CC BY
25
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2011, том 54, №9_________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956
Академик АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайлов, Б.Шарипов
О СИСТЕМАХ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ОТ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЧИСЛА НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ И С СИНГУЛЯРНЫМИ ТОЧКАМИ
Институт математики АН Республики Таджикистан,
Институт предпринимательства и сервиса Республики Таджикистан
В статье рассматривается один класс систем уравнений в полных дифференциалах для функций произвольного числа независимых переменных при тождественном выполнении условия совместности, а многообразия решений систем находятся явно.
Ключевые слова: многомерное пространство - полный дифференциал - сингулярная точка - совместность системы.
В работах [1-5] были изучены системы уравнений в полных дифференциалах (п.д.) на плоскости гпйи = а(х, у)йх + Ь(х, у)йу, где п - произвольное неотрицательное целое число, а, Ь є С*(П)
- заданные функции, а и є С2(Д )- искомая функция, причём П = {(х, у)|0 < х2 + у2 < і| , а П0 -та же область П, но без особой точки г=0. В трёхмерном случае рассматривалось также уравнение
рпйи = а( х, у, £ )й.X + Ь( х, у, £^у + с( х, у, ,
где а, Ь, с є С1 (П), и є С2 (Д), Д = |(х, у, £) |0 < х2 + у2 + 72 < 11, причём не только в декартовых,
но и в цилиндрических, либо в сферических координатах. В этих работах было установлено свойство вырождения в сингулярной точке. Было выявлено, что решения изучаемых уравнений в двумерном случае могут быть многозначными, но в трёхмерном - всегда однозначны. Далее в работах [6,7] были продолжены исследования свойств гладкости решений.
В настоящей работе будет рассмотрен один класс нелинейных многомерных п.д.-систем с
сингулярной точкой р = 0 в области О = <^0 < Е х =р2 < 1. Переходя к п—мерной сферической
системе координат (см. [6,7]) и учитывая условия совместности изучаемых систем, можно найти такие классы функций, для которых условия совместности выполняются тождественно, а решения оп-
Адрес для корреспонденции: Шарипов Бобоали. 734055, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Борбад, 48/5, Институт предпринимательства и сервиса. E-mail: [email protected]
ределяются явно, а также исследуется поведение решений в сингулярной точке р = 0 области П . В дальнейшем будем обозначать через П0 ту же область П, но без особой точки р = 0.
1. Пусть будет задан полный дифференциал ртёи = Ерк (х,и)йхк, (к = 1,п), где
к=1
__ п
= (хх, х2,...,хп ), р^ (х, и) е С1 (О), и е С2 (Д, ), р2 = Е х2 , что равносильно п.д.-системе.
i =1
p
дu
= pk (x, u),(k = 1, n), либо
дu Pk (x, u)
p’
, x = (x1, x2,..., xn) (k = 1, n),
причём её условиями совместности будут:
A
дx
+
Pi Фk д
i Vp У
p2m дu дxk
f p^\ vPm У
p2m дu
= G, (i, k = 1, n; i Ф k) .
Переходя к сферическим координатам
x1 = psin P1 sin P2...sin Pn-1, x2 = psin P1 sin P2...sin Pn-2 CosPn-1, lx3 = psin P1 sin p2...sin Pn-3 cosPn-2,..., xn = pcosP1,
преобразуем систему (1) к виду
дu
дu
m / \ m-1 c/*/I
p T- = al(P,P,uX p -—
дP дPk
= ak+1 (P, P, uX P = (Pl, P2,..., Pn-1 ) (k = 1, n - 1),
где
a (p, P, u) = p sin P... sin Pn_j + p2 cos P sin P... sin Pn_j +... + pn_j sin P cos P + a cos P, a (p, P, u) = p cos P sin P... sin Pn_j + p2 cos P sin P... sin Pn_2 cos Pn_j +... +
+ pn-1 cos P cos P2 - pn sin P1, a (p, P, u) = a sin p cos p ... sin Pn4 +... + an_2 sin p cos p cos p - a^ sin p sin p ,
an (p, p m) = Pj sin p... sin pn-2 cos pn-1 - p2 sin p sin p2... sin pn-1. Тогда условия совместности (N) примут вид :
„m-1 ^1 , „ дal „ дak+1 „m-1
P T + ak+1 "Г------------------a1 “T--------P
pm
дРк
-1 ^ak+1 дР,
k+1 ^ 1 -“•> дu дu
дa
p
a,k+1 - (m - 1K .1
V
+a
дu
, . , да
k+1 pm-1--j— - a
дp
дa,
дР,
= G,
k У
(1)
(N)
(2)
(N1)
дР
k+1 „ = G,(j, k = 1, n - 1).
k+1
дu
Легко заметить, что для системы (2) в сингулярной точке р = 0 нельзя задавать условия задачи Коши, ибо при р = 0 из системы (2) автоматически получаются соотношения:
<
а (0, р, ы) = 0,..., ак+^0, р, ы) = 0; из них, кстати, могут быть найдены одно либо несколько искомых функций ы = Н.(р) е Сг(П),(г = 1,2,...,п) . При этом в постановке задачи было принято:
а(р,р,и),...,а (Р,Р,и) е С1(П) заданными функциями, а ы(р,р) е С:(Д ) и её производные по всем переменным считаются ограниченными. С другой стороны, при р = 0 из уравнений (N0 имеем,
что а^+1 (0, р, и) = с(0, р) а (0, р, и), (к = 1, п — 1), причём с(0, р) Ф 0. Из предыдущего равенства можно найти функцию ы = Н(р) , которая может быть единственным решением исходной системы. Если далее считать, что р Ф 0 , то получаем, что задача Коши с заданием при р Ф 0 для системы (2) может быть поставлена в виде:
ы = ы 0 при р = р0, рк =рк0)(0 <р('к) < 2ж, 0< Р = Р0 < 1). (3)
Пусть условия (N1) выполняются, но нетождественно. Тогда, решая систему (N1), как отдельные системы С 2 - алгебраических уравнений и применяя к ним теорему существования о неявных
функциях, найдём С2 решений: ы = ^(р,р), j = 1,2,...,С2 (см.[8,9]). После этого рассмотрим следующие возможные случаи:
а) Если хотя бы одна из этих функций удовлетворяет п.д.- системе (2), то она будет некоторым частным её решением. В противном случае система (2)-несовместна.
б) Если некоторая часть из (N1) выполняется тождественно, а другая часть -нетождественно, то для этой второй части сможем требовать выполнение условий из а). При этом мы получаем некоторые другие частные решения системы.
Теперь допустим, что условия (N0 относительно искомой функции выполняются тождественно, и кроме того потребуем, чтобы функции ак (р, р, ы) (к = 1, п) удовлетворяли условиям (М):
да
1) ак(р, р, и) е С1(П) , \ак(р,р, и)\ < К, ф 0,(к = 1,2,...); (К=соп81.);
ды
2) как следует из условия 1), функции ак (р,р, ы) по переменной р будут удовлетворять условию Липщица, то есть \ак (р, р, ы) — ак (о, р, ы)| < Ьк\р (0 < Л < 1) ;
3) существуют числа а, Ь, к такие, что при |х — х01 < а, Щ — щ | < Ь и достаточно малом
• ( Ь Л
к = шт а,— I обеспечивается единственное решение задачи Коши для исходной системы (2). То-
I К)
гда имеет место
Теорема 1. Пусть в п.д.-системе (2) ак е С1(П) (к = 1,п),ы е С2(О0) и, кроме того, вы-
полняются все три условия (М). Если условия совместности (N1) выполняются, но нетождественно, тогда могут существовать только некоторые частные решения п.д.-системы (2)
ы = ы . (р, р,..., ри-1) (j = 1, п — 1). Пусть условия N0 выполняются тождественно, тогда сущест-
вует единственное решение задачи Коши с заданием вне точки р = 0 для системы (2), причём тождественное выполнение этой совокупности условий является необходимым и достаточным.
Доказательство. Аналогично [1,8], легко получить необходимое условие существования решений системы (2). Поэтому надо доказать только достаточность условий существования решений системы. Интегрируя (п-1) уравнений системы (2) (кроме первого уравнения) по переменным (
р1,р2,...,р„—Д имеем:
где 7 (р) - новая неизвестная функция. Потребуем, чтобы функция вида (4) удовлетворяла первому уравнению системы (3). Тогда это условие даст нам возможность определить функцию Z(р). Дифференцируя (4) по переменной р и подставляя результат в систему (2), получим обыкновенное дифференциальное уравнение (о.д.у.) вида:
Легко проверить, что правая часть обыкновенного дифференциального уравнения (о.д.у.) (5) не зависит от переменных р = (р, р,..., рп_х) , то есть
Интегрируя о.д.у. (5) по переменной р , имеем 2 = Q(р,С), то есть 2 = Q(р,ы0) . Тогда единственное решение задачи Коши для системы (2) имеет вид
При этом легко заметить, что решение системы (2) всюду в области О является непрерывным, а в точке р = 0 имеет особенность (ш-1)- го порядка.
Для того чтобы всюду в области О получить непрерывное решение п.д.-системы (2), достаточно, чтобы функции а (р, р, ы) и Н(р,р, Q(р, ы0)) в точке р = 0 удовлетворяли условию:
Далее в работе будут рассмотрены случаи, когда п.д.-система (2) решается явно либо в квадратурах.
и(р,р)
1
Н (рр 7 (рХЬ
(4)
т-1
р
а + (т - 1)Н - РН'р йр рН7
(5)
д ( а + (т -1)Н - рНр^
0 ,(к = 1, п -1).
дРк V рн7
р
Иш а (р, р, и) = о, либо а (р, р,и) = а(р, и).о( рт 1 ),(о < я < 1).
(МО
2. Рассмотрим линейный однородный полный дифференциал функции произвольного числа
переменных р
х) ахі, х = X, х2,..., хп) задание которого равносильно п.д.-системе
і=1
ди
ди
рт — = Рг (х), (і = 1,2,...,п), либо рт — = рг (х)
дх
дх-
(6)
где рг (х) є С1 (в) и(х) є С2 (В0) , В0 - п-мерный шар, не содержащий точку х = 0. Условия со-
вместности п.д.-системы (6) имеют вид:
_д
дх
_т
г V р J
д
( Рг (х)^
дх
- V р J
, (і, 7 = 1, n), г * 7 .
(N2)
Для непрерывности п.д.-системы (6) всюду в В достаточно, чтобы в точке р = 0 выполнялись, например, условия:
р, (х) = 0(рт-я).(0 <я< 1). (М2)
Аналогично [1-4], [6-9] , в п.д.-системе (6), если перейти к п- мерной сферической системе координат, то получим:
рт = al(P,Р), р^1-^— = ak+1(P,Р), (Р = Р1,Р2,...,Рк ,...,Рn-1), (к = 1 П - 1). (7)
др дРк
При этом условия совместности ^2) для системы (7) преобразуются к виду
да
= р
дРк+1 др
да да да ■
к+1 - (т - 1)а*+1, —- = —-,(і,- = 1,п -1), і * -, к = 1,п -1.
дР, дР,
(N3)
В силу (N) , взаимосвязь между ак+1 (р, р) и а р, р) может быть записана следующими формулами:
ак+1(р,Р) = р
т-1
Рк+1 (р) +
д
дР
к+1
V р
, (к = 1, п -1),
(8)
где р (р) - н екоторые вполне определённые функции. После этого система (7) примет вид:
ди а1(р,Р) ди _ , ч д
- = Р+1(Р) +
Г
др рт дРк+1
Заметим, что при выполнении условий
дРк+1 да. да;
йі
V р
рт
,(к = 1, п -1).
дР, дР,
получаются соотношения
дД --------
= ^, (,,у = 1,п -1), (, Ф у) . (10)
р др,
Аналогично [1-7], процесс интегрирования системы (9) можно начинать с любого её уравнения, и при этом многообразия решений можно отличать с точностью до произвольного постоянного. Поэтому интегрирование системы (9) начинаем с первого её уравнения. Теперь, интегрируя первое уравнение п.д.-системы (9) по переменной р (переменные р = р,р2,...,ри-1) -параметры ), полу-
чим:
{р,ф)~А(р,р) = V, (Дар) = -{°л^,„р)(п)
где V = V(р), р = (р1,р2,...,ри-1) - новая неизвестная функция. Дифференцируя обе части равенства (11) по переменным рк (к=1,2,...,п-1) и подставляя результаты в (7), получаем регулярную п.д.-систему:
дv _______
д = Рк (р\(к = 1, П - 1). (12)
дрк
Учитывая выполнение условий (10), после интегрирования классической п.д.-системы (12), получим:
п Рк
и(р,р) = С + Ф(р) + А(р, р), (ф(р) = «^.д* ,Рк+1,...,Рп-1 )лСк) • (13)
к=1 о
Замечая, что в п.д.-системе (9), при т < 1, либо а (р,р) = К(р). о(рт Я) где Я- сколь угодно малая величина, решение системы всюду в области Г будет непрерывным и однозначным. Тогда многообразие решений п.д.-системы (7) всюду в Г (кроме точки р = 0) будет непрерывным , а в особой точке р = 0 при т =1 имеет логарифмическую особенность, а при т>1 особенности (т-1)-го порядка. Допустим, что во внешней части п-мерного шара Г, то есть Г =
П ___
Е х2 >р2,(1 < р < да), 0 <р< 2ж, функции ак (р, р) (к = 1, п) удовлетворяют условиям разре-
к=1
шимости регулярной п.д.-системы (12). Потребуем, чтобы при р ^ да (см.[3]):
1) функции ак (р,р) всюду в области Г были ограничены и однозначны;
2) р - удовлетворяли неравенствам 0 < рк < 2п;
3) существуют конечные пределы Шт а(р,р) (к = 1,п);
р^да
а (р, р)
4) функция------------ интегрируема на промежутке (1, да) (где т > 1).
рп
и
Тогда вне области Г все решения п.д.-системы (8) однозначны, непрерывны и определяются формулой:
и(р,р) = С + ф(р)~\ a^mрРdt, (р> 1), (14)
■* t
р
где Ф(р) - определяется из формулы (13). Таким образом, имеет место:
Теорема 2. Пусть в п.д.-системе (7) ак (р,р)е С1 (О) считаются данными функциями, а
и(р,р) е С2 (о) - неизвестная функция. Для того, чтобы условия совместности п.д.-системы (7) выполнялись, необходимо и достаточно, чтобы функции ак+1 (р, р) и а (р, р) были взаимосвязаны формулой вида (8). Тогда п.д.-система (9) разрешима и многообразия всех её решений в области (Г) выражаются формулой (13). При этом, если 0 < т < 1, тогда решение системы формулы (13) в (Г) будет однозначным, ограниченным и непрерывным, а тогда при т=1 и т > 1, и(р,р) из (13) во всех точках области будет непрерывным, а в точке р = 0 соответственно имеет логарифмическую и (т-1)-го порядка особенности. Если же а (р, р) удовлетворяет условию (М1), тогда функция и(р, р) как решение системы (7) всюду в (Г) будет непрерывной.
Теорема 3. Пусть в п.д.-системе (7) ак(р,р) е С1(Г), и е С2(Г~), условия (8) и (10) выполняются при всех значениях (р, р) е Г , Г = |(р, р), 1 < р2 = Е х^ < да| •
Тогда вне области Г решение п.д.-системы (7), представленное формулой (14), всегда будет ограниченным, однозначным и непрерывным.
Поступило 28.07.2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Михайлов Л.Г. - ДАН России, 1992, т.322, №4, с. 646-650.
2. Михайлов Л.Г. - ДАН России, 1997, т.354, №1, с. 21-24 .
3. Михайлов Л.Г. - ДАН России, 2002, т.384, №6, с. 731-734.
4. Михайлов Л.Г. - ДАН России, 2004, т.398, №2, с. 1-4.
5. Михайлов Л.Г. Некоторые переопределённые системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. - Душанбе: Дониш, 1986, 116 с.
6. Шарипов Б. -ДАН РТ, 2010, т.53, №9, с. 666-673.
7. Шарипов Б. - ДАН РТ,2010, т.53, №10, с. 759-766.
8. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.: Физматгиз, 1958, 468 с.
9. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.-Л.: ГИТТЛ, 1986, т.1, 648 с.
Л.Г.Михайлов, Б.Шарипов*
ДАР БОРАИ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^О ДАР ДИФФЕРЕНСИАЛИ ПУРРАИ ФУНКСИЯ^ОИ ТАГЙИРЁБАНДААШОН ИХТИЁРЙ БО НУЦТА^ОИ СИНГУЛЯРИ
Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон,
*Донишкадаи сохибкори ва хизмати Цум^урии Тоцикистон
Дар макола як синфи системаи муодилахо дар дифференсиали пурра бо нуктаи сингуля-рие дида баромада мешаванд, ки хднгоми айниятан ичро гардидани шарти хдмчоягиашон, мачмуи х,алх,о дар намуди муайян ёфта шуда, хдлли онх,о дар нуктаи сингулярй та^лил карда мешаванд.
Калима^ои калиди: фазой бисёрченака - нуцтаи сингулярй -уамцоягии система.
L.G.Michaylov, B.Sharipov ON THE TOTAL SISTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS FOR MANY DIMEENSIONAL CASE
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan,
*Institute of Entrepreneurship and Servise of Republic Tajikistan
The representation formulas of solutions of total differential system are reseived In the paper. Parti-kular point often called singular point.
Key words: total differential - singular point - ordinar differential eqvations.
