О синтезе многофазных последовательностей с периодами, кратными р, на основе классов степенных вычетов по простому модулю Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391

О СИНТЕЗЕ МНОГОФАЗНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С ПЕРИОДАМИ, КРАТНЫМИ р,

НА ОСНОВЕ КЛАССОВ СТЕПЕННЫХ ВЫЧЕТОВ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ В.А.Едемский, И.С.Вагунин

Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]

Синтезированы многофазные последовательности с хорошими автокорреляционными свойствами на основе классов степенных вычетов по простому модулю и периодом, кратным ему. Найдены регулярные правила кодирования четырех и шестифазных последовательностей с квазиидеальной автокорреляцией.

Ключевые слова: многофазные последовательности, автокорреляция, пик-фактор

In this paper we synthesized polyphase sequences with good autocorrelation properties on the basis of power residue prime modulus classes and with multiple period. Also we found coding rules for four-phase and six-phase sequences of quasiperfect autocorrelation.

Keywords: polyphase sequences, autocorrelation, peak factor

1. Введение

2. Способ формирования последовательностей

Дискретно-кодированные сигналы имеют необычайно широкий спектр применения. Закон изменения кодируемого параметра (амплитуды, фазы, частоты) в дискретных сигналах задается дискретно-кодированной последовательностью (ДКП), которая полностью определяет свойства сигнала, поэтому дискретно-кодированные сигналы отождествляются с ДКП и наоборот [1]. Синтезу ДКП посвящено множество работ, в частности в [2] была разработана комплексная методика анализа и синтеза ДКП с заданными ограничениями на их основные характеристики, но только для последовательностей с алфавитом {-1,0,1}. Полученные при этом результаты синтеза ДКП показали высокую эффективность предложенной методики. В то же время современная элементная база помимо троичных последовательностей позволяет использовать и фазокодированные ДКП, которые приобретают все большее практическое значение. В связи с этим представляют интерес методы синтеза многофазных последовательностей с алфавитом

{0, є 2т1с1 п, k = 0, п-1} (п — натуральное число, і — мнимая единица) на основе вышеупомянутой методики, особенно последовательностей со значением пик-фактора pf (отношение периода последовательности к числу ненулевых символов на периоде) не меньше двух. У большинства известных ДКП с хорошими автокорреляционными свойствами значение пик-фактора близко к единице или стремится к ней с ростом периода последовательности [1,3].

Цель настоящей статьи заключается в разработке способа синтеза п-фазных последовательностей, обладающих хорошими автокорреляционными свойствами, с периодом, кратным простому числу, и пик-фактором, не меньшим двух, на основе результатов, представленных в [1,2]. Такие ДКП, в частности, представляет большой интерес для радиолокационных станций с квазинепрерывным режимом работы. Искомые ДКП будут формироваться с применением классов степенных вычетов по простому модулю.

Для построения ДКП с периодом mp, где m — натуральное число, взаимно простое с р, воспользуемся двумя правилами кодирования (ПК), предложенными в [2].

Пусть X 0,..., Xm-l — многофазные последова-

тельности периода p: X= {х;- у}, ] = 0, m -1, / = 0, p -1.

Рассмотрим последовательности X ,У с периодом тр, сформированные по следующим ПК:

хі = XV Юр, (1)

Уі = Х«„,[' / т ], (2)

где (1)т — наименьший неотрицательный вычет целого числа I по модулю т, а [I/т] — целая часть

числа I / т. Применение в ПК (1) и (2) последова-

тельностей простого периода с различными значениями пик-фактора позволяет варьировать значение пик-фактора последовательностей X,У .

Обозначим через XX (т), XX (т), 1У (т) соответственно периодические автокорреляционные функции (ПАКФ) ДКП X і, X и У, а через

f • Xh

(т) — периодические взаимно корреляцион-

ные функции (ПВКФ) пар последовательностей Ху,ХН, у, Н = 0, т -1. Для троичных последовательностей в [2] были найдены соотношения между корреляционными функциями Ху, X и У, которые естественным образом обобщаются и на многофазные последовательности. В частности имеют место следующие утверждения.

Лемма 1. Если многофазная последовательность X сформирована по ПК (1), то ее ПАКФ

т-1

2 ^ Xj ((т)p), если т = 0(modm),

j=о

m-1

2'

j=о

Xj ,X(j+T),

(т) ), если т # 0(modm).

r

Лемма 2. Если последовательность Y сформирована по ПК (2), то ее ПАКФ

1y (т) =

m-1

Е і х,чт / m]), если т ф 0(modm),

j=0 m -1

Е

rX ([т/m] + 5), если т Ф 0(modm),

где 5 =

'X,,X,

I У=о

[0, если у + (т)т < т,

[1, если у +(т)т > т.

Таким образом, предложенные ПК формируют многофазные последовательности периода тр, ПАКФ которых согласно леммам 1 и 2 определяются ПАКФ и ПВКФ ДКП периода р. В частности из леммы 1 следует, что при синтезе многофазных последовательностей с близкой к идеальной (квазиидеальной) ПАКФ по ПК (1) можно воспользоваться двумя подходами:

— среди последовательностей простого периода с квазиидеальной ПАКФ отбирать те, для которых соответствующая сумма ПВКФ меньше заданного порогового числа;

— среди пар последовательностей простого периода с квазиидеальной ПВКФ отбирать те, для которых соответствующая сумма ПАКФ меньше заданного порогового числа.

В то же время, обобщая утверждение, доказанное в [4] для последовательностей, определяемых классами биквадратичных вычетов, из леммы 2 получаем, что регулярные ПК многофазных последовательностей с квазиидеальной ПАКФ на основе (2) и последовательностей, сформированных на классах степенных вычетов по простому модулю, можно получить только при втором подходе.

Далее, для отбора последовательностей простого периода, используемых в ПК (1),(2), можно, исходя из выше сказанного, применять два способа. Во-первых, получать многофазные последовательности простого периода посредством умножения троич-

~ 2то'к / п 1 7

ных последовательностей на 2к = е , к = 0, п -1.

Параметры троичных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов по простому модулю, с квазиидеальными корреляционными функциями были определены в [2]. Во-вторых, отбирать непосредственно многофазные последовательности простого периода с необходимыми характеристиками.

В следующих разделах проиллюстрируем предложенные подходы к решению поставленной во введении задачи примерами синтеза многофазных последовательностей с периодом тр при различных способах выбора последовательностей простого периода.

3. Синтез многофазных последовательностей на основе троичных последовательностей

Пусть р = ёЯ +1 — простое число; ё, Я — на-

туральные числа; Hk = (0 k+ dt (modp), t = 0, R -1}, 0

— первообразный корень по простому модулю p [5].

Рассмотрим пару троичных последовательностей X 0, X1, сформированных по ПК:

Ux о( j ) =

Ux ,( j ) =

1, если j (modp) є H 0,

-1, если j (modp) є Hk, 0 в ост. случаях;

1, если j (modp) є Hl,

-1, если j (modp) є H ,

(3)

0 в ост. случаях.

Их характеристики рассчитаны в [2], там же определены параметры последовательностей, обладающих квазиидеальными корреляционными функциями. В частности для ё = 4 были найдены два семейства троичных последовательностей с квазиидеальной ПАКФ.

Теорема 1. Если четырехфазная последовательность X сконструирована по ПК (1) для последовательностей X 0 ,іА’’ 1, сформированных по ПК (3)

при ё = 4, (к,I,д) = (2,1,3), то ее пик-фактор рУ»2,

а ПАКФ XХ (т)е{-1,0}, т = 1,2p -1.

Доказательство. Согласно [2] имеем, в зависимости от четности R, следующие взаимно однозначные соответствия:

Ч . ч fl ± X 1 + X 1 ± X 1 + X ]

X X (т) -----,-----,----,---

X 0 I 2 2 2 2

rx0,x 1 (т)» {±У,тУ,±У,тy}

(знак » означает, что если т е Hf, то XХо (т) равен

элементу с номером f [1]).

Воспользовавшись свойствами ПАКФ, ПВКФ и леммой 1, получаем из данных соотношений теорему 1.

Подобным же образом устанавливается справедливость следующего утверждения.

Лемма 3. Если четырехфазная последовательность Y сконструирована по ПК (2) для последовательностей X 0,Х 1, сформированных по ПК (3) при

d = 4, (k,l,q) = (2,1,3), p = x2 + 4y2, x = 1(mod4), где x, y — целые числа, то ее пик-фактор pf ~ 2 и max|Xy (т)| < 2\у|.

т^0

Теорема 1 и лемма 3 определяют достаточные условия синтеза четырехфазных последовательностей с квазиидеальной ПАКФ и пик-фактором pf»2 и параметры их регулярных ПК. Сравнение с результатами, представленными в [2], показывает, что у синтезированных четырехфазных последовательностей при такой же автокорреляции более плотная сетка периодов. Четырехфазные последовательности с pf = 1 и квазиидеальной ПАКФ на основе троичных

последовательностей были синтезированы в [6].

Несложно убедится, что применение в ПК (1) или (2) второго семейства троичных последовательностей (|k -1| = 1) не позволяет получить регулярные

ПК четырехфазные последовательности с квазииде-альной ПАКФ.

Для синтеза последовательностей с pf»3 воспользуемся тремя троичными последовательностями, которые попарно обладают квазиидеальной ПВКФ.

Теорема 2. Если шестифазная последовательность X сконструирована по ПК (1) для последова-

vy т/ 2то /3 -\г 4то /3 т/ 1

тельностеи X0,e Xi ,e X2, сформированных

по ПК (3) при d = 6, p = A2 + 3B2, A = 1(mod3), где A, B — целые числа, для пар индексов (0,3), (1,4),

(2.5), то ее пик-фактор pf ~ 3 и

j2|A ± B/3, если(B3 Ф 0, max X X (т) = < , , , ,

тф0 1 XW| [4|B/3, если(B)3 = 0.

Доказательство. Воспользуемся леммоИ 1. Рельефы ПАКФ XX. (т) рассчитаны в [2]. Несложно

Убедится что Xxо ((т)p)+ XX1 ((т)p)+ XX2 ((т)p)=-1, если т = 0(mod3).

Далее, если (B) 3 = 0, то для ПВКФ пары по-следовательностеи X 0 , X1 справедливо взаимно однозначное соответствие rX0,X,(т) ^

»{2B/3,-2B/3,0,2B/3,-2B/3,0}. ПВКФ пар последовательностей Xj,X2 и X2,X0 получаются посредством циклического сдвига элементов вектора на одну и две единицы (во втором варианте с изменением знака). Следовательно, сумме ПВКФ пар

тг 2лг/3 тг 2лг/3 тг 4ni/3

последовательностей X0, e X1, e X1, e X2

и e 4 га/3 X 2, X0 соответствует (-1-ivs )х

х(2B/3,0,-2B/3,2B/3,0,-2B/3), а сумме ПВКФ пар

тг 4ni/3 тг 2ni/3 тг тг 4ni/3 тг 2ni/3

X 0 , e X 2 , e X1 , X 0 и e X 2 , e X1 —

(-1+iV3 )(2B/3,0,-2B/3,2B/3,0,-2B/3) . Примене-

ние леммы 1 завершает доказательство утверждения теоремы 2 при (B)3 = 0 .

При (B)3 ф 0 доказательство теоремы аналогично.

В условиях теоремы 2 наименьшее возможное значение max| XX (т)| = 2 . Ему будут удовлетворять

тф0

шестифазные последовательности, когда A ± B = ±3,

т. е. с периодами 3p, где p = 144u + 12u + 7,

p = 144u 2 + 84u +19, p = 13 - 60u + 144u 2, p = 49 +

+ 156u + 144u , здесь u — целое число, например, p = 19,37,79,97,139,163,313,349,607,709,877,937,1063, 1129,1489 и т.д. Таким образом, сетка периодов синтезированных последовательностей достаточно плотная.

Лемма 4. Если шестифазная последовательность Y сконструирована по ПК (2) для последова-

ЧУ Т/ 2 Л? /3 -\Т- 4 Л? /3 Т Г Л

тельностей X0 ,e X1,e X2 , сформированных

по ПК (3) при d = 6, p = A2 + 3B2, A = 1(mod3), где A, B — целые числа, для пар индексов (0,3), (1,4),

(2.5), то ее пик-фактор pf » 3 и

X () A ± B, если B3 ф 0,

max XY (т) . . . .

тф^ Y 1 [2|B|, если(B)3 = 0.

Лемма 4 доказывается тем же способом, что и теорема 2.

Теорема 2 и лемма 4 определяет достаточные условия существования шестифазных последовательностей с квазиидеальной ПАКФ, периодом 3р р/ и 3

и параметры их регулярных ПК.

4. Синтез последовательностей с периодом тр на основе многофазных последовательностей простого периода

Рассмотрим примеры синтеза многофазных последовательностей с периодом тр на основе многофазных последовательностей с простым периодом и квазиидеальной ПАКФ. В [7] была установлена связь между корреляционными функциями фазокодированных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов по простому модулю, и спектрами разностей классов вычетов (СРКВ) [1].

В этой статье ограничимся только многофазными последовательностями, сформированными по ПК:

их (, ) =|е 2Як / П , если 1 (т0ЙР) е Нкё / п+, (4) 11 [о в ост. случаях,

где к = 0, п -1, g = 0, п / ё -1.

Применение комплексной методики, заключающейся в совместном использовании теории спектров разностей классов вычетов и циклотомических чисел [2], позволило отобрать среди них последовательности с квазиидеальной ПАКФ и получить следующие результаты.

Теорема 3. Если последовательность X сконструирована по ПК (1) для последовательностей X 0, X! , сформированных по ПК (4) при ё = 6, п = 3,

2 2

р = А + 3В , А = 1(mod3), где А,В — целые числа, то ее пик-фактор р/ и 2, а ПАКФ

X(т) е{±/л/3А/2,-1,0}, т = 1,2р -1 , если Я нечетное, и Xх (т) е{±3В/2,-1,0}, т = 1,2р -1, если Я четное.

Доказательство. Рассчитав ПАКФ последовательности X 0 по формулам, представленным в [2,5], получаем, что при четном Я ПАКФ Xх (т) соответствует СРКВ:

0,5(-1-А,-1+А,-1-А ,-1+А ,-1 - А,-1+А), а при нечетном Я — СРКВ:

0,5(-1 -гл/3В/2,-1 + гл/3В/2,-1 -гл/3В/2,

-1+/43В/2,-1 - /43В/2,-1+/л/3В/2). Тогда согласно определению последовательностей X 0, X1, свойствам ПАКФ и СРКВ сумма

ХX0 (<т)р )+ хх1 ((т)р )= -1, если т = 0(mod2) .

Аналогично рассчитывается сумма СРКВ, соответствующая ПВКФ пары последовательностей X0,X1. В результате получаем:

Гг 0^1 (<т )р )«((1 + )А/4,-(1 + /л/3 )А/4, (1 + /л/3 )А/4,

-(1 + /л/3 /а/4,...), если Я нечетное;

({т)р/« ((3-/В/4,-(3-/л/3//4,(3 -/л/3//4, -(3 -/л/3 /В/4,.../, если Я четное.

Тогда сумма ПВКФ rXo>Xi ((т)р )+ rXi>Xo ^x)p )

принадлежит множеству {± {A/2}, если R нечетное, или множеству {±3B / 2}, если R четное.

Далее, из леммы 1 согласно ПК (4),

rx0,х1 (0) = rXiX0 (0) = 0 и теореме 3 следует

Следствие 3.1. В условиях теоремы 3

, , |v3|A/2,еслиR нечетное,

max|XX (т) Ч .

т^0 [3B/2, еслиR четное.

Таким образом, наименьшее возможное значение maxi X x (т)|, равное V3, достигается при

тф0

p = 4 + 3B2 , т. е. p = 7,31,79,151,367,... (R нечетное). Если же R четное, то min^ max| X x (т)| j = 3,

p = A2 +12, или p = 13,37,61,181,373,541,853,...

Лемма 5. Если последовательность Y с пик-фактором pf и 2 сконструирована по ПК (2) для последовательностей X0,X1, сформированных по ПК

(4) при d = 6, n = 3, p = A2 + 3B2, A = 1(mod3), где

A, B — целые числа, то

ПAl, если R нечетное, maxiXY (т)| < \ _

т^0 [V3 |B|, если R четное.

Доказательство. Как и в теореме 3, сумма X X 0 (q) + X x1 (q )=-1.

Если же т = 2q +1, то сумма ПВКФ

|rX0 ,x1 (q)+rX1 ,x0 (q+1) < 2 mT«|rX0,X1 (4 и применение леммы 2 завершает доказательство.

Если последовательность Y удовлетворяет условиям леммы 5 при p = 4 + 3B2, то maxiXY (т)| < 2

тф0

(при достаточно больших значениях p здесь равенство).

Теорема 4. Если последовательность X сконструирована по ПК (1) для последовательностей X 0, X1, сформированных по ПК (4) при d = 8, n = 4,

2 2

p = a + 2b , a = 1(mod4), где a,b — целые числа, то ее пик-фактор pf и 2, а ПАКФ Xx (т) e{±b,-1,0},

В условиях теоремы 4 max| X x (т)| = 2| b |. Наи-

т^0

меньшее возможное значение maxiXx (т)| = 2 достать

гается при p = a2 + 8, т. е. p = 17,83,233,449,1097, 2609,3257,.

Лемма 6. Если последовательность Y сконструирована по ПК (1) для последовательностей X 0, X1 , сформированных по ПК (4) при d = 8, n = 4, 22

p = a + 2b , a = 1(mod4), где a,b — целые числа, то ее пик-фактор pf и 2 и max|XY (т)| < V21b|.

т^0

Доказательство леммы 6 подобно доказательству леммы 5.

Теоремы 3, 4 и леммы 5, 6 определяют достаточные условия существования многофазных последовательностей с периодом 2p, pf и 2 и квазиидеаль-ной ПАКФ. В частности имеем четыре регулярных ПК последовательностей с квазиидеальной ПАКФ с max X(f) < 3, т. е. их автокорреляция не хуже, чем в [8,9].

тф0

5. Заключение

В статье исследована возможность синтеза многофазных последовательностей с хорошими автокорреляционными свойствами на основе классов степенных вычетов по простому модулю и периодом, кратным ему. Найдены регулярные правила кодирования многофазных последовательностей с квазииде-альной ПАКФ и пик-фактором pf и 2,3.

т = 1,2 p-1.

Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 3.

1. Гантмахер В.Е., Быстров Н.Е., Чеботарев Д.В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 2005. 400 с.

2. Едемский В. А., Гантмахер В.Е. Синтез двоичных и троичных последовательностей с заданными ограничениями на их характеристики. В.Новгород.: НовГУ, 2009. 189 с.

3. Свердлик М.Б. Оптимальные дискретные сигналы. М., 1975. 200 с.

4. Вагунин И.С., Едемский В.А. // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2010. №55.С.16-19.

5. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987. 416 с.

6. Едемский В.А., Вагунин И.С. // Вестник КАИ им. А.Н.Туполева. 2010. №2. С.58-62.

7. Вагунин И.С., Едемский В.А. // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2007. №44. С.20-23.

8. Сидельников В.М. // Проблемы передачи информации. 1969. Т.5. Вып.1. С.16-22.

9. Green D.H., Green P.R. // Proc. R. Soc. Lond. A. 2003. №459. Р.817-827.