CC BY
32
УДК 517.988.8
О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПРОЕКЦИОННОГО ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА К ОБОБЩЁННОМУ РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЯ
А.А. ФОНАРЁВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.
Получена оценка скорости сходимости последовательности проекционного итерационного процесса к обобщённому решению нелинейного уравнения в гильбертовом пространстве.
Ключевые слова: последовательность, проекционный итерационный процесс, скорость сходимости, решение уравнения.
Введение
Модификация метода расходящихся рядов, являющегося градиентным методом [1, с. 91], использована в [2] для отыскания решения уравнения
Ех = 0 (х е Н) (1)
с нелинейным оператором Е из гильбертова пространства Н в Н. При этом оператор Е удовлетворял условию типа равномерной монотонности.
В [2] в отличие от градиентных методов оператор Е не являлся потенциальным. И в [2] сходимость последовательности итерационного процесса, являющегося модификацией метода расходящихся рядов, к решению уравнения (1) получена без оценки скорости сходимости.
В статье получена оценка скорости сходимости последовательности ПИП (проекционного итерационного процесса), сочетающего в себе проекционный метод и итерационный процесс и построенного с использованием метода расходящихся рядов, к обобщённому решению уравнения (1).
Результаты статьи частично анонсированы в [3].
1. Постановка и формализация задачи
Пусть (х,у) и ||Х| = (х, х)12 - скалярное произведение и норма для х,у е Н.
Введём понятие обобщённого решения уравнения (1).
Определение 1. Обобщённым решением уравнения (1) называется такой элемент х0 е Н,
что
Яе(Ех, х - х0) > с (|х - х0||)||х - х0||2
для "х е Н, где с(^) - положительная невозрастающая функция, заданная для I > 0.
Введённое понятие обобщённого решения уравнения (1) отличается от понятия обобщенного решения уравнения, использовавшегося в [4-6].
Пусть {Н1} - такая последовательность подпространств (замкнутых) пространства Н, что
Hi с Нг+1 для "г > 1. Пусть Рг - оператор ортогонального проектирования пространства Н на Hi для "г > 1. И пусть 80 и у0 - такие числа, что 80 >у0 > 0.
Рассмотрим последовательность {хг} ПИП
х,-+1 = х, -ЦР+1Ехг (г > 1) (2)
с аг = 1/(Щ), ст, + 30 > Ь >аг + у0, <7г = ||хг.|| + | р+ЕхЦ (г > 1), начатого с любого элемента
х1 е Н1.
Так как элементы последовательности {хг} ПИП (2) могут принадлежать разным подпространствам пространства Н, то ПИП (2) совмещает в себе проекционный метод и итерационный процесс, что обосновывает название ПИП.
ПИП (2) является модификацией метода расходящихся рядов, ибо при построении ПИП (2)
используется расходящийся ряд X = 1/ г.
ПИП (2) — это итерационный процесс из теоремы 1 в [3].
Основными результатами статьи являются теоремы об оценках скорости сходимости последовательности ПИП (2) к обобщённому решению уравнения (1).
2. Основные теоремы
При доказательстве теорем используется следующая лемма, сформулированная в [3].
Лемма 1. Предположим, что для последовательности {Аг} неотрицательных чисел имеем неравенства
А,„ <М1 - С’/г) + С2/г '• (г > 1) с постоянными С1 е (0,1] и С2 > 0.
Тогда при С1 = 1 имеем неравенства
а,+1 < (а, + С2 ехР(1)(1 + 1п0)/(/ +1) (7 > 1), а при С1 е (0,1) имеем неравенства
Аж < (А( + С2 ехр(С, )(1 - С,)-1 (2 - С, -1 (г + 1)'-С' ))/(г + 1)С' (г > 1). Доказательство. В силу леммы 3 в [7] для двух неотрицательных последовательностей {^}г=1 и {ч, }г=1, удовлетворяющих неравенствам
3+1 <3(1 - ч,)+т (г >1),
где < 1 и е > 0 (г > 1), выполняются неравенства
3 + X £кЧк ехР(^ )1 ехР( ^г X
3+1 <
V к=1
где sг = ч1 + • • • + ч, (г > 1).
Взяв qi = С1/г и е = С2/(С1г) (г > 1), имеем неравенства
А« <
vАг + С2 ^Т2еХР ( ^ ) | еХР(-$ ),
где
Отсюда с использованием неравенств
г 1
1п(( +1) < £- < 1 + 1пг
1=1 1
имеем неравенства
' г 1 ^ 1 а,+С2ехР(с1)]=;кзгСт(г >1).
С использованием этих неравенств, учитывая при С1 е (0,1) неравенства
А« <
1 <_±
2 - С -
1
к=1 к2-С 1 - С1 г ^ (( + 1)1-С1)
имеем неравенства из заключения леммы. Лемма 1 доказана.
Предположим, что:
1) оператор Е является монотонным, т. е. (Ех - Еу, х - у) > 0 для "х, у е Н;
2) оператор Е является ограниченным, т. е. он преобразует любую ограниченную последовательность в ограниченную;
3) уравнение (1) имеет обобщенное решение х0 е Н,
||х0 - Р(+1х0| < С3/г , |р+1Е(Рг+1 х0^| < С*1( (г > 1)
с неотрицательными постоянными С3 , С4 .
Справедлива следующая теорема о скорости сходимости последовательности ПИП (2) к обобщённому решению уравнения (1).
Теорема 1. При выполнении условий 1)-3) последовательность {х, } ПИП (2) сходится к обобщённому решению х0 уравнения (1) и справедлива оценка
||хг - хЛ = О (VгР12 ) (г ® ¥) (3)
с постоянной Ь е (0,1).
Доказательство. С использованием равенств
IIх,+1- хЛ2=1 к- х! - 2ц ке «- ЕРш х0, *, - рм *,,)+(Рг+^л, - *„))+
+Ц|КЕ*Х' ((> 1)
и монотонности оператора Е имеем неравенства
||хг+1 - х^Г < ||хг - х0||2 + (2С4 (1 + |КЦ/70 ) + 1 ^(2 (( > ^
из которых вытекает ограниченность последовательности {х, }.
С использованием равенств
|х(+1 - х0 ||2 = IIх, - х0|2 - 2Ц Ке ((Ехг, х( - х^ + (Ехг, х0 - Р+1х^ ) + Ц IР+1Ех( 112 (( > 1)
имеем неравенства
IIх,+1- хЛ2 <(1 - 2ас (Iх,- хЛ))||х,- хЛ2+(2С3| 1Ехг||/70+0/(2 ((> ^
которые позволяют использовать лемму 1. Теорема 1 доказана.
Теорема 1 является аналогом теоремы 1 в [3].
Предположим, что выполняется следующее условие:
4) ||Ех|| < М (|х||) для "х е Н, где М^) - положительная неубывающая функция, заданная для I > 0.
С использованием неравенств из доказательства теоремы 1 имеем неравенства
где постоянная
\\xM - xo|| £ C5 (i > 1),
Л/2
C5 >
v0
|к+- xJI2 <(|| x1- x0l2
+ (2C4 (1 + |Ы1/g) + 1) ^~
i=i 1 у
Ы| £ C6 (i > 1), C6 > max (|xj,||x„| + C5);
¡Fx\\ <M(C6) (i > 1); c (|xi - x0||)> c0 (i > 1), c (max (||x1 - x0||,C5)) > c0 > 0;
a > C^i (i > 1), C7 = 1/(¿0 + C6 + MC));
||xi+1 - xJ|2 <(1 -Pli)\x - xJ|2 + QA'2 (i > 1), b = 2c0C7, C8 = 2C3M (QV У0 +1
С использованием леммы 1 доказывается следующая теорема, в которой уточняется оценка (3). Теорема 2. При выполнении условий 1), 3), 4) последовательность {х;} ПИП (2) сходится к обобщённому решению х0 уравнения (1) и при / = 1 имеем неравенства
< (||Xj - x^|2 + C8exp(1)(1 + lnl))l(i +1) (i > 1), а при / e (0,1) имеем неравенства
|1х,-+1-х^Г < (IIx-х^Г+C8exp(/)(1 -/)-1 (2-/-V(i+1)1-/))/(i+1)b (i> 1).
Отметим, что при выполнении условий 1)—3) выполнение леммы 1 с C1 e (0,1) реализуется. Соответственно при выполнении условий 1), 3), 4) реализуется условие / e (0,1).
Вычисление постоянных / и С8 связано с оценкой нормы обобщенного решения.
Заключение
Автором получены оценки скорости сходимости последовательности проекционного итерационного процесса, сочетающего в себе проекционный метод и итерационный процесс, к обобщённому решению нелинейного уравнения в гильбертовом пространстве. Проекционный итерационный процесс построен с использованием модификации метода расходящихся рядов.
Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» проект 2.1.1/500.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. - М.: Мир, 1979. - 574 с.
2. Фонарёв А.А. О решении нелинейных уравнений с монотонными отображениями // Дифференциальные уравнения. - 1978. - Т. 14. - № 4. - С. 680-689.
3. Фонарёв А.А. О скорости сходимости некоторых итерационных процессов // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика. - М.: МФТИ, 2009. Т. 2. - С. 175-177.
4. Фонарёв А.А. О некотором проекционном итерационном методе решения нелинейных уравнений // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики и их приложения в задачах физики: Междувед. сб. ст. - М., МФТИ, 2005. - С. 241-247.
5. Фонарёв А.А. О некотором свойстве монотонных нелинейных операторов в нормированных пространствах // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика и физика. - 2007. - № 114 (4). - С. 56-61.
6. Фонарёв А.А. Об обобщённом решении вариационных неравенств в нормированных пространствах // Актуальные проблемы фундаментальной и прикладной математики: Сб. науч. тр. - М.: МФТИ, 2009. - С. 136-142.
7. Перов А.И., Юргелас В.В. О сходимости одного итерационного процесса // Вычислительная математика и математическая физика - 1977. - Т. 17. - № 4. - С. 859-870.
ABOUT SPEED OF CONVERGENCE OF SEQUENCE OF PROJECTIVE ITERATIVE PROCESS TO THE GENERALIZED DECISION OF THE EQUATION
Fonarev A.A.
The author receives estimations of speed of convergence of sequence of projective iterative process to the generalized decision of the nonlinear equation in Hilbert space. Projective iterative process combines a projective method and iterative process.
Key words: sequence, projective iterative process, speed of convergence, equation decision.
Сведения об авторе
Фонарёв Анатолий Афанасьевич, 1942 г.р., окончил МГУ (1972), кандидат физико-
математических наук, доцент кафедры высшей математики МФТИ, автор более 110 научных работ, область научных интересов - нелинейные уравнения в нормированных пространствах, приближенные методы нелинейного функционального анализа.
