CC BY
17
Секция «Прикладная математика»
УДК 512.54
О СЛОЙНЫХ ГРАФАХ ГРУПП
В. И. Сенашов1, А. М. Герасимова2
1Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, ул. Академгородок, 50/44 2Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 Е-mail: [email protected], [email protected]
Строятся графы Кэли и слойные графы циклических групп. Графы групп дают возможность получать дополнительную информацию о группе. Слойные графы дают больше информации о группе и ее элементах, чем графы Кэли.
Ключевые слова: группа, граф Кэли, слойный граф, порождающий элемент.
ON LAYERED GRAPHS OF GROUPS
V. I. Senashov1, A. M. Gerasimova2
1Institute of Computational Modelling SB RAS 50/44, Academgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation 2Siberian Federal University 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation Е-mail: [email protected], [email protected]
In this article we construct construct the Cayley graphs and layered graphs cyclic groups. Graphs of groups give the opportunity to receive additional information about the group. Layered graphs provide more information about the group and its elements than Cayley graphs.
Keywords: group, Cayley graph, layered graph, generating element.
Начало теории графов было положено Л. Эйлером в его знаменитом рассуждении о ке-нигсбергских мостах. Однако эта тема не развивалась в течение почти ста лет.
Интерес к проблемам теории графов возродился в начале 19 века и был сосредоточен главным образом в Англии. Графы стали использоваться при построении схем электрических цепей и молекулярных схем. Как отдельная математическая дисциплина теория графов была впервые представлена в работе [1] венгерского математика Д. Кенига в 30-е годы ХХ столетия.
Графы естественным образом появляются и в математике, в частности, как производные объекты некоторых математических структур.
Граф Кэли первоначально рассматривали как объект, связанный с группой. Идею применения графов в представлении групп предложил английский математик А. Кэли (1821-1895). Можно ознакомиться с графами Кэли групп по книге [2]. В оригинале книги «Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп» Г. С. М. Коксетер, У. О. Дж. Мозер, для графов групп используют термин «диаграмма Кэли» [3].
В докладе рассматриваются слойные графы и графы Кэли. Строятся примеры групп с такими графами [4].
Определение. Графом Кэли группы называется множество вершин (взаимно однозначно соответствующих элементам группы) и множество цветных ориентированных дуг (каждому порождающему соответствует ориентированная дуга, своего цвета). Каждая вершина, соответствующая элементу x, соединяется с вершиной, соответствующей элементу xa посредством дуги, цвет которой соответствует умножению на порождающий элемент a.
Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2017. Том 2
Введем определение графа Кэли специального вида.
Определение. Слойным графом называется граф Кэли, у которого элементы каждого порядка, расположены на своём слое.
Определение. Слоем называется множество всех элементов группы одного порядка.
Рассматривается классическая задача: восстановление недостающей информации об объекте. В ее рамках мы занимаемся реконструкцией графа группы по его фрагменту: направление стрелок, подписи элементов, подписи слоев и восстановление самого графа. Рассмотрено, насколько можно убрать информацию из графа, чтобы можно было восстановить этот граф.
В докладе мы приводим условие однозначного восстановления графа: необходимо, чтобы оставался фрагмент графа, который содержит полный набор определяющих соотношений.
Библиографические ссылки
1. Кёниг Д. Теория конечных и бесконечных графов. Birkhäuser, 1990.
2. Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. М. : Мир, 1971.
3. Коксетер Г. С. М., Мозер У. О. Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп, 3-е изд. Берлин : Heidelberg ; New York : Springer-Verlag, 1972.
4. Сенашов В. И., Герасимова А. М. О слойных графах групп // Вестник ПГУ. 2016. № 3. С. 23-28.
© Сенашов В. И., Герасимова А. М., 2017
