О собственных T-идеалах алгебр Пуассона с экстремальными свойствами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Необходимо, наконец, указать, что использованный нами в доказательствах метод, заключавшийся в разложении последнего знаменателя под интегралом 1п(с;а;Ь\г) в ряд, последующем интегрировании по отделившейся переменной, применении предположения индукции и в обратном сворачивании ряда при помощи леммы, был почерпнут из работы С. А. Злобина [3].

Работа поддержана РФФИ, грант № 15-01-05700-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Ле-жандра. М.: Мир, 1965.

2. Уланский Е.А. Обобщение одного тождества для интегралов гипергеометрического типа // Матем. заметки. 2015. 98, № 2. 318-320.

3. Злобин С.А. О некоторых интегральных тождествах // Успехи матем. наук. 2002. 57, № 3. 153-154.

Поступила в редакцию 02.03.2016

УДК 512.572

О СОБСТВЕННЫХ Т-ИДЕАЛАХ АЛГЕБР ПУАССОНА С ЭКСТРЕМАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ

С. М. Рацеев1

Пусть {Yn(V)}n^i — последовательность собственных коразмерностей многообразия алгебр Пуассона V над полем нулевой характеристики. В работе приводится класс минимальных многообразий алгебр Пуассона полиномиального роста последовательности {Yn(V)}n^b т.е. последовательность {7n(V)}„^1 любого такого многообразия V растет как полином некоторой степени k, но последовательность {7n(W)}„^1 любого собственного подмногообразия W в V растет как полином строго меньшей степени, чем k.

Ключевые слова: алгебра Пуассона, многообразие алгебр, рост многообразия.

Let {7n(V)}„^1 be the sequence of proper codimensions of a variety V of Poisson algebras over a field of characteristic zero. A class of minimal varieties of Poisson algebras of polynomial growth of the sequence {7n(V)}„^1 is presented, i.e. the sequence {7n(V)}„^1 of any such variety V grows as a polynomial of some degree k, but the sequence {7n(W)}„^1 of any proper subvariety W in V grows as a polynomial of degree strictly less than k.

Key words: Poisson algebra, variety of algebras, growth of a variety.

На протяжении всей работы предполагается, если это специально не оговорено, что основное поле имеет нулевую характеристику.

Векторное пространство A над полем K с двумя K-билинейными операциями умножения ■ и {, } называется алгеброй Пуассона, если относительно операции ■ пространство A является коммутативной ассоциативной алгеброй с единицей, относительно операции {, } — алгеброй Ли и данные операции связаны правилом Лейбница

{а ■ Ъ,с} = а ■ {Ъ, с} + {а, с} ■ Ъ, а,Ъ,с € А.

Алгебры Пуассона возникают в различных разделах алгебры, дифференциальной геометрии, топологии, современной теоретической физике и т.д.

Договоримся опускать скобки {, } при их левонормированной расстановке: {{а,Ъ},с} = {а,Ъ,с}. Пусть Г(X) — свободная алгебра Пуассона, где X = {х\,х2,...} — счетное множество свободных образующих. Обозначим через Рп пространство в Г(X), состоящее из полилинейных элементов степени п от переменных х\,... ,хп.

1 Рацеев Сергей Михайлович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. информационной безопасности и теории управления ф-та математики и информационных технологий УлГУ, e-mail: [email protected].

Так как элементы вида

{хп,ха( 1)! • • • ,ха(и-1)}, С € ^га-Ъ

образуют базис пространства полилинейных элементов степени п от переменных XI, • • • ,хп свободной алгебры Ли (см., например, [1]), то будет верным следующее утверждение. Лемма 1. Базис пространства Рп состоит из всех элементов вида

хк\_ ' • • • ' хкг ' {хгх I • • • I xis } ' • • • ' {xj11 • • • I х]г }) (1)

для каждого из которых выполнены следующие условия: (г) г ^ 0, к1 < • • • < кг;

(гг) каждая из переменных х1,... ,хп встречается в (1) ровно один раз;

(ггг) каждый множитель {х^, ...,xis },■■■, {х^1, • • • } в (1), являющийся скобкой Пуассона, левонормирован, имеет длину ^ 2 ив каждой такой скобке Пуассона элемент с максимальным индексом находится на первом месте:

%1 > ¿2, • • •, г1 > • • •, л > • • •, > Зг; (гу) множители в (1) упорядочены по длине: в ^ • • • ^ ¿;

(у) если два соседних множителя в (1), являющиеся скобками Пуассона, имеют одинаковую длину

• • • ■ {хР1 I • • • I хр3 } ■ {хд11 • • • I хд3 } ' • • • I

то р1 < q1.

Обозначим через Гп подпространство в Рп, являющееся линейной оболочкой элементов вида

{х^ I • • • I Xis }■ ••• ■ {х^1 • • • I Xjt }I в ^ 21 • • • I £ ^ 2. (2)

Тогда из сказанного выше следует, что базисом пространства Гп будут являться все элементы вида (2) с условиями (гг)-(у) из леммы 1. Пространство Гп называется собственным пространством.

Пусть V — некоторое многообразие алгебр Пуассона (все необходимые сведения о многообразиях Р1-алгебр можно найти, например, в монографиях [1, 2]), М^) — идеал тождеств многообразия V. Обозначим

Гп^) = Гп/(Гп П Ы^)) 7п^) = ё1тГп^

Важность изучения пространств Гп^) основана на следующем факте [3]: в случае основного поля нулевой характеристики идеал тождеств М^) произвольного многообразия алгебр Пуассона V порождается последовательностью пространств Гп П М^), п ^ 1.

Также особый интерес представляют собственные пространства специального вида (см. [4]). Действие

— х^(г) симметрической группы Бп естественным образом продолжается на все пространство Гп^). Исследование структуры Гп^) как ^п-модуля играет важную роль при изучении многообразия V-

Обозначим через %л характер неприводимого представления симметрической группы, соответствующего разбиению Л числа п, и рассмотрим для многообразия V разложение

хГт — х(ГпСЮ) — ^ шлСЮхЛ.

ЛЬп,

Обозначим через йл размерность соответствующего Л неприводимого модуля. Размерность данного модуля определяется следующей формулой крюков:

п!

й\ =

П % (й)'

(i,j)ed

где Нц (й) — (Лi — г) + (^ — З) + 1, Лi — длина г-й строки, ^ — длина З-го столбца диаграммы й.

Для удобства элементы, содержащие кососимметрический набор, будем записывать без знака суммирования, помечая переменные этого набора чертой или волной сверху. Например, лиев стандартный полином примет такой вид:

{х0,х1, ...,хп}= ^ ( 1)<7{хсь х<т(1)) • • • ,ха(п)}-

п

Будем использовать символ если соответствующий элемент пропущен.

Левонормированные мономы вида {¿^ .•.,x} будем обозначать {^х^}.

Далее нам понадобится следующая несложная лемма, которую нетрудно проверить. Лемма 2. Пусть A — некоторая ассоциативная алгебра с операцией умножения Л над произвольным полем K. Определим в декартовом произведении C = A х A х K операцию сложения и две операции умножения ■ и {, } элементов множества C:

(xi,x2,a) + (yi, У2, ß) = (xi + yi,X2 + У2,а + ß), (ж1,ж2,а) ■ (yi,У2,ß) = (ßxi + ayi,ßx2 + ay2,aß), {(Xi,X2,a), (yi,y2,ß)} = ([xi,yi],xi Л y2 - yi Л x2, 0),

где [xi,yi] = xi Л yi — yi Л xi7 (xi,x2,a), (yi,y2,ß) € C. Тогда полученная алгебра C будет алгеброй Пуассона, в которой выполнено тождество {xi,x2} ■ {x3,x4} = 0.

Пусть f (n) и g(n) — две функции натурального аргумента. Будем писать f (n) « g(n), если

lim Щ = 1.

n^ro g(n)

Пусть Л — бесконечномерная алгебра Грассмана с единицей, Л2^ — алгебра Грассмана с единицей и 2k образующими элементами {ei,..., e2k}, где k — неотрицательное целое число (при k = 0 полагается Ло = K), G = Л х Л х K, G2k = Л2к х Л2к х K — алгебры Пуассона, построенные с помощью леммы 2.

Под lin будем подразумевать полную линеаризацию полинома.

Из работы [5] следует, что идеал тождеств алгебры G0 порождается тождествами

{{xi,x2}, {x3,X4}} = 0, {xi, x2} ■ {x3,x4} = 0, для любого n ^ 3 выполнены равенства

Yn(Go) = n — 1, Xn(G0) = X(n—i,i),

Tn(G0) = KSnilinixuxf1-^ ,x2},

любое собственное подмногообразие в var(Go) является лиево нильпотентным, т.е. для некоторого p выполнено тождество {xi,..., xp} = 0. Данные утверждения играют роль базы индукции следующей теоремы.

Теорема 1. В случае основного поля нулевой характеристики для алгебры Пуассона G2k, k ^ 1, верны следующие утверждения:

1) идеал тождеств Id(G2k) порождается тождествами

{{xi,x2}, {x3, x4}, {xi,x3}} = 0, {{xi,x2,x3}, {x4,x5,x6}} = 0,

{{xi,yi}, {x2, y2 }, . .. , {xk+2, yk+2 }} = 0, {xbx2} ■ {x3,x4} = 0;

2) для любого n ^ 2k + 3 полилинейные элементы от переменных xi,... ,xn

{xil , • • • , xir , {xjl , xj2 }, • • • , {xj2s-l , xj2s }},

r + 2s = n, ii > i2 < ... < ir, j < j2 < ... < j2s, 0 ^ s ^ k, r ^ 3,

(3)

(4)

образуют базис пространства Гп(С2^);

3) размерности пространств Гп(С2&) вычисляются по следующей формуле:

( (n — 2)2n-2, 3 < n < 2k + 2; Yn(G2k) = < k

lEk=o(n — 2i — 1)Cn, n ^ 2k + 3,

причем для любого n ^ 2k + 3

n2k+i

7n(G2k) = 7n(G2fc_2) + (n-2k- 1 )Clk и -щр n -»• oo, где Cn — число сочетаний из n по k;

4) для кохарактеров пространств Гп(С2к) верно следующее равенство:

г ( хГ^) 1 < п < 2к + 2;

Хп(^2к) — < „2к+1 , ^2к+1 ^ о, , о

I ¿^=1 Х(п—^ 1^) + i=2 Х(п—^Д4-^ п ^ 2к + 3

причем для любого п ^ 2к + 3

Хп Хп (^2к—2) + Х(п—2к,12к) + Х(п—2к—1,12к+1) + Х(п—2к,2,12к-2) + Х( п—2к—1,2,12к 1);

5) для любого п ^ 2к+3 пространство Гп(С2к) имеет следующее разложение на неприводимые Бп-модули:

Гп(С2к) = гп{С2к.2) ф КБп{Ип {х1,х\п-2к~1},х2,... ,х2к+1}ф

фК5п(Ип {XI ,х\ Х2, . . . , х2/с+2}©

®КЗп(\т {х2, х\п~2к~1\х1,х2,.. .,х2к}ф

®КБп{\т {х2, х\п~2к~2\х1,х2,.. .,х2к+1} =

2к+1 2к+1 = ф КЗп(\т {Х1,х\П~1~1\х2, . . . ,Хг+\} ф КЗп(\т {Х2,Х\П~1~1\Х1,Х2, . . . ,Хг},

i=1 i=2 причем элемент

{Х1,х\п~г~1},х2,..., Хг+г}, 1 ^ г ^ 2/г + 1, соответствует разбиению (п — 1i), элемент

{х2, х\п~г~1\х1,х2,... ,Хг}, 2 ^ г ^ 2к + 1,

соответствует разбиению (п — 211i—2);

6) если W — некоторое собственное подмногообразие в уаг(С2к), то найдется такой многочлен f (х) с 'рациональными коэффициентами, зависящий от W, что для всех достаточно больших п выполнено неравенство Yn(W) ^ f (п), причем deg f (х) < 2к + 1.

Доказательство. Нетрудно проверить, что тождества (3) выполнены в алгебре ^2к. Заметим, что, согласно работе [6], в алгебре С2к справедливо такое тождество:

_ _ _ (2п)\

{г1,г2,г3,х1,х2, • • • ,х2п} = -^-{гг,г2,г3, {жьж2}, • • •, {х2п-1,х2п}}. (5)

Также из работы [6] следует, что для любого п ^ 2к+3 пространство Гп(^2к) является линейной оболочкой элементов вида (4). Покажем, что данные элементы линейно независимы по модулю идеала тождеств Ы(С2к).

Предположим, что для некоторого п ^ 2к + 3 элементы вида (4) линейно зависимы в Гп(^2к). В полученной нетривиальной линейной комбинации элементов вида (4) найдем такое слагаемое, у которого ненулевой коэффициент и минимальное значение в. Пусть это слагаемое имеет вид

а{хп I • • • II {хл I Xj2 }I • • • I {х?'2з-11 Xj2s }}I 0 — а € к

В этом случае во всей линейной комбинации делаем такую подстановку:

Xi1 ^ (0! 1 0)I х^ ^ (1I 0I 0)I q — 25. •. 5 г5 х^ ^ (e0I 0I 0)I а — 1 • • • I 2в. Тогда все слагаемые, кроме рассматриваемого, будут равны нулю, а оно примет вид

а(—1)r+s2s(0I в1 Л в2 Л • • • Л 62^ 0).

Понятно, что равенство

а(—1)r+s2s(0I 61 Л 62 Л • • • Л 62^ 0) — ^ 0! 0) выполнено лишь в случае а — 0. Противоречие.

В работе [3] показано, что в случае основного поля нулевой характеристики идеал тождеств Ы(У) произвольного многообразия алгебр Пуассона V порождается последовательностью пространств Гп П И^), п ^ 1. Таким образом, условия 1 и 2 доказаны.

Условия 4 и 5 доказываются с помощью математической индукции по к. База индукции для к = 0 представлена до теоремы.

Используя формулу крюков, нетрудно проверить, что для любого п ^ 2к + 3 выполнено равенство

^(п—2й,12к) + ^(п—2&—1,12к+1) + ^(п—2й,2,12к—2) + ^(п—2й—1,2,12к—-1-) = (п - 2к - 1)Сп •

Поэтому, учитывая предположение индукции и условие 3, достаточно показать, что для любого п ^ 2к + 3 следующие элементы не принадлежат идеалу тождеств ):

(а) {жь^-2*-1^,..., (6) {жьа>-2;г-2>,ж2,...

(с) ... ,щ2к}, № {х2,х{Г2к~2\хъх2,... ,х2к+1).

(a) Учитывая, что

2&+1

{хг,х\п~2к~1} ,Х2, .. • ,Х2к+\} = ^ (-1)г+1{жг)ж1га~2А:~1})хЬ ...,Хг,... ,Х2к+\},

г=2

применим к каждому слагаемому данной суммы тождество (5) и сделаем в рассматриваемом элементе такую подстановку:

Х1 ^ (1, 0, 0) + (в1, 0, 0), Х2 ^ (в2, 0, 0), • • • , Ж2Л ^ (в2й, 0, 0), Ж2Й+1 ^ (0,1, 0).

(b) С учетом того, что

[XI,Х[ ,Х2,...,Х2к+2\ =

= а^{хг,х\п~2к~2} ,Х^,Х1, . . . ,Хг, . . . . . . ,Х2к+2}, СКу € {-1, 1},

применим к каждому слагаемому данной суммы тождество (5) и сделаем в рассматриваемом элементе подстановку

Х1 ^ (1, 0, 0) + (в1, 0, 0), Х2 ^ (в2, 0, 0), • • • , Ж2Л ^ ы, 0, 0), Ж2Й+1 ^ (0, 1, 0), Ж2Й+2 ^ (1, 0, 0).

В элементах из пп. (с) и сделаем такие подстановки:

(с) Х1 ^ (1, 0, 0) + (в1, 0, 0), Х2 ^ (0,1, 0) + (в2, 0, 0),

хз ^ (ез, 0,0), • • •, ^ (в2й, 0,0); (й)Х1 ^ (1,0,0) + (е1,0,0), Х2 ^ (0,1,0) + (е2,0,0), хз ^ (ез, 0,0), • • •, ^ (е2й, 0,0), Ж2й+1 ^ (1,0,0) Таким образом, условия 4 и 5 доказаны.

Докажем условие 6. Пусть W — некоторое собственное подмногообразие в уаг(С2&). Покажем, что в этом случае в многообразии W выполнено нетривиальное полилинейное тождество вида

а1',".'.?2к ^Ь^З^п, • • • ,Жгр, {ж,1 , , }, • • • , {ж,2к-1, Ж,2к }} = 0 6 К (6)

¿1<...<гр 31<--<32к

в котором числа р и к фиксированы.

С учетом условий 4 и 5 найдется такое р ^ 1, что в многообразии W будет выполнено хотя бы одно из тождеств следующего вида:

{х2,х\р},х!,х2,...,хт} = 0, + (7)

{х1,х\р},х2,...,хт} =0, 2^т^2к + 2. (8)

Пусть в многообразии W имеет место тождество (7). Если т — 2а + 1 нечетное, а ^ к, то запишем это тождество в виде

2о+1

^ (-1)г+1{х2,х\р} ,Хг,Х1, ...,Хг,... ,Х2а+1\ = 0

i=1

и к каждому слагаемому данной суммы применим тождество (5). Получим следующее тождество:

2о+1

^ ( — ^^^х^х^ {х1 )х2}) • • • I ЖiI • • • I ^о^о+и} — 0.

i=1

Если а < к, то с помощью операции {I } домножим последнее тождество поочередно на (к — а) скобок {х2о+^ х2о+з},..., {х2кIX2k+1}. В полученное тождество вместо переменной х2 подставим сумму х2 + {¿ь ¿3}. Учитывая тождества

{{XlI X2I Xз}I {х41 X5I хб}} — 0I {{х11 У1}I • • • I {Xk+2I Ук+2}} — 0!

будем иметь

2о+1

( — 1)i+1 {^11 ^21 ^31 х1Р}I XiI {х11 х2}I • • • ^ • • • I {X 2кIX2k+l}} — 0.

i=1

Полностью линеаризуя последнее тождество, получим тождество вида (6).

Если же т — 2а четное, а ^ к, то из условия 5 следует, что р ^ 2. Если а < к, то с помощью операции {I } домножим данное тождество поочередно на (к — а) скобок {х2о+^ х 2о+2},..., {х2к—ь х2к}. К полученному тождеству применяя тождество (5), будем иметь

{х21 х^ {хlI X2}I ••• I {х2к—11 X 2к}} — 0.

Вместо переменной х 2 подставим сумму х 2 + {¿1 ^^з}. Полностью линеаризуя полученное тождество, приходим к тождеству вида (6).

Пусть теперь в многообразии W выполнено тождество (8). Если т — 2а, а ^ к + 1, то запишем его в виде

У] а^{хг,х\р} ,Х^,Х1, . . . ,Хг, . . . ... ,х2а} = 0, а^ £ {-1,1},

применим к каждому слагаемому данной суммы тождество (5), после чего, если а < к + 1, с помощью операции {I } поочередно домножим данное тождество на (к + 1 — а) скобок {х 2о+ь х2о+2},..., {х 2к+11х2к+2} и вместо переменной х2 подставим сумму х2 + {¿ь^г^}. Далее полностью линеаризуем полученное тождество и приходим к тождеству вида (6).

Если же т — 2а + 1, а ^ к, то из условия 5 следует, что р ^ 2. Поэтому сначала запишем тождество (8) следующим образом:

2о+1

{-^г+1{хг,х{р\хъ .,х2а+1} = О,

i=2

каждое слагаемое полученной суммы подпадает под предыдущий случай.

Таким образом, в многообразии W выполнено тождество вида (6). Переименовав переменные в данном тождестве, получим полилинейное тождество вида

{¿11 ¿21 ¿31 х2к+11 ••• I X2k+pI {X 1X2}I ••• I {х2к—11 х2к}} —

Д/ь...^ 1 ¿2 I ¿3 I хп I•••I ^Пр I {хл I х'2 }I • • • I {х?2к-1 I Xj2k }}. (9)

г1<...<гр, {г1,...,гр} = {2к + 1,...,2к+р}

<---<^2к ' О'ъ-.^к } = {1,...,2к}

Пусть А и В — два непустых подмножества множества натуральных чисел. Положим А < В, если а < Ь для любых а € А, Ь € В.

Для всех достаточно больших n сопоставим каждому элементу вида (4) с s = k скобками такие два множества:

{ir_p+1, ir_p+2,..., } — индексы p последних элементов монома {ж^,..., }; {ji, • • •, j2fc} — индексы всех элементов монома {{xj1, xj2},..., {xj2fc_ 1, xj2k }}. С учетом тождества (9) и условия 2 пространство Pn(W) для всех достаточно больших n является линейной оболочкой таких элементов вида (4), что для элементов при s = k не выполнено неравенство

{ir_p+1,ir_p+2, ..., ir } > {ji,..., J2fc}.

Заметим, что число элементов вида (4) при s = k, для которых выполнено данное неравенство, не менее, чем (n — 2k — 1)СП_р-1. Поэтому

Yn(W) < 7ra(G2fc) — (n — 2k — 1)СП_Р_1.

Остается заметить, что степень полинома СПк — СП_р_1 по переменной n строго меньше 2k. □ Пусть UTfc = UTfc(K) — алгебра верхнетреугольных матриц порядка k над полем K. Обозначим через J = i=11 ei,i+1 квадратную матрицу порядка k, которая на диагонали выше главной диагонали содержит единицы и у которой все остальные элементы равны нулю, ej — матричные единички. Рассмотрим следующую подалгебру в UTk над полем K:

N = (E, J, J2,..., Jk_2; e12, e13,..., e^)k,

где E — единичная матрица порядка k. В работе [7], в частности, показано, что алгебры Л2&, k ^ 1, N, k ^ 3, порождают минимальные многообразия ассоциативных алгебр полиномиального роста.

Пусть R = Nfc х Nfc х K — алгебра Пуассона, построенная с помощью леммы 2. Понятно, что var(R2) = var(G0).

Теорема 2. В случае основного поля нулевой характеристики для алгебры Пуассона R, k ^ 3, верны следующие утверждения:

1) идеал тождеств Id(R) порождается полилинейными тождествами

(10)

{{х!^^ {X3IX4}I {х5 IXб}} — 0! {х11 х2 } ■ {X3IX4} — 0I {{XlI X2I • • • I хк}I {Уъ ^ • • • I Ук}} — 0;

2) для любого п ^ 1 полилинейные элементы от переменных х:,. .. ,хп

{xil ^ I • • • I Xin }I ¿1 >¿2 < • • • < ¿щ (11)

{{xil I Xi2 I • • • I }I {xjl I Xj2 I • • • I Xjt }}I (12)

в +1 — п ¿1 >¿2 З1 >З2 < • • • <

2 ^ в ^ £ ^ п — 2 (в — £ ^ г2 <32^ в < kI образуют базис пространства Гп(Ек);

- п

3) размерности пространств rn(R) вычисляются по следующей формуле:

(n — 1)!, 1 < n < 4; 7n(Rfc) = { (n — 1)(2n_3(n — 4) + 2), 5 < n < 2k — 2;

(n — 1) + £t^i — 1)(n — i — 1)СП, n ^ 2k — 1,

причем для любого n ^ 2k — 1

к2

7п(Як) = 1п(Як-1) + (к - 2)(п - к)С^~1 » ^ _ 1у Пк, п -»• оо;

4) если W — некоторое собственное подмногообразие в уаг(Ек), то найдется такой многочлен f (х) — ао + • • • + акхк с рациональными коэффициентами, зависящий от W, что для всех достаточно больших п выполнено неравенство Yn(W) ^ f (п), причем

к—3

аь ^

(k — 1)!

Доказательство. Нетрудно видеть, что тождества (10) выполнены в алгебре и Гп(Л^) является линейной оболочкой элементов вида (11) и (12). Покажем, что элементы вида (11) и (12) линейно независимы. Предположим, что для некоторого п нетривиальная линейная комбинация элементов вида (11) и (12) принадлежит идеалу тождеств Ы(Як). Если в данной линейной комбинации хотя бы один элемент вида (11) с ненулевым коэффициентом

а{Жг1 ,Жг2 , •••,Жг„ }, 0 = а 6 К,

то во всей линейной комбинации сделаем такую подстановку:

Жг1 ^ (0,Е, 0), Ж^2 ^ (Е, 0, 0), • • • , Жгп ^ (Е, 0, 0)

Тогда все слагаемые, кроме данного, будут равны нулю, а линейная комбинация примет вид

а(-1)п—1(0,Е, 0) = (0, 0, 0),

что возможно только при а = 0.

Если же все элементы вида (11) в линейной комбинации имеют нулевые коэффициенты, то выберем в данной линейной комбинации элемент вида (12) с наименьшим значением в и ненулевым коэффициентом. Пусть это следующее слагаемое:

а{{жг1, Жг2 , • • • , ^ {ж,1 , Ж,2 , • • • , Ж,£ }}, 0 = а 6 В рассматриваемой линейной комбинации сделаем такую подстановку:

Жг1 ^ (е12,0,0), Ж*2 ^ (7,0,0), • • •, ж^ ^ (7,0,0),

ж, ^ (0, Е, 0), ж,2 ^ (Е, 0, 0), • • •, Ж, ^ (Е, 0, 0)-Тогда линейная комбинация примет вид

а(—1)4—1 (0,ев+1,0) = (0,0,0),

что возможно только при а = 0.

С учетом того, что идеал тождеств М^) произвольного многообразия алгебр Пуассона V порождается последовательностью пространств Гп П И^), п ^ 1, получаем, что условия 1 и 2 доказаны.

Условие 3 следует из условия 2.

Пусть W — некоторое собственное подмногообразие в уаг(Л^). Тогда для некоторого п элементы вида (11) и (12) линейно зависимы в пространстве Гn(W). Возможны следующие случаи.

В нетривиальной линейной комбинации хотя бы один элемент вида (11) имеет ненулевой коэффициент

а{ж*1 ,Жад, •••,Жг„ }, 0 = а 6 К.

В этом случае в данной линейной комбинации вместо переменной ж^1 поставим скобку {21,22}, а всю линейную комбинацию с помощью операции {, } домножим на скобку {^1,^2}. Тогда, учитывая тождество {{ж1 ,ж2}, {ж3, ж4}, {ж5,жб}} = 0, получаем, что в многообразии W выполнено тождество вида

{{Ж1, • • • , Жр}, {У1,У2}} =0^

Поэтому для всех достаточно больших п справедливо неравенство 7n(W) ^ п — 1.

Пусть теперь в рассматриваемой линейной комбинации все элементы вида (11) имеют нулевые коэффициенты. В этом случае зафиксируем элемент вида (12) с наименьшим значением д = в и ненулевым коэффициентом. Возможны такие варианты.

1) 1 < д < к — 1. Вместо переменных ж^1 и ж, подставим соответственно скобки {у1, • • •, д} и {21, •••,££}. Тогда в многообразии W будет выполнено нетривиальное полилинейное тождество вида

{{УЬ • • • , Ук—Ж*2 , • • • , }, , • • • , ^, Ж,2 , • • • , Ж,р }} = 0,

!2<...<гд 32<.-.<3р

16

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2016. №6

в котором числа p, q и k фиксированы. Переименовав переменные в данном тождестве, получим полилинейное тождество вида

{{yl, . . . ,yk-q,Xl, . . . ,Xq-l}, {Zl, . . . , Zk, Xq, . . .,Xq+p-2}} = = ßj1;:::2-l {{УЬ... ^-q ,x¿l,... ,x*q—1}, {zl,... ,zk ,xjl,... ,xJp—1}},

¿^■■^iq—1, {il,■■■,iq-l} = {1,■■■,q-1}

Л<"<р—l, {jl;■■■ —l}={q>--->q+p 2}

учитывая которое, заключаем, что пространство Pn(W) для всех достаточно больших n является линейной оболочкой таких элементов вида (11) и (12), что для элементов вида (12) при s = k — 1 не выполнено неравенство

{ik-q+b . . . ,ik-l} < { jt—p+2, . . . , jt}. Заметим, что число элементов вида (12), для которых выполнено данное неравенство, не менее (k — 2)(n — k)Cnip. Поэтому

Yn(W) < Yn(Rk) — (k — 2)(n — k)Cn-P = f (n).

Остается заметить, что степень полинома f (n) по переменной n строго меньше k.

2) q = k — 1. В полученной нетривиальной линейной комбинации элементов вида (12) при s = k — 1 зафиксируем любое слагаемое с ненулевым коэффициентом и сделаем в линейной комбинации подстановку Xj ^ (ziZ2). Тогда в многообразии W будет выполнено нетривиальное полилинейное тождество вида

j.'.'.jp-11 {{xil,...,x¿fc—1}{zl,z2,xj2,...,xjP}} = 0, j;;;;;jp—1 eK,

>^2 ^--^fc —1

в котором числа p и k фиксированы. Переименовав переменные в данном тождестве, получим, что элемент

{{Xk-l, Xl, . . . , Xk-2}, {Zl, Z2, Xk, . . . , Xk+p-2}} равен линейной комбинации элементов вида

{{xil

, X¿fc—1

}, {zl, z2, xjl ,...,xjp—1 }}

для которых

il > i2 < . . . < ik-l, jl < j2 < . . . < jp-l,

при этом не выполнено либо неравенство {il,..., ik-l} < {jl,..., jp-l}, либо неравенство il > ik-l. Поэтому пространство ^(W) для всех достаточно больших n есть линейная оболочка таких элементов вида (12), что для элементов с s = k — 1 не выполнено либо неравенство {il,..., ik—l} < {jt-p+2,..., jt}, либо неравенство il > ik-l. Следовательно,

Yn(W) < Yn(Rk) — (n — k)Cn-p.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. M.: Наука, 1985.

2. Giambruno A., Zaicev M. V. Polynomial identities and asymptotic methods У У AMS Math. Surveys and Monogr. Vol. 122. Providence R.I., 2005.

3. Pa^ee С.М. Алгебры Пуассона полиномиального роста У У Сиб. матем. журн. 2013. 54, № 3. 700-711.

4. Mishchenko S.P., Petrogradsky V.M., Regev A. Poisson PI algebras ^ Trans. Amer. Math. Soc. 2007. 359, N 10. 4669-4694.

5. Pa^ee С.М. Эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона ^ Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. 67, № 5. 8-13.

6. Воличeнко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами У У Весщ АН БССР: Сер. фiз.-матем. наук. 1980. № 1. 23-30.

7. Mattina D.La. Varieties of almost polynomial growth: classifying their subvarieties У У Manuscripta Math. 2007. 123, N 2. 185-203.

Поступила в редакцию 27.06.2014