Условие полной пластичности и ассоциированный закон деформирования Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539

УСЛОВИЕ ПОЛНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ И АССОЦИИРОВАННЫЙ ЗАКОН ДЕФОРМИРОВАНИЯ

М.А. Артемов, Н.С. Потапов, А.П. Якубенко

Для изотропного идеального жесткопластического тела при выполнении условия полной пластичности установлены связи между компонентами тензора напряжений, приведен вид уравнений равновесия для трех независимых компонент тензора напряжений. Показано, что замена соотношений ассоциированного закона пластического течения условием соосности тензоров напряжений и скоростей деформации не является эквивалентной

Ключевые слова: условие полной пластичности, статически определимая задача, идеально пластическое тело

В 1909 г. А. Хаар и Т. Карман [1] ввели понятие полной пластичности, связав его с условием пластичности максимального касательного напряжения (условие пластичности Треска) при выполнении равенства двух главных напряжений. Предположение о полной пластичности приводит к локально статически определимой задаче теории идеальнопластического тела [1 — 3]. Г. Генки отмечает [2]: «... статическая определимость ... носит очень ограниченный характер и вообще имеет место только для вполне определенных нагрузок. Только особая практическая важность тех случаев, в которых распределение напряжений не зависит от деформаций, может оправдать введение понятия статической определимости в теорию пластичности».

Элементы тензорной алгебры Рассмотрим симметричный тензор второй валентности р, ранг матрицы которого равен единице.

Обозначим через Р1 ненулевое собственное значение тензора р, а через п — собственный вектор,

соответствующий этому собственному значению. Единичный вектор п определяется двумя независимыми координатами. В ортонормированном базисе

еЬ е2, е3

п1 = п • е1 = соб(п, е1),

■П2 = п • е2 = С0Б(П, е2),

П1 + П2 + П'2 = 1.

В базисе е1,е2,ез и в базисе 1,т,п (1,т,п — собственные векторы тензора р ) разложение тензора р по базисным диадам будет иметь вид

р = Р1] е, ® е ] = Р1п ® п . (1)

Из (1) следует, что собственное значение Р1 тензора р будет равно первому главному инварианту этого тензора

Р1 = к (р)

и, следовательно, учитывая (1),

Артемов Михаил Анатольевич — ВГТУ, д-р физ.-мат.

наук, профессор, тел. (4732) 46-32-85

Потапов Николай Сергеевич — ВГУ, аспирант, тел. (4732)

208-337

Якубенко Андрей Павлович — ВГУ, преподаватель, тел. (4732) 208-337

р = ґг (р)п 0 п .

Очевидно, что все изотропные скалярные функции тензора р будут являться функциями только первого инварианта ґг (р).

Шесть компонент симметричного тензора второй валентности

п 0 п = —(2) ґг(р)

выражаются через две независимые компоненты П, П2 собственного вектора п тензора р. Компоненты тензора п 0 п определяются через компоненты вектор п по формулам

Пу = п^і, і, і = 1,2,3, (3)

Из равенства (2) следует, что направляющие косинусы вектора п связаны с компонентами тензора р соотношениями

Пі = +УІРіі /ґг(р), і = 1,2,3 . (4)

2

Поскольку ріі / ґг(р) = пі , то sign(Ріі ) = sign(tг(р)).

Учитывая (2) — (4), находим, что недиагональные компоненты тензора р будут связаны с диагональными компонентами этого тензора соотношениями

Ру = Щ^РііР]] , ку = ^П(Ріі X (5) где і = 1 ^ 3, і = і mod3 +1.

Итак, в произвольном базисе тензор р полностью определяется тремя компонентами.

Выбирая в качестве независимых компонент тензора р три диагональные, учитывая (5), диадное представление этого тензора будет иметь вид

3 3 _______

р = X Рііеі 0еі + 2кї4РііРї еі 0еі • і=1 і, і=1

іф ]

Через недиагональные компоненты тензор р будет определяться следующим образом:

р = 2 РЛРі] е і 0 е і +2 Р у е і 0 е і .

і=1 Р ік і, і=1

І=і mod3+1 іф і

к=(i+1)mod3+1

Введем тензор

р = р2 - А(р)р . (6)

Матрица компонентов тензора р будет присоединенной матрицей к матрице тензора p . При записи равенства (6) учтено, что второй главный инвариант тензора p равен нулю:

12 (p) = -2( Ii2(p) - Il (P2)) = 0.

Поскольку компоненты тензора р являются алгебраическими дополнениями к соответствующим компонентам тензора p, имеющего ранг равный

единице, то тензор р будет ноль тензором.

В произвольном базисе ei, e 2, ез равенство нулю всех алгебраических дополнений к элементам матрицы симметричного тензора p приводит к соотношениям, которым должны удовлетворять компоненты тензора p :

Pl2 - PliР22 = 0

p123 - p11 p33 = 0

p23 - p22 p33 = 0

или

pi3p23 - p33pi2 = 0,

p12p23 - p22pi3 = 0 (7)

pi2pi3 -piip23 = 0.

Можно заметить, что соотношения (7) следуют из соотношений (5).

Состояние полной пластичности Обозначим через l, m, n собственные векторы тензора напряжений у . Разложение тензора напряжений по базисным диадам l ® l, m ® m, n ® n имеет вид

у = сil ® l + ^2m ® m + СТ3П ® n . (8)

Рассмотрим случай, когда равны два главных нормальных напряжения.

Поскольку функция пластичности для изотропного материала f (с^,02,03) симметрична относительно главных напряжений 0^02,03 [3, 4], то выбор каких-либо двух равных главных напряжений не имеет значения. Для определенности примем, что ci = с2. Тогда из равенства (8) следует, что

у = ciE + (03 - ci)n ® n , (9)

где E = l ® l + m ® m + n ® n — единичный тензор второй валентности. Девиатор тензора напряжений у будет иметь вид

d = (ci -СТ3Х3 E - n ® n).

Для изотропного идеально-пластического тела функция текучести является функций трех независимых инвариантов тензора напряжений. Поскольку функция, аргументами которой являются инварианты тензора, также является инвариантом, то в качестве аргументов функции текучести можно выбирать любые независимые инварианты тензора напряжений. Формулы, позволяющие выразить одни

инварианты тензора второй валентности через другие его инварианты, хорошо известны [5]. Выбор тех или иных инвариантов, как правило, обусловлен удобством проводимых преобразований.

В качестве независимых инвариантов тензора напряжений выберем след тензора напряжений

2

ґг(у) = Е--у , след квадрата ґг(й ) и след куба

3

ґг (й ) девиатора тензора напряжений d. При таком выборе независимых инвариантов тензора напряжений для изотропного идеально-пластического тела условие пластичности можно записать в виде равенства нулю функции1

/ (ґг (у), ґг (й 2), ґг(й 3)) = 0. (10)

Если дополнить условие пластичности (10) равенством двух главных напряжений о-! = о 2, то будем иметь систему уравнений, которую запишем в виде

| / (ґг (у ),01 -03) = 0,

|°1 = 02.

(11)

Поскольку в пространстве главных напряжений вектор Vу / Ф 0 (рис.1), то согласно теореме о неявной функции [6] можно полагать, что из первого уравнения (11) следует соотношение

О -^3 = я (/г (у)). (12)

Принимая во внимание равенство (12), согласно (9), тензор напряжений будет определяться по формуле

у = ^Е - я (/г (у ))п ® п . (13)

Из (13) находим, что кратное главное значение

тензора напряжений 01 =1 (/г (у) + я), поэтому

3

1

у = ^(ґг(у) + g)Е -gn 0п . (14)

Если свойства пластического материала не зависят от гидростатического давления, система (11) для нормально изотропного материала примет вид

о - 03 = ак, а = sign(о^l - 03),

СТ1 ~&2-

(15)

1 Для выпуклых поверхностей пластичности неравенство /(у = 0) < 0 будет выполняться, если у • •/ / ду > 0 , что

обеспечивается выбором знаков при записи условия пла-

стичности.

В этом случае функция g не зависит от гидростатического давления и g = ak. Согласно (14) тензор напряжений

у = 3(tr(у) + ak)E -akn ® n .

Так как по определению у - 3 tr (у )E = d — девиа-тор тензора напряжений, то из (14) следует, что

d = g (-3 E - n ® n). (16)

Если g = ak , то девиатор тензора напряжений

d = ak(3 E - n ® n).

3

Тензор n ® n =1E - — — вырожденный, ранг

3 g

его матрицы равен единице. Поэтому, согласно (5), компоненты девиатора тензора будут связаны соотношениями

dij = j(g /3 - du )(g /3 - djj ) ,

где Kj = sign(djj), i = 1 + 3, j = i mod 3 +1. Из равенства (16) следует, что

(g/3 - dti )(g/3 - djj) > 0, i, j = 1 3.

Для материала нечувствительного к гидростатическому давлению

d12 = к12 ^/(afc /3 - djj )(ak /3 - d22),

d23 = K23^J(ak /3 - d22 )(ak /3 - d33), (17)

d31 = K31^(ak /3 - d 33 )(ak /3 - dn).

Соотношения (17) являются следствием усло-

вия пластичности (10) при равенстве двух главных напряжений.

Если возвести обе части равенств (17) в квадрат, то в терминах компонент тензора напряжений будем иметь соотношения:

1 , „ ак 1 ак 2

(о11 - Jtr(у) -—)(о22 -3іг(у) ^'3) = 0-12 =

1 . . ak^ 1 ч ak ч 2

(о22 - 3tr(у) 3")(°33 - 3tr (у ) -—:> = °23>

1 ak 1 ak 2

(о33 - 3tr(у) - ~)(о11 - 3tr(у) -—) = °13-

Из системы (17) следует, что из пяти компонент девиатора тензора напряжений независимых будет только две, например, d11 и d22 , поскольку компонента d 33 =-d 22 - du.

Если, например, из двух первых уравнений системы (17) выразить диагональные компоненты девиатора тензора напряжений du и d22 через компоненты d12 и d23 :

d11 = d11(d12, d 23 ),

d22 = d22 (d12, d23 ), то тогда, подставляя эти соотношений в третье уравнение (17), найдем зависимость

d13 = d13(d12,d32) .

(18)

Особые случаи, когда соотношения (18) получить не удается, соответствуют равенству нулю якобиана отображения det( J) = 0, где

(

J =

3d.

12

3d

23

3d-

3d.

11

12

3d-

3d

11

23

vdd 22

дd

22

Равенство det(J) = 0 выполняется, если = ак/3 ,

или dll + d22 =ак/6. Например, если =ак/3,

то d33 = -d22 - d11 = -^22 +ак /3). В рассматриваемом случае матрица компонент тензора напряжений будет иметь вид (о = /г (у )/3)

(а + ак 0

0 а + d

22

0

'23

Л

0

d

23

а - d22 + ак / 3у

(18)

характерный для плоской и осесимметричной задачи. Из вида матрицы (18) следует, что dll = dl — главное значение девиатора тензора напряжений.

Если во всех точках пластического тела первое главное направление тензора напряжений совпадает с направлением оси *1 выбранной системы координат, то, учитывая (18) и соотношения (17), уравнения равновесия примут вид

до

Зхл

= 0,

да + d22 дд/ (ак/3 - d 22)(ак/3 - d33)

- + к

23

дх2 дх3

3'tJ (ак /3 — d 22 )(ак /3 — d33) да — d 22

к23------------------------------------------------------------------------------:-+-:-= 0

= 0,

дх2

дх3

Поскольку для рассматриваемого случая (рис.2) n2 = n • e2 = cos в, n3 = n • e3 = sin P, то,

учитывая (16), находим, что

d 32 = - 3ак sin2p,

1 2

d22 = ак(3 - cos P),

1 2

d33 = ак(3 - sin P).

*3

Рис.2. Вектор п перпендикулярен оси Х1 .

Поэтому уравнения равновесия в случае, когда dll = ак/3 , можно записать так:

do

dx.

= 0,

dao-kcos в k дsin2^

2 dx

= 0,

3

k dsin2e dao + kcos в

- +---------------— = 0.

dx3

^2 ь-л.3

Заметим, если пластическое состояние определяется системой двух уравнений (19), то осессимет-ричная задача и задача плоской деформации в рамках теории идеального жесткопластического материала будут всегда статически определимыми [3, 8], а не только при условии полной пластичности.

Если й?11 + ё 22 =ак /6, то dзз =-ак /6 и ё22 =ак /6 - ёц. То есть девиатор тензора напряжений имеет одну независимую компоненту и система уравнений равновесия будет переопределенной: три уравнения относительно двух величин о и ё11.

Таким образом, за исключением особых случаев, не представляющих особого интереса, из трех соотношений (17) независимыми являются только два.

Если пластическое состояние определяется системой уравнений

I f1(tr (у), tr(d 2),tr (d3)) = 0, 1/2(*г(у), tr (d 2),tr (d3)) = 0,

(19)

которой в пространстве главных напряжений соответствует некоторое ребро поверхности пластичности, то в том случае, когда это ребро лежит в плоскости 01 = 02 (рис.3), имеет место состояние полной пластичности и приведенные выше соотношения (11) — (17) остаются без изменения.

Г1

г2 = сг3

Рис.3. В пространстве главных напряжений условие полной пластичности соответствуют все ребра поверхности текучести, расположенные в плоскостях ai = a j, i = 1 + 3, j = i mod3 +1

Подставляя соотношения (17) в уравнения равновесия получим замкнутую систему трех уравнений относительно трех величин a = tr (у )/3, d11 и

d22 ( d33 = —d22 — d11 )-

d(a + djj) dyj(djj -ak/3)(d22 -ak/3)

dx1

- + K-

12 '

+ K

d^(d11 - ak /3)(d33 -ak /3)

13 '

dx3

= 0;

к

dyl(d11 - ak / 3)(d22 - ak /3) d(o + d22)

12 '

dr1

+ к

d^/(d33 - ak / 3)(d22 - ak /3)

32

dx3

= 0;

d^(d11 - ak / 3)(d33 - ak / 3) dr1

+ к3

d^ (d 33 t^k / 3)(d 22 ak / 3) d(o + d 33)

dx3

= 0.

Если плоскость 01 = 02 пересекает ребро, определяемое системой уравнений (19) (рис.4), то такой режим может иметь место в отдельных точках материала. В этом случае тензор напряжений имеет одну независимую компоненту.

Рис.4 Тока А принадлежит плоскостям о1 = о 2 , onst и О1 + О2 — 203 = k

Ассоциированный закон пластического тече-

ния

В рамках теории пластического течения система уравнений, определяющая модель идеального изотропного жесткопластического тела включает:

- уравнение равновесия (без учета массовых сил)

V-у=0;

- условие пластичности

тах{/1,../П} = 0;

- соотношения связи тензора скоростей пластических деформаций и тензора напряжений

e

/.1 ^

- соотношения связи тензора скоростей деформаций и вектора скоростей перемещений

е Р = 1^0 и + V0 и т).

2

Эта система уравнений является замкнутой: число уравнений (15 + п ) равно числу неизвестных

(у, е Р, и , Х>1,..., Ьп ). Дополнительное соотношение, не вытекающее из этой системы, делает ее переопределенной.

Рассмотрим условие пластичности, которому в пространстве главных напряжений соответствует

+

К

13

ребро призмы Треска:

/1 = у • -(1 ® 1 - п ® п) - к = 0,

/2 = у • •(т ® т - п ® п) - к = 0.

Для кусочно-линейных условий пластичности функцию пластичности можно выразить через главные инварианты тензора напряжений [7].

Поскольку в состоянии полной пластичности напряженное состояние определяется системой уравнений (19), то для определения деформаций (при известных напряжениях) используем соотношения ассоциированного закона пластического течения

еР = 21/ + 2. д/2

ду

ду

(20)

= 2.1(1 0 1 - п 0 п) + ^2 (т 0 т - п 0 п).

Если воспользоваться формулой (16), то соотношения (20) примут вид

1

<1

1

е =21(101 — Е +—) + 22 (т 0 т — Е +—).

3

g

3

g

Если исключить неизвестные величины 21,22 из соотношений (20), то получим четыре соотношения, которым должны удовлетворять компоненты

еР тензора скоростей пластических деформаций,

как для сжимаемого, так и несжимаемого пластического материала.

Замена соотношений ассоциированного закона пластического течения условием коммутативности скалярного произведения тензоров напряжений и скоростей пластических деформаций

у • еР = еР • у (21)

приводит, вообще говоря, к иной модели пластического материала.

Соотношений (21) - три. Для несжимаемого материала они дополняются четвертым равенством

/г(еР) = 0.

Из ассоциированного закона пластического течения для изотропного идеально-пластического тела следует соосность тензора напряжений и тензора скоростей пластических деформаций и, следовательно, равенство (21); для выпуклых поверхностей пластичности также следует, что диссипативная

функция Б = у • •е Р > 0 всегда неотрицательная величина. Из условия (21) в общем случае не следует, что диссипативная функция Б = у • •е Р >0.

Если формально заменить условие полной пластичности, определяемое системой двух уравнений (15), тремя соотношениями (17), то получим переопределенную систему уравнений: восемнадцать уравнений (три уравнения равновесия, три соотношения (17), шесть соотношений ассоциированного закона пластического течения, шесть соотношений Коши) относительно пятнадцати компонент тензоров у, еР, и и двух скалярных величин 21, 22 .

Тензор скоростей деформаций соосен тензору напряжений — следствие ассоциированного закона пластического течения для изотропных идеально

пластических тел. Следовательно, собственные векторы 1, т, п тензора напряжений будут также собственными векторами тензора скоростей деформаций. Рассмотрим диадное разложение тензора скоростей

деформаций в базисе е1 , е 2 , е 3 и 1, т, п

е = ^1101 + е2 т 0 т + е3 п 0 п = е^ еі 0 е і . (22)

Из равенства (22) следует, что третье главное значение тензора скоростей деформаций определяется через остальные компоненты этого тензора и координаты собственного вектора п по формулам

3

X еівпв

е - -п 0 е

е3 =

і _ Р=1

і = 1,2,3 . (23)

] ]

Для различных значений индекса ] из (23) следуют равенства:

3 3

X е1рпрп2 = X е2рпрп1, в=1 в=1 33

X е2рпрп3 =Х e3PnPn2, (24)

в=1 в=1 33

X е1РпРп3 = X е3рпрп1. в=1 в=1 Из трех равенств (24) независимыми являются два.

Запишем соотношение (16) в координатной форме

акпіп ,■ = 8іі - diі.

3

(25)

(26)

Принимая во внимание (25), величины можно исключить из равенств (24), так что

е11ё12 + е12(ё22 -~) + е13ё23 =

= е12(ё11 -~) + Є22 ё12 + е23ё13, е11ё13 + е12ё23 + е13(ё33 -~) =

= е31(ё11 -~) + Є32 ё12 + е33ё13, е21ё13 + е22ё23 + е23(ё33 -~3Т) =

= е31ё12 + е32(ё22 -~) + е33ё23.

В безындексной форме соотношения (26) имеют вид

(й-°. Е) - еР = е Р - (й -О-р Е).

Поскольку шаровой тензор О- Е соосен любому

симметричному тензору второй валентности, то добавление шарового тензора к тензору напряжений или скоростей деформаций не нарушает справедливости равенства (21), так что соотношения (26) можно записать в виде

1

1

ак

(у - - E tr (у ) — E) • ^ ^ • (у - - Etr (у ) - — E).

3

3

3

3

Соотношения (26) являются частным случаем условий соосности тензоров напряжений и деформаций (21), введенных А.Ю. Ишлинским [9,10]. В отличие от соотношений А.Ю. Ишлинского, из-за того, что при условии полной пластичности девиатор тензора напряжений определяется по формуле (16), из трех соотношений (26) независимыми являются два.

Поскольку координаты тензора п ® п связаны соотношениями (суммирования по индексу 5 нет)

nisnsj nijnss ■

или

1J sj

то из формул (25) следует, что

ÉlL = (ак- d )/d .

d,, 3 ss ss

(27)

Выполняя различные манипуляции можно получать новые формы записи соотношений (23). Например, если принять во внимание соотношения (26), то из (23) получим

ак^1,, ак1 е11 + е12(^22 ^)^12 + е13(й?33 -“)й?13 =

ак 1 ак 1

= е12(^11 -~)^12 + е22 + е23(^33 -~^23 =

ак1 ак1

= е13(^11 - —)^13 + е23(^22 -~^23 + е33.

Полученные соотношения не меняют сути: все они являются следствиями условий (21), а не соотношений ассоциированного закона пластического течения.

Выводы

В случае, когда рассматривается состояние полной пластичности, девиатор тензора напряжений имеет две независимые компоненты, задача является статически определимой и удается записать уравнения равновесия относительно трех независимых компонент тензора напряжений. Если вместо условий пластичности использовать три соотношения связи между компонентами тензора напряжений,

вытекающими из условия полной пластичности, то система уравнений, определяющая модель идеального жесткопластического материала, будет переопределенной. Замена соотношений ассоциированного закона пластического течения соотношениями коммутативности скалярного произведения тензора напряжений и скоростей пластических деформаций — переход к новой модели, поскольку такая замена не эквивалентна.

Литература

1. Хаар А. К теории напряженных состояний в пластически сыпучих средах / А. Хаар, Т. Карман // Теория пластичности: Сб. статей. — М. : ИЛ, 1948. — С. 4156.

2. Генки Г. О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах / Г. Генки // Теория пластичности: Сб. статей. — М. : ИЛ, 1948. — С. 80-101.

3. Качанов, Л.М. Основы теории пластичности / Л.М. Качанов. — М. : Наука, 1969. - 420 с.

4. Хилл Р. Математическая теория пластичности / Р. Хилл. - М. : ГИТТЛ, 1956. - 407 с.

5. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. — М. : Наука, 1980. — 512 с.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольдц. — М. : Наука, 1969. — Т.1. — 608 с.

7. Артемов М. А. О записи кусочно-линейных условий пластичности / М. А. Артемов, А.П. Якубенко // Кибернетика и высокие технологии XXI века: материалы X междунар. науч.-техн. коф. — Воронеж : Изд-во ВГУ, 2009. — С. 823-833.

8. Артемов М. А. Статически определимые задачи теории пластичности ортотропных материалов / М. А. Артемов, С.Н. Пупыкин // Современные проблемы механики и прикладной математики: сб. тр. междунар. шк. семинара; Воронеж : Воронеж. гос. ун-т., 2004. — Ч.1. — Т.1.— С. 27-30.

9. Ишлинский А.Ю. Об уравнениях деформирования тел за пределом упругости / А.Ю. Ишлинский Учен. записки МГУ, Механика. — 1946. — Вып. 117. — С. 90108.

10. Ишлинский А. Ю. Прикладные задачи механики / А.Ю. Ишлинский. — Т.1. — М. : Наука, 1986. — 366 с.

Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет

FULL PLASTICITY CONDITION AND ASSOCIATED LAW OF DEFORMATION

M.A. Artemov, N.S. Potapov, A.P. Yakubenko

For isotropic ideal rigid-plastic body with fulfillment of full plasticity condition obtained relations between strain tensor components, balance equations presentation given for three independent strain tensor components. Shown, that replacing of plasticity flow conditions with alignment condition of strain tensors and deformation speeds tensors is not equivalent operation

n

n

ss

Keywords: full plasticity conditions, statically determinated problem, perfectly plastic body