О скорости сходимости распределений некоторых статистик к распределению Лапласа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

О.О. Лямин1

О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ НЕКОТОРЫХ СТАТИСТИК К РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ЛАПЛАСА

В работе получена оценка скорости сходимости распределений асимптотически нормальных статистик, построенных по случайной выборке случайного объема, к распределению Лапласа. Предполагается, что случайный объем выборки не зависит от членов выборки и обладает рядом специальных свойств.

Ключевые слова: асимптотически нормальные статистики, случайный объем выборки, распределение Лапласа, обратное показательное распределение, дискретное распределение Парето.

1. Введение. Известно (см., например, [1] и указанную там литературу), что многие предельные теоремы для функций от независимых случайных величин можно передоказать, заменив неслучайное число случайных величин на случайное число. При определенных условиях на исходные случайные величины и на случайное число случайных величин получается новая предельная теорема.

Пусть Х1,Х2,... — произвольная последовательность случайных величин, а Тп = Тп(Х 1,... _ ;ХП) — некоторая асимптотически нормальная статистика. Далее пусть тп — некоторое натуральное число. В работе [2] было показано, что распределение Лапласа является масштабной смесью нормальных законов при обратном показательном смешивающем распределении, т.е.

сю

Л(ж) = У Ф (ж^у) же Ж1,

0

где

Я{у) = е~т'*, у > 0, (1)

а Л (ж) — функция распределения Лапласа, соответствующая плотности

1 ППГ) _

А(ж) = Л — ехр {^л/2т|ж|}, же!1. (2)

Там же было показано, что если — независимые случайные величины с одним и

тем же дискретным распределением Парето

Р (^ к) =-^-, к ¿ = 1,2,..., (3)

V К ' ^ ) т + к-1 К '

то для любого ж > О

Р ^ < ж^) д(х) = е_ТО//ж, п^ ос,

где

= шах (4)

Предположим, что при каждом п ^ 1 случайная величина Нп независима от последовательности .V1. .V I.... . Тогда, применяя лемму 4.1 из [2], получим, что распределение статистики Тдтп = = Татп(Х1,... ,Хнп) сходится к распределению Лапласа. Целью данной статьи является получение оценки скорости сходимости распределений таких статистик к распределению Лапласа.

1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: oleg.lyaminQgmail.com

Раздел 2 содержит доказательства вспомогательных результатов, необходимых для доказательства основных теорем статьи, которым посвящен раздел 3. В теореме 1 будет доказана следующая оценка: при п ^ оо

sup

х>0

< Ж

п

Q(x)

€

Cr,

п

где Ст — некоторая константа, зависящая от натурального т.

В теореме 2 сформулирован основной результат работы. В этой теореме будет доказано следующее: если распределение статистики Тп для некоторых о > 0, /х € Ж удовлетворяет соотношению

sup |Р (л/па{Тп - ц) < х) - Ф(ж)| = О (п s) , 0 < s < sQ < 2,

п = 1,2,.

то распределение статистики Тдгп при п ^ оо удовлетворяет равенству

1

sup |Р (s/na{TNn - ц) < х) - Л(ж)| = О (^¿^у)

при условии независимости Nn от последовательности Xi,X2, ■ ■ ■ при каждом п.

Выражаю благодарность своему научному руководителю профессору В. Е. Бенингу за постановку задачи и внимание к работе, а также анонимному рецензенту за замечания, которые помогли улучшить изложение материала.

2. Вспомогательные результаты.

Лемма 1. Функция и(х) = (х/(х + 2))х+1 строго возрастает всюду на х > 0. Доказательство. Производная и(х) равна

и \ / \ (2(ж + 1) , х \ и (ж = и(х) ——— + In —— \ж(ж + 2) х + 2/

Обозначим выражение в скобках через v(x). Производная функции v(x) равна v'(x) = ^4/(ж2 + 2х)2. Если х > 0, то v'(x) < 0, поэтому v(x) строго убывает на х > 0. Так как lim v(x) = 0, то v(x) > О

х—>оо

для всех х > 0. Тогда и'(х) = u(x)v(x) > 0. Следовательно, всюду на х > 0 функция и(х) строго возрастает. Лемма доказана.

Лемма 2. Рассмотрим функции

\ Х+1 / \ х—1

Ж - 1 \ / Ж ^ 1 4

—— , и2{х) = е*+1\—— х + 1/ \ж + 1

х2 (2х — 3\ х вх (х — 1 \ж 1 / 2ж + 1х 2

W) = , о n TT^^J ' «4(®) =

4х2 \ 2ж + 3 / ' 4 7 \х + 2/ \2х + 4

Функции иг(х),и2(х),и4:(х) строго убывают на х > 1. Функция из(х) строго возрастает на х > 3/2. Доказательство. Лемма доказывается по аналогии с леммой 1. Лемма 3. Для функции

п

и для любых натуральных к,п справедливы следующие утверждения:

1) £>* (к/п) < 0,

2) £>* ((А; + 1)/п) > 0, если т = 1,2; £>* ((А; + 1)/п) < 0, если т ^ 3. Доказательство.

1. Утверждение равносильно неравенству /(к) > 0, где

1! \ 1 ( Х \ тП п

/(ж) = тип - н--, ж > и.

V т + ж / ж

Производная функции /(ж) отрицательна,

т2п

/'(ж) =--7Г,-г <0, ж > 0.

ж £(т + ж)

Поэтому функция /(ж) строго убывает на ж > 0. Так как lim /(ж) = 0, то /(ж) > 0 для всех ж > 0.

х—>оо

2. Рассмотрим функцию

, , , / ж \ тп

д(х) = п In - Н---, ж > и.

\т + ж/ ж + 1

Производная функции д(ж) равна

,, . тп((2 — т)ж + 1) ж(т + ждж + \у

Если т ^ 2, то д'(ж) > 0 для всех ж > 0. Поэтому функция д(ж) строго возрастает на ж > 0. Так как lim д(ж) = 0, то д(ж) < 0 для всех ж > 0. Неравенство д(к) < 0 равносильно неравенству

х—>оо

D*((k + l)/n) > 0.

Пусть т ^ 3. Функция д(ж) достигает своего максимального значения в точке жо = 1 /(т — 2). Если ж ^ 1, то ж ^ 1/(т — 2) и д'(ж) ^ 0. Поэтому функция д(ж) строго убывает на ж ^ 1. Так как lim д(ж) = 0, то д(ж) > 0 для всех ж ^ 1. Неравенство д(к) > 0 равносильно неравенству

х—>оо

DU(k + 1 )/п) < 0. Лемма доказана. Лемма 4. Для функции

п

ап{х) = (—-—1 -е~тп'х, ж > 0, \т + ж/

и для любого натурального п ^ 2 справедливы следующие утверждения-.

1) ап(ж) возрастает на ж € (0, тп/2 — т/2],

2) ап(ж) убывает на ж € [тп/2, оо). Доказательство. Производная ап(ж) равна

<(*) = ^ í Г- в—^ = тПеТ/Х - 1) , Ж > 0.

ж2 \ \т + ж/ I ж2 V /'

Обозначим /(ж) = (п + 1) 1п(ж/(т + ж)) + тп/ж, ж > 0. Производная /(ж) равна

, _ т(ж - тп)

J TT I ж > (J.

ж^(т + ж)

1. Рассмотрим

, ч ,(тп т\ , „, , in — 1

п — 1 \ 2 п п — 1

По лемме 2 ui(n) строго убывает на в ^ 2. Так как lim ui(n) = 0, то ui(n) > 0 для любого п ^ 2.

п—>-ос

Функция /(ж) строго убывает на ж € (0, тп), поэтому /(ж) > 0 для любого ж € (0, тп/2 — т/2]. Неравенство/(ж) > 0 равносильно неравенству а'п(ж) > 0, а значит, ап(ж) возрастает на ж € (0, тп/2—т/2].

2. Функция /(ж) принимает минимальное значение в точке ж = тп. Она строго возрастает на полупрямой ж € (тп, оо). Так как lim /(ж) = 0, то /(ж) < 0 для ж ^ тп.

х—>оо

Функция /(ж) строго убывает на интервале (тп/2,тп). Заметим, что

/(mn/2) = 1п(п/(п + 2))n+l + 2 < 0.

Здесь мы воспользовались неравенством (n/(n + 2))n+1 < е-2, которое выполняется по лемме 1.

Отсюда следует, что /(ж) < 0 для любого ж ^ тп/2. Неравенство /(ж) < 0 равносильно неравенству а'п(ж) < 0, а значит, ап(х) убывает на ж € [mn/2, оо). Лемма доказана.

Лемма 5. Для функции

Ьп(х) = - ж>°>

и для любого натурального п ^ 3 справедливы следующие утверждения-.

1) Ьп(х) возрастает на х € (0, п/2 — 1],

2) Ьп(х) убывает на х € [п/2 — 1/2, сю). Доказательство. Производная Ьп(ж) равна

ъ> {х) = п (е-пП*+1) _ (= тае"га/(ж+1) fi _ ж > 0

п(} (х + 1)2[ {x + lj J (ж + 1)2 V J, Х> и.

Обозначим /(ж) = (п — 1) 1п(ж/(ж + 1)) + п/(х + 1), ж > 0. Производная /(ж) равна

l'f { \ ^ ^ А

/ (ж) т ■ —г, Ж > (J.

ж(ж + I)2

1. Функция /(ж) строго возрастает на интервале ж G (0, п — 1). Заметим, что

/(п/2 - 1) = 1п((п - 2)/п)п~1 + 2 < О

для любого п ^ 3. Последнее неравенство легко получить из леммы 1. Отсюда следует, что /(ж) < О для любого ж G (0, п/2 — 1]. Неравенство /(ж) < 0 равносильно неравенству Ь'п(х) > О, а значит, Ьп(ж) возрастает на ж G (0, п/2 — 1].

2. Функция /(ж) принимает максимальное значение в точке ж = п — 1. Она строго убывает на полупрямой ж G (п — 1, сю). Так как lim /(ж) = 0, то /(ж) > 0 для ж ^ п — 1.

х—>оо

Рассмотрим

•"("> = '(И) = +

По лемме 2 11,2(71) строго убывает на п ^ 3. Так как lim «г(п) = 0, то «г(п) > 0 для любого

п—>оо

п ^ 3. Функция /(ж) строго возрастает на интервале (п/2 — 1/2, п — 1), поэтому /(ж) > 0 для любого ж G [п/2 — 1/2, п — 1), а значит и на ж G [п/2 — 1/2, сю). Неравенство /(ж) > 0 равносильно неравенству Ь'п(ж) < 0, а значит, Ьп(ж) убывает на ж G [п/2 — 1/2, сю). Лемма доказана. Лемма 6. Для функции

и для любого натурального п ^ 2 справедливы следующие утверждения-.

1) Ьп(х) возрастает на ж € (0, 2п/3 — 1],

2) Ьи(ж) убывает на ж € [2п/3 — 2/3, сю). Доказательство. Производная Ьп(ж) равна

Ь'п(х) = 2 п

е жп 1

(ж + 1)2 (ж + 2)п+1 ]

= 2пе~^1 ~21п(ж+1) - е(""1) 1пх-(п+1) 1п(х+2)+-;2а_+2 1п(х+1)^ ж > О

Обозначим /(ж) = (п — 1) 1пж^ (п+ 1) 1п(ж + 2) + 2п/(ж + 1) + 21п(ж + 1), ж > 0. Производная /(ж) равна

(Ч \ — 2(п - ж - 1) ; {Х) ~ ж(ж + 1)2(ж + 2)' Ж > и'

Далее следует повторить доказательство леммы 5. Для следующих оценок, справедливых при п ^ 2,

_ / 2п Л _ /2п Л , _ /2п Л „ _ 2п

«з(п) = / Y - 1J = (п - 1) In Y - 1J - (n + 1) In у + lJ+3 + 21ny<0

И

. . е(2п 2\ , (2п 2\ , (2п 4\ 6п л1 /2п 1\ п

используется лемма 2. Лемма доказана.

Перейдем к доказательству основных результатов.

3. Оценка скорости сходимости распределения случайной величины ЛГп/п к обратному показательному.

Теорема 1. Для каждого натурального т существует константа Ст > 0, такая, что

sup

х>0

Р < X ) - Q(x)

€

Cr,

п

(5)

где — случайная величина, определяемая формулой (4), а (¿(х) — функция обратного показательного распределения, определяемая формулой (1). При этом

_ Г8е—2/3, т = 1, ~ \2е"2, т ^ 2.

Доказательство. Напомним, что = тах где — независи-

мая

мые случайные величины с одним и тем же дискретным распределением Парето, которое определяется формулой (3). Из (3) для случайной величины

'I = 1,2,..., справедливы следующие соотношения:

Р = к) = ™ - Р < *) = -4т. (6)

V / т + к — 1 т + к \ У —

т + к — 1 т + к где к — произвольное натуральное число. Тогда для любого х > О

¿?п(ж) = Р <х^ = Р(1тах < пж) = Р (ж(1)(т) < пж)

[[Р(^)(тКИГ, ¿ = 1,2

{[Р^^тХ;)]", х = Ъэ = 1,2

т + к

1''' 1 1''' 1

к=О

где [а] обозначает целую часть а, 1.4 (ж) — индикатор множества А. И левую часть (5) можно переписать в виде

sup

х>0

Nn

п

< ж ) — Q(ж)

sup \Fn(x) — Q(x) \ = max sup |Fn(x) — Q(x)\

X>Q

Если к = 0, то

sup \Fn(x) - Q(x)\ = max e~m^x = e~mn.

Для произвольного целого к ^ 1 на ж € [к/п, (к + 1)/п] введем вспомогательную функцию

к хп

(7)

(8)

Dkn{x) = е~т/х

т + к

Функция -С^(ж) возрастает и непрерывна всюду на ж € [к/п, (к + 1 )/п]. Тогда по лемме 3, а также из (7) и (8) имеем: если т = 1,2, то

sup\Fn(x) — Q(x)\ = max<i e TOn,max<i(—— x>o I fcja [\m + k

если m > 3, то

e-mn/fc ^max<|e-mn/(fc+1)

k> 1

к

m + к

sup\Fn(x) — Q(x)\ = max < e mn, max { (—-

x>o I k^i \\m +к

^—ran/It

; (9) (10)

Положим

Ж

ап(х) = —— - е~тп/х на ж ^ 1, (И)

т + х

х

т + х

Ъп(х) = е~тп1{-х+1) - —— на 1)1. (12)

Далее удобно будет разбить доказательство теоремы на две части — для случая т = 1,2 и случая т, > 3.

3.1. Случай т = 1,2. По лемме 4, если т = 1, ап(ж) возрастает всюду на ж € [1,п/2 — 1/2], убывает всюду на ж е [п/2, сю). Тогда для всякого целого — 1/2]

ап(к) < ап и для всякого целого к ^ [п/2 — 1/2]+ 1

ап(&) < ап

п 1 2^2

п 1 2^2

^ а г,

п 1

1 ак

п

где [р] обозначает целую часть р. Аналогичные оценки легко получить для т = 2. В общем случае для т = 1 и т = 2 при каждом целом к ^ 1 можно записать:

(тп т\ (тп\

ап(&) < тах ап ( - ) , ап ( —г1 ) = тах

п — 1

^п + 1

Для больших п можно получить следующие разложения:

э-2п/(п-1)

п

п + 2

-2

С« —

П — 1

71+1

э-2п/(п-1) _

2е

-2

2е

-2

<1п =

П

е~2 =

п 3 п2 3 п3 2, ' 2, ' 22е~2

2е~2 ( 1 о

п-

1

(13)

(14)

(15)

п + 2) " п 3 п2 45п4 \п1

Теперь рассмотрим Ьп(ж) из (12) при т = 1. По лемме 5 для каждого целого к ^ 1 справедлива оценка:

/71 \ /71 1

Ьп(к) < тах ( 2 ^ / 'I 2 ^ 2

= тах < е

-2

п-2

п

, е «+1

п — 1

71+1

Для больших п можно получить следующие разложения:

в« — в

-2

п^ 2

п

2е

-2

2е

-2

22е

-2

П

3 п2 45п4

тг

- р-2п/(п+1)

/п = е

п — 1

71+ 1

2е

-2

2е

-2

2е

-2

71

Зп2 Зп3

71"

(16) (17)

Тогда из (9), (14)—(17) при больших п имеем

Бир |(ж) - (2(ж)| = тах е п, т&хап(к), т&хЬп(к) } < тах {сп, (¿п, еп,/„} = еп < 2в

ж>0 I ^ I 71

-2

2е

-2

= 2е

-2

1 1 \

п 3п2 )

гС 2е

-2

Зп2 4п 8е~2

Зп2 Зп

При т = 1 теорема доказана с С\ = 8е /3. При т = 2 для целого к ^ 1 по лемме 6

Ьп{к) < тах Ьп ( ^ - 11 , Ьп ( у - ^ ) ^ = тах { е 3

2п^ 3 2п + 3

, е 2«+1

71 — 1"

п + 2

Для больших п можно получить следующие разложения:

_3 9е"3 81е"3 /1\

9п = е~ ^{ъТз) + + (18)

Пп~е \п + 2 ) "4п2 80п4 \и4/ ' 1 ]

Тогда из (9), (14), (15), (18) и (19) при больших п имеем

2,

Бир| Еп(х) - <Э(ж)| < шах {сп, йп, дп, кп} = йп < -.

х>о п

При т = 2 теорема доказана с С2 = 2е~2.

3.2. Случай т ^ 3. По лемме 4 точка максимума ап(х) из (11) принадлежит интервалу (тп/2 — т/2, тп/2). В силу непрерывности функции ап(х) всюду на х ^ 1 найдется такое —т/2 < А < 0, для которого

/ ТПТЬ \

тахап(ж) = тах ап(х) = а,п ( ——Ь А) . (20)

Х>1 2Шк\ V 2 /

^ лс^ 2 2 ' 2 }

Рассмотрим значение функции ап(х) в точке х = тп/2 + А. Имеем

(тп > Л_( тп + 2А _2тп/(тп+2А} V 2 + ) " \тп + 2(А + т))

Положим

/ т + 2*А \ _ 2т/(т+21 Д)

\т + 2£(Д + т) / Разложим в ряд возле точки £ = 0, и, так как п большие, имеем

(тп д\ . /1\ 2е~2 2е~2 /1\

Здесь существенным является тот факт, что А не зависит от п и, стало быть, не может повлиять на порядок остатка, обозначенного в (21), как о (1 /п2). Тогда по (20) и (21) можно утверждать, что для больших п

2е~2

тахап(ж) ^ -. (22)

п

Из (10) и (22) окончательно имеем

2е"21 2е"2

sup |Fn(x) — Q(x) \ = max < e mn, maxan(fc) > ^ max < e

—mn

x>0 L k^l ) { П ) П

При m ^ 3 теорема доказана с Cm = 2e~2.

Таким образом, мы доказали теорему для всех натуральных т с С\ = 8е~2/3 и (■ т — 2е для т ^ 2.

4. Оценка скорости сходимости распределений статистик, построенных по выборкам случайного объема, к распределению Лапласа.

Теорема 2. Пусть Х\,Х2,... — некоторая последовательность случайных величин, и распределение статистики Тп = Тп(Хi,..., Хп) для некоторых а > 0, /х € Ж удовлетворяет соотношению

sup |Р (л/па(Тп - /х) < х) - Ф(ж)| = О (n~s) , 0 < s < s0 < 2, п ^ ос.

х

Далее пусть Nn — случайная величина, определяемая формулой (4) с некоторым натуральным т. Предположим, что при каждом п ^ 1 случайные величины Nn не зависят от последовательности

Xi,X2,... . Тогда распределение статистики = Т^п(Хi,... ,Х^п) при п ^ оо удовлетворяет равенству

1

sup |Р {yfca(TNn - ц) < х) - Л(ж)| = О (

X \

где А(х) — распределение Лапласа с плотностью, которая определяется формулой (2). Доказательство. Учитывая формулу полной вероятности, можно записать

|Р {у/псг{TNn - fj,) < х) - Л(ж)| =

Y,P(Nn = k)P lVka(Tk^fi)<J^x\ — А(х) k= 1 \ П

1 + J2,

где

Ji =

L

п

= (у-ж) — Л(ж)

fc=i

ос

j2 = Y! =к)

к=1

Р ( Vka{Tk -ц) < ^Ф i у^ж

Оценим последовательно и ,]2. Для оценки разности 3\ применим следующее представление:

Ji =

( fh \ 7 г

Y^ P(Nn = к)Ф [J-x ) - / Ф(®л/«) dQ(u) = /

\ / п п

Ф(ху/й) d

Nn

п

< и ) — Q(u)

где (¿(и) — обратное показательное распределение из (1). Интегрируя по частям и пользуясь теоремой 1, для правой части этой формулы можно записать оценку

Ji £

йФ(ху/й) ^ sup

z>Q

P[^<z)^Q(z)

J ¿Ф(ху/й)

О

1

= о sup

1 z>Q

p(^<z)^Q(Z)

= О

n

Оценим теперь величину J2. Имеем

ос

■h^Y. = fc) • sup |р (л/ка(Тк - /х) < z) - ф (z)

к= 1 г

Для оценки правой части неравенства применим предположение теоремы. Получим

ОО J

к= 1

Обозначим сумму в (24) как J3. Используя (6), для P(Nn = к) имеем

к

Р (Nn = к) =

к

m + к

к-1

тп + k — lj J (m + x)n+l к-1

mnx

п-1

dx.

Так как функция l/xs, s > 0, убывает всюду на х > 0, то

*h =

/ Is

mnx

и—i

fc=i

fc-i

ks (m + x)n+l

f 1 mnx"' 1 reBfn — s, 1 + s)

ax ^ / ~ ' --;—~ dx =

fc=i

J xs (m + x)n+1

m"

к-1

(23)

(24)

Ограничения, наложенные на я в условии теоремы, позволяют утверждать, что бета-функция в числителе существует и сходится (как интеграл) равномерно. Разложим функцию г>(£) = В — 5,1 + в

точке £ = 0 в ряд по формуле Тейлора. Имеем

ф) = Г(1 + 5) + + 1)Гв+2 + о

пВ(,-.,1 + .)=Л 4 + П (25)

т8 т8 \п/ ш8 п8 \п8 Таким образом, из (23)-(25) окончательно имеем

С С т ( 1

п п8 V пт1П11'в->

Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бенинг В. Е., Королёв В.Ю., Да У. Оценки скорости сходимости распределений некоторых статистик к распределению Стьюдента // Вестник Российского университета дружбы народов. Сер. Прикладная математика и информатика. 2004. № 1(12). С. 59-74.

2. Бенинг В.Е.,Королёв В. Ю. Некоторые статистические задачи, связанные с распределением Лапласа // Информатика и ее применения. 2008. 2. № 2. С. 19-34.

Поступила в редакцию 08.10.09

ON THE RATE OF CONVERGENCE OF DISTRIBUTIONS OF CERTAIN STATISTICS TO THE LAPLACE DISTRIBUTION

Lyamin O. O.

In the paper we obtain the estimation for the rate of convergence of distributions of asymptotically normal statistics to the Laplace distribution, in case when the sample size is a random variable. It is assumed that sample size is independent of the sample and has a number of certain properties.

Keywords: asymptotically normal statistics, random sample size, the Laplace distribution, inverse exponential distribution, discrete Pareto distribution.