplire.ru Москва 125009, Россия

3Jinan University JNU), College of Information Science and Technology/College of Cyber Security, http://www jnu.edu.cn Guangzhou 510632, China

4Cooperative Chinese-Russian Laboratory of Informational Technologies and Signals Fractal Processing, Guangzhou 510632, China

^Израильский технологический институт, http://www.technion.ac.il г. Хайфа 3200003, Израиль

podosenov@mail.ru, potapov@cplire.ru, jaykovfoukzon@list.ru, e_menkova@mail.ru Поступила 10.11.2017

Рассматривается движение сплошной среды в плоском пространстве Минковского в заданном силовом поле. При движении возникает относительная кривизна пространства-времени, обусловленная несовпадением гиперповерхности ортогональной мировым линиям частиц базиса с гиперповерхностью одновременности. Разработан неголономный математический аппарат и его применение к сплошным средам. Найдены метрики для относительных квадратов элементов 4-интервала для произвольного движения сплошной среды и частных случаев. Получен закон сложения 4-ускорений. Оказалось, что точные решения уравнений Эйнштейна для изотропной космологической модели сильно разряженного газа с плотностью, равной критической, следуют из решений уравнений Эйлера ньютоновской газодинамики.

Ключевые слова: пространство-время, тензор кривизны, система отсчета, жесткость по Борну,

Минковский, Риман, Эйнштейн, координаты, Кристоффель, гиперповерхности

УДК 530.12, 531.134, 537.9_

Содержание

1. Введение (161)

2. относительный тензор кривизны неинерциальной системы отсчета (НСо) в специальной теории относительности (162)

3. квадрат элемента относительного интервала сплошной среды в переменных Лагранжа (170)

3.1. равномерно вращающаяся Со (170)

3.2. Релятивистская (нежесткая) равноускоренная НСо (171)

4. Закон сложения ускорений, относительный тензор кривизны НСо в пространстве Минковского (172)

5. относительный тензор кривизны сплошной среды в механике Ньютона (175)

6. Заключение (178) Литература (178)

1. ВВЕДЕНИЕ

В [1] было показано, что описание движения сплошной среды в инерциальной системе отсчета (ИСО) и переход к неинерциальной (НСО) требует в общем случае выхода за рамки плоского пространства-времени. Это связано с заданием не только силового поля, действующего на частицы среды, но также и наложением условий на кинематические характеристики континуума с помощью уравнений структуры [1-5]. Эти уравнения связывают тензор Римана-Кристоффеля с тензорами скоростей деформаций, угловой скорости вращения и векторами первой кривизны мировых линий частиц среды. В результате система уравнений оказывается переопределенной и не реализуема в пространстве Минковского. Эта система разрешима при рассмотрении движения среды

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

в римановом пространстве или в более общем случае в пространстве метрической связности. Однако, если не накладывать на характеристики континуума дополнительных условий, а ограничиться лишь интегрированием уравнений движения, например, в плоском пространстве-времени, то никакого выхода за рамки плоского пространства-времени не происходит. При использовании неголономных преобразований тензор кривизны, полученный из пространства Минковского в неголономных координатах также тождественно равен нулю. Однако этот нулевой тензор может быть разбит на две ненулевые части, одна из которых выражается через символы Кристоффеля обычным образом, а другая зависит от характеристик движущейся среды [2-5].

2. ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ НСО В СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Суть нашего метода отображения НСО из ИСО состоит в отыскании правил преобразования геометрических объектов, заданных в галилеевых координатах пространства Минковского (переменных Эйлера), через аффинные реперы лагранжевой сопутствующей НСО. Впервые метод развит автором в работе [6]. "Пространственные" реперы такой НСО лежат в гиперповерхностях, ортогональных мировым линиям частиц среды, (неголономных при наличии вращений), а временные векторы совпадают с полем 4-скоростей V, касательных мировым линиям. Закон движения сплошной среды в произвольном силовом поле в пространстве Минковского определяется уравнениями ^ =ум (у! ¿0), (!)

где У — эйлеровы координаты, а ук — лагранжевы координаты, постоянные вдоль каждой фиксированной мировой линии, (1Л)£° — некоторый временной параметр, в качестве которого выбираем собственное время. Условимся, что индексы ^ принадлежат эйлеровым координатам, а индексы ¡л

— лагранжевым. Дифференцируя (1) по ук и , в каждой точке пространства-времени получим аффинный репер. Отметим, что временной ду^/д^° и пространственные ду^/д ук векторы в общем случае не ортогональны друг другу. Однако из соотношения (1) могут быть построены реперы, у которых "временной" и "пространственные" векторы ортогональны, но эти реперы не являются результатом дифференцирования 4-радиуса вектора по лагранжевым координатам ук и £0. Эти реперы неголономны, и соответствующие им коэффициенты Ламе имеют вид

и! =(з? - у»уе)

дУ'

дук

И! =^ = , 0 д£0

дук

(2)

К = ,

! дх!

И0 = V .

м м

Для неголономных координат

коэффициенты связности Га в пространстве Минковского можно представить в виде [7]

дИ , _дК

г%=и:

аЬ 6

= -Ы

(3)

' дуа Ь дуа где всюду в дальнейшем под символом д / дуа будем понимать производные по направлениям, определяемые как

д д .. д д , ,, д

= V ! -

= ил-

к к дх!

(4)

су0 де дх! ду В формуле (3) предполагается, что в пространстве Минковского выбраны галилеевы координаты. Для произвольных криволинейных координат формула для связности примет вид

ди:

га=-иь

аЬ Ь

дуа

^1 ухп ! пь а'

(3а)

где Г! — связность в пространстве Минковского. Из коэффициентов Ламе образуем объект неголономности С

аЬ

с: =-г:=1

аЬ. ^аЬJ 2

(

иь

=1 иаиц

2 а ь

(

си:

V

си:

и

дуа

- и

си:

дуЬ

дХ дхе

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

Следуя Схоутену [7], для неголономных преобразований связность Г^ представим в форме

га =

ао

п

+ Т

аЬ'

та ■ -Са, +

аЪ аЪ

(6)

+ёссеё С£{}. + Са0. ■

Если вычислить тензор Римана-Кристоффеля в пространстве Минковского, то он тождественно равен нулю. Ясно, что переход в лагранжеву сопутствующую НСО с помощью коэффициентов Ламе (2) не делает тензор кривизны отличным от нуля, а приводит к тождеству [7]

я£ ■ 2д г . + 2^,г! + 2£ЩТ% = 0. (7)

аЪу [а Ъ I/ Щ Ъ\у аЪ Щ к '

Из (6) и (7) следует

■ -2УГТ1 -2Т£И

аЪу Га Ъ \у \_аЩ

ТЩ — 2Се Т^

ь\у аЬ ёу-

В соотношении (8) тензор кривизны вычисляется с помощью символов

I аЪ |

Кристоффеля метрических коэффициентов

= К'^т = 1 ¿0 £= 0

полученных

где g,

Ламе, которые определяются в зависимости от выбора временного параметра вдоль мировых линий частиц базиса. Например, если в качестве временного параметра выбрать собственное время, как это было сделано в (2), то вычисление объекта неголономности приводит к соотношениям

с0 ■ а2С= ¥-, Ск- ■ 0, (11)

к1 к1' 0 к к' аЪ ^ '

где

а- = аЛ ^ рк = (12)

При получении (12) можно воспользоваться соотношениями, в которых тензор угловой скорости вращения и вектор 4-ускорения рассматриваются в эйлеровых координатах пространства Минковского и проектируются с помощью параметров Ламе в сопутствующую лагранжеву НСО. Для объекта неголономности (11) коммутационные соотношения (10) сводятся к виду д2

д2 ■ 2а *

1 л. .к

из

(9)

ду ду ду ду

д2 д2

дУ0

■

д

(13)

метрический тензор в эйлеровых координатах пространства Минковского. Символы Кристоффеля вычисляются обычным способом с заменой частных производных производными по

направлениям, а оператор Уа вычисляется с помощью кристоффелевой связности.

Таким образом, неголономные

преобразования привели к отличному от нуля тензору кривизны, вычисляемому с помощью кристоффелевой части связности (6).

Как будет следовать далее из анализа

уравнений движения, тензор кривизны ^аЪу можно назвать относительным тензором кривизны НСО.

Для неголономных координат имеют место следующие коммутационные соотношения [7]

д2 д2 г д

„ . - = 2Са Ъ ~ ~• (10)

дуЪдуа дуадуЪ аЪ дуг

Конкретный вид объекта неголономности зависит от выбранных коэффициентов

дукду0 ду°дук к ду°

Коммутационные соотношения (13) эквивалентны коммутационным соотношениям ТХИ Зельманова [8]. Из вида метрики (9), разложения (6) и коэффициентов Ламе (2) получаем

(14)

Так как

+а=цфу*,

то можно показать, дифференцируя по у 0 , что имеет место следующее кинематическое тождество

д

м ■■{: 1 {0к 1 = 0, {«

\п1 ^ = 1 к {0 п 1 = Т0 0 к. ■

Тк т1 ■ ■Т т1 ,к = Т0 _ к 0. ■ 0, Тк 01 ■ ■ Тк0 = пк. т0 ■ ' 1к! =

(15)

- Г1 (^ + а+ ) + ^ -ркр!>

откуда, альтернируя, имеем

(16)

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

д

О.. = V г. К.

0 к1 \ к 1 \

ду

Симметрирование выражения (16) дает д

(17)

ду

Е.. = 0 к1

(е +О )(Е. +а.)+У,.к-КК.

° ч 1п 1п А кт кш/ (к 1) к I

(18)

Хотя относительный тензор кривизны НСО вычисляется с помощью символов Кристоффеля так же, как и обычный тензор кривизны в римановом пространстве, однако при выражении связности через метрический тензор используются не обычные частные производные, а производные по направлениям. Поэтому относительный тензор кривизны обладает специфическими особенностями, которые возникают из-за некоммутативности производных по направлениям. Например, известное тождество Риччи будет иметь вид

Я:.

аЬ ,у

+яь

/ + Я:. =

'У,а уа,Ь

= 2

С

аь.

-<+с:.и С

уа.

(18а)

(19)

Я:.. = 2д г

аЬ, у ['

= К:?„ + 2С6..

аЬ, у аЬ.

- + 2<

+ 2С!

аь.

е I

еу

(20)

Так как мы рассматриваем два рода ковариантных производных V а и Уа , вычисляемых соответственно с помощью кристоффелевой части связности (6) и полной неголономной связности (3), то должны выполняться условия согласования. Можно доказать, что таким условием согласования является непосредственно проверяемое соотношение

V а ^ = У а = 0 (21)

Проведем дальнейший анализ относительного тензора кривизны. Рассмотрим выражение

0 = V V £ = С9 1<> - К

[а !]&ЛУ !а. ду/ а!,(Щ

(22) (23)

Для тождества Бианки имеем выражение

УеЯ/ + УаЩ/ +УМл =

=2с:а +2с^. ¿а+2се.

для доказательства которого удобно перейти в локально геодезическую систему координат.

Тензор кривизны (8) можно представить в другой эквивалентной форме

! I Г ! 1 I е I ^ (

Используя (20), находим

ЯаЬ,(у1л) 0. Свертывая (18) по / и у, получим

ск{^ + С5.{1}+ . <24>

Из (24) следует, что относительный тензор Риччи не является симметричным. Отсутствие симметрии тензора Риччи косвенно связано с тем, что

(25)

Образуем тензор, обладающий такими же свойствами симметрии, как и обычный тензор Римана-Кристоффеля. Для этого построим тензор

1..,.. * Я.. ь.

аЬ, у. у!,аЬ

Я. .. =1 (Я....+ Я.. .),

аЬ,у. 2\ аЬ,у/л у/л,аЬ /

(26)

Ка/л не является тензором относительно голономных преобразований лагранжевых переменных, хотя по виду не отличается от обычного тензора кривизны. Однако замена частных производных производными по направлениям приводят к изменению трансформационных свойств.

обладающий такими же свойствами симметрии, как и тензор Римана-Кристоффеля. Воспользуясь предыдущими формулами, можно показать, что построенный тензор удовлетворяет обычному тождеству Риччи

яь ... + я.. + Я.. = 0, (27)

аЬ, у/ Ьу,а/ уа,Ь/л

из которого вытекает симметрия тензора Риччи Я&... Отметим равенство

я. а- яа . = с0Ь.

Ь/, уа уа,Ь / уЬ.

/а

ду0

+С о ! + с 0 + с 0 Ьл

+Сьа. ду6 ^ ду5 ! ду5 ■

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

Вычисление компонент тензора кривизны КаЪ,ум дает

^ад = - аЪг - 2а-Ъа-,

ЯЪ. .■ 2УГ.а.п + 2ПЖ - - Р - + - К 2-, (29)

аЪ,с0 Г- ъ-Ъ - 2 Ъ -- 2 - Ъ

я .. ■ кк - У, Р - 22".о„г + а. а".

0Ь,с0 Ь с (ь с) (ь с )" пс Ь.

Пространственные компоненты

относительного тензора кривизны могут быть представлены в форме

(30)

к , ■ Я „- 22-Г.2.п

сю,с. сю,с. Ч[а Ь I

■ УГ „ У „V -Т. „п У V -Та „ У V,

Га Ъ| У \аь\. е У [а\у\. ь|

У V ■2~+П~ УV ■ К

к 1 к1 к1 0 1 1

(32)

(33)

(34)

Я,

62,-

(35)

ьс + 2"2.,.

ду0

Из (29) и (35) следует, что для жестких в смысле Борна безвихревых НСО относительный тензор кривизны равен нулю. Для компонент тензора Риччи имеем1

Ж- . . „

Я; ■ + 2"2-.+ 22"2-. + Я -

Ъс ду 0 Ъс с Ьп Ъс

- РР -У. Р -22;. Q-). +а,а ,

ь с (ь с) (ъ с)п пь с.'

где Яь.. — трехмерный тензор кривизны на гиперповерхности ортогональной мировым линиям частиц среды. Эта гиперповерхность неголономна при наличии вращений. Из (29) и (30) находим

я,-,,■ 22.г-2.п +а а. -а.а..-2а„ас - . (31)

аъ,г„ -Г- ьЪ -ь ас -а ьг -ь с-

При отсутствии вращений (31) переходит в выражение, полученное ранее автором из других соображений [9].

Введем ряд полезных в дальнейшем тождеств

V ■ И/У ■80 Уг У V- ■ 0 ■

а ,1ау / иа у а ь\ У

Я.. ■ -уа- -2ар- --р2.. + -К.2с -

Ъ0 - Ъ. -Ъ 2 - -Ь 2 Ъ с

- У 2- -У.2- + -К-2---Р-2 -

-^ь ь - 2 ь - 2 -ь'

(36)

Я00 ■-

Щ, ¥

--2..2"с -

- Рк" -У Р"+а,-аЪи.

Ъп

пЪ

Для скалярной кривизны получим

Я ■ 2Г"Гп -2У"К" +ПМШ. (37)

" " "Ь

Из тождества (19) найдем укороченное тождество Бианки

Уа[ Яёа- 2 Г"* ^■-УаЯГёа] +

+2С-.( Яаа + Я["а]) + С.

асг у ! \

(38)

Я

■Е&,Ъа

Ъа,&

VV ■УV ■ 0.

к 0 00

Из (32) следует

Г- Ъ \с Г- Ъ Iс -Ъ с

Произведя циклическую перестановку индексов Ъ, с в (33), получим два дополнительные тождества, складывая которые с (33), имеем тождество

а*+Уь+Ус а ь+

+Р.+ РьПда + РдО-ь -0. Аналогичное тождество получено в работе [8]. Используя выражения (18) и (33), запишем (29) в виде

Л - .■-Уг.2.п --Р2.+ -Р2.

aЬ,C0 Г- Ь|с О Ъ . о - сЪ'

Из выражения (38) видно, что тензор Эйнштейна для НСО, стоящий в круглых скобках в левой части равенства, существенно отличается от тензора Эйнштейна в ОТО, для которого правая часть равенства тождественно равна нулю. Сравним полученные результаты с результатами А.Л. Зельманова [8], введя для удобства сравнения обозначения, используемые в [8].

1 Отметим во избежание недоразумений, что тензоры кривизны разными авторами определяются с точностью до знака. Например, в [10] и [11] тензоры кривизны совпадают и отличаются знаком от тензора кривизны, используемого нами в этом разделе на основе [7]. Тензор Риччи в [7], [11] и нашем случае получается при помощи свертки по первому и четвертому индексам, а в [10] производится свертка по первому и третьему индексам. Поэтому тензоры Риччи и скалярная кривизна в [10], [7] и в нашем случае совпадают, а от [11] отличаются знаком.

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

§аЬ ИаЬ, Е аЬ БаЬ, Оса Аса,

аЬ

Еа =1Б Е" =1 Б" Оа =1 Аа

а ■> с с ■> с. с. у

с с с

К =1 к ка =__I ка

К = с2 К, К = с2 К ,

д *д д 1 *д

(38а)

дук дхк ' ду5 с дг'

Используя соотношения (36), получим следующие тождества в обозначениях Зельманова

*дБл

дг

(Бц + А)(Б + А) + ББЛ -ББ +

1

(39)

+3 АА +У К) - ^ КК +с2 Як = 0,

V1 (И Б - Б1] - А ) + К А = 0, *дБ ~ 1

— + Б Б + АкАк +V К1 —г К К1 = 0.

дг 1к 1к 1 с2 1

Левые части тождеств в (39) представляют компоненты тензора Риччи, задающие левую часть уравнений Эйнштейна в ТХИ. В нашем случае эти компоненты равны нулю. Полученный результат не является неожиданным. Исходное пространство, в котором изучалось движение сплошной среды, было плоским пространством Минковского. Возникновение отличного от нуля относительного тензора кривизны обусловлено разделением нулевого неголономного тензора кривизны плоского пространства-времени на две ненулевых части.

Если бы исходное пространство было римановым, что имеет место в ОТО, то в левой части равенства (8) добавился бы тензор кривизны исходного пространства, заданный в неголономной сопутствующей лагранжевой НСО. Это должно было привести и к изменению некоторых кинематических тождеств. В частности, в правой части тождества (10.33) добавится член

V ..V V =-1 я

[а ь] с 2 аЬ,с.

Произведя в новом тождестве свертку по а и с , поднимая индекс Ь , получим выражение

ЯЬ0 компоненты тензора Риччи в теории Зельманова.

Целью предлагаемого в этой работе исследования является выделение вклада в кривизну пространства-времени,

обусловленного неинерциальностью

наблюдателей, движущихся вместе с средой в произвольном силовом поле. Так как поле 4-скоростей V появилось как результат интегрирования релятивистского уравнения движения сплошной среды в плоском пространстве-времени, то разложение

V V = Е +О +V К,

! V !V !V ! V'

выступаетвкачествематематическоготождества. Хотя закон движения сплошной среды в переменных Лагранжа (1) голономен, однако "пространственные" векторы аффинных реперов, соединяющие соседние лагранжевы частицы, не могут появиться как результат дифференцирования 4-радиуса вектора х^ по лагранжевым координатам у к , так как гиперповерхность одновременных событий, когда в качестве временного параметра используется собственное время, не ортогональна мировым линиям частиц среды. Поэтому из физического требования "размещения" пространственных реперов на ортогональной мировым линиям гиперповерхности, возникает отличный от нуля объект неголономности.

Вид объекта неголономности зависит и от выбора временного параметра. Для элемента интервала находим

дЩ! д^^

dS2 = йу0 + ^ йу"йук

ду" дук

(40)

а= а -VV

о ! V о / V ! V

!V

/ V

- проекционный оператор в пространстве Минковского, проектирующий тензоры на ортогональную мировым линиям частиц базиса гиперповерхность

йу0 = йе + йу" = V¡¡dx!.

^ ' ! ду" !

(41)

Из (41) видно, что йу0 не является полным дифференциалом, т.е. у0 — неголономная координата.

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

Элемент интервала (40) эквивалентен разбиению в сопутствующей НСО четырехмерного интервала на две части, одна из которых йу0 = V!dx! есть элемент времени наблюдателя, движущегося вместе со средой, а другая - элемент трехмерного интервала на ортогональной мировым линиям частиц среды гиперповерхности. Аналогичное разбиение приводится в [8] и [12]. Так как в сопутствующей НСО справедливы очевидные соотношения

Vк = И//V! =

/р

йе

= 0,

дЩ'

V- = V = а. Vа = а..V0 =

к ! - л &Ьа О л 0

8

(42)

к 0

ду

й12 =

0 8к 0

8,

■8,

"к

00

йу"йу .

(43)

аЬ

= -2 Г

(даёл9+дл ё?а~ д?ё аЬ ),

дЛ =

д_

¥

(44)

стоят производные по направлениям. Исходя из определения производной по направлениям, имеем с использованием (2)

д л = И. — = -да + Ьад, Ьа= Vа- Vа,

а а

дх! дуа

V, = И/У, =81, Vл = V,

дх

(45)

а а ! а а / ^ а

дуа

где дифференцирование по у0 эквивалентно дифференцированию по £0 или по длине ^ вдоль мировых линий базиса. Из (45) следует, что Ч = 0. Из (6) и (45) находим

{а Ь,у-} г аь,у +т аЬу,

то элемент пространственного интервала в лагранжевой сопутствующей НСО имеет вид ( п ~ \

т = Т Е + Т Е - Т Е

аь. ь ?а а^-ь ^у^аь'

(46)

1

Е а 2 дs

аь

Е. . =Е.. = 0,

00 0к

Элемент интервала (43) совпадает с хорошо известным соотношением [10]. Отметим, что соотношения (42) и (43) являются общими и не зависят от конкретного вида параметров Ламе (2).

Построенный нами относительный тензор кривизны является тензором относительно неголономных преобразований. Представляет интерес построить относительный тензор кривизны, который соответствует обычному общековариантному тензору Римана-Кристоффеля относительно произвольных голономных преобразований.

В согласии с (6) неголономная связность раскладывается на кристоффелеву часть связности и сумму объектов неголономности. При этом кристоффелева часть связности вычисляется через метрический тензор (9) по формуле

га} 1

8. +д.с .... ^ ..

а а

где Г аь — голономная кристоффелева связность, вычисляемая по метрике (9). На основе проведенного анализа неголономная связность, определяемая разложением (6), может быть представлена в виде

г:. =г :+п: ,п:. = т:.+т: .. (47)

аЬ аЬ аЬ аЬ аЬ аЬ

Заменив в формуле (7) неголономную связность на сумму связностей из (47), получим с учетом (45) и (6) разложение

К:!= 2д[а! + 2д[ап! +

аЬу [а Ь\ у [а Ь \ у

Та

дГ!-,.

—^ + 2Г!а|еГе> + 2севГ!9= 0.

д$ 1а\е\ Ь] у ар \

(48)

Из разложения (48) можно выделить в явном виде член вида

К~/= 2д[.Г/ + 2ГаеГе\ , (49)

аЬ у [а ь] у а\ь\ ь\

который соответствует обычному

общековариантному относительно

голономных преобразований тензору Римана-Кристоффеля. Из (48) и (49) имеем

-К/ = 2V[. П/ + 2П!.,. пе + 2се.ГЛ! +

аЬу [а Ь \у Г"\\ ь\? аЬ 67

дГ/

(50)

Очевидно, что связность (44) отличается от обычной голономной связности тем, что в связности (44) вместо частных производных

+

2 Ча

дs

По поводу формулы (50) необходимо сделать следующие замечания:

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

1. Ковариантная производная в правой части (50) вычисляется обычным образом (как для тензора) по голономной кристоффелевой связности от объекта Па, который не является тензором относительно голономных преобразований.

2. Все величины, входящие в правую часть равенства (тождества) (50), также не являются тензорами относительно голономных преобразований, однако их комбинация является общековариантным тензором.

Таким образом, в лагранжевой сопутствующей системе отсчета можно ввести в общей координации три связности: абсолютную неголономную связность вычисляемую по формуле (3), относительную

неголономную связность ^¿Г, задаваемую с помощью разложения (6) и относительную голономную связность Гйь -, получаемую из разложения (46).

Ясно, что это возможно только в том случае, если ковариантные производные от метрического тензора (9) для каждой из связностей равны нулю. Докажем, что это именно так. Используя формулы (3) и (9), подставляя их в выражение

V-g - = д-g .-П.g ,-YVg..

jab jab ja°vb jjb6 av

(51)

V.g . = V-g -+Tj.g -+T"gv.

"jab jab ja&Vb jjb6 av

jib ,a

T\ - = L-2.-+ L-2 ■-L-Z^

jja,b j ab a jb b ja

(53)

следует, что

Tj - + T*.-2LjjL- = 0.

jja,b jb ,a j ab

(54)

Поэтому имеем окончательно

Уиёаь ■Уиёаь "Яаь ■ 0 (55)

Развитый в этом разделе математический аппарат, описывающий свойства лагранжевых сопутствующих систем отсчета с заданным законом движения (1), предполагал, что в (1) в качестве временного параметра фигурировало собственное время. Однако часто при описании перехода из ИСО в НСО используется другой временной параметр, например, время ИСО.

Поэтому интересно разработать такой аппарат, который был бы пригоден для произвольного временного параметра. Будем считать в (1), что - произвольный временной параметр. Для 4-скорости V в переменных Лагранжа справедливо соотношение дЧ"

Vj = 0

0 '

(56)

где множитель © определяется из условия нормировки 4-скорости на единицу 1

д^ дУ ' (57)

02 =

g

убеждаемся, что V -g^ = 0.

Используя разложение (6) находим с помощью

(51)

и аь и аь иа°уь иъ°

(52)

Так как сумма двух тензоров аффинной деформации связности2 в последней формуле

дает ^^ то УиёаЪ иёаЪ ■ 0. Наконец из

равенства

У Я.. ■У Я.. + Т*. . +Т*. . -2 Ь 2.

"" аЪ аЪ иа,Ъ "Ъ а " аЪ"1

2Отметим, что в отличие от П" объекты Т"

' Ъ у Ъ у

являются тензорами относительно неголономных преобразований. Для доказательства достаточно вычислить ковариантные производные

произвольного вектора по связностям Г"" и " 1 и произвести вычитание одной производной из другой. где

Соответствующие коэффициенты Ламе имеют вид

И" ■ (8" - , И" ■ ^ ■—,

к ' V 0 д^0 © (58)

И" ■ду" ^ И" ■©V".

" дх" " "

Для неголономных координат коэффициенты связности Г°ь в пространстве Минковского можно представить в виде (3) и разложения (6). Из коэффициентов Ламе образуем объект неголономности С^ь (5). Конкретный вид объекта неголономности зависит от выбранных коэффициентов Ламе, которые определяются в зависимости от выбора временного параметра вдоль мировых линий частиц базиса. Для случая (58) находим

с,0 ■ ©а,., 2С0. ■ к , ск, ■ 0,

к1 к1 0к к к аЪ '

дук

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

(60)

О = О И!и К = К и!

Метрические коэффициенты для параметров Ламе (58), имеют вид

'00 ;12,8гк =0 (61)

8 „ = 8 И!Ш =— 8-- = 0

6аь 6/V а Ь' 600 02 ' 60к '

где g

М1

метрический тензор в эйлеровых

координатах пространства Минковского. Символы Кристоффеля вычисляются обычным способом с заменой частных производных производными по направлениям, а оператор вычисляется с помощью кристоффелевой связности. Коммутационные соотношения для производных по направлениям даются общими формулами (10), которые для нашего случая дают

д2 д2 ^-г^-г - ^-^-т- = 20О;г ■

дук ду1 ду1дук 1к

(

К = 2О к д,

0 1к дs

ду

д2

д2

дукду° ду°дук

К -

д Ы 0

Л

дук )ду

д

(62)

= 1 (К д 1п 0

= 4ы- д/)

Для компонент тензора деформации связности находим

_д_ д^

(

т... = -

0к ,0

К -

д Ы 0

дук

)

0

т. .. = 00 ,к

К -

д Ы 0

дук

0

(63)

1...=^. = 0, т-.^т...

т.1 ,к к0,0 ' 01 ,к 10,к

1

= 10.

0 1к'

д- = И!-а а дх! дуа

Ча = (8а ,

- + Т

де

0

дх..

V. = V,, !

(64)

дуа

связности и сумму объектов неголономности. При этом кристоффелева часть связности вычисляется через метрический тензор (10.9) по формуле (44). Очевидно, что связность (44) отличается от обычной голономной связности тем, что в связности (44) вместо частных производных стоят производные по направлениям. Исходя из определения производной по направлениям, с использованием (2) и (64) находим

{аЬ., Г аъ,у +т аьу,

1 г

т.. .

аЬ у = 0-

Е 10

уа 2

Ц Еа+ ЬаЕ.- ЦЕ-

уа а уЬ У аЬ

(65)

' аь

де0

Е00 = Е0к = 0,

где

аЬ ,у

— голономная кристоффелева связность, вычисляемая по метрике (61), для которой имеем

Г =-

0,к1 т ,

аффинной

2 де Г = 1д

",ы 2 дуЬ

Г =

0,01 П ^ 1

2 ду1 Г =-

",00 2 ду"

Г,,,= 1

0,00 т 0

2 ду0

(65а)

Г"- = Л"-к1 к1'

где Л" — трехмерные символы Кристоффеля, образованные из трехмерного тензора

Уи = 8к1 '

Относительный голономный тензор кривизны может быть вычислен по формулам (49) или (50). Расчет по формуле (49) приводит к соотношениям

- К =

0 к ,1т ~

V „Е- -^Е )

00 V т к1 1 кй Р

т.. - = —

к1,0 0 к1 '

Построение относительного неголономного и голономного тензора кривизны производится по тем же правилам, что и ранее. Производные по направлениям связаны с частными производными формулой д д г д

К-, = Я- -(Е..Е.„ -Е- Е-)

Ы ,1т 1к ,1т \ к1 ш кт 11 /'

- К,

дЕ

0к ,0т

дs

- ГЕ'Е

(65Ь)

д8с0> д8а

;0 0 о 00

— Л"

В согласии с (6) неголономная связность раскладывается на кристоффелеву часть

дукдут 2 ° ду1 дут ' кт ду" Как следует из (65), для жестких в смысле Борна движений (т.е. при Еа. = 0) голономные и неголономные символы Кристоффеля совпадают, однако относительные

неголономные и голономные тензоры кривизны отличны друг от друга за счет неголономной добавки (см. (20)).

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

3. КВАДРАТ ЭЛЕМЕНТА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ В ПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА

В качестве примера рассмотрим движение классически жесткого тела с законом движения

(66)

x ■

■■¡^(т)Лт + у-, x0 ■ М

Здесь в качестве временного параметра выбрано время ИСО. Элемент относительного интервала может быть построен из метрических коэффициентов (61)

dS2 ■

©2

(67)

у ■ Я - VV

5"V О "V " V

- проекционный оператор в пространстве Минковского, проектирующий тензоры на ортогональную мировым линиям частиц базиса гиперповерхность.

Относительный элемент интервала dS2 отличается от абсолютного элемента интервала (40) нормирующим множителем перед временным коэффициентом и, что более существенно, вместо неголономного элемента dy0, определяемого из (41), входит голономный элемент ■ Ясно, что

абсолютный и относительный интервалы не равны по величине. Использование метрики для абсолютного интервала, полученного с помощью неголономных преобразований, приводит к нулевому неголономному тензору кривизны, из которого с помощью процедуры, разобранной выше, получаются отличные от нуля неголономные и голономные тензоры кривизны.

Нормирующий множитель 1/©2 можно вычислить по формуле (57). Использование закона движения (66) приводит квадрат элемента интервала (66) к виду

1

dS2 -8 + V"Vk)dyn

V

(68)

Для частного случая падения в центрально-симметричном поле Солнца из бесконечности жесткого ящика, имеющего на бесконечности нулевую скорость, формула для интервала, аналогичная (68), приведена в известной книге А. Зоммерфельда [14] со ссылкой на неопубликованную работу Ленца. Исходя из этой формулы, Зоммерфельд получил интервал в форме Шварцшильда, используя в первом приближении закон Ньютона.

Интервал (68) в форме Родичева можно получить из интервала (67) и для произвольного закона движения сплошной среды вида

х- ■ Ч- (у\х0), х0 ■ 01 (69)

если ввести следующее обозначение [15]

Лу" ■ dXk

(70)

Соотношение (68) из других соображений было получено ранее В.И. Родичевым [13], в которое вместо лагранжевых координат У входили эйлеровы координаты X и движение не считалось обязательно классически жестким.

которое означает, что элемент, соединяющий две близкие лагранжевы частицы, рассматривается в координатах Эйлера в фиксированный момент времени /. Именно так поступают в классической механике сплошных сред при выводе тензора деформаций в лагранжевой сопутствующей СО.

Для произвольного движения сплошной среды в виде (69) элемент относительного интервала в переменных Лагранжа имеет вид 1 РЧт ЯЧ"

■ фг+ ^У"^£Ч_ЛуЫук. (71) У0 ду ду

Рассмотрим некоторые частные случаи СО, реализуемых с помощью закона движения (69) и метрики (71).

3.1. Равномерно вращающаяся СО

В отличие от релятивистской жесткой НСО, рассмотренной в предыдущем разделе и реализуемой в римановом пространстве-времени, будем следовать стандартному методу перехода [10].

Выберем неподвижную систему отсчета, в которой введем цилиндрические координаты г0, ф0, ¿0 и перейдем к вращающейся системе отсчета г, ф, % t согласно формулам: Г0 = ^ ф0 = ф + %о = % К =

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

где угловая скорость вращения О относительно оси ^ считается постоянной.

Перейдя от галилеевых координат в (71) к цилиндрическим, получим выражение для относительного интервала во вращающейся НСО. Элемент интервала имеет вид

(

dS2 =

2 2 Л

1 -

Q2 r

- dr2--

1-

Q2 r2

(72)

Для сравнения приводим величину интервала при стандартном рассмотрении

(

dS2 =

2 2 \

1 -

z2 - r2 d

Q2 r

2

- 2Qr2d^>dt -

(73)

Обе формулы справедливы, если rQ/c < 1 и удовлетворяют критерию жесткости как классическому, так и релятивистскому (в смысле Борна). Однако между метриками имеется существенное различие: метрика (72) реализуетсявримановом пространстве времени, а метрика (73) — в плоском пространстве Минковского. При t = const метрика (72) соответствует элементу "физического" пространственного интервала во вращающейся системе отсчета в согласии с формулой (43). В (72) в отличие от (73) отсутствуют компоненты метрического тензора, что означает возможность синхронизовать часы вдоль любого замкнутого контура [10].

Связь между истинным временем и временем пространства Минковского t у обеих метрик одинакова

(

dr2 =

1 -

Q2r2 ^

(74)

квадрат скорости света) вычитается квадрат элемента "физической" длины. 3.2. Релятивистская (нежесткая)

РАВНОУСКОРЕННАЯ НСО

Какдоказано в[1-5],впространстве Минковского не существует такого закона движения, который бы приводил к одновременному выполнению двух условий: релятивистской жесткости и равноускоренности. Поэтому в качестве равноускоренной СО рассмотрим движение заряженной пыли в постоянном электрическом поле, приводящей к метрике Логунова dS2 = (йХ)2 - (йХ1)2 - (йХ)2 - {X)2, где х0 = с/, х1, X, х3 — декартовы координаты, а закон движения сплошной среды дается для метрик Логунова как: х1 (/,X) = у1 +(с2/а0)|у 1 + а^х2/с2 -1 ,

х2 = у2, х3 = у3, х0 = у0 или

х1(у1, т) = У + сУд0[созЦд0т/с) — 1],

х2 = у2, х3 = у^, / = (с/а^тЦа0т/с),

где в качестве временного параметра

используется время в ИСО, а т - собственное

время

c2dt2 „ a2tdtdyl

dS2 =-

--2-

1 + а2х2/ с2 (1 + а2х2 / с2 )т -( dyl )2-( dy2 )2-( dy3 )\ dS2 = с2 (dт) - 28тИ(а2т / с)cdтdyl --(dyl )2-(dy2 )2-(dy3

Подстановка закона движения в формулу (71) (заменив в (71) ук —> ук) приводит к элементу интервала в виде

Обе метрики, в отличие от релятивистской жесткой НСО, справедливы лишь для конечных расстояний от оси вращения.

Метрика (72) допускает простое геометрическое толкование. Элемент относительного интервала, так же как и в ИСО в декартовых координатах, определяется по теореме Пифагора для псевдориманова пространства времени: из квадрата собственного времени (умноженного на

dS2 =■

c

2^2

1 + alt2 / c2 -( dy2 )2 +( dy3 f.

■(1 + a0t2/c2)(dy1 )2

+

(75)

Подстановка закона движения в (71) (с заменой © = 1, t ^ т) приводит к квадрату интервала

dS2 = c2dr2 - cosh2

(76)

+( dy2 )2 +( dy3 f.

Формула (75) была получена из других соображений В.И. Родичевым [13], правда,

2

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

в координатах Эйлера, а не Лагранжа, как в нашем случае. Ясно, что (76) может быть получена из (75) простым преобразованием времени, которое определяется равенством t = (с/а^тЦа^/с) .

Анализ формул (75) и (76) и сравнение с аналогичными соотношениями у Логунова показывает, что элементы относительных интервалов (как и в случае вращательного движения) вычисляются в согласии с теоремой Пифагора для псевдориманова пространства, когда из квадрата собственного времени (умноженного на квадрат скорости света) вычитается квадрат элемента "физической" длины.

Вычисление относительного тензора кривизны для метрики (76) приводит к отличию от нуля одной компоненты

4л.-

( 2 ^

(77)

(77а)

Для скалярной кривизны получим * -2£

В согласии со стандартной точки зрения [10], синхронизация у часов, находящихся в одинаковых физических условиях, т.е. на одинаковом расстоянии от оси вращения, отсутствует. При нашем рассмотрении для относительного интервала такого "парадокса" не возникает. При рассмотрении вращательного движения часы, находящиеся на одинаковом расстоянии от оси вращения, должны показывать одинаковое собственное время. Математический переход к относительному интервалу можно осуществить и совершенно элементарным способом, взяв в метрике (40) величину ду0 при фиксированном значении лагранжевой координаты частицы ук в (41). Это приводит к интервалу

dS2 ■ +.

* дЧ" дЧ"

Лу" ¥, я^- (78)

в ИСО, использующего координаты НСО (т.е. (40)). Из развитого математического аппарата, позволяющего выделить из нулевого неголономного тензора кривизны голономный, следует, что вычисленный из метрики относительного интервала обычный тензор Римана-Кристоффеля, в общем случае, отличен от нуля.

4. ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ УСКОРЕНИЙ, ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ НСО В ПРОСТРАНСТВЕ МИНКОВСКОГО

Физический смысл введения относительного тензора кривизны можно выяснить на основе анализа движения частицы в произвольном силовом поле в НСО.

Пусть в пространстве Минковского в некотором силовом поле движется сплошная среда. Поле 4-скорости среды в переменных Эйлера — V. В этом же пространстве в другом силовом поле движется частица, 4-скорость которой и не совпадает с V.

Переход в НСО осуществляем с помощью параметров Ламе (2), используя уравнение движения

лиа 1

И"-

т0с

-И" Iа.

(79)

dS

В формуле (79) ш0 — масса покоя частицы, /а — 4-сила. Из формул (2)-(6), используя равенства У,К ■ ИVТ"а, У,К ■ 0, (80)

после простых преобразований получим

ли" dS

+

иаиъ ■ ■

1

т0с

I" - т" и&иЪ

^ аЪ.

(81)

ду" дук

длина которого в общем случае не равна длине интервала (40). Таким образом, с нашей точки зрения интервал для наблюдателей в НСО (т.е. относительный интервал (78)) отличается от интервала для наблюдателей

Если рассматриваемая частица принадлежит к одной из частиц базиса НСО, то № = V и из (14) следует обращение в ноль правой части (81). Иными словами, для наблюдателей в сопутствующей НСО относительные векторы первой кривизны мировых линий частиц базиса равны нулю, а относительная кривизна пространства-времени отлична от нуля. Распишем уравнения (81) по компонентам, воспользуясь очевидным соотношением

dS2 ■ ду0 - 2 ■

( и 1 - ^ ,

V с У

ду0

(82)

ж I у| о I у| I/л rnnnillUUY PDCn РЕЛЯТИВИСТСКАЯ СПЛОШНАЯ СРЕДА 173

фИЗИКА СПЛОШНЫХ 1РЕД В ЗАДАННОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ

где и — величина относительной скорости частицы. Используя выражения (14) и обозначения (38а), получим уравнения движения относительно НСО в виде, удобном для сравнения с близкой по содержанию работой Зельманова [8]

— + mDru;uk -mFU = c2Vuf\ 1 -u2,

dr lk ' * \ c2

dpk di

+ \ pV + 2m (Dk + A ) U - mFk =

(83)

(84)

и

= Cf\ 1 ~

В формулах (83) и (84) введены следующие обозначения:

E =

. Р =

E т '

m = —, dz = -

VJ * = f0 = Vf0+Vfk =

f gi\af

f.

(86)

DU* fa

* dS m„i

-2gaß(uVVv)u^{Vß]. (87)

' (85)

^—'с ^

где Е — относительная (хронометрически инвариантная (х.и.) [8]) энергия частицы, т — относительная (х.и.) масса, р1 — относительный (х.и.) импульс. Левые части равенств (83) и (84) тождественны левым частям равенств в мировых уравнениях движения работы [8]. Равенство правых частей можно легко доказать. Действительно, для голономных реперов, получаемых из (1), в сопутствующей НСО справедливо равенство

В соотношении (87) К — относительное 4-ускорение частицы относительно НСО в координатах ИСО, ортогональное 4-скорости иа, //(ту) — абсолютное 4-ускорение частицы, последний член в (84) содержит переносное ускорение и ускорение Кориолиса. Таким образом, соотношение (87) есть спецрелятивистский закон сложения ускорений, переходящий в классический при нерелятивистском приближении.

Отметим, что относительное 4-ускорение появилось в результате вычисления абсолютной производной в НСО от относительной 4-скорости частицы с помощью кристоффелевой части связности (6). По этой

причине тензор кривизны (8) можно

назвать относительным тензором кривизны НСО. Воспользуясь легко проверяемым равенством

^=V ти, - пт% +ш.+(88)

тензор кривизны (8) можно переписать в виде

RS=-2V..TL- -2T*.TY-.

V*\ [V \vA. * F-

(89)

использование которого доказывает совпадение правых частей уравнений (83) и работы [8]. Доказательство для (84) аналогично. Таким образом, несмотря на различие предложенного нами метода перехода в НСО с методом Т.Х.И., уравнения движения относительно НСО совпали.

Уравнение (82) после свертки с Щ можно записать в пространстве Минковского в форме, ковариантной относительно произвольных голономных преобразований эйлеровых координат. Используя (14), после простых преобразований получим

Используя равенство (80), свертывая тензор кривизны (89) с помощью коэффициентов Ламе, получим выражение для относительного тензора кривизны в пространстве Минковского

hZhh*h\R.Y = RßS=-2ö[ ß -2TFS.TZ . (90)

Y a ß S V*,A aß,S [a ß\S. \a\s\. ß\e. \JyJ)

При этом тензор в пространстве Минковского имеет вид

T*= F%V*- VSK+F*K)+

+VvQ*+ V*QF

Этот тензор после преобразований можно представить в виде

T =1Г F V + F V + F V 1

J-V*,£ 2 LV* F ev * F* V J5 (92)

F*V = 2v[VV*\.

Итак, в результате разделения нулевого неголономного тензора кривизны на две ненулевые части, в плоском пространстве-времени возникло тензорное поле

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

относительного тензора кривизны НСО, которое нельзя уничтожить никакими голономными преобразованиями как содержащими, так и не содержащими время. Отметим, что в формуле (90) при использовании в пространстве Минковского криволинейных координат частные производные заменяются на ковариантные.

Хотя по внешнему виду относительный тензор кривизны (90) напоминает тензор Римана-Кристоффеля, однако вместо коэффициентов связности (не тензоров) в него входят истинные тензоры аффинной деформации связности, определенные в (6) и выраженные в эйлеровых координатах пространства Минковского (92).

В качестве примера рассмотрим нерелятивистское, безвихревое движение пыли в ньютоновском поле тяжести. В относительном тензоре кривизны и относительном тензоре Риччи будем сохранять члены с множителем не выше, чем 1/ 2. В этом приближении имеем из (29) и (36)

Я ■ 0, Я « 0, Я « -У¡.Р.,,

-Ьс. ' ab,o0 ' 0Ъ,с0 (Ъ с)'

Яй (ЬР, ЯЬ0 - 0,Я00 "

(93)

(95)

в пространстве Минковского следует, что для безвихревых движений он имеет вид

Те ■ Ке¥¥ -VеК V ■ Я£ау

(дУ дУl^

"

"

дх" дх°

. (96)

У

Если безвихревое движение является жестким, то это приводит к обращению в нуль относительного тензора кривизны. Таким образом, поступательное движение релятивистски жесткого тела не приводит к появлению относительной кривизны пространства-времени.

Для произвольных движений

относительный тензор Риччи можно представить в виде ртРа дГг

ЯР ■ -——^— + nаОаVвVr-ОеFVв■ (97)

дха

дх

в

Скалярная относительная кривизна К вычисляется по формуле

Я ■-2-

+а аае.

(98)

Относительный тензор Эйнштейна дается выражением

СРУ ■-

дТРуа дКу

дха дх

+ 0 QаеУ ^7 -

Так как К — пространственные компоненты 4-ускорения, то в нерелятивистском случае при движении в поле Ньютона КЪ ■ - / с2, где оЪ — обычное трехмерное ускорение. Из уравнения Пуассона получим

-У■ 4пкр, (94)

где k — гравитационная постоянная, р -плотность среды. В результате имеем

-аеFУp +

Я

РУ

в дха

- 2Я^ае^.

(99)

Для безвихревых движений относительные тензоры Риччи и Эйнштейна могут быть представлены в виде

д( К 'У Р) дК г

ЯР-

дха

дх,

0Ру ■

д( Ка Р) др ' рудК

Я00 ■ , ЯЬ0 « 0, Яы ■ - ^ У(ЬКс) ■

Первое и второе равенство в выражении (95) совпадают с соответствующими уравнениями Эйнштейна в синхронной системе отсчета, последнее — не совпадает.

Рассмотрим простейшие свойства относительного тензора кривизны в пространстве Минковского. Из выражения (92) для тензора аффинной деформации связности

сха

дхл

+ Я

дха

(100)

(101)

■2

д

дха

*РУ

(Я*РГ7Ка]) ,

где Я - проекционный оператор, введенный в (40). Из (101) видно, что относительный тензор Эйнштейна для безвихревых движений тождественно удовлетворяет закону сохранения

дОРг

дх7

- 0,

однако не является симметричным.

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

5. ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ В МЕХАНИКЕ НЬЮТОНА

Исследуем в ньютоновском приближении метрику пространства-времени для

наблюдателей, движущихся вместе с средой, пренебрегая всюду величиной V2/ с2 по сравнению с единицей. В этом приближении метрика (40) сводится к виду

dS2 = с2 dt2 -5

дЧm дЧ

- дук ду1.

дук ду

(103)

В метрике (103) в качестве эйлеровых координат ИСО выбраны декартовы координаты, в которых g = —8 , t — ньютоново абсолютное

-L °mn mn

время. Следует отметить, что метрика (103) в общем случаериманова с плоским пространственным сечением. Этот результат на первый взгляд является неправдоподобным, однако метрика (103) допускает простое геометрическое и физическое толкование.

В качестве примера рассмотрим нежесткий стержень, элементы которого движутся вдоль оси стержня с разными скоростями. Вблизи стержня параллельно ему движется частица со скоростью, превосходящей скорости частиц стержня. Условимся, что наблюдатели на стержне в качестве времени используют часы ИСО пространства Минковского. Пусть показания часов, когда частица поравнялась с задним концом стержня t1, а в момент обгона часы показывали t. Время, затраченное на обгон, равно (t2 — t1). Ясно, что относительную длину мировой линии частицы, при обгоне стержня, можно вычислить по теореме Пифагора. Относительная длина мировой линии частицы, когда стержень имеет бесконечно малые размеры, дается формулой (103). Элемент интервала (103) получается из псевдоевклидова интервала с помощью закона

движения xn = Чn (ук, t), а дифференциал от X вычисляется при фиксированном значении t, т.е. не является полным. Поэтому квадрат элемента интервала, получаемого вычитанием из квадрата временного элемента квадрата пространственного элемента, заданного в лагранжевой сопутствующей НСО, в общем

случае приводит неевклидову пространству-времени с плоским пространственным сечением.

Обычно при переходе из ИСО в НСО рассматривают элемент абсолютной длины мировой линии частицы. Элемент интервала получается из псевдоевклидова интервала с помощью закона

движения хп =4п (ук, I), а дифференциал от X является полным. Поэтому квадрат элемента (в отличие от (103)) содержит члены, зависящие от абсолютной скорости частицы, изменяется компонента и появляются отличные от нуля ^0к компоненты метрического тензора. Однако пространство-время при этом остается плоским. Очевидно, что абсолютная длина мировой линии рассматриваемой частицы не равна относительной длине мировой линии этой частицы.

Пространственная метрика в лагранжевой сопутствующей НСО в согласии с (103) имеет вид

с дЧт дЧп

Гы =дтп-г--Г- (104)

к1 тп дук ду1

Как известно из механики сплошной среды

[16]

dY

> i

— =

dt kl'

(105)

где са- — тензор скоростей деформаций в сопутствующей СО. Так как лагранжевы ук при движении каждой частицы остаются неизменными, то dyk / dt = 0,, и поэтому

аУы = дГы = д1л = 2а (106)

dt dt dym dt dt й' () Рассмотрим движение разряженного газа в ньютоновском поле тяжести, используя уравнение движения в форме Эйлера и уравнение неразрывности

Ч+Ь р ) = 0- (107)

—- + vk —- = g

Ы дхк а' дt дха

Дифференцируя уравнение (107) по X , имеем

^(^аЬ +®аЬ )+(°кЬ +®кЪ )(°ак + ® ак ) + дt

+v )=!

(108)

или

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

d д ^ (ааЬ + ®аЬ )+{акЬ + ®кЬ ) (а ак + ® ак ) = , (109)

где

1 ( ду„ ду

ааЬ =-

" + I, ®аЬ =~\

1 ( ду ду.

д аа + акаЬ дЯа а

—а = ——, а = -

дt

даЬ да

ь~к дх"' аЬ

дх дх"

(111)

^00 = - С1 Ц*

0а

1 (

я = -(У,стЬ-Уа

а а

Я = -1 (1(аЬ ) + аЖ - 2ааь

аь 2 д, \ аЬ) аь к а ь.

(113)

(114)

(115)

(116)

(117)

I дЧк дЧ'

Пуассона. Из соотношений (111), уравнения Пуассона находим для (113) 4пкр

Я . = 00

(119)

2 [дхь дха)' аь 2 [дхь дха)' (110)

В (110) ол, ы аЬ — тензоры деформаций и угловой скорости вращения в нерелятивистской механике в переменных Эйлера.

Свертывая (108) по а, Ь, получим в переменных Лагранжа

Соотношение (114) с учетом (112) дает

Я0а = 0- (120)

Выражение (118) в совокупности с уравнением Пуассона представим в удобной для дальнейших исследований форме

и 4прк ~ -

Я - = —-—г - + г -

аь 2 ' аь аь'

=

д?т

дхт

¿и +

дх'

Л дЧ к дЧ' (121)

+ а.,а - а, а

дуа дуь

дхь дха

Последнее соотношение в лагранжевых переменных сводится к виду

У а -УаЖ = 0, (112)

где ковариантные производные вычисляются по метрике (104). Для вычисления тензора Риччи воспользуемся метрикой (103) и результатом [10] для синхронной системой отсчета с плоской пространственной метрикой.

С 2 I д^ "ь 1 аь к а Ьк )

Можно показать, что при отсутствии вращений справедливо равенство

д - (dаkl 0 ^ дЧк дЧ'

—а - =1 —- + 2а ,а , I—;---

дt аЬ У dt т тк I дуа дуь

используя которое, имеем для выражения (115)

соотношение

Я 1 (dаkl а)дЧк дЧ'

Учитывая (109), находим при отсутствии вращений

и 1 I дёк I _.т т

ЯаЬ = С2"Г+ ак'ат -°кт°т

Соотношения (119)-(121) при условии, что в последнем выражении р. = 0, представляют собой уравнения Эйнштейна, записанные в синхронной системе отсчета для пылевидной материи [10]. Очевидно, что в общем случае Р- Ф 0, , так как в одном и том же силовом

аЬ

поле конгруенции мировых линий частиц среды обладают большим произволом.

Выясним, при каких частных условиях геометрия НСО, определяемая законами ньютоновой механики, и геометрия синхронной системы отсчета для пылевидной материи, определяемая уравнениями Эйнштейна, совпадают. Из вида метрики (104) следует, что искомые решения уравнения Эйнштейна справедливы в случае плоских пространственных сечений. А совпадение решений уравнений Эйнштейна с решениями ньютоновской механики возможно, если на конгруэнции мировых линий частиц базиса наложить ограничение

Гаи = 0 (122)

Исследуем сферически-симметричные

движения сплошной среды, поле скоростей которых в переменных Эйлера в декартовых координатах есть

Уа = У (Г ^) па , па = ~ , папа = 1Г

(123)

■. (118)

дуа дуь

Среда, движущаяся в собственном поле тяжести, имеет яа = дф / дха, где ф — потенциал поля тяжести, удовлетворяющий уравнению

Используя уравнения Эйлера (107), условия симметрии (123), получим для системы (122) выражение

1 ду 1 ду у2 2 дф л ,

--= Дф,--+ — +--- = Д^.

г дt г дt г г дг

2

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

Рассмотрим некоторые частные случаи решения этой системы:

1. Для радиального движения разряженной среды в ньютоновском центрально-симметричном поле тяжести, создаваемом массивным телом, центр масс которого расположен в начале координат, имеем

kM 0

Ар = 0^ =--0

(

v2 = 2kMn

1 1

Л

+ К

(125)

'о

í \ 2/3

( ¡о -1)

F s

= Г> (127)

dS2 = c2dt2 -

(128)

-r

(d02 + sin2 Qdq>2). Используя закон движения (127), полагая

R . 2 Го

3/2

3 r

1/2

(129)

имеем для элемента интервала выражение

dS2 = c2 dt2 —

dR2

2r

(R - ct)

2/3

(130)

2 (R - ct)

4/3

2/3

(dd2 + sm26dp2),

где М0 — масса тела, создающего поле, v0 — значение скорости при г = г0. Из совместности выражений (124) и (125) получим

= 2, у2 = 2км,1. (126)

Ы г

Решение (126) есть частный случай (125) при условии, что среда на бесконечности покоится. Интегрируя (126), получаем

где г' — гравитационный радиус. Отметим, что в последнем соотношении скорость света с введена искусственно для удобства сравнения с другими результатами и в результате в этой формуле она сокращается, как и должно быть при интегрировании уравнений движения в нерелятивистской механике. Выбор знака зависит характера движения частиц. При движении по радиусу к центру выбирается знак "плюс" и знак "минус" — при расширении от центра. Постоянная /0 выбирается из требования, что при / = 0 должно быть г = г, где г0 — лагранжева координата. Очевидно, что при падении частиц на центр текущий радиус лагранжевой частицы Ат,?) уменьшается, поэтому ? < ?0.

Метрика (103) в сферической системе координат имеет вид

которое в точности совпадает с известной метрикой Леметра в ОТО [10]. Для нашего случая элемент интервала метрики Леметра означает квадрат относительной длины мировой линии пробной частицы, движущейся относительно свободно падающих по радиусу к центру невзаимодействующих друг с другом частиц в ньютоновском центрально-симметричном поле тяжести. При этом падающие частицы, имеющие на бесконечности нулевую скорость, образуют базис НСО. Характер сил, действующих на пробную частицу, не имеет значения.

Хотя метрика (130) и тождественна с соответствующей метрикой из ОТО, однако в нашем случае координаты и время, определяющие метрику, имеют ясный метрический смысл, чего в принципе не может быть в ОТО. Например, время падения Т частицы базиса от начального значения радиуса т до текущего значения т(г ,Т) является

конечной величиной и определяется формулой

( \1/2

T =

2

3

ri

r

v я

( ^/2 r

r

v S У

(131)

которая соответствует формуле из ОТО, когда в качестве времени используется собственное время частицы [17]. В нашем случае роль собственного времени играет ньютоновское время /.

2. Следуя работам [10], [17], рассмотрим ньютоновскую однородную изотропную космологическую модель, для которой имеем v(r ?) = Н(/)т (132)

Систему (124), учтя уравнения Эйлера, запишем в виде

1 ду 3 ду V2 2у ду

-— = -4пкр, - — + — + — — = -4пкр. (133)

г дх г дх г г дг

Из уравнений (132), (133) находим

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

4. Подосенов СА. Новый метод расчета полей в пространстве-времени связанных структур. LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011.

5. Podosenov SA, Potapov AA, Foukzon J, Men'kova ER. Nonholonomic, Fractal and Bound Structures in Relativistic Continua, Electrodynamics, Quantum Mechanics and Cosmology. In three books. Book 2. Force Fields in Bound and Nonholonomic Structures. Moscow, LENAND, 2015.

6. Подосенов СА. Структура тензора кривизны НСО в СТО. В кн.: Теория относительности и гравитация. М., Наука, 1976, с. 107-114.

7. Схоутен ЯА. Тензорный анализ для физиков. М., Наука, 1965.

8. Зельманов АЛ. Хронометрические инварианты и сопутствующие координаты в общей теории относительности. Доклады АН СССР, 1956, 107(6):815-818.

9. Подосенов СА. Дим. на соискание уч. степ. канд. физ.-мат. наук. Релятивистская механика деформируемой среды в тетрадной формулировке. М., УДН, 1972.

10. Ландау ЛД, Лифшиц ЕМ. Теория поля. М., Наука, 1973.

11. Рашевский ПК. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., Наука, 1967.

12. Денен Г. О динамике в общей теории относительности. В кн.: Эйнштейновский сборник 1969-1970. М., Наука, 1970, с. 140.

13. Родичев ВИ. Теория тяготения в ортогональном репере. М., Наука, 1974.

14. Зоммерфельд А. Электродинамика. М., ИЛ, 1958.

15. Подосенов СА. Геометрические свойства сопутствующих систем отсчета в специальной теории относительности. В кн.: Теория относительности и гравитация. М., Наука, 1976, с. 100-106.

16. Седов ЛИ. Механика сплошной среды. Т.1. М., Наука, 1970.

17. Зельдович ЯБ, Новиков ИД. Релятивистская астрофизика. М., Наука, 1967.

18. Podosenov SA, Potapov AA, Foukzon J. Electrodynamics of a Continuous Medium in a System with Specified Structure. Physics of Wave Phenomena, 2012, 20(2):143-157.

дН Л , дН ТТ2 4 ,

-= -4пкр,-+ Н2 =—пкр. (134)

д^ д^ 3

Откуда

Н2 = 8пкр, (135)

что соответствует случаю расширения при плотности равной критической. Так как закон эволюции Вселенной в ньютоновском приближении выведен в [17] для произвольной плотности, то воспользуясь результатами [17] для нашего случая, находим закон расширения

С \1,ъ ' t -1

r = ro

V to t®y

(136)

где (/0 — 4) — "возраст" однородной модели Вселенной. Подстановка (136) в (128) приводит к выражению для квадрата интервала

/ м (137)

dr0 - rf (dd2 + sin2 ddq)2 ) I,

dS2 = c2dt2 -

Г t - О 4/3

V ч -

которое соответствует модели с плоским (евклидовым) пространством ОТО [18-25].

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Самым странным результатом, полученным в этой работе, является тот, что точные решения уравнений Эйнштейна содержатся в качестве частных случаев нерелятивистской механики Ньютона, а не наоборот, как принято считать.

ЛИТЕРАТУРА

1. Подосенов СА. Геометрические свойства неинерциальных систем отсчета в релятивистской механике. - В кн.: Дискуссионные вопросы теории относительности и гравитации. М., Наука, 1982, с. 95-103.

2. Подосенов СА. Пространство, время и классические поля связанных структур. М., Спутник+, 2000, 445 с.

3. Подосенов СА, Потапов АА, Соколов АА. Импульсная электродинамика широкополосных радиосистем и поля связанных структур. Под редакцией АА. Потапова. М., Радиотехника, 2003, 720 с.

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

19. Podosenov SA, Foukzon J, Potapov AA. A Study of the Motion of a Relativistic Continuous Medium. Gravitation and Cosmology, 2010, 16(4):307.

20. Foukzon J, Podosenov SA, Potapov AA. Relativistic length expansion in general accelerated system revisited. http:llarxiv.orgl pdf/0910.2298v1.

21. Podosenov SA, Potapov AA, Foukzon J, Men'kova ER. Geometry of Noninertial Bases in Relativistic Mechanics Continua and Bell's Problem Solution. International Journal of Recent Advances in Physics (IJRAP). Wireilla Scientific Publications. 2014, 3(1):23-37. http://wireilla. com/physics/ijrap/current2014.html.

22. Podosenov SA, Foukzon J, Potapov AA, Men'kova ER. About Nonlinear Classic Field Theory of Connected Charges. International Journal of Recent Advances in Physics (IJRAP). Wireilla Scientific Publications. 2014, 3(2):1-20.

23. Podosenov SA, Foukzon J, Potapov AA, Men'kova ER. About Modelling of the Gravitational Fields. International Journal of Recent Advances in Physics (IJRAP). Wireilla Scientific Publications. 2015, 4(1):1-19.

24. Podosenov SA, Foukzon J, Potapov AA, Men'kova ER. Classical and Quasi-classical Consideration of Charged Particles in Coulomb Field of Bound Charges. International Journal of Recent Advances in Physics (IJRAP). Wireilla Scientific Publications. 2015, 4(1):67-89.

25. Подосенов СА. Уравнения структуры в релятивистской механике сплошных сред и решение парадокса Белла. Современные наукоемкие технологии, 2014, 3:132-138.

Подосенов Станислав Александрович

к.ф.-м.н.

ВНИИ оптико-физических измерений

46, Озерная ул., Москва 119361, Россия

podosenov@mail.ru

Потапов Александр Алексеевич

д.ф.-м.н., действительный член РАЕН

Институт радиотехники и электроники РАН

11/7, ул. Моховая, Москва 125009, Россия

potapov@cplire.ru

Фоукзон Джейков

д.ф.-м.н., проф.

Израильский технологический институт

Хайфа 3200003, Израиль

jaykovfoukzon@list.ru

Менькова Елена Романовна

к.т.н.

ВНИИ оптико-физических измерений 46, ул Озерная, Москва 119361, Россия e_menkova@mail.ru

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

RELATIVISTIC CONTINUUM IN SPECIFIED FORCE FIELD

Stanislav A. Podosenov, Elena R. Men'kova

All-Russian Research Institute for Optical and Physical Measurements, http://www.vniiofi.ru Moscow 119361, Russian Federation Alexander A. Potapov

Kotel'nikov Institute of Radioengineering and Electronics, Russian Academy of Sciences, http://www.cplire.ru Moscow 125009, Russian Federation

Jinan University, College of Information Science and Technology/College of Cyber Security, http://www. jnu.edu.cn Guangzhou 510632, China

Cooperative Chinese-Russian Laboratory of Informational Technologies and Signals Fractal Processing, Guangzhou 510632, China Jaykov Foukzon

Center for Mathematical Sciences, Israel Institute of Technology, http://www.technion.ac.il Haifa 3200003, Israel

podosenov@mail.ru, potapov@cplire.ru, jaykovfoukzon@list.ru, e_menkova@mail.ru

Abstract. A continuum motion in the flat Minkowski space in the specified force field is considered. When movement the relative space-time curvature stipulated by the noncoincidence of the hypersurface orthogonal to world lines of basis particles with the simultaneity hypersurface arises. The anholonomic mathematical apparatus and its continua application is developed. Metrics for relative 4-interval element squares for the arbitrary continuum motion and special cases are found. The acceleration addition law is obtained. It turns out that exact solutions of the Einstein's equations for the isotropic cosmological model for the strongly evacuated gas and for the critical density follow from solutions of the Newtonian gas dynamics Euler's equations. Keywords: space-time, curvature tensor, reference frame, Born's rigidity, Minkowski, Riemann, Einstein, coordinates, Christoffel, hypersurfaces.

UDC 530.12, 531.134, 537.9

Bibliography - 25 references RENSIT, 2017, 9(2):161-180

Received 10.11.2017 DOI: 10.17725/rensit.2017.09.161