Универсальные предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.214

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 4

А. Н. Фролов

УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПРИРАЩЕНИЙ СУММ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН*

1. Введение. Пусть {Xn} —последовательность независимых одинаково распределенных (н.о.р.) случайных величин, Sn = ^n=i Xk, So = 0. Пусть {an} —последовательность натуральных чисел такая, что 1 < an < n.

Настоящая работа посвящена исследованию асимптотического (в смысле сходимости почти наверное (п.н.)) поведения максимумов вида

Un = max (Sk+an - Sk).

В дальнейшем речь пойдет о предельных теоремах, содержащих необходимые и/или достаточные условия для того, чтобы

limsup —— = 1 п.н. (1)

bn

или

lim—= 1 п.н., (2)

bn

где {bn} —некоторая последовательность положительных постоянных. (Всюду в тексте, где использованы символы lim, limsup, liminf, O, o, мы считаем, что n ^ ж, если не оговорено противное.)

В рассматриваемом классе предельных теорем выделяются четыре типа результатов. Это — усиленный закон больших чисел (УЗБЧ), закон повторного логарифма (ЗПЛ), законы Эрдёша—Реньи и Шеппа, закон Чёргё—Ревеса.

Так как Un = Sn при an = n, то УЗБЧ и ЗПЛ являются граничными случаями теорем о п.н. поведении приращений сумм независимых случайных величин и доставляют важные примеры выполнения соотношений (1) и (2). Эти типы предельных теорем и их фундаментальное значение для теории вероятностей и математической статистики широко известны, а мы переходим к другим двум типам результатов.

Заметим, что согласно терминологии, принятой в теории суммирования независимых случайных величин, рассматриваемые результаты являются формами обобщенного ЗПЛ и УЗБЧ для приращений в зависимости от того, выполнено (1) или (2), соответственно.

УЗБЧ для малых приращений (an = O(log n)) сумм н.о.р. случайных величин называют законами Эрдёша—Реньи и Шеппа. Первый подобный результат был получен Шеппом [1]. Однако настоящий толчок развитию этого направления исследований дала работа Эрдёша и Реньи [2], с момента публикации которой появилось более сотни работ по данной тематике. Эрдёш и Реньи [2] установили, что в случае an = [clog n] нормирующая последовательность {bn} зависит от всего распределения слагаемых, а иногда даже однозначно определяет это распределение. (Здесь и далее [x] обозначает целую

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00486). © А. Н. Фролов, 2005

часть х.) Мэйсон [3] распространил закон Эрдёша—Реньи на случай ап = о(к^ п). Чёр-гё и Ревес [4] получили обобщенный ЗПЛ для больших приращений (ап/ 1ogп ^ то) сумм н.о.р. случайных величин с нулевым средним и конечным вторым моментом. Оказалось, что нормировка в этом случае зависит лишь от дисперсии распределения слагаемых подобно тому, как в теореме Хармана—Винтнера о ЗПЛ. Кроме того, Чёргё и Ревес установили, что для больших приращений, длина которых ап растет достаточно медленно, выполнено (2). Результаты такого типа называются законами Чёргё—Ревеса. Отметим, что теорема Хармана—Винтнера является частным случаем результата Чёр-гё и Ревеса.

Общей чертой исследований, посвященных изучению предельного поведения приращений, было то, что малые и большие приращения изучались отдельно (см. библиографию в [5-7]).

В работах автора [5-7] был предложен единый подход к предельным теоремам для приращений сумм н.о.р. случайных величин. Там была найдена общая для больших и малых приращений формула нормирующей последовательности {Ьп}. Эта нормировка и теоремы, описывающие поведение приращений с единых позиций, были названы универсальными.

Универсальный подход позволил охватить единой теорией законы Эрдёша—Реньи и Шеппа, законы Чёргё—Ревеса, ЗПЛ и УЗБЧ. Фактически, оказывается, что все упомянутые теоремы являются проявлениями одного общего закона для приращений.

Кроме того, в [5-7] была исследована зависимость вида {Ьп} от {ап} и моментных предположений о распределении слагаемых для различных частных случаев. При этом были получены новые результаты для распределений из областей притяжения нормального закона и асимметричных устойчивых законов с показателем из (1, 2). В [8] была доказана оптимальность упомянутых моментных предположений.

В работе автора [9] универсальный подход был распространен на неодинаково распределенные случайные величины. При этом универсальные теоремы доказывались сначала для произвольной нормирующей последовательности {Ьп}. Такие базовые теоремы определяют условия на {Ьп}. Среди этих условий содержатся условия на скорость убывания некоторых вероятностей больших уклонений сумм. Это позволяет с помощью результатов из теории больших уклонений найти универсальную нормировку и получить универсальные теоремы и весь спектр их важных частных случаев.

В упомянутых выше работах на последовательность {ап}, а в базовых теоремах и на последовательность {Ьп}, накладывались определенные условия регулярности. Например, {ап} всегда была неубывающей, а {п/ап} была эквивалетна некоторой неубывающей последовательности.

В настоящей работе мы докажем базовые теоремы для более широкого класса последовательностей {ап} и {Ьп}. В частности, мы не будем предполагать, что {ап} не убывает. Разумеется, это влечет за собой соответствующее усиление результатов работ

[5-8].

2. Результаты. Пусть X, Х\, X2,... —последовательность независимых одинаково распределенных невырожденных случайных величин. Обозначим

Бп = Х\ + Х2 + ■■■ + Хп, Бо = 0.

Пусть {ап} —последовательность натуральных чисел такая, что 1 < ап < п.

Обозначим

Un = max (Sk+an - Sk), Wn = max max (Sk+j - Sk),

0<k<n-an 0<k<n-an0<j<an

Rn Sn Sn-an, Tn Sn+an Sn-

Отметим, что Un = Rn = Sn и Wn = max Sk при an = n, а если an = 1, то Un = Wn =

1<k<n

max Xk.

1<k<n

Обозначим ß1 = ß2 = 1,

n

ßn = log--h log log n, n = 3,4,...

an

Наш первый результат содержит достаточные условия для того, чтобы п.н. верхний предел нормированных приращений был ограничен единицей.

Теорема 1. Пусть {an} — последовательность натуральных чисел такая, что 1 < an < n и

lim sup lim sup max — < 1. (3)

в\1 k^x 9k-1<j<9k<i<9k+1 aj

Пусть {bn} — последовательность положительных постоянных такая, что

lim sup lim sup max — < 1. (4)

e\i k^x ek-1<j<i<ek+1 bi

Предположим, что выполнены следующие условия:

1)£n P(X > bn) < ж;

2) для всех достаточно малых £ > 0 существуют S > 0, Hi > 0 и H2 > 0 такие, что неравенство

P(Sl{i+e)an] > (1 + £)bn) < Hie-(1+S)ßn + H2anP(X > bn) (5)

выполнено для всех достаточно больших n;

3) для любого £ > 0 существует q G (0, 1) такое, что

P(Si > -£bn) > q (6)

для всех i = 1, 2,...,In при всех достаточно больших n, где In = [(1 + £)an]. Тогда ^

lim sup —<1 п.н. (7)

bn

В последнем соотношении Wn можно заменить на Tn.

Если условие 2 выполнено с H2 = 0, то можно отбросить условие 1 и заменить (3) и (4) на

lim sup lim sup —-- <1, (8)

Ö\1 k^x a[gk]

lim sup lim sup max -ß- < 1. (9)

e\1 k^x ek-1<j<i<ek+1 bi

Если log an = o(log n), то можно отбросить условия 1 и 3, .заменить (3) и (4) на (8) и (9), соответственно, и заменить условие 2 следующем условием:

2') для всех достаточно .малых £ > 0 существуют S > 0 и Hi > 0 такие, что неравенство

max P(Sk > (1 + £)bn) < Hie-(i+s)ßn

1<k<(i+e)an

выполнено для всех достаточно больших n.

Отметим, что если {an} не убывает, то (3) следует из (8). Соотношения (3) и (8) выполнены, например, если an = [a(n)], где a(x) —правильно меняющаяся на бесконечности функция такая, что 1 < a(x) < x для любого x и a(x) — ж при x — ж. Это позволяет легко построить примеры немонотонных последовательностей {a,n}, удовлетворяющих (3) и (8). Такой будет, например, последовательность an = [c(n + ( — 1)n logn)], с e (0,1), n > 1/c.

Соотношения (4) и (9) выполнены для неубывающих {bn} и для {bn} вида bn = [b(n)], где b(x) — правильно меняющаяся на бесконечности функция такая, что b(x) — ж при x — ж. Таким образом, {bn} также может быть немонотонной.

Перейдем к оценкам снизу для п.н. верхнего предела нормированных приращений. Теорема 2. Пусть {bn} — последовательность положительных постоянных, {an} — последовательность натуральных чисел такая, что 1 < an < n. Предположим, что выполнен один из следующих двух наборов условий:

1) существует последовательность натуральных чисел {щ} такая, что щ /'ж при l — ж, ani /щ — q e [0,1) при l — ж и

limsup —--—- < --, (10)

l^tt ani-1 q

где мы полагаем 1/0 = ж;

2) существует положительная постоянная с > 1 такая, что a^cn]/cn — 1 и выполнены условие 3 теоремы 1 и

lim sup lim sup < 1. (11)

e\i t^tt b[et]

Предположим, что для любого £ > 0 существуют т > 0 и H3 > 0 такие, что неравенство

P(San > (1 — £)bn) > H3e-(i-T)ßn (12)

выполнено для всех достаточно больших n. Тогда

R

limsup —— >1 п.н. (13)

bn

Если условия теоремы выполнены с заменой ani-1 на ani в (10), то (13) справедливо с заменой Rn на Tn.

Отметим, что первая часть условия 1 теоремы 2 эквивалентна соотношению liminf an/n < 1. Неравенство, противоположное последнему, равносильно тому, что an/n — 1. В первой части условия 2 предполагается несколько меньше. Кроме того, если an/n — q < 1, то выполнены (10) и его модификация в случае Tn. Условие (11) представляет собой непрерывный аналог условия (8). Теорема 3. Пусть {bn} — последовательность положительных постоянных, {an} — последовательность натуральных чисел такая, что 1 < an < n и log log n = o(log(n/an)).

Предположим, что для любого £ > 0 существуют т > 0 и H3 > 0 такие, что неравенство (12) выполнено для всех достаточно больших n. Тогда

liminf — > 1 п.н. (14)

bn

Из теорем 1, 2 и 3 и неравенств Rn < Un < Wn вытекает следующая теорема. Теорема 4. Если выполнены условия теорем 1 и 2, то

Wn Un Rn Tn

limsup —— = limsup — = limsup —— = limsup — = 1 п.н.

bn bn bn bn

Если выполнены условия теорем 1 и 3, то

У Wn Un um-= lim — = 1 п.н.

bn bn

3. Доказательства. Для доказательства теоремы 1 нам понадобится следующая хорошо известная лемма.

Лемма 1. Пусть r, s > 0, q > 0. Если P(Si > -s) > q для всех i = 1, 2,...,n, то

p( max (S,- - S\) > И < q-2P(Sn > r - s).

\0<i<j<n J

Доказательство теоремы 1. Обозначим

Wn = nmax imax (Sk+j - Sk).

Так как Wn < Wn и Tn < Wn для любого n, нам достаточно доказать (7) с заменой Wn на Wn.

Предположим сначала, что выполнены условия 1-3 и H2 > 0.

Возьмем £ > 0. Из соотношений (3) и (4) следует, что существует во > 1 такое, что для любого в € (1, во) неравенства

max — < 1 + е, (15)

9k-1<j<9k<i<9k+1 ab-

max — < 1 + e (16)

ek-1<j<i<ek+1 bi

выполнены для всех достаточно больших k.

Возьмем в € (1, во) и для k =1, 2,... обозначим

nk = minin : вк-1 <n < вк, nP(X > bn) = min mP(X > bm)\, (17)

l вк-1<т<вк J

Ak = {W*nk+1 > (1 +4£)bnfc}, Nk = [nk+i/(£anfc)] + 1. Учитывая, что Nk < (1 + £)nk+i/£ank, имеем

(Nk (

u|

max max (Sm+i — Sm) > (1 + 4£)bn^ | <

(j-i)eank <m<jeank i<l<ank+1

Nk ( \

^ max max (Sm+i — Sm) > (1 + 4£)bnk <

j=i \{j-i)^ank <m<jeank i<l<ank+1 J

< ATfcP max max (Sm+i - Sm) > (1 + 4e)bnk ) <

0<m<£ank l<l<ank+1

< (1 + £)nfc+1P ( max max (Sm+l - Sm) > (1 + 4e)6„fc

£ank \0<m<ea„k !<l<ank+1

Из (15) следует, что неравенство ank+1 < (1 + £)ank выполнено для всех достаточно больших к. Кроме того, nk+i¡nk < в2. Поэтому

Р(Ак) < (1 + £)^nfcP ( max max (Sm+i - Sm) > (1 + Ае)ЬПк

£ank \0<m<eank 1<l<(1+E)ank

для всех достаточно больших к. Используя лемму 1 и (6), получим

Р(Ак) < {l+JfnkP (S[(i+2E)-nJ > (1 + 2е)ЬПк)

У nk

для всех достаточно больших к. Учитывая неравенство (5), мы имеем P(Ak)<C1—exp{-(í + S)fjnk} + C2nkP(X>bnk)

ank

для всех достаточно больших к. Используя определение вп, получим

P(Ak) < Ci(lognk)-(1+s) + C2nkP(X > bnk) (18)

для всех достаточно больших к. В силу (17)

OO OO

Ep(X > bn) = £ P(X > bn) >

n=i k=iek-1<n<ek

O i в _ i O >^пкр(х>ъПк) ]г —

k=i ek-1<n<ek k=i

Значит условие 1 влечет сходимость ряда ^пкР(X > Ьпк).

Отсюда, из (17) и (18) мы заключаем, что ряд ^'к'=1-Бореля—Кантелли

Отсюда, из (17) и (18) мы заключаем, что ряд ^P(Ak) сходится. По лемме

W*

limsup +1 < 1 + 4е п.н.

k—><х> bnk

Пусть n такое, что nk < n < Uk+i. Тогда в силу (16) неравенства (1 + e)bn > bnk выполняются для всех достаточно больших к. Поэтому

W * W *

bn bnk

для всех достаточно больших к. Следовательно,

W *

limsup—— < (1 +4е)(1 +е) п.н.

bn

Переходя в последнем неравенстве к пределу при е { 0, получим (7) для Wn. 48

Перейдем к доказательству теоремы в двух оставшихся случаях. Возьмем £ > 0. Из соотношений (8) и (9) вытекает существование во > 1 такого, что для любого в € (1, во) неравенства

^<1 + £, (19)

а,[вк]

Ь3

тах < 1 + £ (20)

вк-1<з<г<вк+1 Ьг

выполнены для всех достаточно больших к.

Возьмем в € (1, в0) и обозначим пк = [вк], Лк = > (1 + 4£)Ьпк}, к = 1, 2,...

Если условие 2 выполнено с Н2 = 0, то действуя так же, как раньше, мы получим (18) с С2 =0. При этом вместо (15) используется (19). Если logап = o(logп) и выполнено условие 2', то, используя (19), мы имеем

апк+1

Р(Лк) < Пк+1 Р(№ > (1 + 4фпк) < 3=1

(1+4е)аПк (1+4е)аПк

< 2впк Р(№ > (1+4£)Ьпк) < 2вНтк ^3 е-(1+3)впк =

3=1 3=1

= 2вН1(1+4£)п-6а2+6 (log пк )-(1+6).

Это снова влечет (18) с С2 =0. Следовательно, ряд ^1 Р(Лк) сходится. Дальше доказательство совпадает с доказательством в первом случае. При этом вместо (16) нужно воспользоваться (20). □

Доказательство теоремы 2. В силу (12)

Р(п) = Р(Еп > (1 - £)Ьп) > Нз ехр{ —(1 - г)вп} (21)

для всех п > N.

Пусть сначала выполнено условие 1. Не умаляя общности, можно считать, что п1 > N.

Положим ¡1 = 1, ¡к = шш{1 : щ — ащ > щк-1}, к = 2, 3,... В силу условия 1 Щ — ащ — ж при I -ж. Следовательно, {¡к} определена корректно, ¡к / жж при к -ж, и мы имеем

п1к — апгк > п1к-1 > п1к-1 — апк-1 . (22)

Обозначим Дп = щк — щк-1, к = 2, 3,... Ясно, что Дпгк > 0 для всех к. Используя (21) и определение вп, получим

т т

7 7 п1к — 1

к=г к=г к

Поскольку выполнено соотношение (10) и апн ¡п\ — д при I — ж, существуют положительные постоянные с и 6 < 1 такие, что

Дп1к , Дп1к + ап1к-1 <; -— < с и ----— < 6

апьк-1 п1к

для всех к > K. Используя два последних неравенства, неравенство — log(1 — x) < Cgx при x € (0,J), и (22), имеем

Сй(с+ 1)—> Сг—*-> log-is--- >

nlk-1 nlk nlk — anik-i — Anik

^ 1 nlk > log-

nlk-l

для всех к > K. Следовательно,

m H

Cg(c +1) nlK-i

и ряд k P(nlk-i) расходится. Из неравенств (22) вытекает, что события {Rnik > (1 — s)bnik }, к = 1, 2,..., независимы. Заключение теоремы для Rn следует теперь из леммы Бореля—Кантелли.

Перейдем к доказательству для Tn. Пусть выполнено условие 1 с соответствующей заменой в (10).

Положим li = 1, lk = min{l : щ > nllk-1 + anik i}, к = 2, 3,... Тогда lk f ж при к и nlk > nlk-1 + anlk-i > nlk-i. Обозначим Anlk = nk — mk-i, к = 2, 3,... Учитывая (21) и определение f3n, имеем

m m

£ ) ^ H^og(nlm + anim ))-1+T E ?k ■ t=r m t=r nlk + anik

Соотношение (10) выполнено теперь с аП1 вместо аП1-1. Поэтому существуют положительные постоянные с и 5 < 1 такие, что Д„гк < саП1 и Д„^ + а„к < 5(щк + а„к) для всех к > К. Действуя так же, как раньше, мы получим

п < , 1 \ a'nik ^ 1 nlk + ank Cs{c+l)-- >log-

п1к + ащк Щ— + а„1к-1

для всех к > К. Следовательно, ^т=К Р(Щк) > С(^(п;т + а„т ))т, и ряд ^н Р(п^) расходится. Так как события {Т„гк > (1 — е)Ь„1к }, к =1, 2,..., независимы, нам остается только применить лемму Бореля—Кантелли.

Пусть выполнено условие 2. Начнем с доказательства для Rn.

Положим пк = [вк], к = 1, 2,..., где в = ст. Выбором т мы распорядимся позднее. Возьмем 5 > 0 и е > 0.

Рассмотрим события Лк = {Б„к — Б„к-аПк_Пк_1 > (1 + е)(1 — 5)Ь„к}, Бк =

{Бпк-аПк-Пк_1 — Б „к-аПк > —е(1 — 5)Ь„к }, к = 1, 2,...

Из условия 3 теоремы 1 следует, что Р(Он) > ц для всех достаточно больших к. Отметим, что пк — а„к—„к_1 > пк—1 для всех к. Из определения событий Лк и Бк вытекает независимость следующих пар событий: Ак и Ик, Ак и ОкАк-\Ок-\, Ак и ОнЛк-1Пк-1Лк-2Юк-2,...

В силу (11) существует Ао > 1 такое, что Ь^] < (1 + е)Ь^] для всех 1 < Л < Ао и всех достаточно больших Ь. Поэтому, выбирая т в определении в столь большим, чтобы А = в/(в — 1) < Ао, получим Ь„к < (1 + е)Ь„к—Пк_1 для всех достаточно больших к.

Следовательно,

P(Ak) = P {Sank_nk_i > (1 + е)(1 - S)bnk) >

> P (Sank_nk_1 > (1 + е)2(1 - S)bnk-nk_1)

для всех достаточно больших к. Возьмем е такое, что (1 + е)2(1 — 5) = 1 — 5/2. В силу (12)

P(Ak) > И3 exp{ —(1 — г)впк } > Н3к-(1-т>

для всех достаточно больших к. Значит ряд к P(Ak) расходится.

Применяя лемму 5, (см. [10], с. 267), мы получим P(AkDk б.ч.) > q > 0. Поэтому

P (Rnk

> (1 — 5)bnk б.ч.) > q > 0. Отсюда и из закона «0 или 1» Колмогорова следует (13), и теорема доказана для Rn. Передем к доказательству для Tn.

Мы имеем a^k+i] > a^k] для всех к > K. Положим nk = [9k+K], к = 1, 2,..., где в = cm, а выбором m мы распорядимся позднее.

Возьмем 5 > 0 и е > 0. Рассмотрим события Ak = {Snk+ank — Snk+ank-ank-nk-1 >

(1 + е)(1 — 5)bnk}, Dk = {Snk+ank-ank-nk-1 — Snk > —е(1 — S)bnk}, к = 1, 2,...

Далее доказательство не отличается от доказательства в случае Rn, и поэтому мы его опускаем. □

Доказательство теоремы 3. Возьмем е > 0 и положим An = {Un < (1 — e)bn}. Используя (9) и неравенство 1 — x < e-x, x > 0, имеем

([n/an]-1 \

П {S(m+1)a„ — Sman < (1 — e)bnH <

m=0 J

( n \[n/an]-1 / / an \1-T\[n/an]-1

< exp {— H3([n/an] — 1)(n/an)-1+T(logn)-1+T}

для всех достаточно больших n. Так как log log n = o(log(n/an)), имеем (n/an)T > (logn)2 для всех достаточно больших n. Поэтому P(An) < n-2 для всех достаточно больших n и ряд ^n P(An) сходится. Лемма Бореля—Кантелли влечет (14). □

Summary

A. N. Frolov. Universal limit theorems for increments of sums of independent random variables.

We derive universal limit theorems for increments of sums of independent identically distributed random variables for non-monotone sequences of lengths and non-monotone norming sequences.

Литература

1. Shepp L. A. A limit law concerning moving averages // Ann. Math. Statist. 1964. Vol.35. P. 424-428.

2. Erdos P., Renyi A. On a new law of large numbers // J. Analyse Math. 1970. Vol. 23. P. 103111.

3. Mason D. M. An extended version of the Erdos—Renyi strong law of large numbers // Ann. Probab. 1989. Vol. 17. P. 257-265.

4. Csorgo M., Revesz P. Strong approximations in probability and statistics. Budapest, Akademiai Kiado. 1981. 261 p.

5. Фролов А. Н. Об асимптотическом поведении приращений сумм независимых случайных величин // Доклады РАН. 2000. Т. 372, №5. С. 596-599.

6. Frolov A.N. On one-sided strong laws for increments of sums of i.i.d. random variables // Studia Sci. Math. Hungar. 2002. Vol. 39. P. 333-359.

7. Фролов А. Н. Предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин // Теория вероятн. и ее примен. 2003. Т. 48. Вып. 1. С. 104-121.

8. Frolov A. N. Converses to the Csorgo—Revesz laws // Statist. Probab. Letters. 2005. Vol. 72. P. 113-123.

9. Фролов А. Н. Сильные предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин // Записки научн. семин. ПОМИ. 2004. Т. 311. С. 260-285.

10. Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М., 1987. 320 с.

Статья поступила в редакцию 20 июня 2005 г.