О слабом вязком взаимодействии на пластине с изломом передней кромки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том V 197 4

№ 1

УДК 532.526.011.55.011.7

О СЛАБОМ ВЯЗКОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ НА ПЛАСТИНЕ С ИЗЛОМОМ ПЕРЕДНЕЙ КРОМКИ

В. В. Михайлов

Изучается ламинарное течение совершенного газа в гиперзву-ковом пограничном слое около плоской пластины, имеющей- излом острой передней кромки. Предполагается, что угол атаки и степень вязкого взаимодействия малы, а в каждом продольном сечении внешний невязкий поток можно считать плоским. Для указанного режима течения найдено асимптотическое решение, позволяющее учесть влияние излома кромки на давление, трение и теплопередачу. При этом показано, что в отличие от режима слабого вязкого взаимодействия на пластине [1—3] возмущения распространяются через весь пограничный слой, хотя область их влияния относительно мала.

1. Пусть начало прямоугольной системы координат совпадает с точкой излома острой передней кромки плоской пластины, а оси х, z лежат на поверхности пластины так, что ось z перпендикулярна скорости набегающего потока и» (фиг. 1).

Введем обозначения: иих, vu,*,, wu— составляющие скорости вдоль осей х, у, z соответственно; /7роо»^ — давление; рроо — плотность; hula — энтальпия; — коэффициент динамической вязкости; роо — плотность невозмущенного потока; Но — коэффициент вязкости при температуре адиабатического торможения; Моо— число М набегающего потока; а—угол атаки; х—показатель адиабаты; Рг — число Пранд-тля;

є = (х — 1)/(2х);

Яо х ~ (роо “со Х)ІР0,

Н = h -f-1/2 (и2 + ®>2).

Все линейные размеры отнесем к характерной „вязкой длине“ ji0/(poo Иоо), индексами w и а обозначим соответственно значения параметров на поверхности пластины и в течении, рассчитанном без учета влияния пограничного слоя.

В принятых обозначениях уравнения ламинарного пограничного слоя имеют вид '

ди , ди , ди

u-rx + ‘v^ + w^='

dp

дх

+

dw , dw , dw U1TX + Viry + Wte =

J__^£ i .

P dz '

1 д I du\ _ “p” dy ~dy) '

d I dw\ ' Sy ~dy) ’

ll

dH

дх

дН , дН v-^ + w

+

1

дри. . dpv . дх ду '

1 —

др w

1

Рг

дг

1 д Р

_ 1 1 д / Рг р ду

дН\

ду

p^(u2 + W2

>] =

dz

п. Р 1 и ы м2+^2

:0’ Т2Г=А Н---------2—■

0)

Будем считать зависимость вязкости от температуры линейной. Кроме этого отбросим члены порядка 1/М£>.

Тогда при температуре адиабатического торможения значение //=1/2 и, следовательно, ^ = р (ре)-1 = 2Л.

Введем вместо переменной у функцию тока ф, используя соотношение и + V -Ц- 4- V) -Ц- — 0. Переходя затем к переменной

дх

ду

s~V-yП0ЛУЧИМ

и

да

ди

ди

1 др

д2 и

дх + Q ~Ts + w 1Z +2вН т dF

ds

дН , ~дН , дН

aTx + Q-^ + w-^ =

дг

dz

1 d2 H Рг ds2

d2 w ds2 1

+ 4(1-w)S(“2 + ®’2);

du , dQ . dw

* * "T~

______,___,____L^. + JL_L^ = o- v = 2l/— f Ads.

dx ^ ds ^ dz r 2 /> d* 2 p dz ’ Г p J

(2)

Здесь Q — некоторый аналог составляющей скорости v.

Введем дополнительно следующие предположения*:

а) число М во внешней невязкой зоне течения Мв^>1 и поэтому h —> 0 при s -»■ оо;

б) вне пограничного слоя значения w и wz достаточно малы, и в каждом продольном сечении, z = const, внешнее течение можно считать плоским (см. теорию полос в работе [4]);

в) приращение давления, индуцированное пограничным слоем, пропорционально частной производной по х от толщины вытеснения 8.

Из предположения „а“ следует, что пограничный слой гиперзву-ковой, т. е. имеет четкую верхнюю границу, которую можно вычислить из соотношения

/— 00

8=2 y—Jhds. (3)

* Режимы течения, при которых указанные предположения выполняются, будут определены после полного решения задачи.

Предположения „а“ и „б“ приводят к следующим краевым условиям для уравнений (2)

и-> 1, w,h^ 0 при s-> оо; | ^

u = Q = w = 0, h — hw при s — О /

(или dhjds = 0 при s = 0 для теплоизолированной поверхности плас-

тины).

Согласно предположению „в“ для расчета распределения давления имеем

+ К == const). (5)

Рассмотрим течение при z>0, где тангенс угла стреловидности лередней кромки tg X = р (см. фиг. 1).

Введем вместо z и s новые переменные g и г согласно соотношениям

g=Z$/X, Г =Л",/2(1 — g)~V2S.

Обозначив соответствующие производные индексами снизу, приведем уравнения (2) вместе с соотношениями (4) к виду

(иих + 2 shpjp) x(\-g)-}-Nur + (\ — g) [(©р - gu) ug -

— 2ehgpg\p\ = urr;

uwxx{ 1 — £)4-Ме>г + (1 - g)[{w$ — gu)wg + 2sh$pg/p\=wrr;

uHxx(\-g) + NHr + (\—g)(w$-gu)Hg = (6)

= И;г/Рг + (и* + w*)rr (Pr - 1)1(2 Pr);

[ux -f upj(2 p)\ x (1 - g) 4- Nr + (1 — g) [$wg — gug +

+ (®Э — gu) pgl(2 p)\ + И/2 - ®p/2 = 0.

Здесь N также некоторый аналог составляющей скорости v.

После указанной замены переменных из (3) и (5) получим

8 = 2 VP~l s*(l — g) j hdr ;

о

pipа = 1 + 8* — (“Со ■*)“ 1 &V

(7)

Проведем дополнительное преобразование, исключающее из уравнений ра и т,,. Для этого обозначим р°=р1ра, х° = ахох, 8° == ах о 8, а = (4зто)~1 ра.

После перехода к новым переменным вид уравнений (6) не изменится, а соотношения (7) преобразуются к виду

00

8° = V(Р°) -1x<>{l-g)\ Мг, р°= 1+ 8°-(х°Г1 £8°. (8)

о

В дальнейшем для получения решения будем использовать уравнения (6) и (8), опуская в последних верхний индекс 0.

2. Учитывая зависимость решения для бесконечной скользящей пластины от входящих в задачу независимых переменных, найдем решение уравнений (6) и (8) в области, достаточно удаленной от

передней кромки, в виде асимптотического разложения по степеням

И = и0(г) + ы, (г) + ..., А = + 5^(г)+ |

Н = Н0(г) + \НХ (г)-\-® = рМг)Е + ...; (9>

8 = 1 80 —4- ..., р=\-\-%рх-\-... . )

Подставив разложения (9) в (6) и (8), исключив из полученных уравнений и введя обозначения <р' = <р(. = и0, 0' = 62 = Л0, ^ = ^1г„ получим

+ 1/2 <р" <р = 0; 6'" 4- 1/2 0" <р Рг 4- <Р"2 Рг = 0;

*; 4- 1 /2 <; ? + 1 /2 *, - ер, 0' = 0; 80 = 0 (<*>)=2а;

«р = <р' = 0 = ^ = 0, 0'= или 0" = 0 при г = 0;

0', ^ ->• 0, <р' -+ 1 при г-*оо.

(Ю>

Полученные уравнения дают решение задачи обтекания стреловидной пластины и, естественно, неприменимы вблизи оси х, так как значения на справа и слева от этой оси существенно различны [согласно (9) их отношение равно — Р~/Р+, где р- и р+ — тангенсы углов стреловидности справа и слева от излома кромки].

Ввиду этого в некоторой относительно малой окрестности оси х (для малых значений £) будем использовать другое асимптотическое разложение искомых функций, введя новый характерный поперечный размер gz = х114g = О (I).

При £■* -» оо необходимо обеспечить асимптотическое сращивание нового разложения с разложением (9). Поэтому, обозначив искомые функции звездочкой, запишем новое разложение в следующей форме, обеспечивающей наиболее удобный вид условий сращивания

и = и0 (г) 4- ри* (г, g^)X-1/4 N = N0 (г)-I- рлг*(г, g^)X-V4 4-...;

к — Л0 (г) 4- р/г* (г, g^) х-1'4 4-..., т = (г) л:-1'2 +

+ Р** (г, g*)x-l|2 4- •••;

8 = 80 - р/2 80 хт + р.*1/4/ к*йг 4-

0 .

/7 = 1 +р1х-ч*+ 112№*Р1Х-314 + $р*^)х-314 + ....

(П>

При этом условия сращивания с (9) будут следующими: и*,

Л*, **,/>*“*■ 0 при £*-»оо. Кроме этого на оси л:(^ = 0) необходимо выполнить условие сопряжения решений при % 0 и 2-<0.

Обозначая эти решения, как и ранее, верхними индексами „4-“ и „—для всех симметричных функций Д получим условие

р+/; = р-/: при *.=о. (12>

Для антисимметричной функции Ь будем иметь

р+ (*, 4- *+) = - Р- & 4- С) при г, = 0. (13)

Подставим разложения (11) в уравнения (6) и (8), исключим N■1 и введем обозначения о/ = шг = и*, х' *= хг = о' = ог = А*. Тогда,

(14)

учитывая, что Л^=— 1/2?, и0 = ?', /г0 = 6', получим следующие уравнения ДЛЯ Определения фунКЦИЙ (О, о, х

«"'+1/2 ?о)" —(3/4 1/4 «>) ср"+3/4 <р' +1/4 ?' ш'=0;

/’Г10'" + 1/2 90" - (3/4 <0* - 1* - 1/4 (О) 6" + 3/4 а± +

+ 1/4?'а' + 2?"ш" = 0;

+ 1 /2 ?х" + 3/4 glt! ср' х* + 1 /2 ?' х' - 2 еб' = 0;

/>*- 1/4 о(оо, £•*)-3/40^(00,^);

ш = 0 = х = ш' = х' = 0, а' ИЛИ а" = 0 при г = 0; а)', а', х' 0 при г-+ со.

3. Покажем, что однородная система уравнений (14) с нулевыми краевыми условиями имеет нетривиальные решения — собственные функции. Разложим функции ш, а, х в окрестности g% = оо в ряды вида

® = ®1^+®2^2+°>а^_4 +• • •;

3 = °1 ^ + о*«А_2 + ...;

^ = ■'1 g'г1 + 'Ч й*-3 + ■*» £-5+ • • • •

(15)

Из уравнений (14), ограничиваясь первыми членами рядов (3.1), имеем

'' + 1/2 ?«)” +1/4(3^ + 1)®' % — 1/4(ЗХ— 1)9//<в1 = 0;

Рг-1 аГ + 1/2 9<+ 1/4 (ЗХ 4-1) 9; 31 — 1/4 (ЗХ — 1) 0" ш, + 2<р" ш" = 0;

х”' + 1/2 <рх" 4- 1/4 (ЗХ -(- 1)9'х;+ 1/2еХ(ЗХ—1)0'а1(оо) = О; (16) Ш1 “ °1 = Т1 = Ш1 = 0, а| или а" = 0 при г = 0.

' ' ' /Л

ш1> °1» X! -> и при г->- оо.

Если существуют некоторые значения X, при которых первое из уравнений (16) имеет не равные тождественно нулю решения, то и решение последних двух уравнений должно дать о, и х*, не равные тождественно нулю. Если однородная часть второго уравнения имеет собственные функции, то и третье уравнение имеет решения X, ф-0.

Численные расчеты и анализ решений при Х^—оо показали, что однородные части двух последних уравнений не имеют отрицательных собственных значений X, а для первого уравнения существует лишь одно такое число, равное Х = — 0,304. Таким образом, можно ожидать, что система (14) также обладает однопараметрическим семейством собственных функций, стремящихся к нулю при £*->оо.

4. Определим вид особенности уравнений (14) в точке £* = 0.

Из соотношений (14) следует, что искомые функции при £*^0 могут быть представлены суммой двух рядов вида

« = 2 й и и* в? *; 3 = 2 + ^/3 2

0 0 0 0

* = 2 ъ К + ё\13 2х* в?~1 ’ р*=^р1ё1, + 2 р* £?

Численные расчеты подтверждают указанный вид зависимости ю, а, х и р* от g* при gt •-> 0.

Из (17) следует, что, если О, то ^0, p^g const.

Таким образом, решение уравнений (14) можно пронормировать так, чтобы при g# = 0 значение /7*^= — 9(оо)/4 = р1/2. Тогда, сравнивая третье уравнение (10) с уравнением для х, получим х'= = — tt при g"* = 0. Используем пронормированные указанным способом функции в), а, х, р для построения полного решения задачи.

Представим решение при z> 0 как b+ F, а решение при 0 как b~ F, где под F будем подразумевать любую из нормированных функций со, о, т, р%. Тогда для множителей Ь+ и Ъ~ из условий сопряжения (12), (13) получим

Здесь (3= 1/2ф+ + р~). Из разложений (11) и соотношений (18) следует, что если допустить погрешность порядка х~1/4 по сравнению с членами, определяющими влияние излома передней кромки, то с учетом (18) разложения (11) можно представить в следующем виде:

Индексом у здесь отмечены значения соответствующих параметров на стреловидной пластине [в разложении (11) эти параметры вычислялись с помощью метода полос]. В записанном решении для та знак выбирается совпадающим со знаком ИВ].

5. Найдем необходимые для полного решения задачи значения постоянных х0 и а, зависящие от Мо, и угла атаки а.

Применение для расчета распределения давления формулы (5) типа формулы Аккерета, строго говоря, справедливо в трех случаях: во-первых, когда все поле давления около крыла является слабовозмущенным, т. е. возможна линеаризация; во-вторых, когда рассматривается течение на той стороне крыла, где имеет место разрежение и отсутствует скачок уплотнения; в-третьих, когда 8^ является степенной функцией от ^ и учет возмущений, отраженных от скачка, согласно [5], сводится к домножению коэффициента в формуле Аккерета на некоторый постоянный множитель.

В рассматриваемом случае при К= Моо«>-0(1) на наветренной стороне пластины приближенный учет указанных возмущений может быть осуществлен, если принять, что функция 8^ близка к Ьх на скользящем крыле, т. е. пропорциональна х_1/2. Как показывают оценки, при К = Моэ о, = оо (что соответствует наибольшему влиянию отраженных от скачка возмущений), погрешность в вычислении давления вблизи £* = 0, где 8^— х~1/2 + сх~314, составляет величину порядка 10%. При -»оо относительная погрешность растет, однако сами величины искомых функций стремятся при этом к нулю.

Можно показать, что решение рассматриваемой задачи возможно и при корректном учете возмущений, отраженных от скачка

Ь+ = Р/Р+, *- = Р/Р"

(18)

и = И/ + (<ИЙ#о х)~Щ Р®';

h — hj + (ах о R0x)~Vi р о'; W = Wj + (ато R0 X)~V2 р х'; р = pj + (axl R0 ,)~3/4р/>*.

(19)

уплотнения. Однако при этом теряется „универсальность" решения, так как искомые поправки к решению для скользящего крыла становятся зависящими неявно от гиперзвукового параметра подобия К.

Применим решение Прандтля—Майера для определения параметров т и а на подветренной стороне пластины. Имеем

а -----

1

х-! ^1»

(20>

2(х-1)

где К— М^а.

На наветренной стороне пластины из уравнений косого скачка уплотнения с учетом отражений возмущений от скачка уплотнения

*с = ^+[(^К)Ч1]1/2;

Ра = {\ + х/ска (хМ*,)-1;

, _ 1-Хо^/2 1 [ Л , *-1 к2 У|~1/2'

0 кЛ*(ъ+1)\ ^ 2 '«Л

— К2

2 'с

(21)

ОЛ

Входящие в (21) коэффициент отражения возмущений Х0 и параметр „частоты отражений" & приведены на фиг. 2, построенной по результатам работы [5]*. 9

Как уже отмечалось, при /(>0(1) решение на наветренной стороне пластины не является строго асимптотическим. Однако при К0, когда Х0&-1/2-*0, это решение можно считать асимптотически точным.

6. Численное решение системы (14) ’ "

проводилось с помощью стандартной программы расчета системы параболических уравнений [6]. При этом функция 0,2 ■ р*г находилась итерационным методом на каждом шаге интегрирования с помощью последнего уравнения системы (14).

Интегрирование начиналось от достаточно большого значения g^. Выход на решение, отличное от нуля, обеспечивался не с помощью разложения (15), а заданием некоторого „возмущения" в нулевых краевых условиях задачи. Сравнение результатов расчета при различных вариантах начальных „возмущений* показало, что если начальное значение достаточно велико, то все интегральные кривые аффинно-подобны.

ОЛ

^0 Ч

”

1 1 2 / £ К

Фиг. 2

* Отметим, что в работе [5] в формуле для Х0(/С) и при построении соответствующей кривой допущены ошибки.

Поскольку ^*=0 является особой точкой системы, значения функций при — 0 (в частности, p%g) находились экстраполяцией

с использованием разложений (17).

При расчетах полагалось х = 1,4, Рг = 0,7. На фиг. 3—6 в зависимости от g% приведены величины

Р* = (ахо *)3/4 > Р**>$ ?Р°- у

. =|£мя.,)и.

/■=о р/

с"

0"

г=0

(/-ȣ

у=о

м. дИ

/=о)

Графики построены для трех значений /гш = 0 — нулевая тем-

пература поверхности, /гш = 0,25 — температура поверхности равна половине температуры адиабати- '

ческого торможения и = температура пластины соответствует равновесной температуре на

Л

Р*

0.2

у*. г~

<£'4^

0.2

0.1

Ц5 1,0 дл Фиг. 3

9

А

\ у V *

0.5 1,0

Фиг. 4

поверхности пластины без излома кромки. На фиг. 3 и 4 показаны функция р% [соотношение (19)], определяющая приращение давления Ар за счет влияния излома кромки, и производная р^г Из данных фиг. 5 и 6 могут быть получены относительные изменения коэффициентов „продольного11 трения и теплопередачи (Д///, обусловленные влиянием излома кромки пластины.

Для расчета абсолютных приращений давления, трения и теплопередачи значения а и т0 могут быть вычислены из соотношений (20) и (21), а при определении р необходимо учитывать, что для обратной стреловидности х<0 и р = ^х0. Построенные на фиг. 3—6 функции симметричны относительно 2 = 0 и поэтому можно считать, что g^ = \z\x'~1 R1Q|4X.

7. Выпишем асимптотические условия применимости рассмотренной схемы течения и сделаем некоторые общие выводы, следующие из полученного решения.

Применение краевых условий, соответствующих гиперзвуко-вому пограничному слою, так же как и гиперзвукового приближения для внешнего потока требует выполнения условия

Ма-2 = О (т2) = О (а2 + М-2) <0(1). (22)

Асимптотические разложения (9), (11) могут быть применены только при

V ад4 <0(1), рт-1/?-]/“ <0(1).

Два последних неравенства удобно заменить одним

(т0 сое х'Г1 /?^/4 <0(1). (23)

И, наконец, для применимости метода полос при расчете внешнего .невязкого течения в области й'* = 0(1) должно быть выполнено условие

^До-1/4>0(1)- (24)

При выполнении последнего неравенства все члены с производными д1дг относительно малы в невязкой части течения.

Фиг. 5 Фиг. 6

Нетрудно видеть, что необходимыми условиями для исследуемого режима течения являются неравенства (23) и (24), так как из (23), (24) следует и (22).

Очевидно, что для „гладкого" сращивания решений при 2>0 и г<0 требуется дополнительное асимптотическое рассмотрение вблизи г = 0.

Отметим некоторые общие свойства полученного выше решения:

— зона возмущенного изломом передней кромки течения, где

г — а также возмущения давления-, толщины вытеснения,

трения и теплопередачи симметричны относительно плоскости г==0 (см. фиг. 1);_

— при р=0(1) влияние излома кромки на трение и теплопередачу превосходит по порядку величины влияние вязкого взаимодействия. Влияние излома на распределение давления меньше поправок, даваемых теорией вязкого взаимодействия;

— относительное изменение трения и теплопередачи, вызванное изломом кромки,при прочих равных условиях прямо пропорционально величине Р = l/2(tgx++ tgx_).

1. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 4.

2. Козлова И. Г., Михайлов В. В. О сильном вязком взаимодействии на треугольном и скользящем крыльях. Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 6.

3. Нейланд В. Я. Распространение возмущений вверх по течению при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем. Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 4.

4. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд. иностр. лит., 1962.

5. Черный Г. Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью М., Физматгиз, 1959.

6. Петухов И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. В сб. .Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы”. М., .Наука", 1964.

Рукопись поступила 1/1У 1973