Эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона Текст научной статьи по специальности «Математика»

будут разными — они будут равны 4 и 5 соответственно, а обобщенное минимальное заполнение будет иметь граничное ребро отрицательного веса.

Авторы приносят благодарность академику А. Т. Фоменко за постоянное внимание к работе, а также всем участникам семинара "Минимальные сети", проходящего на механико-математическом факультете МГУ, за многочисленные полезные обсуждения.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, проект № 10-01-00748, программы "Ведущие научные школы", грант НШ-1410.2012.1, и гранта Правительства РФ по постановлению № 220, договор № 11.G34.31.0053.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иванов А.О., Тужилин А.А. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении // Матем. сб. 2012. 203, № 5. 65-118.

2. Gromov M. Filling Riemannian manifolds // J. Diff. Geom. 1983. 18, N 1. 1-147.

Поступила в редакцию 13.12.2010

УДК 512.572

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УСЛОВИЯ ПОЛИНОМИАЛЬНОСТИ РОСТА МНОГООБРАЗИЙ АЛГЕБР ПУАССОНА

С.М. Рацеев1

Приведены эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона в случае основного поля нулевой характеристики. Показано, что существуют только два многообразия алгебр Пуассона почти полиномиального роста.

Ключевые слова: алгебра Пуассона, многообразие алгебр, рост многообразия.

We present equivalent conditions of the polynomial codimension growth of a variety of Poisson algebras over a field of characteristic zero and show that there are only two varieties of Poisson algebras with almost polynomial growth.

Key words: Poisson algebra, variety of algebras, growth of a variety.

На протяжении всей работы предполагается, что основное поле имеет нулевую характеристику. Алгебра A = A(+, ■, {, },K) над полем K называется алгеброй Пуассона, если A(+, -,K) — ассоциативная коммутативная алгебра с единицей, A(+, {, },K) — алгебра Ли (запись {,} означает умножение и называется скобками Пуассона) и выполняется правило Лейбница

{а ■ b,c} = а ■ {b, c} + {a, c} ■ b, a,b,c e A.

Свободную алгебру Пуассона F(X) с множеством свободных образующих X можно построить следующим образом. Пусть L(X) — свободная алгебра Ли над множеством X = {x\,Х2, ■ ■ ■} с лиевым умножением [,], и пусть R(X) = {vi,v2, ■ ■ ■} — базис Холла алгебры L(X) (см. [1]). Рассмотрим ассоциативную коммутативную алгебру полиномов K[vi, V2, ■ ■ ■]. В этой алгебре определим скобки Пуассона для порождающих элементов Vi как умножение в алгебре L(X), т.е. {vi,Vj} = [vi,vj]. Распространим скобки Пуассона на любые элементы из K[vi,v2, ■ ■ ■], используя линейность и правило

{f ■ g,h} = f ■ {g,h} + {f,h}■ g, f,g,h e K[vi,v2,■■■]■

Полученная алгебра будет свободной алгеброй Пуассона F(X).

Договоримся опускать скобки Пуассона при их левонормированной расстановке, т.е.

{{{xi,Х2},Х3}, ■ ■ ■ ,Хп} = {Х1,Х2, ■ ■ ■ ,Хп}■

1 Рацеев Сергей Михайлович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. информационной безопасности и теории управления ф-та математики и информационных технологий УлГУ, e-mail: [email protected].

Обозначим через Pn пространство в F (X), состоящее из полилинейных элементов степени n от переменных xi,... ,xn. Базис пространства Pn состоит из всех элементов вида

' ... ' xkr ' {xii j ...j xis } ' ... ' {xji! ...j xjt }j

для каждого из которых выполнены следующие условия:

(i) r ^ 0, k1 < ... < kr;

(ii) каждая из переменных xi,... ,xn встречается ровно один раз;

(iii) каждый множитель {xi1, ...,Xis},..., {xj1,... ,xjt}, являющийся скобкой Пуассона, левонорми-рован, имеет длину ^ 2, и в каждой такой скобке Пуассона элемент с максимальным индексом находится на первом месте:

ii > i2j...jii > is,..., ji > ¿2, ...jji > jt;

(iv) множители, являющиеся скобками Пуассона, упорядочены по длине: s ^ ... ^ t;

(v) если два соседних множителя, являющиеся скобками Пуассона, имеют одинаковую длину

... • {xpi,..., xPs } ' {xqi,..., xqs } ' ...j

то pi < qi.

Пусть V — многообразие алгебр Пуассона, F (X, V) — относительно свободная алгебра многообразия V. Тогда пространство Pn(V) будет состоять из всех полилинейных элементов от xi,... ,xn в алгебре F(X,V). Действие a(xi)

— X(j(i) симметрической группы Sn естественным образом продолжается до автоморфизма алгебры F — F(X, V). Пространство Pn(V) становится при этом Sn-модулем. Исследование структуры Pn (V) как Sn-модуля играет важную роль при изучении многообразия V. Модуль Pn(V) является вполне приводимым, разложение его характера в целочисленную комбинацию неприводимых характеров имеет следующий вид:

Xn(V) — x(Pn(V)) — ^ mA(V )ха . (1)

Ahn

Асимптотическим поведением размерности cn(V) — dim Pn(V) определяется рост многообразия. Ко-длина многообразия определяется как сумма

1n (V) — J] mA(V).

ип\

АН п

Пусть Л — бесконечномерная алгебра Грассмана с единицей. Введем в алгебре Л два новых умножения: 1

а ■ Ь = - (аЬ + Ьа), {а, Ь} = аЬ — Ьа, а,Ь е Л.

Нетрудно проверить, что алгебра (Л, +, {, }) будет алгеброй Пуассона, которую обозначим через С. Теорема 1 [2]. Для алгебры С верны следующие утверждения.

(1) Полилинейное тождество {ж, у, ,г} =0 порождает идеал тождеств алгебры Пуассона С. (л) Рост многообразия уаг(С), порожденного алгеброй С, является почти полиномиальным, причем Сп(С) = 2п-1.

(ш) Базис полилинейной компоненты Рп(С) состоит из элементов вида

{жгх , хг2 } ■ . . . ■ {хг2р—1, хг2р } ' xjl ' xj2 ' • • • ' xjq, (2)

где {¿1, • • .,22Р ,¿1 ,• • .¿д} = {1, • • • , п}, ¿1 < ¿2 < ••• < ¿2р, ¿1 < ••• < ¿д.

Далее нам понадобится следующее предложение, которое легко проверяется.

Предложение. Пусть Ар — некоторая алгебра Ли с лиевым умножением [, ] над произвольным полем К. Рассмотрим векторное пространство А = Ар ф К, в котором определим операции ■ и {, } следующим образом:

(а + а) ■ (Ь + в) = (ва + аЬ) + ав,

{а + а,Ь + в} = [а, Ь], а, Ь е Ар, а, в € К.

Тогда полученная алгебра (А, +, ■, {, }, К) является алгеброй Пуассона, в которой выполнено тождество {Ж1 ,Ж2} ■ {хз,Х4} = 0.

Пусть ир — двумерная метабелева алгебра Ли с базисом {а, Ь} и таблицей умножения [а, Ь] = а. Обозначим через и2 алгебру Пуассона Цр ф К, построенную с помощью предыдущего предложения.

Теорема 2. Для алгебры и верны следующие утверждения. (1) Полилинейные тождества

{Ж1,Ж2} ■ {Жэ,Ж4} = 0, {{Ж1,Ж2}, {Х3,Х4}} =0 (3)

порождают идеал тождеств алгебры Пуассона 112-

(и) Рост многообразия уаг(^2), порожденного алгеброй ^2, является почти полиномиальным, причем Сп(и2) = 2п-1(п — 2) + 2.

(Ш) Базис полилинейной компоненты Рп(и2) состоит из элементов вида

{ х ■ х ■ х ■ } ■ х ■ ■ х ■ ■ ■ х ■ (4)

{хп, хг2, ■■■, хгр} хл хп ■■■ х3д, (4)

где {11, ■ ■ ■ ■ ■ ■, ]д} = {1, ■ ■ ■ , п}, ]1 < ■ ■ ■ < ]д и переменные в мономе {жг1, ■ ■ ■, хгр } упорядочены

следующим образом,: ¿1 > ¿2 < ¿3 < ■ ■ ■ < ¿Р-

Доказательство. Понятно, что в алгебре и выполнены тождества (3). Покажем, что базис полилинейной компоненты Рп(и) состоит из элементов вида (4).

Обозначим через V многообразие алгебр Пуассона, порожденное тождествами (3). Покажем, что полилинейная компонента Рп(V) является линейной оболочкой элементов вида (4). Из первого тождества {ж1, Ж2} ■ {хз, х4} = 0 следует, что Рп(V) есть линейная оболочка элементов вида

) гу . /у>. /у>. К- . ¡У ■ • 'У ■ • • 'У ■

{хг1, хг2 , ■■■, хгр } хл х]2 ■■■ ■

Так как умножение ■ обладает свойством коммутативности, то можно считать, что ]1 < ■■■ < ]д. Далее, применяя тождество антикоммутативности, тождество Якоби и тождество {{х1 ,х2}, {хз,Ж4}} = 0, можно упорядочить в мономе {жг1 ,хг2, ■ ■ ■ ,хгр} переменные таким образом, что ¿1 > ¿2 < ¿з < ■■■ < ¿р. Поэтому Рп(V) есть линейная оболочка элементов вида (4).

Покажем, что по модулю идеала тождеств алгебры и элементы (4) являются линейно независимыми. Предположим, что это не так. Тогда для некоторого п в алгебре и2 выполнено нетривиальное тождество вида

У] аг1,...,грЛ1,...Лд {хг-1, ■ ■ ■ ,хгр } ■ ■ ■■■ ■ Жjq =

где суммирование пробегает по всем значениям индексов ¿1, ■ ■ ■ ,1Р,]1, ■ ■ ■ ,]д, удовлетворяющих условию (4). Пусть ¿1 ,■■■, гР0 ,]1, ■ ■■,]д0 — набор индексов, при котором значение ро минимально и аг1}..,гр0= 0. Сделаем следующую подстановку:

хг1 — {уо,У1},хг2 — У2,■■■, хгр0 — УРо ,Жjl — 1,■■■, Жjq0 — 1

Тогда тождество {уо, У1, ■ ■ ■, УР0} = 0 является следствием последнего тождества. Но данное тождество не выполняется в алгебре и2, о чем свидетельствует подстановка уо — а, У1 — Ь, ..., уР0 — Ь. Противоречие. Тем самым пп. (1) и (ш) доказаны, причем сп(и2) = 2п-1 (п — 2) + 2.

Покажем, что многообразие уаг( 112) является почти полиномиальным. Пусть Ш — некоторое собственное подмногообразие в уаг(и2). Тогда, как установлено выше, в многообразии Ш выполнено тождество {х1 ,Ж2,■■■,Жk} = 0 для некоторого к ^ 2. Учитывая данное тождество и строение полилинейной компоненты Рп(и2) (см. п. (ш)), получим, что рост многообразия Ш не выше полиномиального. Теорема доказана.

Лемма 1. Пусть в многообразии алгебр Пуассона V имеет место тождество вида

п ,У}Лх,У}к = 0, (5)

где п ^ 1, к ^ 0, и данное тождество полилинейно относительно переменных ¿1 ,...,гп. Тогда в V выполняется тождество {ж, у}к+п = 0^

Доказательство. Проведем индукцию по п с очевидным основанием п = 1.

Пусть п > 1. Обозначим А = {¿1, ■ ■ ■ ,гп-1}. Тогда тождество (5) примет вид {А, хп,у} ■ {ж,У}к = 0. Подставим в него вместо переменной гп произведение ж ■ Ж. Применяя правило Лейбница, получаем

{А, ж ■ Ж, У} ■ {Ж, У}к = 2{{А, Ж} ■Ж, У}■ {Ж, У}к = 2{А, Ж} ■ {Ж, У} ■ {Ж, У}к + 2ж ■ {А, Ж, У} ■ {Ж, У}к■

Поэтому из тождества (5) будет следовать тождество {А, ж} ■ {ж, у}к+1 = 0, применив к которому предположение индукции, придем к доказательству леммы.

Лемма 2. Пусть V — некоторое многообразие алгебр Пуассона и Ц / V. Тогда для некоторого числа т ^ 2 в многообразии V будут выполнены тождества

{Ж1,Ж2,...,Жт} = 0, (6)

{ж,у}т = 0.

Доказательство. Пусть Ц2 / V. Тогда из теоремы 2 следует, что для некоторого п элементы вида (4) будут линейно зависимы в Рп(V) по модулю тождеств алгебры Ц^. Поэтому в V будет выполнено полилинейное тождество вида

^^ аг1,...,гр{жп , . . . , ж'р } ' жл ' ... ' +

+ Е...-{А

А'4}• ... + £ ... • {{В. , В.}, {В.,В4}} • ... = 0, (7)

где первое суммирование пробегает по всем значениям индексов ¿1 , ...,гр, 3 , ...,3, удовлетворяющих условию (4), а в остальных суммах участвуют следствия тождеств (3). Пусть ¿1,...,гр0 , 3ь...,3д0 — такой набор индексов, при котором значение ро минимально и а^,...,' = 0. Подставим в тождество (7)

вместо переменных ж.,..., ж./ единицу. Тогда полилинейное тождество от переменных Ж1,... , жр0 вида

Р0

^ ^ вг{жг, Ж1, . . . , Жг, . . . , жр0} +

'=2

+ ^ ... •{С41 ,С'2 } • {С'3 ,С'4 }•... ... •{{Я. }, {^ }}• ... =0 (8)

является следствием тождества (7), где не все в равны нулю, а символ " означает, что элемент опущен. Пусть в'0 = 0 для некоторого ¿о. В тождестве (8) сделаем такую подстановку:

Ж'0 ^ Ж, ж. ^ у, 3 = 1,... ,ро, 3 = ¿0.

Тогда ввиду тождества {ж, ж} =0 в многообразии V будет выполнено следующее тождество Энгеля:

= 0.

Р0-1

Поэтому с учетом работы [3] в многообразии V будет выполнено тождество (6) для некоторого т.

Из леммы 1 вытекает, что тождество {ж, у}т = 0 является следствием тождества (6). Лемма доказана. Лемма 3. Пусть V — некоторое многообразие алгебр Пуассона.

(1) Если элементы вида (4) линейно зависимы в Рп(V) для некоторого п, то в многообразии V выполняется тождество (6).

(п) Если для некоторого п элементы вида (2) линейно зависимы в ), то в многообразии V

выполняется тождество

{Ж1,У1} • {Ж2, У2} • ... • {Жт, Ут} = 0. (9)

Доказательство. (1) Пусть элементы вида (4) линейно зависимы в ) для некоторого п. Тогда из теоремы 2 следует, что Ц / V. Поэтому, согласно лемме 2, в V выполнено тождество (6). (п) Пусть в многообразии V выполнено нетривиальное тождество вида

а!1,...,!2р,Л,...,/д {ж'1 , Ж'2 } • ... • {ж'2р-1 , Ж'2р } • ЖЛ • Ж.2 • ... • = 0, (10)

где суммирование пробегает по всем значениям индексов ¿1, ...,«2р ,31, ...,33, удовлетворяющих условию (2). Пусть ¿1 ,...,«2р0,31,...,3д0 — такой набор индексов, при котором значение ро минимально и аг1,...,г2р0 ,/1,...,/д0 = 0. Подставим в тождество (10) вместо переменных ж.,... , ж.,ад единицу. Тогда в многообразии V будет выполнено тождество

{ж'1 , Ж'2 } • ... • {ж'2р0-1 , Ж'2р0 } = 0

Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть в многообразии алгебр Пуассона V выполнены полилинейные тождества (6) и (9). Тогда

(I) рост многообразия V является полиномиальным;

(II) кодлина многообразия V является конечной.

Доказательство. (1) Пусть в многообразии V выполнены тождества (6) и (9). Тогда Рп(V) является линейной оболочкой элементов такого вида:

{Ж11, ■ ■ ^,Ж1к1 } ■ {Ж21, ■ ■ ■ ,Ж2к2 } ■ ■■■ ■ {Жз1, ■ ■ ■ , Ж3кв } ■ У1 ■ ■■■ ■ Уг,

где

{жll,■■■,жsks,у1, ■ ■ ■ ,Уг} = ^^■^Жп}, в<ш, ^^■^кз <т■

Очевидно, что число элементов такого вида ограничено некоторым полиномом.

(II) Доказательство основано на следующих фактах.

1. Число элементов вида

1к1,..,ка = {жl, ■ ■ ■ , Жк1 } ■ {Жк 1+1, ■ ■■, Жк1+к2 } ■■■■ ■{Жк 1+...+к3_1+1, ■■■, Жк1+...+ке } ■ Жк1+...+к3+1 ■ ■■■ ■ Жп,

где в < т, к1, ■■■,к.з < т, ограничено некоторой константой, не зависящей от п.

2. Из п. (1) и работы [4, теорема 12] следует, что существует такая константа С, не зависящая от п, что ненулевые неприводимые К£п-подмодули из разложения Рп(V) соответствуют лишь диаграммам Юнга, у которых число клеток вне первой строки не превышает числа С. Поэтому достаточно показать, что кратности тд(у) в разложении (1) ограничены некоторой константой. Это доказывается в следующем пункте.

3. Зафиксируем элемент /к1,...,к3 степени п и диаграмму й, соответствующую разбиению Л числа п, где п — Л1 ^ С. Пусть Л = (^^■■■^г, 1,---,1) — сопряженное разбиение к разбиению Л, где Ь ^ С, У1, ■ ■ ■, Уг ^ С + 1. Тогда диаграмме й будет соответствовать п — (р1 + ■ ■ ■ + уг) экземпляров переменной У1 и Ь кососимметричных наборов

VI ■■■У2---Уц1, Ъ-'-Ъ-'-Им, (И)

где чертой, тильдой,..., двумя чертами отмечены переменные, входящие в кососимметричные наборы. Вместо переменных Ж1, ■ ■ ■ ,жп в элементе /к1,...,к3 требуется расставить кососимметричные наборы (11), а на оставшиеся места поставить У1 .

Так как переменные Жк1+...+кв+1, ■ ■ ■ ,жп в элементе /к1,..,к3, находящиеся вне скобок Пуассона, симметричны, то любой кососимметричный набор может иметь не более одного представителя за пределами скобок Пуассона. Поэтому число способов расстановки наборов (11) и переменной у1 в элементе /к1,...,к3 ограничено некоторой константой М, не зависящей от п. Следовательно, тд^) ^ М. Лемма доказана.

Следующая теорема показывает, что в случае алгебр Пуассона алгебры 112 и О играют ту же роль, что и алгебры иТ2 и Л в ассоциативном случае (см. [5]).

Теорема 3. Для многообразия алгебр Пуассона V следующие условия эквивалентны: (1) последовательность {с-п(V)}п^1 ограничена полиномом;

(и) в многообразии V для некоторого т ^ 2 выполнены полилинейные тождества (6) и (9);

(III) и2 /V, О / V ;

(гу) существует такая константа С, что в сумме (1) тд^) =0 в случае, если выполнено условие п — Л1 > С;

(у) кодлина многообразия V является конечной.

Доказательство. Пусть выполнено условие (1). Так как элементы вида (4) линейно независимы в свободной алгебре Пуассона для любого п и их количество равно 2п-1 (п — 2) + 2, то найдется такое число п, что элементы вида (4) будут линейно зависимы в Рп(V). Тогда в силу леммы 3 в многообразии V выполнено тождество (6). Аналогично число линейно независимых элементов вида (2) в свободной алгебре Пуассона для любого п равно 2п-1. Поэтому найдется такое число п, что элементы вида (2) будут линейно зависимы в Рп(V). С учетом леммы 3 в многообразии V будет выполнено тождество (9). Поэтому из условия (1) следует условие (11).

Импликация (11) ^ (1) следует из леммы 4. Импликация (1) ^ (111) следует из теорем 1 и 2.

Пусть выполнено условие (111). Так как 112 / V, то, согласно лемме 2, в многообразии V выполнены тождества (6) и {ж,у}т = 0. Далее, в работе [2, теорема 7.3] показано, что если О / V и выполнено

тождество {x,y}m = 0, то в многообразии V будет выполнено тождество (9). Таким образом, из условия (iii) получаем условие (ii).

Равносильность условий (i) и (iv) следует из работы [3, теорема 12]. Импликация (ii) ^ (v) следует из леммы 4.

Докажем импликацию (v) ^ (iii). Для начала покажем, что ln(U2) ^ n для любого n. Фиксируем n. Обозначим через Mk множество всех элементов вида (4), у которых p = k. Тогда линейная оболочка элементов множества Mk будет являться К£га-модулем. Так как для ненулевых модулей Mk число k может принимать любое значение из множества {0, 2, 3,--- , n}, то ln(U2) ^ n.

Далее, в работе [2] показано, что ln(G) = n для любого n. Поэтому если кодлина многообразия V является конечной, то U2 / V, G / V. Теорема доказана.

Следствие. (i) Существуют только два многообразия алгебр Пуассона почти полиномиального роста: var(G) и var(U2).

(ii) Если рост многообразия алгебр Пуассона не является полиномиально ограниченным, то c„(V) ^ 2п-1 для любого n.

Доказательство следует из теорем 1-3.

Автор выражает благодарность профессору С. П. Мищенко за внимание к работе. Работа частично поддержана грантом РФФИ № 10-01-00209а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.

2. Mishchenko S.P., Petrogradsky V.M., Regev A. Poisson PI algebras ^ Trans. Amer. Math. Soc. 2007. 359, N 10. 4669-4694.

3. Зельманов Е.И. Об энгелевых алгебрах Ли ^ Сиб. матем. журн. 1988. 29, № 5. 112-117.

4. Рацеев С.М. Рост в алгебрах Пуассона У У Алгебра и логика. 2011. 5G, № 1. 68-88.

5. Кемер А.Р. Шпехтовость T-идеалов со степенным ростом коразмерностей ^ Сиб. матем. журн. 1978. 19, № 1. 54-69.

Поступила в редакцию 1б.09.2011

УДК 515.12

К ГИПОТЕЗЕ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ

С. А. Богатый1

В некоторых частных случаях доказывается плотность множества таких отображений n-мерного компакта в m-мерное евклидово пространство, что множество всех d-мерных плоскостей, мощность прообраза которых ^ q, имеет размерность ^ qn — (q — d — 1)(m — d).

Ключевые слова: размерность, вложение, евклидово пространство.

We prove that for some special cases the set of all continuous mappings of an n-dimensional compactum in an m-dimensional Euclidean space such that the set of all d-dimensional planes having the cardinality of the preimage ^ q has the dimension ^ qn — (q — d — 1)(m — d), is dense.

Key words: dimension, embedding, Euclidean space.

1. Введение. В работе [1, вопрос 5] сформулирована параметрическая проблема маломерности множества наборов точек, попадающих на плоскость заданной размерности. Приведем аналогичную непараметрическую гипотезу на языке плоскостей.

1 Богатый Семеон Антонович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].