О смешанной задаче для кинетического уравнения Больцмана-Пайерлса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9, 533.7, 533.723

О СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

БОЛЬЦМАНА-ПАЙЕРЛСА

И. В. Загребаев1

Статья посвящена исследованию проблемы Чепмена на примере смешанной задачи для кинетического уравнения Больцмана-Пайерлса. Иллюстрируется общий метод построения проекции Чепмена-Энскога и выделения подкласса корректных краевых условий, определяющих притягивающее многообразие.

Ключевые слова: смешанная задача, закон сохранения с релаксацией, проблема Чепмена, проектор Чепмена.

This article deals with Chapman problem for the mixed problem for Boltzmann-Peierls kinetic equation. We illustrate the general method of Chapman-Enskog projection construction and selection of subclass of correct boundary conditions determining the attractive manifold.

Key words: mixed problem, conservation law with relaxation, Chapman problem, Chapman projector.

Введение. Как известно (см., например, [1]), замыкание связей между искомыми функциями e и p в законе сохранения

dte(t, x) + divx p(t, x) = 0

обычно осуществляется с помощью системы моментных уравнений. Такая система, определяемая с той или иной степенью физической детализации, как правило, содержит новые искомые функции. Некоторые из них не являются физически измеримыми. Поэтому требуется так поставить математически корректную задачу, чтобы ее решение (в некотором смысле) определялось лишь физически измеримыми функциями. В настоящей работе этот вопрос рассматривается на примере кинетического уравнения Больцмана-Пайерлса [2]. В случае одномерной пространственной переменной x (матричное) уравнение Больцмана-Пайерлса с системой моментных уравнений 3-го порядка принимает следующий вид:

Г dte + дхр = 0 ,

I dtp + aidxe + dxN + qp = 0, m

| dtN + a2dxP + dxNi + N = 0, ()

I dtNi + аз dxN + N1 =0.

Здесь N и Ni — дополнительные к e и p, искомые, но физически неизмеримые функции переменных x > 0 и t G R, числа aj зафиксированы формулой aj = j2/(4j2 — 1), т.е. ai = 1/3, а2 = 4/15, аз = 9/35, а

q — параметр, заключенный в интервале (0,1).

В рассматриваемой в настоящей работе смешанной задаче для матричного уравнения (1) начальные условия для искомой функции U = (Ui, U2), где Ui = (e,p), а U2 = (N,Ni), зададим в виде

U = 0 при t ^ 0. (2)

Что же касается граничных условий

BU |x=o = g(t), (3)

где функция g = (gi,g2)T G L2(Ri) x L2(Ri) обращается в нуль при t ^ 0, то элементы матрицы B =

(bii bi2 bi3 bi4 \ й

должны обладать следующими двумя свойствами:

\ b2i b22 b23 b24 J

1) существует, причем единственное, обобщенное решение U = Ug G L2 смешанной задачи (1)-(3) и такое число Kq > 0, что справедлива оценка

/ lUg(0, t)|2dt W \\Ug(■, t)\\2dt < Kq |g(t)|2 dt; (4)

o o o

1 Загребаев Иван Валерьевич — асп. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2) существует такой псевдодифференциальный оператор П(с^) нулевого порядка, что для любой граничной функции g Е Cте(М) существует такое преобразование g = (Fn(gi,g2), 0)T, что решение U9 = (Uf,Uf) задачи (1)—(3) и решение U^ = (Uf, nUf), соответствующее граничной функции д, ведут себя одинаково вдали от границы, а именно

\U9(xi,t) — Un(x, t)\dt

при

x

00.

0

0

(5)

Условия, гарантирующие 1-е свойство, включая справедливость оценки (4), были получены для весьма широкого класса смешанных задач гиперболического типа в работе Х.О. Крайса [3]. Эти условия сформулированы в [3] в терминах спектральных характеристик рассмотренных там задач. Если смешанная задача обладает 1-м свойством, то будем говорить, что данная задача L2-корректна (по Крайсу). В данной работе мы конкретизируем условия Крайса, выражая их для задачи (1)—(3) через алгебраические соотношения на параметры задачи: числа aj, параметр q Е (0,1) и элементы матрицы B.

Что же касается 2-го свойства, то оно является математической формулировкой предложенной в [4-6] концепции [7], согласно которой граничное условие, характеризуемое матрицей B, является физически оправданным лишь в том случае, если для любой достаточно гладкой граничной функции g и соответствующего ей решения U9 выполнено такое условие: найдется такая граничная функция д, что соответствующее этой функции д решение характеризуется только физически измеримыми функциями и ведет себя вдали от границы так же, как решение U9.

1. Ь2-корректность. Для исследования смешанной задачи (1)-(3) систему (1) удобно переписать в

виде

EdxU = AdtU + QU, U = (U1, U11), (6)

где U1 = (e,p)T, U11 = (N,N1 )T. Здесь E — единичная матрица,

A

0 _ J_ (У. 1 0 —-— \ ai аз 0 _Я_ а\ 0 —-— \ ai аз

—1 0 0 0 Q= 0 0 0 0

0 0 0 и 0 0 0 _ j_

as аз

a2 0 —1 0 0 0 —1 0

Нетрудно проверить, что собственные значения матрицы A 1 представимы в виде

/ад + (12 + аз ± \J(ад + аг + аз)2 — 4а1аз

Al’2 = - V------------------------2---------------------- < °’

а.\ + (12 + аз ± \J(ai + 0L2 + аз)2 — 4aia3

Лз’4 = У---------------------2-------------------- >0-

Следовательно, уравнение (6) строго гиперболическое (по определению Крайса [3]), поскольку все Ai_4 вещественные и различные. Сделаем замену переменных

V = e_YtU(x,t), V1 = e_YtUI(x,t), V11 = e_YtUI1 (x,t), 7 ^ 0. Тогда наша система преобразуется следующим образом:

eYtdxV = A ■ dteYtV + e(tQ ■ V,

(7)

или

dxV = A ■ (yV + dtV) + Q ■ V.

Граничные условия в новых переменных примут вид BV(0,t) = e_Ytg(t).

Сделаем преобразование Фурье по t. Обозначим через т двойственную переменную к t и через V(x,r), д(т) — преобразования Фурье V и e_Ytg(t) соответственно. Положим

(8)

s = y + ir.

Тогда V является решением задачи

Здесь

dV_

dx

M = sA + Q =

x > 0, BV = g при x

( 0 — sXq 0 S+l

Oi i Oi\CX2,

—s 0 0 0

0 0 0 S+l as

(9)

Характеристическое уравнение для матрицы M имеет вид

,,4 (s(s + q) , (s + l)2 , „ s(s + 1)Yi2 , s(s + q)(s + l)2

V —-----------1---------h (12------ \V H---------------= U.

у &\ аз a\аз J аа

Следовательно, для собственных значений матрицы M получаем

* _

где

= ±\J\(Ф) + VФ) - 0(«Т), v± = ±\J\(Ф) - VФ) - ФУ),

s(s + q)(s + 1)2

Ф) =

s(s + q) (s + 1)2 s(s + 1)

H-------------h OL2

ai

аз

ai аз

9(s) = 4-

aia3

(8)

Лемма 1 (Херш [8]). При у = Res > 0 матрица M имеет в точности два собственных значения v с Re v < 0 и два собственных значения v с Re v > 0.

Доказательство. При j > 0 собственные значения v(s) матрицы M не лежат на мнимой оси, т.е. Re v(s) = 0. Действительно, если v(s) = ivo(s), vo(s) G R1, то соответствующее s есть решение уравнения

..4 , (s(s + q) , (s + l)2 , ^ s(s + 1)V.2 , s(s + q)(s + l)2 n

+------------1--------h 0-2----- V0 H------—;------- = 0,

ai

аз

aia3

ai аз

корни которого лежат в замыкании левой комплексной полуплоскости, т.е. Re s + 0, что противоречит условию Y > 0. Значит, мы можем определить число собственных значений v с Re v < 0 путем предельного перехода Res ^ то. При Res ^ то получаем v2 = s2^0 + 0(|s|), где

1

1

+о — у ф Ь

а2

al аз alaз

Цо +

1

al аз

0.

s

Последнее уравнение имеет два отрицательных и два положительных корня. Отсюда следует утверждение леммы. □

Следующие две леммы доказываются прямой проверкой.

(8)

Лемма 2. При у = Re s = 0 не существует т = 0, такого, что Re v(s) = 0.

Пусть Г = min(Re(v+ — v+);Re(v_ — vb_)).

Лемма 3. Для любого т + 0 имеем Г > 0 (условие щели).

Далее мы приводим задачу (1)—(3) к виду, изучаемому в работе [3], и конкретизируем для рассматриваемой нами задачи полученные в [3] достаточные условия L2-корректности.

Обозначим через Ja матрицу, столбцами которой являются собственные векторы матрицы A_i: RA =

(1, —Ai, X2 — Oil, (\ ' Собственные векторы матрицв! Л4 для любого s /0, Re s + 0, имеют вид

R(vi)

i, -+

г

■а! +

s(s + q)

2

v

г

оуад «зф + q)

S + l Vi(s + 1)

т

Обозначим через R матрицу размера 4 х 2, столбцами которой являются собственные векторы R(v_) и R(v_). Введем в рассмотрение матрицу L(s) = B-R.

(8)

Теорема. Смешанная задача (1)-(3) L2-корректна (по Крайсу), если при y = Res ^ 0 выполнены следующие три условия:

BJa

1 0 —S11 S12

0 1 —S21 —s22

(10)

Det L(s) = 0, V s =0,

(bll - 61304 - &14«1\/Оз)2 + (621 - 623Oi - &2401\/0з)2 Ф 0 при S = 0.

(11)

(12)

Доказательство. Сделаем замену переменных U(x,t) = JaW(x,t). Тогда система (1) примет нужный нам вид из работы [3]:

dtW = AdxW + QW, где A = J-1 A-1J a

/Л1 0 0 0 \ 0 Л2 0 0 0 0 Л3 0 V 0 0 0 Л4 /

В силу (10) граничные условия (3) также примут изучаемый в работе [3] вид

10—sn — s12 0 1 —s21 —s22

W

g при x

0.

(13)

(14)

В итоге, учитывая замену переменных (7) и применяя преобразование Фурье W = Ft^TW, получаем, что задача (9) эквивалентна следующей:

dW

dx

J-1M.JaW при x> 0, BJaW = g при x = 0.

(15)

Согласно [3], смешанная задача (13), (14) L2-корректна, если задача (15) не имеет собственных функций при Res ^ 0. При этом функция р £ L2(0, то) называется собственной функцией задачи (15), отвечающей собственному значению s, если ф = J^l(sA + Q)JaP и BJaP = 0 при х = 0.

При s ф 0,Res ^ 0 (в силу лемм 1 и 2) общее решение уравнения ф = J^MJaP, принадлежащее L2(0 < x < то), может быть представлено в виде

p(x,s) = o1R(v_ (s))ev-x + o2R(v_(s))ev- x.

Здесь R(v(s)) = J—1R(v(s)), R(v(s)) — собственные векторы матрицы M, а 01,02 £ C. Подставляя это решение в граничные условия BJaP = 0, получим систему линейных уравнений L(s)(o1, 02)T = 0, где L(s) = В • R. Таким образом, задача (9) не имеет собственных функций при Re s ^ 0,s = 0, если и только если выполнено условие (11).

При s = 0 имеем v± = 0, v± = ±-у=. В этом случае решение уравнения ф = J^MJaP, принадлежащее £2(0,00), имеет вид р = a\J^lR е Ршзх. Здесв R = (1, 0, —04, — 01у/0з)Т- Подставляя это решение в граничные условия, получаем

{ 6ц — 61304 — 61404^03 V 621 — 62301 — 62401^03

Таким образом, в силу (12) задача (9) не имеет собственных функций и при s = 0. □

В теореме выделен класс граничных условий, гарантирующих L2-корректность рассматриваемой смешанной задачи (1)—(3). Выделим теперь подкласс граничных условий, обеспечивающих свойство (5).

2. Построение проектора. Покажем, что решение задачи (1)—(3) при x -^то в смысле свойства (5) притягивается к решению специального вида:

ЦП = (e,p, П(е,р)т) = (Ug, nUg),

соответствующему некоторой граничной функции д. Здесь П(с^) — псевдодифференциальный матричный оператор нулевого порядка. Решение такого вида называют проекцией Чепмена-Энскога в пространство консолидированных переменных (e,p)T (см. [4-6]).

Матрицу M = sA + Q разобьем на блоки размера 2 х 2 : M = ( M}1 Ml2 ) . Обозначим через P(т)

\M21 M22 J

образ Фурье по t от оператора П. Согласно [9], справедлива следующая

Лемма 4. Существование проекции Чепмена-Энскога в пространство консолидированных переменных (e,p)T эквивалентно разрешимости матричного уравнения

PM12P — M22 P + PM11 — M21 = 0, (16)

где P(т)= (р11(т* Р12(т)

\Р21(Т) Р22 (т)/

Матричное уравнение (16) имеет в нашем случае 6 различных решений, соответствующих проекциям в различные собственные подпространства V = Lin{Ri, Rj} матрицы M. Тем не менее справедлива

Лемма 5. Существует только одна проекция в пространство консолидированных переменных (e,p)T, определяемая оператором

где

(Р11Р12\ = ( 0,1(2 — 1) 0

VP21P22/ V 0 ^1ai(Z-l)-a2

Z -- аз8

2 a 1(s + 1)2

a1 (s + 1)2 a2

a3s

+ —(s + l)+s + q) + аз

+1

a1 (s + 1)2 a2

a3s

H----(s + 1) + s + <7 -4

a3

a1(s + 1)2

a3s

(s + q)

2

Доказательство. Проекция в пространство консолидированных переменных (e,p)T есть проекция в собственное подпространство V = Lin{Ri,Rj} матрицы M, такое, что векторы Ri,Rj,63,64 образуют базис в пространстве C4 при любом s, таком, что Re s ^ 0. Имеем

v

2 _ 1 2

1

—ь

a3

Я_ _2_ 02

a1 a3 a1 a3

±

s

1

----Ь

a3

-± + ± + jE]s

a1 a3 a1 a3

+ O(s2)

при s -в 0. Следовательно, z/± = ±-i= + 0(s) и i/± = ±./—л/з + O(s).

Va3 \/ ai

Собственные векторы R(i/±) при s —>■ 0 имеют вид R(i/±) = (1, 0, —04, ±04Л/Щ)Т. Собственные векторы R(v±) при s ^ 0 перейдут в собственный и присоединенный векторы R1 ,R1, отвечающие двукратному собственному значению v = 0 (при s = 0), где R\ = (1, 0, 0, 0)т и R\ = (0, 0, 0)т.

Действительно, й(о±) -е (1, 0, -от + 0)Т = (1, 0, 0, 0)т, а ^ -Со-ч/с 0,

2( - Д“1«> + уйт))Т = С1' 0, о)т.

Таким образом, среди решений матричного уравнения (16) следует выбрать решение, отвечающее проекции в собственное подпространство V = Lin{R(v+),R(v-)}.

Заметим теперь, что с помощью замены переменных

V = S-1V, где S

E 0 PE

S-1 = 2E — S

E 0 , -PE) ,

система (9) может быть приведена к виду дхУ = S 1MSV, где

S-1 MS

Мц + M12 P

PM11 + М21 — PM12 P + M22P

М12

PM12 + M22

В силу (16) левый нижний блок является нулевым. Следовательно, система приведена к блочно-верхнетреугольному виду dxV = Mb'S/, а именно

Mb = S-1MS

5+1 P2\ aia^ 21 S+q + 5+1 P22 ai aia^22 0 3+1 \ ахаз

—s 0 0 0

0 0 0 -^(^11 + !)

0 0 — (s + 1) од+«>21 J

Обозначим через pi,2 собственные значения матрицы Mb, еоответствующие верхнему левому блоку, и через ^3,4 — правому нижнему. Заметим, что проекция в пространство консолидированных переменных есть проекция в пространство собственных векторов (R(v+ ),R(v-)). Поэтому среди P — решений уравнения PM12P — M22P + PM11 — M21 =0 — следует выбрать такое, что pi,2 = v±. Иначе говоря, должно иметь

место равенство

4 +

s + 1 ,s + q

-----P2lV± ~ S{------

040:3 Oi

s + 1

Oi O3

P22) = 0.

Так как = —v-, то P21 = 0. Согласно (16), имеем

^{S + 1)PUP21 + + 1)P21 = SP12,

^T3(S + 1)PUP22 + + 1)P22 = + q)Pll,

^(s + l)p22l - irp22 ~ sa2 + (s + l)pn = 0, ^-(s + 1)P22P21 - ^r(s + q)p21 + (s + 1)P12 = 0.

Положим Z = ^Pn + 1. Тогда

' ^(s + 1)Z'P21 = spn,

< ^(s + l)ZP22 = -^{s + q)ai{Z -l),

' y+4s + Mh - SP22 - sa2 + (s + l)oi(Z - 1) = 0, + 1)P22P21 - ^r(s + q)p21 + (s + 1)P12 = 0.

Учитывая, что P21 = 0, получаем pi2 = 0. Тем самым

/ од (s + x)ZP22 = Ms + q)ai(Z - 1), \ P22 = -012 + ^ai(Z ~ 1) = o.

Получаем квадратное уравнение для Z:

°ti(s + l)2 r/2 03 s

Oi(s + l)2 03 s

+ —(s + l) + s + q

O3

Z+s+q

0.

(18)

Из характеристического уравнения для матрицы Мь имеем Цзд = Прямой проверкой можно

убедиться, что при выборе Z — корня уравнения (18) — из формулировки утверждения получаем p3,4 =

v±, Pi,2 = v±. □

3. Граничные условия. Далее приводятся достаточные условия на матрицу граничных условий B и функцию g(t), гарантирующие выполнение (5). C помощью замены переменных (17), где матрица P определена в лемме 5, мы привели исходную систему к блочно-верхнетреугольному виду dxV = MbV. Собственные значения матрицы Mb имеют вид pi = P2 = v-, P3 = v+, P4 = v_. Соответствующие

им собственные векторы можно записать таким образом:

Ri,2 =

1

___s_

v± 0 0

R3,4 =

s

4

v\_ V од

(s+l)p22

ai аз

) — V

s_

4v «1

___з/Д+Д _ (з+1)Р22 \ , I

Vj_ ' «1 ОДОД ' ' :

ододИ|_

(з+1)"

од «3

±J тут /

1

Следовательно, общее решение, принадлежащее £2(0 < x < то), может быть представлено в виде V = C1R2eV-X + C2R4eV-X■ После замены переменнных V = e-YtU(x,t) и преобразования Фурье по t граничные условия примут вид B-V = д■ Замена переменных v = S-lV дает BV = д, где

В = В-S

b11 + b13Р11 b\2 + b14P22 b13 b14 b21 + b23Pl1 b22 + b24P22 b23 b24 )

Лемма 6. Если выполнены условия

b21 + b23P11 = 0, b22 + b24P22 = 0,

,b

s V

kl{s) = 611 + &13P11 - {bl2 + ЪиР22)— Ф 0, k2(s) = b23j^j + b24 Ф 0,

91 =

92

k2{s)

k3(s) + k4 (s)

где

k3{s) = &Ц + bl3Pll - (612 + buP22)~r,

(19)

k4(s) = I fti3^ypY - bu

s fs + q (S + 1)P22\ b

a1

a1a3

a1a3

s + l:

то имеет место (5).

Доказательство. В силу (19)

В

b11 + b13P11 b12 + b14P22 b13 b14 0 0 b23 b24 )

Для общего решения V = C1R2eV-X + C2R4eV-X в соответствии с граничными условиями и условиями леммы получаем С2 = Далее имеем

C\ki(s) + С2 (bn + ЬгзРп - (Ьи + ьыР22)~у + (&13^—г - Ъы) -у ^ ^ + ^Р22\ - vb_

V vb s + 1 |_v_ V a1 a1a3 J

v,

v"_ ' s +

= C1k1 (s) + C2K (s) = 91

Таким образом, если выполнены условия леммы, то

91 k2(s) - 92K(s)

a1 a3

s+1

=

C1 =

k1(s)k2(s)

и для решения полученной после замены переменных смешанной задачи имеем

V =

91

-R2ev-X -

92K (s)

-R2ev-X +

92

R4 ev-X = Vp + Vcor + Vh ■

k1(s) k1(s)k2(s) k2(s)

Проекцию Чепмена-Энскога U^ в пространство консолидированных переменных (e, p)T можно получить, сделав обратные замены переменных: Ugj = eYtF-1 (S ■ Vn), где Vn = Vp + Vc0r и F-1 — обратное преобразование Фурье. Граничная функция g, определяющая решение U^, имеет вид

* = (л-*£$,<>)

T

Согласно [4-6], условие (5) эквивалентно следующему условию: jy~yjj —*■ 0 при х -л то, где под знаком ||/1| понимается норма в пространстве £2(0 < т < то). В нашем случае это следует из леммы 3 (условия щели): Re v^ < Re v- < 0 (см. [6]). Таким образом, утверждение полностью доказано. □

b

v

4. Примеры. Приведем пример такой матрицы граничных условий B = ( f11 f12 f13 f14 I , которая

\Ь21 Ь22 Ь23 Ь24 /

удовлетворяла бы требованиям и теоремы, и леммы 6. Прямая проверка показывает, что при

Ьц =

Л2

Л2 — А1

Ь12 =

1

А2 — А1

, b13 = 0, b14 = 0,

Л Л? — а.л л Л? — а.л

г. Р22А1------~аз P22Xl------~«3

021 = —РП------------Го ;-----024, 022 = ~Р2202А, ^23 = ----------Го-;-----С»24,

Р11 — А2 + «1

Р11 — А2 + «1

Ь24 =

Р11 — А2 + «1

(Р22А2 - - Af + Oil) - (pn - Ц + «i)(P22Ai - ^АГ1^)

„ (Ь11 b12 b13 Ь14 \ д

матрица граничных условий удовлетворяет условиям и теоремы, и леммы 6.

\ Ь21 Ь22 Ь23 Ь24 /

Приведем также пример граничных условий, обеспечивающих А2-корректность, но не удовлетворяющих требованиям леммы 6. Если матрица граничных условий имеет вид

№

1

В

Аг —Ai А2 —Ai

Ai

1

А2—Ai A2—Ai

00

00

то условия теоремы выполнены, а условие (5) — нет. В самом деле, после замены переменных V = S 1V матрица граничных условий B не изменится. Следовательно, для Сд, C2 получаем систему

Ci ( А2 — — j + С2 f А2 — j — gi{^2 — Ai), Ci f —Ai + — j + C2 f —Ai + ) — <72(A2 — Ai).

Далее, если </j = —92(^2 ~ ~jf)/{^i ~ ^дг), TO Сд = 0. В этом случае решение имеет вид

V = —92

^2 Ai vb х

-----—л4е -

М — ~т

и вклад переменных (N,N1)* существен при x ^ ж.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Muller I., Ruggeri T. Extended Thermodynamics. N.Y.: Springer-Verlag, 1993.

2. Peierls R. Zur kinetischen theorie der warmeleitung in kristallen // Ann. Phys. 1929. 3. 1055-1062.

3. Kreiss H.-O. Initial boundary value problems for hyperbolic systems // Communs Pure and Appl. Math. 1970. 23. 277-298.

4. Radkevich E.V. Irreducible Chapman-Enskog Projections and Navier-Stokes Approximations // Instability in Models Connected with Fluid Flows. II / Ed. by Cl. Bardos and A. Fursikov; Int. Math. Ser. Vol. 6. N.Y.: Springer, 2007. 85-151.

5. Радкевич Е.В. Проекции Чепмена-Энскога и проблемы Навье-Стокс приближения // Тр. Матем. ин-та РАН. 2005. 250. 219-225. (Пер. на англ.: Proc. Steclov Institute of Mathematics. 2005. 250. 1-7.)

6. Радкевич Е.В. Математические вопросы неравновесных процессов. Новосибирск: Изд-во “Тамара Рожковская”. Белая серия, 2007. Т. 4.

7. Chapman S, Cowling T. Mathematical Theory on Non-uniform Gases. 3rd ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1970.

8. Hersh R. Mixed problems in several variables // J. Math. and Mech. 1963. 12. 317-334

9. Палин В.В. О разрешимости квадратных матричных уравнений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. №. 6. 36-42.

Поступила в редакцию 12.09.2008