CC BY
24
УДК 515.126.27+517.988.57
Смирнов А.И.
О НЕКОТОРЫХ ОСЛАБЛЕНИЯХ ПОНЯТИЯ НЕРАЗЛОЖИМОСТИ ОТОБРАЖЕНИЯ
Рассматривается ослабление классического понятия неразложимости отображения -понятие неразложимости отображения в нуле. Демонстрируется достаточность этого ослабленного свойства для некоторых спектральных свойств положительно однородных первой степени отображений, полученных ранее в предположении их классической неразложимости. Приведены классы отображений, для которых классическое понятие неразложимости и предложенное его ослабление совпадают.
Ключевые слова: неразложимое отображение, неразложимое в нуле отображение, примитивное отображение, положительно однородное первой степени отображение, субоднородное отображение.
Smirnov A.I.
SOME GENERALIZATIONS OF THE CONCEPT OF IRREDUCIBILITY FOR SUBHOMOGENEOUS MAPPINGS
Examines the weakening of the classical concept of irreducibility of map - the concept of irreducibility map at zero. This shows the adequacy of weakened properties for some spectral properties of positively homogeneous of the first degree of the mappings obtained earlier under the assumption of their classical irreducibility. Given classes of mappings for which the classical notion of irreducibility and proposed weakening are the same.
Keywords: irreducible mapping display indecomposable, irreducible at zero mapping, primitive mapping, positively homogeneous of the first degree mapping, subhomogeneous mapping.
В данной статье рассматривается дискретная динамическая система вида
х,+1 = F (х,), I = 0,1,2,... (1)
на неотрицательном конусе Щ пространства Я, имеющая тривиальное состояние равновесия. Для отображения р это проявляется в существовании нулевой неподвижной точки: р(0) = 0 .
Асимптотическое поведение итерационного процесса (1) достаточно хорошо изучено не только для линейных, но и для обобщающих их положительно однородных первой степени отображений [ 1] (соответствующие определения приведены ниже). Оп-
ределяющими при этом являются спектральные свойства отображения р . Существенными в доказательствах многих ключевых утверждений нелинейной теории Перрона-Фробениуса оказываются свойства неразложимости и примитивности отображения Р , являющиеся обобщениями соответствующих свойств неотрицательной матрицы.
Для субоднородных отображений условия существования ненулевых неподвижных точек и сходимости к ним итерационного процесса (1) были получены в работе [2] в терминах доминирующих собственных значений некоторых сопутствующих каждому субоднородному отображению
положительно однородных первой степени отображений.
Введем необходимые обозначения и определения. Для стандартного частичного порядка, определяемого рассматриваемым конусом, будем использовать следующие
обозначения х < y (соотв. х < y ) означает,
что y - х е Rq (соотв. y - х е intRq ). Кроме того, будем использовать обозначение х < y в случае х < y, х ^ y .
Для краткости будем записывать вектор
х = (х1, х2,..., хд) и отображение F ( х ) = ( /( х ), f2( х ),..., f ( х )) в виде х = (хi) и F(х) = (f (х)) соответственно.
Если числа т, п - целые и т ^ п, то т, п обозначает множество целых чисел в промежутке [т,п].
Определение 1. Пусть F е{к® ^ К® }, Р(х) = (/(х)) и 0 < х < у , где х = (х ) ,
у = (у{). Отображение Р называется слабо монотонным, если из каждого равенства
х. =
yj при некотором j е 1, q следует не-
равенство (х) < (у) .
Отображение Р е ^ | называется монотонно возрастающим, если
Ух, у е К? : х < у ^ Р (х) < Р(у) (2)
Монотонно возрастающее отображение будем для краткости также называть просто монотонным или возрастающим.
Отображение Р е ^ | называется сильно возрастающим, если
Ух, у е : х < у ^ Р (х )< Р (у) .
Определение 2. Отображение Н е {К.? ^ К? | называется положительно однородным степени т, если
Н (ах) = атН (х) (у«> 0, х е ) (3)
Положительно однородное первой степени отображение (при т = 1) будем называть I 6Т по? положительно однородным.
Определение 3. Отображение
Р е {К.? ^ К® | называется субоднородным, если
Ух е У а е (0,1) Р(ах) ^ аР(х) (4)
Отображения, удовлетворяющие свойствам, аналогичным свойству (4), в том числе в банаховых пространствах, рассматривались в целом ряде работ (см. обзоры в работах [3-5]).
Как известно, для положительно однородного отображения Н доказана [1] разрешимость задачи о собственных значениях и показано существование наибольшего среди всех его собственных значений - числа Я( Н), которому соответствует неотрицательный собственный вектор х:
Н(х) = А(Н)х (х * 0) .
Это число называется доминирующим собственным значением отображения Н, поскольку многие его свойства аналогичны свойствам доминирующего собственного значения неотрицательной квадратной матрицы. Более сильные спектральные свойства положительно однородных отображений получены в предположении их неразложимости.
Определим следующие группы координат векторов х, у е К®:
1+ (ху) ={/ех >/ 10(ху) ={/е х = /
Г(х)={/е1?:х >0}, Т°(х)={/е1?х1 = 0}. (5)
Определение 4. Неотрицательная матрица А = [а;,/ ] порядка ? > 1 называется разложимой, если
31 с 1,?, 0* I * 1,?: аг] = 0 (У/ г I, / е I).
В противном случае матрица называется неразложимой.
В нелинейной теории Перрона-Фробе-ниуса используется следующее обобщение понятия неразложимости матрицы [1]. Определение 5. Отобра жение
F е{Щ? ^ Щ? } называется разложимым, если
3 х, у е Щ?: х о у, 10 (х, у)*0,
10 (х, у )с 10 (F(х), F(у ))
(6)
Отображение р называется неразложимым, если оно не является разложимым, т.е. если
Ух, у е Щ? : х О у,.
(7)
10 (х, у) *0^ 10( х, у)\ 10 (Р( х), Р( у))*0
Далее будет также дано определение неразложимости в точке (не являющееся общепринятым, в отличие от предыдущего определения), поэтому мы будем называть разложимое в смысле (6) отображение глобально разложимым (на Щ? ) и неразложимое в смысле (7) отображение - глобально неразложимым (на Щ? ).
Для монотонно возрастающего отображения условие i £ 10 (Р(х), Р(у)) означает
fi(х) > fi (у), и определение глобальной неразложимости отображения в этом случае можно уточнить следующим образом:
у е Щ : х 0 У, (8)
10 (х,у) * 0 ^ 10 (х,у) ПI? (Р(х),Р(у)) * 0
Для доказательства некоторых утверждений о свойствах положительно однородных и субоднородных отображений оказывается достаточно локального варианта свойства неразложимости. В частности, неразложимость отображения в нуле гарантирует положительность любой его ненулевой неподвижной точки (как и любого собственного вектора). Поэтому может оказаться полезным использование следующего определения.
Определение 6. Отображение
р е {щ? ^ Щ } называется разложимым в
точке у е Щ?, если
3 х е Щ?: х О у, 10(х, у) * 0,
10(х,у) с 10 (Р(х),Р(у)). (9)
Отображение, разложимое в каждой точке множества М с Щ? называется разложимым на множестве М.
Соответственно, отображение Р называется неразложимым в точке у, если
Ух е Щ? : х О у,. (10)
10( х, у) * 0 ^ 10 (х, у) ПI? (Р( х), Р(у)) * 0 Отображение, неразложимое в каждой
точке множества М с Щ? , называется неразложимым на множестве М .
В частности, отображение
Р е {щ? ^ Щ? } называется разложимым в
точке у = 0 (разложимым в нуле, в нулевой точке), если
3 хеЩ: х О0,10 (х) * 0,10 (х) с I0 (Р(х)) .(11) Соответственно, отображение р называется неразложимым в точке у = 0 (в нуле, в нулевой точке), если
Ух е Щ? : х О 0,
I0 (х)*0^ I0 (х) П Г(Р (х))*0 (12) Глобальная неразложимость отображения по определению влечет за собой неразложимость в любой точке Щ? и, в частности, неразложимость в нуле. Для линейных отображений верно и обратное, т.е. понятие неразложимости в нуле совпадает с понятием глобальной неразложимости (совпадающим, в свою очередь, с понятием неразложимости матрицы линейного отображения). Действительно, разложимость в нуле линейного отображения р(х) = Ах означает существование множества
0* J * 1, q, удовлетворяющего условиям
х1 = 0 и /(х) = (Ах). = 0 (Уi е J) . Но последнее равенство в силу
(Ах),. = Е аа, Л' = X а, л =0 эк-
]е1 ^'eJ
вивалентно условию а.. = 0 (V/ £ I,' е I), где I = 1, q \ J, означающему разложимость
матрицы А.
Подчеркнем, что для глобальной разложимости отображения достаточно существования хотя бы одной точки, в которой отображение разложимо (в частности, достаточно разложимости в нуле).
Для нелинейных отображений понятия неразложимости в нуле и глобальной неразложимости могут не совпадать. В частности, любое сильно возрастающее в окрестности начала координат отображение, равное константе для достаточно больших значений аргумента, является одновременно неразложимым в нуле и глобально разложимым.
Эти понятия различны и для положительно однородных первой степени отображений. Приведем соответствующие примеры. Следующий пример показывает, что понятие глобальной неразложимости для положительно однородных отображений не сводится к понятию неразложимости в нуле.
Пример 1. Рассмотрим отображение р(х) = ( /(х) Л(х)), где
/(х) = У2( х) = тах К Х21.
Для любого вектора с координатами х1 = 0, х2 > 0 получаем р(х) = (х2, х2), и
условие /1( х) = 0 приводит к равенству х2 = 0, т.е. х1 = х2 = 0. Аналогично получаем х1 = х2 = 0 и для любого вектора с координатами х1 > 0 , х2 = 0 . Это означает, что
данное отображение является неразложимым в нуле.
Более того, это отображение неразложимо на всей неотрицательной части луча
{У = (У1, У2): У1 = У2}. Действительно, для любого вектора х с координатами x1 = y,, x2 > y2 в силу x2 > y2 = у1 = x, получаем
f( Х) = f2( Х) = X2 > У, = fl(У), Те.
f1(x) > /(y). Аналогично при x, > y,,
x2 = y2 имеем f2(x) > f2(y). В любом из этих случаев справедливо
10(x,У)ПI +(F(x),F(У))*0 , что в соответствии с (15) означает неразложимость отображения в указанных точках.
Вместе с тем, это отображение глобально разложимо. Найдем множество точек, в которых это отображение разложимо. Пусть
у - любой вектор с координатами y < y2. Тогда для вектора х = (y2,y2) имеем
fi(x) = f2(x) = y2, fi(y) = f2(у) = У2, так что X2 = y2 и f2(x) = f2(yh т е. x ^ y ,
I 0( x, y ) = {2}*0 и / (x, y)c I0 (F(x),F(y)). Аналогично рассматривается случай y > y2. В соответствии с определением 6 это означает разложимость отображения F на множестве {y е R+ : y, ^ y2}.
Пример 2. Рассмотрим отображение
F(x) = (/(x) f2(x)), где f(x)=f2(x)=N/XÄ.
Это положительно однородное отображение является сильно возрастающим на
int Rq, и потому неразложимо на int . С другой стороны, поскольку
f( x) = f2( x) = 0 для всех векторов, имеющих хотя бы одну нулевую координату, это отображение является разложимым на множестве Rq \ int Rq и, в частности, разложимо в нуле.
Существование приведенных в этих примерах отображений также является одним из оснований для уточнения понятия (гло-
бальной) неразложимости, в частности, для отдельного рассмотрения понятия неразложимости в нуле.
Для произвольного возрастающего глобально неразложимого отображения справедливо (см. [1, теорема 10.5 главы 3]) свойство
Ух, у е Щ? : х О у ^ Р (х) О Р (у).
Из доказательства этого свойства видно, что для справедливости ослабленного свойства (только для у = 0 ) - условия
У х е Щ? : х О 0 ^ Р (х) О 0
достаточно неразложимости этого отображения лишь в нуле.
Далее, в работе [1, теорема 10.4 главы 3] доказана положительность собственных векторов и собственных значений положительно однородного первой степени отображения в предположении его глобальной неразложимости и слабой монотонности. Доказательство также на самом деле использует неразложимость отображения лишь в нуле.
Приведенные примеры и утверждения демонстрируют возможность использования в нелинейной спектральной теории введенного в данной работе локального аспекта понятия неразложимости отображения - неразложимости отображения в нуле.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.
2. Смирнов А.И. Квазивогнутые отображения в некоторых моделях эволюционирующих систем. Дисс...канд. физ.-мат. наук: 01.01.09. Свердловск: ИММ УНЦ АН ССР, 1983.
3. Lemmens B., Nussbaum R.D. Nonlinear Perron-Frobebius Theory. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 189. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2012.
4. Krause U. Positive Dynamical Systems in Discrete Time: Theory, Models, and Applications. Berlin-Munich-Boston: Walter de Gruyter GmbH, 2015.
5. Смирнов А.И. Субоднородные отображения в теории монотонных динамических систем // Вестник УИЭУиП. 2016. №1. С. 68-80.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ
СМИРНОВ Александр Иванович, кандидат физико-математических наук, доцент, проректор по инновационному образованию, Уральский институт экономики управления и права; старший научный сотрудник ИММ УрО РАН, г. Екатеринбург. E-mail: [email protected]
