Метод синтеза бинарных последовательностей с составным периодом на основе классов степенных вычетов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391

В.А.Едемский, И.С.Вагунин

МЕТОД СИНТЕЗА БИНАРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С СОСТАВНЫМ ПЕРИОДОМ НА ОСНОВЕ КЛАССОВ СТЕПЕННЫХ ВЫЧЕТОВ

Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]

The method of synthesis of binary sequences with composed period and prescribed limitation on the main parameters: period, autocorrelation function, power of balance is proposed.

Ключевые слова: бинарные последовательности, период, автокорреляционная функция, степень уравновешенности

1. Введение

Дискретно-кодированные последовательности с хорошими автокорреляционными свойствами широко используются в различных областях, например в радиолокации, гидролокации, связи и т.д. [1]. В [2] была предложена методика синтеза дискретно-кодированных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов, с заданными ограничениями на основные параметры. Ее эффективность подтверждена многочисленными примерами синтеза. Главным недостатком методики, заключающейся в комплексном использовании теории спектров разностей классов вычетов и циклотомических чисел, является то, что она применима лишь для синтеза последовательностей с простым периодом. В [3] вышеупомянутая методика была обобщена на случай синтеза двоичных последовательностей (ДП) с периодом КР, где Р — простое число, а К — натуральное число, взаимно простое с Р.

Цель настоящей статьи заключается в разработке метода синтеза бинарных последовательностей (БП) с составным периодом КР и заданными ограничениями на основные параметры. Рассматриваемые последовательности формируются на основе классов степенных вычетов.

2. Конструирование БП с составным периодом КР на основе классов степенных вычетов

Рассмотрим БП с периодом KP , сформиро-

ванную

из

К БП

X О,-", XK-1

периода P:

Xf = {xf }, f = 0,K -1, g = 0,P -1 по правилу кодирования (ПК):

:Щк, ®p

(1)

где {^)К — наименьший положительный вычет целого числа / по модулю К.

Пусть 1 х/ (т), 12 (т) — периодические автокорреляционные функции (ПАКФ) БП X^ и 1, а ГХ/ Х/1 (т) — периодические взаимно корреляционные функции (ПВКФ) пары последовательностей

X/, ХИ, /, И = 0, К -1, здесь т — целое число.

Теорема 1. Если БП 1 сформирована по ПК (1), то ее ПАКФ

к-1

X ^Xf ((т)р ), если т i 0(mod K),

f=0 k-1

X rXf,X<f+0k ((т)P ), если т i 0(mod K).

f=0 +X K

Доказательство. Рассмотрим двоичные после-

1 +1 X г +1 ------

довательности У =—2— и У/ =—^—, / = 0, К -1,

тогда последовательности У, У/ так же, как и 1, X/

удовлетворяют соотношению (1). Для ПАКФ ДП и БП последовательностей справедливы соотношения [4]:

1у (т) = 4(11 (т)-Я2)+ КР, 1у/ (т) = 4(1х/ (т)-Ях,)+Р- (2)

Для двоичных последовательностей теорема 1 была доказана в [3]. Воспользовавшись формулой (2), убеждаемся в справедливости теоремы 1 и для БП. Следствие 1.1. Если К = 2, то [1 х0 (<т>р ) +1 х1«т>Р), если (т> 2 = 0,

11 (т) = <! 0 1

1Гх0,х1 «т)Р ) + гх1,х0 (<т>Р ) , если (т)2 * 0.

Аналогичная теорема справедлива и для ПВКФ пар БП 11 и 1 2 , сформированных по ПК (1).

Таким образом, предложенное ПК формирует БП с периодом КР, ПАКФ которых, а также ПВКФ пары БП определяются ПАКФ и ПВКФ БП периода Р, что позволяет использовать для синтеза БП разнообразные и многочисленные результаты, полученные ранее, а также эффективную методику анализа и синтеза последовательностей с заданными ограничениями на основные параметры [2].

Далее, будем рассматривать только БП

х/, / = 0, К -1, сформированные по обобщенному ПК [5]:

1, если / е Нт, т е I г,

т } (3)

в ост. случаях.

Здесь Р = йЯ +1, где й, Я — натуральные чис-

Uf(i) = {-1

ла; Hm = (0 v, v = 0, R -1} — класс степенных вы-

четов с номером т, т = 0, ё -1;, 0 — первообразный корень по модулю Р; I^ — подмножества индексов т.

Доказанная теорема 1 и результаты, полученные в [2,6,7], позволяют предложить обобщенную методику синтеза БП с составным периодом КР, состоящую из следующих этапов.

A) Выбор одной из стратегий синтеза на основе анализа исходных данных и требований к БП:

стратегия 1 — синтез осуществляется на основе известных ПК БП простого периода с требуемой ПАКФ или ПВКФ (квазиодноуровневой, квазииде-альной);

стратегия 2 — синтез осуществляется аналитическим расчетом или направленным перебором на вычислительной машине произвольных БП простого периода.

B) Определение допустимых параметров БП простого периода Х^, / = 0, К -1.

C) Расчет характеристик последовательностей простого периода по методике, предложенной в [2].

Б) Анализ характеристик БП составного периода, сопоставление с заданными требованиями.

Следующий пример служит иллюстрацией методики синтеза БП на основе классов степенных вычетов.

3. Пример синтеза БП с квазиидеальной ПАКФ

Постановка задачи: синтезировать бинарные модулирующие последовательности с периодом 2Р на основе классов биквадратичных вычетов для радиотехнических систем связи и передачи информации, радиолокации и радионавигации с шумоподобными сигналами, фазовой или амплитудно-фазовой манипуляцией и корреляционной обработкой сигналов. Ограничения на характеристики: степень уравновешенно-|т+ - т-1

- < 0,1 (здесь т+, т- — число положи-

сти

2P

тельных и число отрицательных символов на периоде последовательности), отношение наибольшего бокового

лепестка к главному лепестку ПАKФ

I1 х (т)1щах < 0 01

2Р , .

A) Выбор стратегии.

Согласно условию необходимо синтезировать БП с ПАКФ, близкой к идеальной. В связи с этим для конструирования БП с периодом 2Р воспользуемся последовательностями простого периода с квазииде-альной ПАКФ. Параметры таких последовательностей и их ПВКФ рассчитаны в [6,7].

B) Определение допустимых параметров БП

X о, X і.

Ограничение на степень уравновешенности БП

■ < 0,1 равносильно неравенству |m+ - m-1 <

|m+ - m_

2P

< 0,8R + 0,4 . Так как БП простого периода формируются по ПК (3), то из последнего неравенства получаем, что m+ = m-. Таким образом, m+ = m- = 4 согласно правилу (1) и условию задачи.

Если БП обладает квазидеальной ПАКФ, то соответствующая двоичная последовательность будет иметь квазиодноуровневую ПАКФ. Согласно [3] в последнем варианте регулярное ПК существует только тогда, когда \I f | = const. Таким образом, исходя из

найденных значений m+, m-, имеем |IJ = |I21 = 2 . С учетом последнего получаем, что с точностью до циклического сдвига допустимыми являются три набора параметров:

d = 4, P = 1(mod8), I0 = {0,1}, Ij = {0,2};

I0 = {0,1}, I1 = {0,3}; I0 = {0,2}, I1 = {0,3}.

C) Расчет рельефов ПАКФ и ПВКФ БП про-

стого периода.

Если БП X 0 и X1 с простым периодом сформированы по ПК (3) при I0 = {0,1}, I1 = {0,2}, то

имеют место следующие взаимно однозначные соответствия [6,7]:

для четного R

XX0 (n) » (-3 + 2y,-3 - 2y,1 + 2y,1 - 2y), (4)

rX x (n) » (-2 - x + 2y, x + 2y, x + 2y,2 - x - 2y); (5) для нечетного R

XX0 (n) » (-1 - 2y,-1 + 2y,-1 - 2y,-1 + 2y), (6)

rx0,x1 (n) » (-x + 2y,2 + x + 2y,-2 + x - 2y,-x - 2y); (7)

при любом R

(8)

(знак О означает, что если (т)Р е Н/, то 1 х (т) совпадает с /-ой гармоникой СРКВ [2]).

Здесь Р - х2 + 4у2, х = 1(mod4), х, у — целые

числа.

Б) Анализ характеристик БП составного периода, сопоставление с заданными требованиями.

Теорема 2. Если БП х0, х1 сконструированы

по ПК (3) при й - 4 , Р - х2 + 4у2 , 10 = {0,1}, 11 = {0,2}, то рельеф ПАКФ 11 (т) БП 1, сформированной по ПК (1), определяется формулами

1. 11 (т) = {2, - 4 - 2 х + 4 у, 2 х ± 4 у, 4 - 2 х - 4 у,

-6 + 2у, - 2 ± 2у, 2 - 2у}, т = 1,2Р -1, если Я четное;

2. 11 (т) = {-2, 2, - 4 - 2у, 2у}, т = 1,2Р -1, если Я нечетное.

Доказательство теоремы проведем для четного значения Я .

Если т = 2п, то по следствию 1. 1 11 (т) = 1 х0 (<т>р )+ 1 х1 ((т>р ) и согласно (4), (8)

11(т) О (-6 + 2y, - 2 - 2y, - 2 + 2y, 2 - 2у).

Если же т = 2п +1, то 11 (т) - гх0,х1 ((т)Р ) +

+гх1 х0 ((т) Р), отсюда с учетом (5) и свойств ПВКФ получаем, что 11 (т) о (-4 - 2х + 4у, 2х + 4у, 2х - 4у, 4 - 2х - 4у) при т Ф Р, а 11 (Р) - 2 .

При нечетном Я теорема следует из формул (6), (8).

Следствие 2.1. Если Я нечетное, то

|1 тах (т)| < 4 + 2|у при т - 1,2Р - 1 .

Воспользовавшись следствием 1.1, рельефами ПАКФ и ПВКФ, найденными в [6,7], аналогично теореме 2, получаем два следующих утверждения.

Теорема 3. Если БП х0, х1 сконструированы

по ПК (3) при й - 4, Р - х2 + 4у2 и 10 - {0,1}, 11 - {0,3}, то рельеф ПАКФ 11 (т) БП 1 , сформированной по ПК (1), определяется формулами

1. 11 (т) -{-6, - 2, 2, - 4 - 2х, 2х, 4 - 2х}, т - 1,2Р-1, если Я четное;

2. 11 (т) -{-2, 2, ± 2х}, т - 1,2Р -1, если Я нечетное.

Следствие 3.1. В условиях теоремы

I1 тах Ф| < 4 + 2|х| при т - 1,2Р - 1 .

Теорема 4. Если БП х0, х1 сконструированы

по ПК (3) при й - 4 , Р - х2 + 4у2 и 10 - {0,2}, 11 - {0,3}, то для рельефа ПАКФ 11 (т) БП 1, сформированной по ПК (1), справедливы соотношения

1. 11 (т) - {2, - 4 - 2х - 4у, 2х ± 4у, 4 - 2х + 4у,

-6 - 2у, -2 ± 2у, 2 + 2у}, т - 1,2Р -1, если Я четное;

2. 11 (т) -{-2, 2, - 4 + 2у, - 2у}, т - 1,2Р -1, если Я нечетное.

Следствие 4.1. Если Я нечетное, то

|1 тах (т)| < 4 + 2|у при т - 1,2Р - 1 .

Для нечетного Я рельефы ПАКФ БП были определены в [8] посредством использования циклотомических чисел. Анализ полученных результатов показывает, что регулярное ПК с наиболее плотной сеткой периодов БП, удовлетворяющих условиям поставленной задачи, получается при нечетном Я , а также при четном Я в условиях теоремы 3.

Таким образом, если 10 - {0,1}, 11 - {0,3}, то БП, сформированная по ПК (1), удовлетворяет условиям поставленной задачи для Р - х2 + 4у2 при х -1, Р > 300; х - -3, Р > 500; х - 5, Р > 750 и т. д., а если же 10 - {0,1}, 11 - {0,2} или 10 - {0,2}, 11 - {0,3}

— то при у - ±1, Р > 300; у - ±3 , Р > 500 ; у - ±5 , Р > 750 и т.д.

Для рассматриваемых БП разность т+ - т_ - -2. Для того, чтобы получить уравновешенные БП, достаточно поменять знак х0 в последовательности 1 (теперь х0 - 1 ). Последнее условие означает, что БП х0 формируется по ПК

[1, если / е Нт,т е Iп, / - 0, и0(/) -^ т 0 (9)

[-1 в ост. случаях.

При использовании ПК (9) и (3) для БП х0 и х1 значение т+ станет равно т_, т. е. БП будет полностью уравновешенной, при этом ПАКФ новой последовательности изменится на Д(0) - 2х-т + 2хт. Если Я четное, то (-т)Р, (т)Р принадлежат одному и тому же классу степенных вычетов, следовательно, Д(0) - 4хт при т Ф Р, а если Я нечетное,

Д(0) - 2хт + 2хт+24.

Для примера рассмотрим вариант, когда 10 - {0,1}, 11 - {0,3}. Согласно теореме 3 будет справедлива следующая

Лемма 1. Если БП х0 сформирована по ПК (9)

при 10 - {0,1} , БП х1 по ПК (3) при 11 - {0,3} , то для уравновешенной БП, сконструированной по ПК (1), рельеф ПАКФ 11 (т) - {-6, - 2, 2, - 4 + 2х, - 2х,4 + 2х},

если Я четное и 11 (т) - {-2, 2, ± 2х}, т - 1,2Р -1.

Сравнение рельефов ПАКФ БП, удовлетворяющих условиям теоремы 3 и леммы 1, показывает, что при нечетном Я рельеф не изменился, а при четном Я существенных различий между рельефами

нет, и при т - 1,2Р -1 абсолютная величина наибольшего бокового лепестка ПАКФ |1 тах (т)| - 4 + 2\х| в обоих вариантах.

4. Заключение

Предложен метод синтеза бинарных последовательностей с составным периодом КР , удовлетворяющих заданным ограничениям на основные параметры. Последовательности формируются на основе классов степенных вычетов. Определены достаточные условия существования бинарных последовательностей с квазиидеальной ПАКФ и периодом 2Р .

1. Ипатов В.П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М.: Радио и связь, 1992. 162 с.

2. Gantmakher V.E., Edemskiy V.A. The Synthesis Methodology of Periodic Discretely Coded Sequences Formed Basing on Cyclotomic Classes with Basic Parameters Constraints // Proceedings of 2007 International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA’07). China, 2007. Р.4-8.

3. Едемский В.А., Вагунин И.С. // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. 2008. № 6. С.147-150.

4. Гантмахер В.Е., Быстров Н.Е., Чеботарев Д.В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 200З. 400 с.

б. Свердлик М.Б. Оптимальные дискретные сигналы. М., 1976. 200 с.

6. Гантмахер В.Е., Едемский В.А. // Вестник Саратовского гос. техн. ун-та. 2007. №1(21). Вып.1. С.7-12.

7. Гантмахер В.Е., Едемский В. А. О взаимной корреляции бинарных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов по простому модулю p = dR + 1, d = 4,6,8, c квазиидеальной автокорреляцией // Сб. докладов 13-й МНТС «Радиолокация, навигация и связь». Воронеж, 2007. Т.1. С.10З-111.

Ding C., Helleseth T., Martinsen H. // IEEE Trans. Info. Theory. Jan. 2001. Vol.IT-47. Р.428-433.