CC BY
18
УДК 515.126.27+517.988.57
Смирнов А.И., Мазуров Вл.Д.
О СООТНОШЕНИЯХ МЕЖДУ НЕКОТОРЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ СУПЕРОДНОРОДНЫХ И СУБОДНОРОДНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Аннотация. Рассматриваются свойства соответствия между классами субоднородных и супероднородных отображений, реализуемого введением т.н. сопряженного отображения. Отображение, сопряженное к субоднородному (соответственно супероднородному), является супероднородным (соответственно субоднородным). Исследуется связь некоторых характеристик взаимно сопряженных отображений, таких как наличие положительной неподвижной точки и структура множества неподвижных точек, неразложимость отображений и т.д.
Ключевые слова: субоднородные отображения, супероднородные отображения, неразложимое отображение, неподвижная точка.
Smirnov A.I., Mazurov Vl.D.
ABOUT THE RELATIONSHIPS BETWEEN SOME CHARACTERISTICS SUPERHOMOGENEOUS AND SUBHOMOGENEOUS MAPPINGS
Abstract. Discusses the properties of the matching between classes subhomogeneous and superhomogeneous mappings implemented by the introduction of so-called conjugated mapping. The mapping conjugated with respect to subhomogeneous (resp. superhomogeneous) mapping is superhomogeneous (resp. subhomogeneous). Examines the relationship of certain characteristics of mutually conjugate representations, such as the existence of positive fixed points and the structure of the set of fixed points, also irreducibility of mappings, etc.
Keywords: subhomogeneous map, superhomogeneous map, irreducible map, fixed point.
1. Введение. Основные определения и обозначения
В нелинейной теории Перрона-Фробени-уса, обобщающей спектральную теорию линейных операторов на нелинейный случай, особое место занимает класс положительно однородных отображений. Ряд фундаментальных результатов для неотрицательных матриц (т.е. линейных положительных операторов в пространстве Rq) оказалось возможным сохранить при отказе от свойства аддитивности отображений - в математической экономике существует весьма содержательная спектральная теория для положительно однородных отображений [1; 2].
Класс субоднородных отображений является следующим естественным шагом на этом пути обобщения - от линейных к нелинейным отображениям, поскольку содержит как граничный случай положительно однородные отображения (соответствующие определения будут даны ниже). Для этих отображений получен ряд замечательных результатов, обобщающих соответствующие результаты для положительно однородных отображений (см. монографии [3; 4], а также обзор в работах [5; 6]). В частности, изучены особенности структуры множества нетривиальных равновесий и асимптотические свойства итерационного процесса
xi+i = F (xt), t = 0,1,2, ... (1)
Симметрично определяемый класс супероднородных отображений, в отличие от класса субоднородных отображений, не обладает свойством устойчивости нетривиальных равновесий.
В данной работе изучается связь классов субоднородных и супероднородных отображений. Мы покажем, что существует соответствие между этими классами отображений, обладающее чертами двойственности; в частности отображение, соответствующее субоднородному (супероднородному), является тем супероднородным (субоднородным), соответствующее которому совпадает с исходным отображением.
Перейдем к используемым обозначениям. Для стандартного частичного порядка, определяемого в пространстве Rq неотрицательным конусом R+q, будем использовать следующие обозначения: x й y (соотв. x < y) означает, что y — x е R+q (соотв. y — x е int R+q). Кроме того, будем использовать обозначение x й y в случае x й y, x Ф y . Числовая прямая обозначается R, а ее неотрицательная часть R+ .
Для краткости будем иногда записывать вектор x = (x1, x2,..., xq ) и отображение F ( x) = ( /1( x), /2( x ),..., fq ( x ) ) в виде x = ( xi) и F ( x ) = ( / (x ) ) соответственно. Если числа m, n целые и m ^ n, то множество целых чисел в промежутке [m,n] будем обозначать m, n. Дадим необходимые определения.
Определение 1. Отображение F е |r+ ^ R+q} называется монотонно возрастающим, если
Vx,y е R+q: x й y ^ F(x) й F(y). (2)
Соответственно, в случае противоположного знака в заключении импликации (2) отображение F называется монотонно убывающим.
Монотонно возрастающее отображение будем для краткости также называть про-
сто монотонным или возрастающим; соответственно, монотонно убывающее будем называть обычно просто убывающим. Определение 2. Отображение
F е ^ R+ | называется строго возрастающим, если
Ух,у е R+,: х < у ^ F(х) < F(у). (3) Определение 3. Отображение
F е |R.q ^ R+ | называется положительно однородным, если
F (ах) = aF (х) (у а ^ 0, х е R+ ).(4) Определение 4. Отображение
F е ^ R+q | называется субоднород-
е ■ -ным, если
Ух е R+ Уае(0,1) F(аx) ^а(х). (5)
Отображение F е ^Я+1 ^ R+¡_ } называется строго субоднородным, если
УхеВ+ \{0} Уае(0,1) F(аx)>а(х). (6) Определение 5. Отображение F е ^ R+ } называется супероднород-
ным, если
Ух е R+ У а е (0,1) F(аx) й аF(x). (7)
Отображение F е {Я+ ^ R+ } называется строго супероднородным, если
УхеЩ \{0} Уае(0,1) F(аx)^(х) (8)
Всякое вогнутое неотрицательное отображение является субоднородным (и даже строго субоднородным при F(0) > 0 ). Действительно, применяя к точке у = 0 нижеследующее определение вогнутости отображения:
Ух, у е R+ Уа е (0,1) F(ах + (1 - а)у) ^ аF(х) + (1 - а^(у), и учитывая, что F(0) ^ 0 , при у = 0 по-
лучаем неравенство (5). Соответственно, и строго вогнутые отображения содержатся в классе строго субоднородных отображений.
Заметим, что согласно данным определениям положительно однородное отображение является одновременно и субоднородным, и супероднородным.
Свойство (5), определяющее субоднородность, равносильно каждому из следующих условий:
Ух eRq У£е(1,+о) F(Дx) ^ ДР(х), (9)
0<а ^КаО^(ах) >(а1)~lF(а2x).(10)
Соответственно, свойство (7), определяющее супероднородность, равносильно каждому из условий
Ух е Щ У3е(1, +оо) F(px) >ДР(х), (11)
0 < а1 ^ а2 ^ (о )-1 F(а1х) ^ (а2 )" 1 F(а2 х) _ (12)
Свойства (9), (11) означают, что при каж-
31 Сд 0Ф/ ^1,q: ъ =0 (У£/,1 е/). (14)
В противном случае матрица называется неразложимой.
В математической экономике общепринятым является обобщение понятия неразложимости линейного отображения, данное М. Моришимой в работе [8]. Дадим это определение в несколько иной форме, используя следующие обозначения:
1 +(ху)={ 1е1,q: х] > Уу} 10 (х у )={1 е1, q: = Уу}
/+(х) = {i el,q: хг > о}, /0(х) = {i e 1g: хг = о}.
(15)
Определение 7.
Отображение
Дом фиксиРованном х e R+ отображение р eR ^ R+} (q ^ 2) называется раз-
^ —яв-
Fx (а) = (ах) ^ е{ий Щ ляется монотонным по а е Щ+ и, следовательно, могут быть определены положительно однородные первой степени отображения
F0 (х )= lim а lF (ах),
0 V ' а—+0 v '
рДх) = lim a~lF(ах). (13)
а—+<ю
Необходимые и достаточные условия существования положительной неподвижной точки монотонного субоднородного отображения получены в работе [7] и сформулированы в терминах доминирующих собственных значений отображений (13).
В нелинейной теории Перрона-Фробе-ниуса существенно используется понятие неразложимости отображения - обобщение понятия неразложимости матрицы (линейного отображения).
Определение 6. Неотрицательная матрица A = [ ai,j J порядка q ^ 2 называется разложимой, если
е —+ ■ - -+,
ложимым, если 3 х,У еR+q: х > у,.
/0 (х,у) ф 0, /0 (х,у) с /0 (F(x),F(y)). (16)
Соответственно отображение F называйся неразложимым, если оно не является разложимым, т.е. если выполнено свойство
Ух, у е : х > у,
/0 (х, у) ф 0 ^ / 0(х, у) \ /0 (F(x), F(y)) ф 0.
Далее будет дано также определение неразложимости в точке, поэтому мы будем называть неразложимое в смысле (16) отображение глобально неразложимым.
Отображение F предполагается монотонно возрастающим, поэтому условие / £ /0 (F(х),F(у)) означает, что Л (х ) > Л ( у), и определение глобальной неразложимости приобретает следующий вид:
Ух, у е Щ+ : х > у, /0 (х, у)ф
/0(х,у)П 1+^(х),Ду))*0. (17)
Существенным для характеристики асимптотических свойств итерационного процесса (1) является еще одно обобщение
соответствующего понятия для матриц - понятие примитивности отображения [1; 2].
Определение 8. Неотрицательная матрица A = [аг, j ] (i, j е 1, q, q ^ 2) называется примитивной, если при некотором
k = 1,2, ... матрица Ak положительна. В противном случае матрица называется им-примитивной.
Определение 9. Отображение
F е jR+ ^ R+ } (q ^ 2) называется примитивным в точке y е R+q , если
Vx: x >y k: Fk(x) >Fk(y). (18)
Примитивное в точке y = 0 отображение будем для краткости называть примитивным в нуле.
Классическое свойство неразложимости отображения (см. определение 7) имеет, как уже отмечалось выше, глобальный характер. Вместе с тем для доказательства некоторых утверждений о свойствах положительно однородных и субоднородных отображений оказывается достаточно локального варианта этого понятия, введенного в работах [9; 10].
Определение 10. Отображение
F е jR+ ^ R+q} (q ^ 2) называется разложимым в точке y е R+, если 3 x е R+q: x > y, 10(x, y) Ф0,
F е R ^ R+q | называется
10( x, y ) с 10 ( F ( x), F ( y ) ).
(19)
Отображение, разложимое в каждой точке множества М с R+? называется разложимым на множестве М.
Соответственно, отображение F называется неразложимым в точке у, если
УхеRq : х >у,10(х,у)
^ I0 (х,у) ПI + (F(х),F(у)) Ф 0. (20)
Отображение, неразложимое в каждой точке множества М с R+?, называется неразложимым на множестве М .
В частности, отображение
разложимым в точке у = 0 (разложимым в нуле), если 3 х е Rq+ : х >0,10 (х)ф0, 10 ( х )с 10 ( F (х)). (21)
Соответственно, отображение F называется неразложимым в точке у = 0 (в нуле), если
Vx е R+q: x > 0,10 (x)*0 10 ( x) ПI +( F ( x ))*0.
(22)
Глобальная неразложимость отображения в смысле определения 7 означает неразложимость в любой точке R+q (неразложимость на R+q) в смысле определения 10.
Подчеркнем, что для разложимости отображения в смысле определения 7 достаточно
существования хотя бы одной точки из R+q ,
в которой отображение разложимо в смысле определения 10 (в частности, достаточно его разложимости в нуле).
В монографии [7] свойство неразложимости в нуле использовалось при характеристике некоторых спектральных свойств положительно однородных отображений и являлось существенным для характеристики структуры множества неподвижных точек субоднородных отображений.
Заметим, что аналогичное понятие в несколько иной форме использовал Y. Oshime в работе [11].
Замечание 1. Неразложимость отображения в нуле (как и более сильное свойство примитивности в нуле), гарантирует положительность любой ненулевой неподвижной точки отображения. Действительно, предположение 10 (x )ф0 для некоторого x > 0 в силу равенства F(x) = x приводит к равенству 10 (F (x) ) = 10 (x )ф0 ,
что противоречит неразложимости отображения в нуле. Это относится и к неотрицательным собственным векторам монотон-
ных положительно однородных отображений. Соответствующие собственные значения являются в этом случае положительными.
2. Некоторые свойства субоднородных и супероднородных отображений
Естественно предполагать в дальнейшем отсутствие полностью нулевых компонент отображения F :
V/ Зх е Rq+ : £ (х) > 0. (23) В этом случае образ положительного вектора для субоднородного возрастающего отображения положителен:
Vx е R+q: х >0 ^ F(х)> 0. (24) Действительно, предполагая противное,
получаем существование номера / 0 е 1, q и вектора х > 0, удовлетворяющих условию ^ (х ) = 0, что приводит, в силу леммы 1 (см. далее), к равенству ^ (х) = 0.
Свойство (24) означает, что внутренность конуса R+q инвариантна относительно монотонного субоднородного отображения:
F (int R+q int R+.
(25)
Для супероднородного возрастающего отображения свойство (24) справедливо, вообще говоря, не на всем int R+ :
3 х0 >0 Vx eR: x >x0 ^F(x)>0. (26)
Действительно, равенство fj (y) = 0 в этом случае приводит, в силу монотонности отображения F , к равенству fj (х) = 0
(Vx e [0, y]). Поскольку отображение F не имеет полностью нулевых компонент, отсюда следует существование вектора х j > 0,
такого, что fj (х) > 0 (Vx: х > х}). Поскольку это справедливо для всех коорди-
нат fj (х ) отображения F, то, выбирая вектор х0 настолько большим, чтобы выполнялись неравенства х0 > хj (V/ e 1, q), получаем F(x) > 0 (Vx : x > x0).
Замечание 2. Как известно (см., например, [3; 7]), возрастающее субоднородное отображение является непрерывным на
int Rq и существует предел lim F (х ) ,
+ х^+0
поэтому можно считать отображение F
непрерывным на всем R+.
Нам понадобится далее следующее простое утверждение, доказанное в работе [9].
Лемма 1. Пусть функция f (х) является субоднородной и возрастающей на R+. Если f (х ) = 0 для некоторого х > 0, то f (х) = 0 на множестве
{х e R+: 10(х) з 10(х)}. В частности, если f (х) = 0 при некотором х > 0, то
f (х) = 0 на R+.
Покажем, что супероднородное отображение, в отличие от субоднородного, всегда имеет тривиальную неподвижную точку.
Лемма 2. (1) Если отображение F e {R+q ^ R+q} является супероднородным, то F (0) = 0.
(2) Если отображение F e {R+q ^ R+q} является супероднородным и возрастающим, то существует предел lim F (х) = 0 .
х^+0
Д о к а з а т е л ь с т в о. (1) Неравенство F(ах) ^ aF(х) (Va e (0, 1)) в определении супероднородности дает при х = 0 неравенство F(0) ^ aF(0) , или
(1- а^ (0) й 0. Поскольку 1- а> 0 и F (0) > 0, отсюда получаем F (0) = 0. С и)
(2) Если {х } любая неотрицательная сходящаяся к нулю последовательность, то существует такой вектор х > 0, что
xn й x (Vn = 1,2,...). Обоз
начим
x = (xi) , xn = (x^) , и пусть
а ^ +0
, при-
а = max(xin/xi). тогда an ^ +0
ie1,q
чем xn (x ) 1 ^ a ^ 1, так что выполне-
i V i / ^ n ^
но неравенство xn й anx . Из монотонности и супероднородности отображения F с учетом неравенства an ^ 1 получаем:
0йF(xn)йF(anx)üanF(x) ^ 0 при n ^ благодаря сходимости последовательности {an } к нулю. Это означает, что
F(xn ) ^ +0 при n ^ . Отсюда в силу произвольности последовательности
{ч +ГО
xn} получаем lim F(x) = 0 . Доказа-
'n=1 x^+0
тельство завершено.
Будем предполагать в дальнейшем наличие нулевой неподвижной точки и для субоднородного отображения: F(0) = 0 . Это означает, что дискретная динамическая система (1) имеет тривиальное состояние равновесия.
В работе [1] приведено доказательство строгой монотонности возрастающего положительно однородного первой степени отображения F , использующее дополнительное предположение его глобальной неразложимости. Как показывает следующее утверждение, это предположение вполне можно заменить более слабым предположением (23) об отсутствии тождественно равных нулю компонент отображения F .
Теорема 1. (1) Возрастающее не имеющее тождественно равных нулю компонент положительно однородное первой степени отображение является строго возрастающим на R+q .
(2) Супероднородное возрастающее отображение является строго возрастающим на множестве (x0, при некотором
x0 е R+q.
Д о к а з а т е л ь с т в о. (1) Если 0 й x < y, то y > 0 и H (y) > 0 согласно (24) в силу отсутствия тождественно равных нулю компонент отображения H. Поскольку x < y, то x й ay при некотором а е (0,1) , поэтому в силу положительной однородности первой степени и монотонности отображения H с учетом H(y) > 0 получаем:
H(x) й H(ay) = aH(y) < H(y), т.е. H(x) < H (y), и строгая монотонность отображения H доказана.
(2) Доказательство в этом случае практически дословно совпадает с предыдущим, только следует учесть возможность выполнения неравенства F (y) > 0, согласно (26) не для всех y > 0 , а только для векторов y > x0. Неравенство F (x) < F (y) получается, как и выше, из неравенства x й ay при а е (0,1) , только на этот раз используется неравенство (26): F(x) й F(ay) й aF(y) < F(y) . Доказательство завершено.
Замечание 3. Если неравенство (20) выполнено при x0 = 0 , то супероднородное возрастающее отображение является строго возрастающим на R+q .
Для характеристики свойств субоднородных и супероднородных отображений естественно использовать множества
MF (x) = {a > 0: F(ax) = aF(x)}
MF = {x > 0: MF (x) 1 }} 8F (x) = {ax: а е MF (x)}
(27)
(28)
и величины
aF (x) = inf MF (x), ßF (x) = sup MF (x).
(29)
Здесь х - произвольный ненулевой вектор; случай х = 0 в этих обозначениях не рассматривается, поскольку из существования тривиального равновесия следует, что в этом случае множество М Р (х) содержит все положительные числа.
Множество МР (х) (в отличие от множества М Р ) всегда не пусто, т.к. содержит в качестве элемента единицу. Для строго субоднородных отображений, очевидно, при х > 0 справедливы равенства МР(х) = { 1 }, МР = 0, аР (х) = Рр (х) = 1.
3. Связь некоторых характеристик взаимно сопряженных отображений
Связь между классами субоднородных и
супероднородных отображений реализует
*
соответствие Р ^ Р , определяемое следующим образом:
Р' ( х )
|х|2 Р (|х| 2 х),
х ф 0,
0, х = 0.
(30)
Р * ( х )
Р * ( х )
^ Р ( х ), |х| < 1, = Р ( х ), |х| = 1, ^ Р (х), |х| > 1,
^ Р ( х ), |х| < 1, = Р ( х ), |х| = 1, ^ Р (х), |х| > 1,
(31)
Это соответствие между классами субоднородных и супероднородных 52 отображений, как мы увидим далее, является взаимно однозначным:
(51 )* = ^ (52 )* = 51.
Важным является то обстоятельство, что данное соответствие сохраняет наличие нетривиальной неподвижной точки и, как показывают нижеследующие утверждения, обладает и другими интересными свойствами. Если задано сопряженное отображение,
то, ставя в соответствие вектору х > 0 век-
тор у
I |_2 х х •
получаем:
х
1-1
х
-1
х = х у:
-2
у
и
р (| у" у)=р*(х)=| х2 р (| х "2 х)=| у "2 р (у).
Поэтому имеет место симметричное по отношению к равенству (30) представление
Отображение Р будем называть сопряженным по отношению к исходному отображению Р.
Заметим, что отображение вида (30) использовалось в работе [12] как вспомогательное в доказательстве теоремы М.А. Красносельского о существовании неподвижной точки оператора, растягивающего конус, при ее сведении к аналогичной теореме для оператора, сжимающего конус.
Непосредственно из определения вытекают следующие свойства субоднородных (соотв. супероднородных) отображений:
р (у )=
2 р'
-2
у
), у ф 0,
0, у = 0.
(32)
Следующие утверждения характеризуют свойства соответствия (30).
Теорема 2. (1) Если отображение
Р е |Я+ ^ R+1 является субоднородным
(супероднородным), то сопряженное ото*
бражение р является супероднородным (субоднородным).
(2) Если отображение Р е |Я+ ^ Я+1
является субоднородным и возрастающим,
*
то сопряженное отображение Р является непрерывным на Я+.
(3) Отображение, сопряженное к сопряженному, совпадает с исходным:
(Р *)* = Р (33)
(4) Точка х > 0 является неподвижной точкой отображения Р тогда и только тог-
2
* I 1-2
да, когда точка x = x x является непод-
вижной точкой отображения F .
Д о к а з а т е л ь с т в о. (1) Если отображение F субоднородно и а е (0,1), то в
силу а 1 > 1 из (9) для любого вектора
x > 0 получаем:
-2 x2
* 1 |-1 * -2 *
x = Fl , x x
* 2 -2 F (ax) = |ax| F (|ax| ax) = a
i7((Z~1|x| 2x);grr2|x|2a-1F(|x| 2x)=aF*(x),
т.е. F* (ax)й aF*(x), и супероднород-
*
ность отображения F доказана.
(2) Согласно замечанию 2, можно считать возрастающее субоднородное отображение F непрерывным на всем R+q, поэтому достаточно показать, что lim F * ( x) = 0
x^+0)
для любого x Ф 0 . Действительно, если |2
x ^ 1, то x ^ 1 и, согласно (9), F* (x) = |x|2 F (|x| 2 x) й F(x), откуда и
вытекает требуемое равенство.
(3) Свойство (33) вытекает из симметричности представлений (30) и (32) относительно F и F * .
(4) Если x - ненулевая неподвижная точка отображения F , то, учитывая равенства
|2 I 1-2
получаем:
х*) = х F( х х*) = Ц ^(х) — 2х=х*
*
т.е. точка х - ненулевая неподвижная точ-
*
ка отображения F . Теорема доказана.
Теорема 3. Справедливы следующие свойства:
Мр, (х*) = {а-1: ае МР (х)} (34)
О^х)=(/^(х*))—1 ах*(x*)=(РР(х))1, (35) РЕ(хЦа^х*))-1, рр*(х)=(аР(х))1. (36) (F-)0 = Рv¡,(F ')„ = V (37)
(1) Докажем свойство (34). Учитывая по-
I н | 1—1
лученные ранее равенства х = |х| и равенство F (х ) = |х| F(х), для любого ненулевого вектора имеем:
Мр* (х*) = {а : F* (ах*) = аF* (х*)} = • = {а : а2 |х| 2 F(а-1 х) = а\х| 2 F(х)} = = {а: аF (а"1 х) = F (х)} =
={Г: F(fix) = ^F(x)}={^-1: реМР (х)},
откуда и получаем требуемое равенство. Второе равенство в (34) вытекает из доказанного в силу ^*)* = F. Свойства (35),
(36) являются непосредственными следствиями свойств (34).
Далее, при х = 0 равенства (37) выполнены; пусть х Ф 0 . Докажем, например, первое из этих равенств. Имеем из равенств (13), (30):
(F*)0(х) = Нш а~1F*(ах) =
а^+0 -И 12
1-2
= lim a ax| F (|ax| ax ]
а^+0 1
= lim а Ix|2 F (a_1 Ixl 2 x)
a^+0
'(a 1 |x| 2x) =
MF (x
(x ) = {a 1: ае Mp, (x*)},
= ßim ß~'F(ßx) = Fro (x)
где обозначено ß = a"1 |x| 2 . Теорема доказана.
Замечание 4. Для положительно однородного первой степени (и, в частности, для
линейного) отображения F справедливо
*
равенство F = F , и обратно, выполнение этого равенства для субоднородного (супероднородного) отображения приводит к его супероднородности (субоднородности), и, следовательно, к его положительной однородности первой степени. Все заключения предыдущей теоремы справедливы и в этом случае, поскольку для положительно однородного первой степени отображения F (при х > 0) имеет место равенство МР (х) = (0, так что аР (х) = 0, РР (х) = , а множество его неподвижных точек наряду с точкой х >0 содержит также все точки луча {ах : а е [0, )}.
Соответствие (30) сохраняет также свойство неразложимости отображения в нуле.
Теорема 4. Отображение Р неразложимо в нуле тогда и только тогда, когда ото-браж ение Р неразложимо в нуле.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Отображение
г-*
Р разложимо в нуле тогда и только тогда, когда для некоторого вектора х > 0 справедливы равенства х1 = 0, Л*(х) = 0 (V/ е I), где 0 ф I ф 1,п . Но в этом случае из (30) получаем справедливость равенств у± = 0 , Л (у) = 0 (V/ е I) для
— 1—1-2 —
вектора у = х х , означающих разложимость в нуле отображения Р
4. Заключение
Введенное выше соответствие (30) между классами супероднородных и субоднородных отображений сохраняет такие важные свойства отображений, как наличие положительных неподвижных точек и неразложимость в нуле. Это обстоятельство может быть использовано для получения теорем о существовании положительной неподвижной точки для одного из классов супероднородных или субоднородных отображений, если такая теорема доказана для другого класса.
К сожалению, с наследованием свойства монотонности отображения дело обстоит несколько сложнее. Простой пример монотонно возрастающей функции одной переменной, которой при переходе Р ^ Р соответствует функция монотонно убывающая, дает супероднородная при п ^ 1 функция Л(х) = хп . Действительно, при всех
.2 г, -2,
n
> 2 функция f (х) — X f (X х)
„2-я
является мо-
— х Л (х ) — х х — х нотонно убывающей. Тем не менее можно показать существование таких подмножеств классов супероднородных и субоднородных отображений, что соответствие (30) сохраняет и монотонность.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972.
2. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.
3. Lemmens B., Nussbaum R.D. Nonlinear Perron-Frobebius Theory. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 189. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2012.
4. Krause U. Positive Dynamical Systems in Discrete Time: Theory, Models, and Applications. Berlin-Munich-Boston: Walter de Gruyter GmbH, 2015.
5. Смирнов А.И. Субоднородные отображения в теории монотонных динамических систем // Вестник УИЭУиП. 2016. №1(34). С. 68-80.
6. Смирнов А.И. Субоднородные монотонные отображения в мультипликативной и аддитивной нелинейной теории Перрона-Фробениуса // Вестник УИЭУиП. 2016. №2(35). С. 8-25.
7. Смирнов А.И. Равновесие и устойчивость субоднородных монотонных дискретных динамических систем. Екатеринбург: Изд-во УИЭУиП, 2016. 318 с.
8. Nikaido H. Balanced growth in multi-sectoral income propagation under autonomous expenditure schemes // Rev. Econ. Studies. 1964. Vol. 31. P. 25 - 42.
9. Смирнов А.И. О некоторых ослаблениях понятия неразложимости отображения // Вестник УИЭУиП. 2016. №2(35). С. 26-30.
10. Мазуров Вл.Д., Смирнов А.И. Условия неразложимости и примитивности монотонных субоднородных отображений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22. № 3. C. 169-177.
11. Oshime Y. PerronFrobenius problem for weakly sublinear maps in a euclidean positive orthant. Japan J. Indust. Appl. Math. 1992. Vol. 9. P. 313 - 350.
12. Опойцев В.И. Равновесие и устойчивость в моделях коллективного поведения. М.: Наука, 1977.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
МАЗУРОВ Владимир Данилович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической экономики Уральского федерального университета имени первого Президента России Б.Н.Ельцина, ведущий научный сотрудник Института математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург.
Е-шаП: vldшazurov@gшail.coш
СМИРНОВ Александр Иванович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург.
Е-шаП: asшi@iшш.uran.ru
