CC BY
17
МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2004. № 4. С. 22-24. © Омский государственный университет
О СЛОЖНОСТИ ЗАДАЧИ АППРОКСИМАЦИИ ГРАФОВ
А.С. Талевнин
Омский государственный университет, кафедра прикладной и вычислительной математики 644077, Омск, пр. Мира, 55а
Получена 18 сентября 2004 г-
We consider the following graph approximation problem: given an undirected graph G, we must find a nearest to G graph M each connected component of which is the complete graph. The distance between the graphs G and M is equal to the number of noncoincident edges. Complexity of this problem is still open. We prove that the weighted version of the graph approximation problem is ЖР-hard. For the unweighted version of the problem, the polynomial time approximation scheme is presented.
Введение
Задача аппроксимации графов возникает при анализе систем взаимосвязанных объектов, в частности в задачах классификации. При этом минимизируется число связей между классами плюс число недостающих связей внутри классов. Постановки и различные интерпретации этой задачи можно найти в работах [1; 2].
Обыкновенный граф называется М-графом, если каждая его компонента связности есть полный граф. Обозначим через A4(V) класс всех М-графов на множестве вершин V, Mk(V) -класс всех М-графов на множестве вершин V, имеющих ровно к непустых компонент связности, M'KV) - класс всех М-графов на множестве V, имеющих не более к непустых компонент связности, 2 < к < п.
Если G1 и G-2 - графы на одном и том же множестве вершин V, то расстояние между ними определяется как d(G\,G-2) = \E(Gi) \ £7(G*2)| + + \E(G-2) \ E(Gi)|, т. е. d(G\,G2) равно числу несовпадающих ребер в графах G\ и G2 .
В литературе рассматривались три варианта задачи аппроксимации графов.
Задача А. Для произвольного обыкновенного графа G = (V, Е) найти такой граф М* £
M(V). что d(G, М*) = min d(G, М) = t(G).
MEM(V)
Задачи Ak, А^ и величины rk(G), Tk(G) определяются аналогично.
В работах [3; 4] показано, что для любого
?г-вершинного графа С имеет место оценка
В работах [5; 6] аналогичная оценка доказана в случае задачи А^: для любого к > 2 и любого ?г-вершинного графа С
\G) <
(п- I)2
В работе [7] показано, что для любого к >2 и любого п-вершинного графа С при п > 5(к — 1) имеет место оценка
(гг- I)2
Мы будем рассматривать также взвешенные варианты задач аппроксимации графов A(w), Ak(w), Aj(w), в которых задана весовая функция w : V х V —>■ N и d{G\,G-2) равно суммарному весу несовпадающих ребер в графах G\ и G2 • Вычислительная сложность задач А, Ак, Ак и их взвешенных вариантов неизвестна.
Говорят, что задача минимизации min {f(X)}
аппроксимируема с точностью р > 1, если существует полиномиальный алгоритм, такой, что
т
f(S0)
<р,
где б'о ~ оптимальное решение задачи, а в -приближенное решение, полученное алгоритмом. Для задачи минимизации существует полиномиальная аппроксимационная схема, если задача
О сложности задачи аппроксимации графов
23
аппроксимируема с точностью 1+е для любого е > 0.
В настоящей работе доказано, что для любого фиксированного значения к > 2 взвешенная задача Ak(w) NP-трудна. В невзвешенном случае для задачи А^ доказано существование полиномиальной аппроксимационной схемы.
0.1. Вычислительная сложность взвешенной задачи Ak(w)
Следующая теорема была доказана совместно с В.П. Ильевым [8].
Теорема 1. Задача, Ak(w) является NP-трудной (в сильном смысле).
Доказательство. Пусть к > 2 фиксировано. Сведем к Ak(w) следующую задачу.
Минимальное к-разбиение (Min fc-part). Задан обыкновенный граф G = (V, Е) и весовая функция w : Е —>■ N. Найти минимальное к-разбиение множества V, т. е. такую раскраску с : V {1, 2,... к}, что суммарный вес монохроматических ребер минимален:
w(u, v) —>■ min.
(u,v) G E : c(u) = c(v)
Эта задача не принадлежит классу АРХ, то есть не аппроксимируема с точностью до любой константы [9]. Задача не аппроксимируема с точностью 1,058 для к = 2 [10].
Задача Min fc-part сводится к Ak(w) следующим образом.
Доопределим весовую функцию на множество V х V всех пар вершин: веса пар смежных вершин равны весам соответствующих ребер, а пары несмежных вершин имеют нулевой вес.
От графа G = (V, Е) перейдем к его дополнению G = (V, Е). Решаем задачу Ak(w) на графе G. Полученное решение разбивает множество V на к частей. При этом удаление ребер графа G никак не влияет на целевую функцию, а вес добавляемых к G ребер минимизируется (это веса соответствующих ребер графа G). Вернемся теперь к графу G. В нем полученное решение задачи Ak(w) выглядит как разбиение множества вершин V на части, сумма весов ребер в которых минимальна. Веса ребер между частями никак не учитываются в целевой функции. Если теперь принять, что вершины, принадлежащие одной части разбиения, окрашены одинаково, а цвета вершин разных частей различны, то мы получим, что, решив задачу Ak(w) на графе G, мы автоматически решили задачу Min fc-part для исходного графа G. Действительно, мы назначили каждой вершине определенный цвет таким
образом, что суммарный вес ребер, соединяющих вершины одного цвета, минимален. А это в точности решение задачи Min fc-part. Теорема 1 доказана.
0.2. Полиномиальная аппроксимационная схема для задачи А^
Рассмотрим задачу А\ , в которой для графа G = (У,Е) требуется найти ближайший М-граф, имеющий не более двух компонент связности. Каждый М-граф можно ассоциировать с парой множеств (14, V2), соответствующих его компонентам связности. Поэтому далее будем понимать решение задачи А^ как разбиение множества вершин на две части. Наряду с А^ нас будет интересовать следующая задача.
Задача о сбалансированном 2-разбиении (Bisection). В графе Н = (U,R), |£/| = 2к, найти разбиение множества U вершин на два рав-номощных подмножества U\, U2 с минимальной мощностью разреза:
s(^b U2) = I{('«, v) € R : и G Ui, v G i72}| —min.
Сведем задачу A^ к задаче Bisection. Для этого, кроме графа G = (V, Е), рассмотрим его копию - граф G' = (V',E'), и пусть всюду далее v' - копия вершины v. Построим граф Н = (U, R) - вход задачи Bisection, где U = V U V', R = Е U Е' U {(■«, v') I (и, v)<£E, и, v G V}.
Замечание 1. Степень любой вершины и G U равна d(u) = |У| - 1 = \U\/2 - 1.
Замечание 2. Для каждой пары вершин v,v', v G V, любая другая вершина и G U\{v,v'} смежна ровно с одной из них.
Рассмотрим класс Т> допустимых решений задачи Bisection на графе Н, в которых каждая вершина v G V С U и ее копия v' G V' С U принадлежат разным частям разбиения (Ui, U2).
Лемма 1. Любое решение, не принадлежащее классу Т>, можно за полиномиальное время преобразовать в решение класса Т>, не увеличив мощности разреза.
Доказательство. Для решения (£4, U-i) D каждой вершине и G Ui, г = 1,2, поставим в соответствие числовую характеристику г (и) = dout(u) ~ din{u), где dout(u) = \N(u) П (U \ Щ) |, di„.(u) = |-/V(m) П Ui\, N(u) - множество соседей вершины и.
Если вершины и и и' принадлежат одному и тому же множеству Ui, г = 1,2, то в силу замечания 2 для и и и' справедливы равенства
24
A.C. Талевнин
din(u)+din{u>) = \Ui\- 2 = \V\ - 2, dout(u) + dout(u') = \U \ Щ = \V\,
из которых следует, что r(u) +r(u') = 2, а значит, max{r(u), ?"(«')} > 0.
Поскольку |i7i| = |U21, то, кроме вершин и и it', найдется вершина v, которая вместе со своей копией содержится в одной компоненте, отличной от той, в которой содержится и.
Таким образом, r(iti) > 0 и г ('«г) > 0 для некоторых вершин iti £ U\, 112 £ U2 ■ Поменяв данные вершины местами, мы не увеличим мощности разреза. Это завершает доказательство леммы 1.
Поставим в соответствие каждому решению (Ui, U2) задачи Bisection на графе Н решение (VUV2) задачи А^ на графе G, где Vi = U\ П V, a V2 = U2 HV. И наоборот, если имеется решение (Vi,V2) задачи А\, то с ним можно ассоциировать решение (V\ U VJ, V2 U V{) из класса Т>. Для таких решений справедлива следующая лемма.
Лемма 2. 2d(G,M) =
Доказательство. Рассмотрим произвольную пару вершин и, v. Пара и, v учитывается в целевой функции d(G,M), если либо (u,v) £ Е и и £ V\, v £ V2, либо (■«, v) Е и {tt, v} С Vi, ■i = 1, 2. В первом случае в разрез (U1, U2) задачи Bisection входят - только ребра (u,v) и («',«'), а во втором - только ребра (и, v') и (it', v). Если же пара и, v не учитывается в функции d(G, М), то либо (■«, v) Е и и £ V\, v £ V2, либо (м, v) £ Е и {it,v} С Vi, i = 1,2. При этом ни одно из ребер (м, v), (it, v'), (u', v), (u', v') не входит в разрез (lh,U-2).
С другой стороны, пусть некоторое ребро графа Н учтено в величине s(Ui, U2), например ребро (v, it'), v, it £ V. Тогда в разрез войдет и ребро (i/, it), поскольку (Ui,U-2) £ Т>. Это значит, что вершины v и и принадлежат одной компоненте Vi (по построению решений) и являются несмежными в графе G (по построению графа Н), а значит, пара it, v внесет лепту в значение целевой функции d(G, М). Ситуации, когда в разрез входят ребра вида (u,v), v, it £ V и (it', i/), v, it £ V, рассматриваются аналогично.
Лемма 2 доказана.
Из леммы 2 следует, что если Щ) £ Т> -оптимальное решение задачи Bisection, то П V U-2 П V) - оптимальное решение А^ .
Теорема 2. Для задачи А^ существует полиномиальная аппроксимационная схема.
Доказательство. Известно [11], что в случае, когда граф Н всюду плотный (т. е. минимальная степень вершин графа Н не меньше <5|i7| для некоторой константы 6 > 0), существует полиномиальная аппроксимационная схема для зада-
чи Bisection.
По входу G задачи А^ построим вход задачи Bisection - всюду плотный граф Н (см. замечание 1, 6 > 1/3 ), в котором найдем приближенное решение {U\,U2) методом, описанным в [11]. В силу леммы 1 можно полагать, что это решение, так же как и оптимальное принадле-
жит классу решений Т>. Удалив из этих решений вершины множества V', получим соответственно приближенное (Vi, V2) и оптимальное (V]*, V2*) решения задачи А^. Из леммы 2 следует, что
s(Ui,U2) = d(VuV2) 8{Щ,Щ) div^vjy
а значит, любая оценка погрешности приближенного решения задачи Bisection сохранится и для задачи А^.
Теорема 2 доказана.
[1] Ляпунов A.A. О строении и эволюции управляющих систем в связи с теорией классификации // Проблемы кибернетики. М.: Наука, 1973. Вып. 27. С. 7-18.
[2] Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование. М.: Сов. радио, 1972.
[3] Фридман Г.Ш. Об одном неравенстве в задаче аппроксимации графов // Кибернетика. 1974. № 3. С. 151, 533-538.
[4] Фридман Г.Ш. Исследование одной задачи классификации на графах // Методы моделирования и обработки информации: Сб. Новосибирск: Наука, 1976. С. 147-177.
[5] Tomescu I. Note sur une caractérisation des graphes done le degreé de deséquilibre est maximal // Mathématiques et sciences humaines. 1973. V. 11. № 42. P. 37-40.
[6] Tomescu I. La reduction minimale d'un graphe à une reunion de cliques // Discrete math. 1974. V. 10. № 1/2. P. 173-179.
[7] Ильев В.П., Фридман Г.Ш. К задаче аппроксимации графами с фиксированным числом компонент // Доклады АН СССР. 1982. Т. 264. № 3. С. 533-538.
[8] Ильев В.П., Талевнин A.C. О сложности и приближенном решении задачи аппроксимации графов II Материалы Всерос. конф. «Проблемы оптимизации и экономические приложения». Омск, 2003. С. 93.
[9] Sahni S.К., Gonzales Т.F. P-complete approximation problems // J. ACM. 1976. V. 23.
P. 555-565.
[10] Hâstad J. Some optimal inapproximability results // Proc. 29th Ann. ACM Symp. on Theory of Comp. 1997. P. 1-10.
[11] Arora S., Karger D. and Karpinski M. Polynomial time approximation schemes for dense instances of NP- hard problems 11 Proc. 27th Ann. ACM Symp. on Theory of Comp. 1995. P. 284-293.
