Вычислительная сложность задачи аппроксимации графами с компонентами связности ограниченного размера Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2011 Прикладная теория графов №3(13)

УДК 5191 ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ СЛОЖНОСТЬ ЗАДАЧИ

АППРОКСИМАЦИИ ГРАФАМИ С КОМПОНЕНТАМИ СВЯЗНОСТИ

ОГРАНИЧЕННОГО РАЗМЕРА

В. П. Ильев, А. А. Навроцкая Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия

E-mail: [email protected], [email protected]

Рассматриваются новые варианты задачи аппроксимации графа, в которых имеются ограничения на размер компонент связности аппроксимирующих графов. Доказано, что если в качестве последних допускаются графы с компонентами связности мощностей 1, 2, ..., p ^ 3, то задача аппроксимации графа является NP-трудной, а в случае p = 2 она полиномиально разрешима.

Ключевые слова: аппроксимация графа, полиномиально разрешимая задача,

NP-трудная задача.

Введение

Задачи аппроксимации графов возникают при анализе систем взаимосвязанных объектов, в частности в задачах классификации. При этом минимизируется число связей между классами и число недостающих связей внутри классов. В литературе рассматривались задачи, в которых количество классов не ограничено, ограничено сверху или равно наперед заданному числу. Постановки и различные интерпретации этих задач можно найти в [1-5]. В настоящей работе рассматриваются варианты задачи, в которых имеются ограничения на мощности классов.

Граф без петель и кратных ребер называется M-графом, если каждая его компонента связности есть полный граф. Обозначим через M(V) множество всех M-графов на множестве вершин V, а через Mp(V) —множество всех M-графов на множестве V, в которых мощность каждой компоненты связности равна р, 2 ^ р ^ |V |. Будем говорить, что M-граф принадлежит множеству M^p(V), если мощность каждой его компоненты не превышает целого числа р, 2 ^ р ^ | V |.

Пусть G1 = (V, Ei) и G2 = (V, E2) —помеченные графы, тогда рассто-

яние между ними определяется следующим образом: p(G1,G2) = |Е1ДЕ2|, где Е1ДЕ2 = (E1 \ Е2) U (Е2 \ Е1), т. е. p(G1, G2) равно числу несовпадающих ребер в графах G1, G2.

ЗАДАЧА АППРОКСИМАЦИИ ГРАФА (A). Дан произвольный n-вершинный граф G = (V, Е). Найти такой M-граф M* є M(V), что p(G, M*) = min p(G, M).

ЗАДАЧА A^p. Дан n-вершинный граф G = (V, Е) и целое число р, 2 ^ р ^ n. Найти такой граф M* є M^p(V), что p(G, M*) = min p(G, M).

M eM^P(V)

ЗАДАЧА Ap. Дан граф G = (V, Е), такой, что |V| = рд, где р, q — целые положительные числа. Найти такой граф M* є Mp(V), что p(G, M*) = min p(G, M).

M eMP(V)

В работе [6] показано, что задача A NP-трудна. Задачи A^p и Ap ранее не рассматривались. В настоящей работе доказано, что задачи A^2 и A2 полиномиально разрешимы, а для любого фиксированного р ^ 3 задачи A^p и Ap являются NP -трудными.

1. Полиномиально разрешимые случаи

Лемма 1. Для любого графа О = (V, Е) существует такое оптимальное решение М* = (V, Е*) задачи Л^р при 2 ^ р ^ 3, что Е* С Е.

Доказательство. При р =2 утверждение леммы верно для любого из оптимальных М-графов, т. е. для любого М-графа, являющегося оптимальным решением задачи Л^2. Действительно, допустим, что существует оптимальный М-граф М' = (V, Е') Є М^2^), для которого утверждение леммы неверно. Значит, в нем найдется компонента связности, состоящая из двух вершин « и V, таких, что «V Є Е. Тогда рассмотрим М-граф М* = (V, Е' \ {«V}). Получаем, что р(О,М*) = р(О, М') — 1, что противоречит оптимальности М-графа М'.

Докажем утверждение для р =3. Пусть М' = (V, Е') —оптимальное решение задачи Л^3, не удовлетворяющее утверждению леммы. Значит, Е' \ Е = 0. Допустим, в М' существует компонента связности, содержащая более одного ребра из множества Е' \Е, т. е. существуют такие вершины «, V, ш, что «V, «ш Є Е' \Е. Рассмотрим М-граф М = (V, Е' \ {«V, иш}), тогда р(О, М) = р(О, М') — 2, что противоречит оптимальности М-графа М'.

Аналогично доказывается, что в графе М' нет компонент связности, содержащих ребро из Е' \ Е и состоящих из двух вершин.

Таким образом, в графе М' существует ровно |Е' \ Е| компонет связности, в каждой из которых есть три вершины «,г>,ш, таких, что «г^гад Є Е, «ш Є Е' \ Е. Тогда рассмотрим граф М* = (V, Е*), в котором все такие компоненты разделены на две: смежные вершины «, V составляют отдельную компоненту связности, а вершина ш — другую. Так как удалены все ребра множества Е' \ Е, то Е* С Е. Очевидно, что р(О,М*) = р(О,М'). Следовательно, граф М* также является оптимальным и удовлетворяет условию леммы. ■

Теорема 1. Задача Л^2 полиномиально разрешима.

Доказательство. Докажем, что задача Л^2 эквивалентна задаче о наибольшем паросочетании. Пусть дан граф О = (V, Е). Из леммы 1 следует, что задача Л^2 сводится к отысканию М-графа М* = (V, Е*) Є М^2^), являющегося подграфом графа О = (V, Е), в котором множество ребер Е* имеет максимальную мощность. Так как М* Є М^2^), то никакие два ребра из Е* С Е не имеют общей вершины; другими словами, Е* - паросочетание графа О. Таким образом, найдя наибольшее па-росочетание в графе О, мы получим оптимальное решение М* = (V, Е*) задачи Л^2 на графе О, и наоборот. Хорошо известно, что задача поиска наибольшего паросочетания в произвольном графе полиномиально разрешима [7]. ■

Следствие 1. Задача Л^3 на графах, не содержащих полных трехвершинных подграфов, полиномиально разрешима.

Доказательство. Пусть дан граф О = (V, Е), не содержащий полных трехвершинных подграфов. Из леммы 1 следует, что существует такое оптимальное решение М* = (V, Е*) задачи Л^3 на графе О, что М* является подграфом графа О, а так как О не содержит треугольников, то М* Є М^2^). Значит, задача Л^3 на графах, не содержащих полных трехвершинных подграфов, эквивалентна задаче Л^2. ■

Теорема 2. Задача Л2 полиномиально разрешима.

Доказательство. Фиксируем такой граф О = (V, Е), что IV| = 2д. Рассмотрим М-граф М* = (V, Е*) —произвольное допустимое решение задачи Л2. Из того, что

М* Є М2(V), следует |Е*| = д. Вычислим расстояние между графами О и М*:

р(О, М*) = |ЕДЕ*| = |ЕI + |Е*| — 21Е П Е*| = |Е| + д — 2|Е П Е*|.

Поскольку |Е| и д фиксированы, то р(О, М*) тем меньше, чем |Е П Е*| больше. Очевидно, что Е П Е* — паросочетание в графе О. Таким образом, задача Л2 сводится к нахождению наибольшего паросочетания в графе О. ■

2. ЖР-трудные задачи

Докажем, что задачи Л^р и Лр являются ЖР-трудными для любого фиксированного р ^ 3.

Лемма 2. Пусть М = (V, Е) Є М^р^), где IV| = рд. Тогда

|Е| « ^д.

причем равенство достигается только для графов из класса Мр^).

Доказательство. Пусть М-граф М Є М^р^) имеет наибольшее количество

р(р — 1)

ребер среди всех графов из М^р^). Докажем, что число его ребер равно ----------д.

Предположим, что граф М содержит компоненту связности мощности меньше р. В таком случае в графе М должна содержаться еще хотя бы одна компонента мощности меньше р. Обозначим эти компоненты связности Мі и М2, пусть их мощности соответственно равны р1 и р2, причем р1 ^ р2 < р. В графе М переместим вершину V из компоненты Мі в компоненту М2, т. е. удалим все ребра, инцидентные вершине V, и добавим все ребра между вершиной V и всеми вершинами компоненты М2; полученный граф обозначим через М' = (V, Е') Є М^р^). Так как изменения производились только в компонентах связности М1 и М2, то

|Е'| — |Е | = р2 — (рі — 1) = р2 — рі + 1 ^ 1.

Следовательно, |Е'| > |Е|, но это противоречит тому, что граф М имеет наибольшее число ребер. Значит, все компоненты графа М имеют мощность р, поэтому число ребер

р(р — 1)

в каждой компоненте равно --------, а число компонент равно д. ■

р(р — 1)

Обозначим через К класс таких графов О = (V, Е), что IV| = рд и |Е| ^ ------д,

где р, д — целые положительные числа и р ^ 3.

Лемма 3. Пусть О = (V, Е) Є К, М = (V, Е') Є М^р^) —произвольное допустимое решение задачи Л^р на графе О. Тогда верно неравенство

р(О,М) > |ЕI — д.

При этом равенство имеет место тогда и только тогда, когда М Є Мр^) и М — подграф графа О.

Доказательство. Сначала докажем неравенство. По определению расстояния

р(О, М) = |Е \ Е'| + |Е' \ ЕI ^ |Е \ Е'| = |Е| — |Е П Е'|.

гр ІРІ^р(р — 1) ІР/І ^ р(р — 1) Г о\

Так как |Е| ^ ------д, а |Е'| ^ -----д (по лемме 2), то

Таким образом,

|Е П Е'| ^ |Е'| ^ р(ро 1) д.

Докажем вторую часть утверждения леммы. Пусть М = (V, Е') Є М^р^), причем

р( р — 1) р

р(О,М) = |Е|-------------д. Покажем, что М Є Мр^). Компоненты связности гра-

фа М обозначим через М1, М2,... , Мг. Пусть р* = |М^| ^ р для всех і Є {1,...,/}, где

/ ^ д.

Заметим, что |Е П Е'| ^ |Е'|. Рассмотрим расстояние между графами О и М: р(О, М) = |Е \ Е'| + |Е' \ ЕI = |ЕI + |Е'| — 2|Е П Е'| ^ |Е| — |Е'|.

р( р — 1)

Если найдется такое і, что р^ < р, то |Е'| < -- д по лемме 2, поэтому

р(О,М) > |Е| — д,

р( р — 1)

что противоречит равенству р(О, М) = |Е|----------- --д. Следовательно, р^ = р для

любого і Є {1,...,/}.

Докажем, что каждая компонента связности графа М является подграфом графа О. Пусть найдется компонента графа М, не являющаяся подграфом графа О. р( р — 1)

Значит, |Е П Е'| < -------д и, следовательно,

р(О, М) ^ |ЕI — |Е П Е'| > |ЕI — р(р — 1) д.

И вновь получаем противоречие. Таким образом, если для М верно равенство

р( р — 1) р

р(О,М) = |Е|---------- --д, то М Є Мр^) и каждая компонента связности являет-

ся подграфом графа О.

Доказательство в обратную сторону очевидно. Если М = (V, Е') Є Мр^) —подграф графа О, то он имеет ровно д компонент, поэтому

р(О,М )= |Е I —|Е 'I = |Е I — і д.

Лемма 3 доказана. ■

Теорема 3. Задача Л^р ЖР-трудна при любом фиксированном р ^ 3.

Доказательство. Рассмотрим следующую вспомогательную задачу.

ЗАДАЧА Лр. Дан граф О = (V, Е) Є К. Существует ли такой М-граф

М Є М<р^), что р(О, М) = |Е| — р(р — 1)д?

Из леммы 3 следует, что в случае утвердительного ответа на вопрос, поставленный в задаче Л, граф М принадлежит множеству Мр^).

Следующая N P-полная задача распознавания содержится в работе [8] под номером ТГ12.

РАЗБИЕНИЕ НА ИЗОМОРФНЫЕ ПОДГРАФЫ. Заданы графы G = (V, E) и H = (V;,E;), такие, что для некоторого целого числа q выполнено равенство |V| = q|V;|. Можно ли разбить вершины графа G на q непересекающихся множеств Vi, V2,... , Vq, таких, что при 1 ^ i ^ q подграфы графа G, индуцированные множествами Vi, изоморфны графу H ?

Известно, что эта задача остается NP-полной для любого фиксированного графа H, содержащего по крайней мере 3 вершины.

Используя лемму 3, получаем следующее утверждение:

При р ^ 3 задачи A3 и РАЗБИЕНИЕ НА ИЗОМОРФНЫЕ ПОДГРАФЫ, когда в качестве графа H берется полный р-вершинный граф, эквивалентны на классе графов K. Значит, задача A3 NP-полна при любом фиксированном р ^ 3. Задача A3 сводится по Тьюрингу к задаче A^p на графах из K, поэтому задача A^p при р ^ 3 NP-трудна уже на классе графов K. ■

Следствием из леммы 3 и доказательства теоремы 3 является следующее утверждение.

Следствие 2. Задача Ap NP -трудна при любом фиксированном р ^ 3 .

Доказательство. Как уже отмечалось, в случае утвердительного ответа на вопрос, поставленный в задаче A3, граф M принадлежит множеству Mp(V). Поэтому задача A3 сводится по Тьюрингу к задаче Ap на графах класса K. Отсюда следует, что задача Ap при р ^ 3 NP-трудна. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильев В. П., Фридман Г. Ш. К задаче аппроксимации графами с фиксированным числом компонент // Докл. АН СССР. 1982. Т. 264. №3. С. 533-538.

2. Ляпунов А. А. О строении и эволюции управляющих систем в связи с теорией классификации // Проблемы кибернетики. Вып. 27. М.: Наука, 1973. С. 7-18.

3. Фридман Г. Ш. Исследование одной задачи классификации на графах // Методы моделирования и обработки информации. Новосибирск: Наука, 1976. С. 147-177.

4. Tomescu I. La reduction minimale d’un graphe a une reunion de cliques // Discrete Math. 1974. V. 10. No. 1-2. P. 173-179.

5. Zahn C. Approximating symmetric relations by equivalence relations // J. Soc. Indust. Appl. Math. 1964. V. 12. No. 4. P. 840-847.

6. Агеев А. А., Ильев В. П., Кононов А. В., Талевнин А. С. Вычислительная сложность задачи аппроксимации графов // Дискрет. анализ и исслед. опер. Сер. 1. 2006. Т. 13. №1.

С. 3-15.

7. Edmonds J. Paths, trees, and flowers // Canad. J. Math. 1965. V. 17. No. 3. P. 449-467.

8. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982. 416 с.