CC BY
17
УДК 517.988.8:536.48
О НЕКОТОРЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ К ЗАМКНУТОМУ МНОЖЕСТВУ НЕТРИВИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ГИНЗБУРГА - ЛАНДАУ
А.А. ФОНАРЁВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.
Исследуется возможность использования проекционного итерационного метода, сочетающего в себе проекционный метод и итерационный процесс, для отыскания приближений к замкнутому множеству нетривиальных обобщённых решений краевой задачи для уравнений Гинзбурга - Ландау феноменологической теории сверхпроводимости. Обобщённые решения краевой задачи для уравнений Гинзбурга - Ландау являются критическими точками функционала свободной энергии сверхпроводника.
Ключевые слова: проекционный итерационный метод, уравнения Гинзбурга - Ландау, решения.
Введение
В феноменологической теории сверхпроводимости изучается поведение сверхпроводимости во внешнем магнитном поле. Состояние сверхпроводника, занимающего объём О ^ Я3 ( О - ограниченная выпуклая область в трёхмерном евклидовом пространстве Я3 с границей дО, О = О ^ дО ), описывают решения уравнений Гинзбурга - Ландау феноменологической теории сверхпроводимости, имеющих тривиальное (нулевое) решение.
В [1] исследуется более общая краевая задача для уравнений Гинзбурга - Ландау, чем исследуемая в [2] соответствующая абрикосовскому смешанному состоянию краевая задача, и определяется обобщённое решение краевой задачи для уравнений Гинзбурга - Ландау феноменологической теории сверхпроводимости, являющееся критической точкой функционала сверхпроводника.
С использованием уравнений Гинзбурга - Ландау и граничных условий, определяющих их решения, в [1, с. 345-350] доказывается существование нетривиального обобщённого решения краевой задачи для уравнений Гинзбурга - Ландау.
Точная аналитическая запись решения краевой задачи для уравнений Гинзбурга - Ландау оказывается невозможной в силу существенной нелинейности уравнений Гинзбурга - Ландау. Поэтому для поиска решений краевой задачи для уравнений Гинзбурга - Ландау применимы только численные методы.
В численных методах для поиска решений краевой задачи для уравнений Гинзбурга -Ландау важное место занимают частные конкретные задачи для уравнений Гинзбурга - Ландау [3; 4]. Например, в [4] численными методами изучено влияние граничных условий на решения уравнений Гинзбурга - Ландау для тонких сверхпроводящих пластин в безвихревом пределе.
В статье, следуя [1], при построении численного метода для поиска решений краевой задачи для уравнений Гинзбурга - Ландау рассматривается общая краевая задача для уравнений Гинзбурга - Ландау.
Показывается, что приближения к замкнутому множеству нетривиальных обобщённых решений краевой задачи для уравнений Гинзбурга - Ландау можно получить с использованием проекционного итерационного метода (ПИМ), сочетающего в себе проекционный метод и итерационный процесс [5, с. 141], где это утверждается без строгого обоснования). При этом существенно используется исследование функционала свободной энергии сверхпроводника, приведённое в [1].
1. Функционал свободной энергии сверхпроводника
Пусть (•, •) - скалярное произведение в R3; V - оператор градиента в R3:
V = (d/dx1, д/дх2, д/дх3);
rot - оператор ротора: rot = (д/дх2 -д/дх3, д/дх3 -д/дх1, д/дх1 -д/дх2); n - вектор нормали дО; W2(О) - вещественное пространство С.Л. Соболева со скалярным произведением
U V)w2(Q)=io{uV + (VU' Vv)} dx
и нормой
12
Irllw2(О) = ^\u,uW2(о)
для u, v eW 2 (О); £1 - рассматриваемое над полем действительных чисел гильбертово пространство комплексных функций, вещественные и мнимые части которых являются элементами пространства W12(О) . Скалярное произведение на Е1 определяется равенством
y,)£l=Re J0Mх )ф( х )+(v\ х), V)(х))}dx
для y,)e Е1. Здесь и далее (*) - операция комплексного сопряжения.
Обозначим через £2 гильбертово пространство вектор-функций A = ( A1, A2, A3), компоненты которых принадлежат пространству W12(О). Скалярное произведение вектор-функций A = (A1,A2,A3), B = (B1,B2,B3) на Е2 определим равенством
(A,B) =j|y3 A.B +V3 ^Ыd*.
Рассмотрим гильбертово пространство Е = Е1 х Е2, состоящее из пар (у, A) с ye Е1 и A e Е2. Скалярное произведение элементов (у, A), (), B) e Е определим равенством
(u, v)E = (у, ^ щ +{А, ЩЕ .
При соответствующем выборе единиц измерения уравнения Гинзбурга - Ландау феноменологической теории сверхпроводимости и граничные условия, определяющие их решения (у, A) e Е, имеют вид:
(iV- A)2у + и\ -Лу = 0; (1)
-rot rot A = A\y\ + i (y*V у -yV у**); (2)
(n,-iVy- Ay)^ 0; (3)
rot A х n\дО= 0, (4)
где Л и / - вещественные параметры; i = V-1 .
Уравнения Гинзбурга - Ландау являются уравнениями Эйлера функционала f свободной энергии сверхпроводника, который определяется на парах u = (у, A) e Е равенством
к
f (u) = 1 rotA\2 + |V\- iAM\ +J
(u ) = TU \rotA\" + |V\-iAiy\2 + ~М\r dx. (5)
Функционал f непрерывно дифференцируем по Фреше на E и
(Vf (u ), v}e = rot A, rotB ) + ( A\\\ + i\V\- i\V\, B)} dx +
(6)
+ ReJQ{(V\-iA\, V<p* + iA<*) + (^M|2 Хц/)<}dx
для u = (\, A), v = (<, B) e E, где Vf - градиент (производная Фреше) функционала f . Критические точки функционала f на E являются решениями операторных уравнений
PVf (u ) = 0, QVf (u ) = 0 (u e E), (7)
где P : E ^ E1, Q : E ^ E2 - операторы ортогонального проектирования пространства E на E1 и E2 соответственно.
Операторные уравнения (7) называются в [1] уравнениями Гинзбурга - Ландау, а их решения - обобщёнными решениями краевой задачи (1)-(4). Если обобщённое решение u = (\, A)
достаточно гладкое, то пара (\, A) является классическим решением краевой задачи (1)-(4) для
уравнений Гинзбурга - Ландау.
Обозначим через F подпространство пространства E2, состоящее из вектор-функций
A = ( A1, A2, A3), удовлетворяющих условиям:
divA ^ + dA- +dA = 0; (A, n )|sn= 0.
dx1 dx2 dx3 1
Пусть H - прямое произведение пространств E1 и F. Пространство H является замкнутым подпространством пространства E. На пространстве H [1] норма ||-|| эквивалентна норме
Ни = (МE + I\rotA\\I(Q) ) '/ (u = М A) e H) ,
где
\\rotA\\L2 (q)=JQ( rotA rotA) dx.
На пространстве И функционал (5) допускает представление
f (u )=2И И + g(u).
В [1] отмечается, что: 1) из равенства (6) вытекает, что функционал g дифференцируем по Фреше на И, а его градиент Vg : И ^ И вполне непрерывен; 2) градиент Vf функционала f на И удовлетворяет условию (S)+, т.е. из слабой сходимости последовательности {un }J= с И к u 0 e И и
lim supn^(Vf (un), un - u^ih < 0
(lim sup - верхний предел) вытекает, что
limn^l Iun - MH = 0.
В [1, с. 349] доказано, что если и = (ф, А) - критическая точка функционала /, рассматриваемого на Н, то и - критическая точка этого функционала на Е. Таким образом, задача об отыскании критических точек функционала / на Е сводится к отысканию критических точек на более узком пространстве Н точек.
И в [1] доказано, что функционал / : Н ^ Я1 растущий, т.е. Нт^ц /(и) =
При Л > 0 на вектор-функциях (у, 0) , где у - малая ненулевая постоянная, функционал / принимает отрицательные значения, а / (0) = 0.
Пусть Ь (О), q > 1, - пространство Лебега с нормой
и
К (О
({О |и (х)|^)' (и е К (О)) .
Пространство С.Л. Соболева W12(О) вложено в пространство Лебега Ь (О) с q < 6, т.е. W12(О) е Ьч (О) и оператор вложения у : W12(О) ^ Ьч (О) , у (и) = и (и е W12(О)), является непрерывным взаимно-однозначным отображением W12(О) в Ь (О) . При q < 6 пространство W12 (О) вложено в Ь (О) компактно, т.е. оператор у компактный.
Говоря о компактности оператора, имеем в виду преобразование оператором любого ограниченного множества в компактное множество, т.е. в такое множество, что из любой последовательности, содержащейся в множестве, можно выделить фундаментальную подпоследовательность [6]. И говоря далее о компактности последовательности, будем иметь в виду, что из любой подпоследовательности последовательности можно выделить фундаментальную подпоследовательность.
Покажем, что градиент Vg функционала g равномерно непрерывен на ограниченных множествах пространства Н. При доказательстве равномерной непрерывности оператора на ограниченных множествах пространства Н ограничимся исследованием только члена
¡у"У у - ¡уУу* = 2 {(1т у) V Яеу-( Яеу)У 1т у}
в первом интеграле в равенстве (6).
Если у = V + ¡а, то
(у У у - у у , В) = 2£3=1 (а vXt - ) Вк. (8)
Рассматривая слагаемое vаxBl в сумме в (8) (остальные слагаемые в сумме в (8) рассматриваются аналогично), при и = (у, А), и = (у, А), V = (д>, В) е Н, у = V + ¡а , у = V + а
йЬс;
-т имеем:
Г \ Уй) -Ш |В^х < Г (у-у)у В. йх + Г у|(у -со IV В.
т] *|/ 1 Iх!1 ¿а \ I 1
V-V
Ь, Й
V В,
<с
V- V
V
Ця)
В
VI СО -СО 1 В. с!х < со -со УВ, < со-сЬ V в.
.V, .г, ¿2{о) 1 1
где С - норма оператора вложения у из W12 (О) в К 6(О) .
Следовательно, оператор Т: Н ^ Н, определяемый равенством
(Т (и), V) Н = {О(УУу-/уУу*, В) dx
для и = (у, А), V = (р, В) е Н, является равномерно непрерывным на ограниченных множествах пространства Н .
Из компактности и равномерной непрерывности на ограниченных множествах оператора Vg : Н ^ Н вытекает, что оператор Vg усиленно непрерывный (теорема 7.2 в [7, с. 86]), т.е. из
слабой сходимости последовательности {ии с Н к и0 е Н следует, что
Нт„ ( ип )-Vg ( ио )|| н = 0.
Отметим, что в [5] усиленная непрерывность оператора Vg не обосновывается. На самом деле, при построении ПИМ для отыскания приближений к нетривиальным решениям уравнений Гинзбурга - Ландау усиленную непрерывность оператора Vg можно не использовать при использовании равномерной непрерывности на ограниченных множествах оператора V/ : Н ^ Н, вытекающей из равномерной непрерывности на ограниченных множествах оператора Vg: Н ^ Н.
Таким образом, обоснована возможность отыскания критических точек функционала / в пространстве Н с использованием аналога ПИМ части 6.6 в [5], ибо результаты исследования уравнений Гинзбурга - Ландау в [1] и равномерная непрерывность на ограниченных множествах оператора V/ : Н ^ Н позволяют использовать аналог ПИМ части 6.6 в [5] для отыскания нетривиальных решений уравнения V/ (и) = 0 (и е Н), являющихся критическими точками функционала / на Н .
2. Проекционный итерационный метод
Пусть {Н. и {р - такие последовательности подпространств (замкнутых) пространства Н и операторов ортогонального проектирования р пространства Н на Hi (I > 1), что
выполняются следующие условия:
1) Hi е Hi+1 для каждого i > 1;
2) Ри ^ и при i ^ да для каждого и е Н ;
3) Н1 состоит из элементов (у,0) е Н с функциями у, равными константам. Зафиксируем произвольные числа
^ е (0,1) ; q е (0, q0 ) ; Ь > 0; бе (0,1]. Предположим, что Л > 0 . Рассмотрим последовательность {и. ПИМ
и+1 = и - Щ (i >1) (9)
с таким начальным элементом и1 е Н1, что / (и1) < 0, где при
И. = Р^/ (и. )* 0
имеем:
^ е [бТ, т ];
Т = 8иРте(0,Ь ] {(P+1V/ (и - ) , Ч)Н > 4ИЛН , ^ е (0 Т)} ^ Ч е Нг+1, , ™,)Н > qо| Мн ,
а при И. = 0 имеем ti = 0, = 0.
В силу выбора элементов и множителей ti (. > 1) в (9) ПИМ (9) является градиентным методом (методом типа метода наискорейшего спуска). И ПИМ (9) сочетает в себе проекционный метод и итерационный процесс, ибо элементы последовательности {и.ПИМ (9) принадлежат подпространствам пространства Н.
Справедливы следующие лемма и теорема, являющиеся аналогами леммы 6.7 и теоремы 6.12 в [5] и доказываемые так же, как лемма 6.7 и теорема 6.12 в [5].
Лемма. Для последовательности {и.ПИМ (9) имеем:
1) / (и) > / (и+1) для всех . >1;
2) последовательность {и.ограничена в Н;
3) ряд ^^ti \\И\\Н сходится;
4) Щ ||н ^ 0 при . ^ да;
5) последовательность {V/ (ui)} слабо сходится к нулю в Н ;
6) (у/ (и1), и, - и} ^ 0 при I ^ да для каждого и е Н .
Теорема. Последовательность {и. ПИМ (9) компактна, частичные пределы последовательности {и.}.= принадлежат множеству К = {и е Н : V/ (и ) = 0, / (и) < / (и1)} и
14^да {ш^ е К ||и. - и\\н } = 0. (10)
Заключение 1 леммы означает, что последовательность {и. }°= ПИМ (9) релаксационная [7, с. 155]. Поэтому множители ti (. > 1) в (9) можно назвать, следуя терминологии в [7], релаксационными множителями.
В силу (10) последовательность {и. ПИМ (9) сходится к замкнутому множеству К нетривиальных критических точек функционала /, рассматриваемого на пространстве Н . Множество К является замкнутым множеством нетривиальных обобщённых решений краевой задачи (1)-(4) для уравнений Гинзбурга - Ландау.
Заключение
Автором предложен проекционный итерационный метод, сочетающий в себе проекционный метод и итерационный процесс, для отыскания приближений к замкнутому множеству нетривиальных обобщённых решений краевой задачи для уравнений Гинзбурга - Ландау феноменологической теории сверхпроводимости. Обобщённые решения краевой задачи для уравнений Гинзбурга - Ландау являются критическими точками функционала свободной энергии сверхпроводника.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бобылев Н.А., Емельянов С.В., Коровин С.К. Геометрические методы в вариационных задачах. - М.: Изд-во Магистр, 1998.
2. Одех Ф. Задача о бифуркации в теории сверхпроводимости // Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения / под ред. Дж. Б. Келлера и С. Антмана. - М.: Мир, 1974. - С. 63-70.
3. Саунина С.С., Лексин А.Ю., Прохоров А.В. Автоматизация исследования солитонных решений дисси-пативного уравнения Гинзбурга - Ландау с использованием параллельных вычислений // Високопродуктивш об-числення: мiжнародна конференщя HPC-UA'2012 (Украша, Кшв, 8-10 жовтня 2012 року). - С. 300-304. [Электронный ресурс]. URL: http://hpc-ua.org/hpc-ua-12/files/proceedings/60.pdf.
4. Безотосный П.И., Лыков А.Н., Цветков А.Ю. Численное решение уравнений Гинзбурга - Ландау для сверхпроводящих пластин с использованием различных граничных условий // Научный Вестник СПбГУ ИТМО. -2008. - № 13 (58). - С. 42-46.
5. Фонарёв А.А. Проекционные итерационные методы решения уравнений и вариационных неравенств с нелинейными операторами теории монотонных операторов: монография. - М.: ИНФРА-М, 2014.
6. Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1980.
7. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. - М.: Наука, 1972.
ABOUT SOME APPROXIMATIONS TO THE CLOSED SET OF NOT TRIVIAL SOLUTIONS OF THE EQUATIONS OF GINZBURG - LANDAU
Fonarev A.A.
Possibility of use of a projective iterative method for search of approximations to the closed set of not trivial generalised solutions of a boundary value problem for Ginzburg - Landau's equations of the phenomenological theory of superconduction is investigated. The projective iterative method combines a projective method and iterative process. The generalised solutions of a boundary value problem for Ginzburg - Landau's equations are critical points of a functional of a superconductor free energy.
Key words: projective iterative method, Ginzburg-Landau's equations, solutions.
Сведения об авторе
Фонарёв Анатолий Афанасьевич, 1942 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики МФТИ, автор 127 научных работ, область научных интересов - нелинейные уравнения в нормированных пространствах, приближенные методы нелинейного функционального анализа, решение нелинейных эллиптических краевых задач.
