О соотношениях, вытекающих из условия пластичности Треска Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.214

О СООТНОШЕНИЯХ, ВЫТЕКАЮЩИХ ИЗ УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ ТРЕСКА М.А. Артемов, Н.С. Потапов, А.П. Якубенко

В работе рассматривается вопрос об альтернативной форме записи кусочно-линейных условий пластичности Ключевые слова: условия пластичности, пластический потенциал, пластическое тело

В математической теории пластичности вводится понятие условия текучести (пластичности)

I (у) = 0,

где у — тензор напряжений (симметричный тензор второй валентности). Условие текучести является условием перехода тела в пластическое состояние, при котором в теле могут возникать необратимые деформации. Для изотропного идеально пластического тела функция текучести I (у) — симметрическая функция главных напряжений. Указанное требование симметрии будет выполнено, если функция пластичности будет зависеть от симметрических инвариантов тензора напряжений, например, & (у), 2 3

^(у ), ^г(у ). Для изотропного пластического тела, имеющего одинаковые пределы текучести при одноосном растяжении и сжатии, условие текучести не должно зависеть от знака главных напряжений. Это требование выполняется, когда, например, в качестве аргументов функции пластичности выбра-

2 2 2 3

ны инварианты & (у), & (у ), & (у ). Более подробно необходимые сведения по вопросам математической теории пластичности можно найти в многочисленных монографиях, учебниках и статьях, например, в [1 - 8].

Пусть 1, т, п — собственные векторы тензора напряжений, тогда условие пластичности Треска можно представить в виде

тах{| у -(п ® п -1 ® 1) |,| у • (п ® п - т ® т) |,

| у • -(1 ® 1 - т ® т) |} = 2к. ( )

Здесь к = ит / 2, ит — предел текучести при одно-

осном растяжении или сжатии.

В 1871 году М. Леви [6] предложил уравнение грани поверхности Треска в виде

2 (2)

4(/2 - 4к2)2(/2 - к2) - 27/32 = 0,

где / 2 — второй главный инвариант девиатора тензора напряжений, / 3 — третий главный инвариант девиатора тензора напряжений.

Уравнение (2) может быть представлено в виде

[7]:

Артемов Михаил Анатольевич — ВГТУ, д-р физ.-мат.

наук, профессор, тел. (473) 246-32-85

Потапов Николай Сергеевич — ВГУ, аспирант, тел. (473)

220-83-37

Якубенко Андрей Павлович — ВГУ, преподаватель, тел. (473) 220-83-37

[(о1 -о2)2 - 4к 2][(оЗ -о1)2 - 4к 2] х х [(о2 -ст3)2 - 4к2] = °

(3)

На рис. 1 изображено геометрическое место точек на девиаторной плоскости в пространстве главных напряжений, определяемое решением уравнения (3).

Следует отметить, что уравнения (1) и (3) не эквивалентны, поэтому выводы, которые можно получить при рассмотрении условия пластичности Треска (1) и выводы, получаемые из уравнения (3), приводят к разным результатам.

Например, если рассмотреть грань поверхности пластичности Треска, которая определяется одним уравнением и двумя неравенствами

СТ1 - а2 = 2к,

а3 - а2 < 2к,

СТ1 - а3 < 2к,

5(<Г1 -СТ2)

то для этой грани ——----------------— = 0 , в то время как из

5°з

равенства

д[(0 О - 4к2][(^з О - 4к2][(о-2 -оз)2 - 4к2]

доз

= 0

1

(4)

следует зависимость вида о3 = “(о + о2).

Рассмотрим ребро поверхности пластичности Треска, для которого

Гу --(п ® п -1 ® 1) = 2к,

[у --(п ® п - т ® т) = 2к.

Тензор напряжений будет иметь вид

1 2

у = (3 & (у) - - к)Е + 2кп ® п . (5)

Из равенства (5) следует, что девиатор тензора напряжений

8 = 2кп ® п - 2кЕ / 3. (6)

Здесь Е — единичный тензор второй валентности.

Независимые инварианты девиатора тензора напряжений, учитывая (6), принимают фиксированные значения:

8 2 16 3 s: s = — к , det(s) = — к . (7)

3 27

Уравнения (7) определяют кривые, изображенные сплошными линиями на рис. 3. Решению системы уравнений (7) на девиаторной плоскости соответствуют точки: А, В, С (рис. 3).

шестиугольник Треска

Определим тензор

2

p = s + — kE = 2кп ® п . (8)

Ненулевой тензор p — вырожденный, ранг его

матрицы равен единице, поэтому det(p) — третий главный инвариант тензора p будет равен нулю. Уравнение

к 8

det(p) = det(s) — s: s+—к3 =

3 27

2 2 2

= (5 + ^ к )(52 + 3 к )(5з + - к) = 0,

где 51,5 2, ^3 — главные значения девиатор тензора напряжений, определяет множество точек на девиа-торной плоскости, изображенное на рис. 2.

Поскольку у тензора p одно ненулевое собственное значение, то тензор его алгебраических дополнений р будет нулевым тензором, все его компоненты будут равны нулю. Согласно определению

(В) компоненты тензора р выражаются через компоненты тензора напряжений. Полученным таким образом соотношениям должны удовлетворять компоненты тензора напряжений, если он имеет вид (5). Из шести этих соотношений независимыми будут только два [В]. В терминах главных значений девиа-тора тензора напряжений главные компоненты тензора р имеют вид:

П = (s2 + 2k/3)(s3 + 2k/3) = 0, п2 = (sj + 2k /3)(s3 + 2k /3) = 0, (9)

n3 = (s1 + 2k / 3)( s2 + 2k /3) = 0. Одновременное выполнение равенств (9) определяет на девиаторной плоскости точки: A, В, С (рис. 2).

Выводы. Соотношения между главными инвариантами девиатора тензора напряжений, вытекающие из условия пластичности Треска, не эквиваленты этому условию.

Литература

1. Хилл Р. Математическая теория пластичности. -М.: ГИТТЛ, 1956. - 407 с.

2. Соколовский В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. — М.: Высш. школа., 1969. — 60В с.

3. Качанов Л. М. Основы теории пластичности / Л.М. Качанов. — М.: Наука, 1969. — 420 с.

4. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. Учебник для студентов вузов / Н. Н. Малинин. — М.: «Машиностроение», 1975. — 400 с.

5. Ишлинский A^. Математическая теория пластичности / A^. Ишлинский, Д.Д. Ивлев. — М.: ФИЗ-МATЛИT, 2001. — 704 с.

6. Леви М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости / М. Леви. — Теория пластичности. — М.: ИЛ, 194В. — С. 20-23.

7. Радаев Ю.Н. О соотношениях перестановочности Ишлинского в математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. — 2007. — №6(56). — С. 102-113.

В. Aртемов МА. Соотношения пространственной задачи теории пластичности при условии полной пластичности / МА. Aртемов, Н.С. Потапов // Современные проблемы математики, механики и информатики. Сб. трудов Международной научной конференции. — Тула.: Изд-во ТулГУ, 2009. — С. 125-129.

Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет

ABOUT RELATIONS ARISING FROM TRESCA PLASTICITY CONDITION

M.A. Artemov, N.S. Potapov, A.P. Yakubenko

This article is considered with the question of alternative forms of piecewise linear plasticity conditions Key words: plasticity conditions, plasticity potential, plastic body