CC BY
6
2018
Математика и механика
№ 53
МАТЕМАТИКА
УДК 512.623.23 М8С 12Б20, 12Л5
Б01 10.17223/19988621/53/1
Н.Ю. Галанова
О СИММЕТРИЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ ОДНОГО ВЕЩЕСТВЕННО ЗАМКНУТОГО ПОЛЯ
Рассматривается конструкция вещественно замкнутого подполя Н поля ограниченных формальных степенных рядов, Щ[О,Р]] с Н с Я[[О,р+ ]]. Доказывается замкнутость относительно усечений полей Н, Н().
Доказывается, что конфинальность симметричных сечений поля Н, производимых элементами из Н () \ Н , равна р+ . Используются классификации
сечений по Пестову (симметричные, алгебраические, трансцендентные) и по Шелаху (симметричные, алгебраические), рассматривается связь между этими понятиями. Принимается ОКГ.
Ключевые слова: вещественно замкнутое поле, поле ограниченных формальных степенных рядов, симметричное сечение, конфинальность сечения, замкнутое относительно усечений поле.
1. Основные понятия
В данной статье исследуются вещественно замкнутые подполя поля ограниченных формальных степенных рядов методами теории сечений.
Здесь N - множество натуральных чисел, Я - поле вещественных чисел. Далее все поля в данной статье линейно упорядоченные и неархимедовы. Поле Е называется неархимедовым, если 3 а е Е + такое, что V п е N а > п. Элементы а, Ь е Е \{0} упорядоченного поля Е называются архимедовски эквивалентными, если существует такое натуральное число п , что п | а | > | Ь | и п | Ь | > | а |. Факторгруппа ОЕ мультипликативной группы Е \ {0} упорядоченного поля Е по отношению архимедовской эквивалентности называется группой архимедовых классов поля Е [1].
Поле называется вещественно замкнутым, если -1 не представляется в нём в виде суммы квадратов, но в каждом его собственном алгебраическом расширении -1 можно представить в виде суммы квадратов. Каждое вещественно замкнутое поле можно единственным образом упорядочить [2-4].
Как известно (Кар1апБку, [2]), каждое вещественно замкнутое поле Е вкладывается с сохранением порядка в поле формальных степенных рядов Щ[ОЕ ]], элементы которого имеют вид х = ^ г^, где гя е Я, и носитель ряда
supp(x) = (g e Gf | rg Ф 0} - вполне антиупорядоченное (каждое непустое подмножество имеет наибольший элемент) подмножество группы архимедовых классов Gf поля F. Полагаем x > 0 » rgo > 0, g0 = max(supp(x)) [1]. В дальнейшем,
говоря об F как о подполе поля R[[GF ]], мы имеем в виду вложение Ф: F ^ R[[Gf ]], такое, что каждый архимедов класс поля R[[GF ]] содержит элемент из ф(F) [2].
Пусть G - линейно упорядоченная мультипликативная абелева группа, р -кардинал, К0 <Р< | G |. Через R[[G, р]] обозначается поле таких формальных степенных рядов x, что | supp(x) | <р . Это поле называется полем ограниченных формальных степенных рядов. Группы архимедовых классов упорядоченных полей R[[G]] и R[[G,р]] изоморфны G [2]. Будем отождествлять группы архимедовых классов полей R[[G]] и R[[G, Р]] с группой G. При изоморфном вложении вещественно замкнутого поля F в поле R[[GF ]] будем отождествлять группу архимедовых классов поля R[[GF ]] с группой GF .
Мультипликативная группа G называется делимой, если для любого g e G и
любого натурального n существует решение уравнения hn = g. Известно (S. MacLane, [2]), что если группа G делимая, то поля R[[G]], R[[G,Р]] вещественно замкнуты.
Пара непустых подмножеств A и B упорядоченного поля F называется сечением поля F, если A < B и A u B = F . В этом случае сечение обозначим (A, B).
В данной статье будем использовать понятия симметричного и трансцендентного сечений из классификации, разработанной Г.Г. Пестовым [5-8], а также классификацию сечений Шелаха (S. Shelah, [9]).
Сечение (A, B) упорядоченного поля F называется симметричным (по Пестову), если для каждого a e A существует такое a1 e A , что (a1 + (a1 - a)) e B и для каждого b e B существует такое b1 e B, что (b1 - (b - b1)) e A [5-8].
Пусть A - упорядоченное множество, X с A . Говорят, что X конфинально (коинициально) A , если для каждого x e A существует y e X такое, что x < y (x > y). Наименьшая мощность среди мощностей всех множеств, конфинальных (коинициальных) A , называется конфинальностью (коинициальностью) A и обозначается cf (A) и coi (A) соответственно [2].
Замечание 1.1. Если сечение симметрично по Пестову, то cf (A) = coi(B). Конфинальностью симметричного сечения (A, B) называется cf (A) [8].
Сечение (A, B) упорядоченного поля F называется симметричным (по Шела-
ху), если cf (A) = coi(B) [9].
Замечание 1.2. Каждое сечение, симметричное по Пестову, симметрично и по Шелаху, обратное неверно, как показывает пример из [10]. Далее в этой статье будем рассматривать симметричность только по Пестову.
Пусть F - упорядоченное расширение поля K . Будем говорить, что элемент xeF\K порождает сечение (A,B) в упорядоченном поле K, если A<x<B [8, 9].
Говорят, что многочлен /(х) меняет знак на сечении (А,В) упорядоченного поля Е, если существуют такие а е А, Ь е В , что на множестве А п [а, Ь] многочлен строго положителен (отрицателен), а на множестве В п [а, Ь] строго отрицателен (положителен). Если существует многочлен из Е[ х], меняющий знак на сечении, то это сечение будем называть алгебраическим (по Пестову). В противном случае сечение называется трансцендентным [5-8].
Замечание 1.3. Каждое сечение, производимое элементом самого поля, является несимметричным (по Пестову и по Шелаху) и трансцендентным.
Будем называть сечение (А, В) упорядоченного поля К алгебраическим (по Шелаху), если существуют упорядоченное расширение Е поля К и элемент х е Е \ К , порождающий данное сечение (А, В), причем х является алгебраическим элементом над К . В противном случае говорят, что сечение не является алгебраическим (по Шелаху) [9].
Через К будем обозначать вещественное замыкание поля К (максимальное вещественно замкнутое поле, содержащее К).
Замечание 1.4. Если поле К вещественно замкнуто, то К = К. Вещественное замыкание единственно с точностью до изоморфизма [3, 4, 11].
Лемма 1.5. Если сечение (А,В) упорядоченного поля К алгебраическое по Пестову, то оно алгебраическое и по Шелаху.
Доказательство. Пусть (А, В) - алгебраическое по Пестову сечение упорядоченного поля К . Тогда существует многочлен /(х) е К[х], который меняет знак на сечении (А, В). То есть существуют а е А, Ь е В, такие, что на множестве А п [а, Ь] многочлен /(х) строго положителен (для определённости), а на множестве В п [а,Ь] строго отрицателен. В частности, /(а)/(Ь) < 0, поэтому в вещественном замыкании К поля К найдётся элемент с, такой, что а < с < Ь и /(с) = 0 . Докажем, что А < с < В.
Допустим, что между А и В нет корней многочлена /(х). При этом может оказаться, что
1). Существует с1 е К - наибольший корень многочлена /(х), такой, что а < с1 < В, существует с2 е К - наименьший корень /(х), такой, что А < с2 < Ь . Так как алгебраическое сечение не производится никаким элементом из К , найдутся а1 е А, Ь1 е В, с1 < а1 < Ь1 < с2, причём /(а1)/(Ь1) < 0. Тогда между а1 и
Ь1 найдётся корень /(х) из К . Противоречие.
2). В К нет корней /(х), лежащих между а и В , но существует с2 - наименьший корень /(х), такой, что А < с2 < Ь . Тогда найдётся Ь1 е В, Ь1 < с2, причём /(а)/(Ь1) < 0. Поэтому между а и Ь1 есть корень многочлена /(х) из К . Но с2 был между А и Ь наименьшим корнем. Противоречие. Случай, когда в К нет корней /(х), лежащих между А и Ь , но существует с1 - наибольший корень /(х), такой, что а < с1 < В, рассматривается аналогично.
Итак, А < с < В. Таким образом, с е К, являясь алгебраическим над К , порождает сечение (А,В). Значит, сечение (А,В) алгебраическое по Шелаху. □
2. Свойства упорядоченных полей, связанные с сечениями
Строение сечений в упорядоченном поле несёт существенную информацию о свойствах самого поля. Для исследования полей формальных степенных рядов получим некоторые следствия из теорем теории упорядоченных полей.
Через Е(х) будем обозначать простое расширение поля Е (наименьшее поле, содержащее Е и х).
Теорема 2.1 [6]. Если сечение (А, В) поля Е трансцендентно, х принадлежит некоторому упорядоченному расширению поля Е и А < х < В , то порядок из Е единственным образом продолжается на поле Е(х), полученное заполнением
этого сечения, и далее на вещественное замыкание Е(х).
Теорема 2.2 [5]. Упорядоченное поле Е вещественно замкнуто тогда и только тогда, когда все сечения Е трансцендентны.
Следствие 2.3. Пусть (А, В) - сечение вещественно замкнутого поля Е, порождённое элементом х е Щ[бЕ ]]\ Е, А < х < В . Если у е Щ[бЕ ]]\ Е , А < у < В , то Е(х) и Е(у) упорядоченно изоморфны.
Доказательство. По теореме 2.2 в вещественно замкнутом поле Е все сечения трансцендентны, далее применяем теорему 2.1 (см. также [11]). □
Теорема 2.4 [7]. Пусть (А, В) - сечение упорядоченного поля К , /(х) е К[х].
Если сам многочлен и все его производные не меняют знак на сечении (А, В), то найдутся такие а е А и Ь е В, что для каждого упорядоченного расширения Е поля К выполняется:
1) /(х) > 0 всюду на отрезке [а, Ь]Е поля Е или /(х) < 0 всюду на отрезке
[а, Ь]Е поля Е;
2) /(х) строго монотонно на [а, Ь]Е .
Следствие 2.5. Пусть (А, В) - трансцендентное сечение упорядоченного поля К . Если Е есть упорядоченное расширение поля К и элемент t е Е таков, что А < t < В , то элемент t трансцендентен над К .
Доказательство. Если t - алгебраический над К элемент, то найдётся многочлен /(х) е К[х], такой, что /^) = 0. Так как сечение (А, В) трансцендентное, то /(х) и его производные не меняют знак на (А, В). По теореме 2.4 /(х) не меняет знак всюду на некотором отрезке [а,Ь]Е поля Е, где а е А и Ь е В, А < t < В . Значит, /^) Ф 0. Получаем противоречие. □
Следствие 2.6. Пусть (А, В) - сечение вещественно замкнутого поля К . Если Е есть упорядоченное расширение поля К и элемент t е Е таков, что А < t < В , то элемент t трансцендентен над К .
Доказательство. По теореме 2.2 сечение (А, В) трансцендентно. Далее применяем следствие 2.5. □
Таким образом, если поле вещественно замкнуто, то между берегами каждого его сечения в любом его упорядоченном расширении нет алгебраических над этим полем элементов.
Лемма 2.7. Пусть (А, В) - трансцендентное (т.е. не являющееся алгебраическим по Пестову) сечение упорядоченного поля К . Тогда (А, В) не является алгебраическим и по Шелаху.
Доказательство. Если (А, В) алгебраическое (по Шелаху), то, по определению, существуют упорядоченное расширение Е поля К и элемент t е Е \ К, порождающий данное сечение (А, В), причем t является алгебраическим элементом над К . Однако по следствию 2.5 элемент t трансцендентен над К . Противоречие. □
Таким образом, для упорядоченного поля понятия «сечение, алгебраическое по Пестову» и «сечение, алгебраическое по Шелаху» совпадают.
Следствие 2.8. Сечение упорядоченного поля алгебраическое по Пестову тогда и только тогда, когда оно алгебраическое по Шелаху.
Доказательство. По лемме 1.5 и лемме 2.7.
Из результатов [9] следует
Теорема 2.9 [9]. Пусть х е Е(х)\ Е порождает сечение (Ах, Вх) в поле Е. Тогда для каждого сечения (Ау, Ву) в Е, порождённого некоторым у е Е(х)\ Е
и не являющегося алгебраическим по Шелаху, имеют место равенства
с/(Ах) = с/(Ау), са1(Вх) = сш(Ву).
Следствие 2.10. Пусть Е - вещественно замкнутое поле их е Е (х)\ Е порождает сечение (Ах, Вх) в поле Е. Тогда для каждого сечения (Ау, Ву) в Е, порождённого некоторым у е Е(х)\ Е, имеют место равенства с/(Ах) = с/(Ау), са1( Вх) = са1( Ву).
Доказательство. Применяем лемму 2.7 и теорему 2.9. □
Теорема 2.11 [12]. Пусть О - линейно упорядоченная делимая абелева группа. Пусть р - кардинал, К0 <Р< | О |. Тогда конфинальность каждого симметричного сечения поля Щ[О, Р]] равна с/(Р). В частности, если р - регулярный кардинал, то конфинальность каждого симметричного сечения Щ[О, Р]] равна р .
Теорема 2.12 [6]. Пусть вещественно замкнутые поля Е1, Е2 таковы, что I Е]| = | Е2| =а>К0 и конфинальность каждого симметричного сечения в обоих полях равна а . Тогда для того чтобы Е1, Е2 были упорядоченно изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы группы архимедовых классов этих полей были изоморфны.
Следствие 2.13 (ОКГ) [13]. Пусть О - линейно упорядоченная делимая абелева группа, р - регулярный кардинал, К0 < Р = с/(О) = | О |. Тогда каждое вещественно замкнутое поле Е мощности р с группой архимедовых классов О, в котором каждое симметричное сечение имеет конфинальность р, упорядоченно изоморфно полю Щ[О, р]].
Теорема 2.14 [13]. Пусть вещественно замкнутое поле F имеет группу архимедовых классов Gf . Сечение (A, B) поля F симметрично тогда и только тогда, когда существует элемент x e R[[GF ]] \ F, такой, что A < x < B .
Пусть G - линейно упорядоченная абелева группа, x е R[[G]]. Усечением (начальным отрезком) ряда x = ^ rgg называется ряд вида ^ rgg для
geG ge supp(x),g>g
некоторого g e supp(x), g < maxsupp(x). Поле F с R[[G]] называется замкнутым относительно усечений, если усечение каждого ряда из поля F принадлежит F [14, 15]. Например, поле ограниченных формальных степенных рядов замкнуто относительно усечений.
Далее будем использовать более общие результаты из [15] для нашего частного случая формальных степенных рядов с вещественными коэффициентами.
Теорема 2.15 ([15], лемма 3.4, с. 644). Пусть G - линейно упорядоченная абелева группа, F - замкнутое относительно усечений подполе поля R[[G]] и x e R[[G]] - такой элемент, что все его усечения принадлежат полю F. Тогда F(x) тоже замкнуто относительно усечений.
Теорема 2.16 (F. Delon, [15], лемма 3.5, с. 644). Пусть F - замкнутое относительно усечений подполе R[[GF ]]. Тогда F тоже замкнуто относительно усечений.
3. Простые расширения полей ограниченных формальных степенных рядов
В [13] вводится конструкция вещественно замкнутого поля H, имеющего симметричное сечение заданной конфинальности. Применим эту конструкцию для полей ограниченных формальных степенных рядов. Будем принимать обобщённую континуум-гипотезу.
Пусть G - линейно упорядоченная делимая абелева группа, р - регулярный
кардинал, К0 < р < р+ = cf (G) = | G |. При ОКГ имеем
|R[[G, P]]| = |R[[G, p+ ]] | = | G | = p+ < |R[[G]]| = 2|G| = 2e+ [2, 16]. Так как p+ = cf (G), найдётся Г = {g Y} + - подмножество группы G, такое, что отображение y ^ gY задаёт инверсное подобие кардинала р+ и множества Г.
Зададим ряд: xp+ = ^ 1g , xp+ e R[[G]]\ R[[G, p+ ]]. По теоремам 2.11 и 2.14 ряд
ger
xp+ порождает в поле R[[G, р+ ]] симметричное сечение конфинальности р+, обозначим его (A, B).
Для каждого y , Р< Y <Р+, через xY обозначим усечение ^ 1g5 ряда x^+. Так
5<Y
как мощность supp(xY ) равна р , каждый ряд xY принадлежит полю R[[G, р+ ]]. Возрастающая последовательность {xY}p<Y<p+ конфинальна A . По трансфинитной рекурсии строим последовательность вещественно замкнутых полей
(Ку}р<у<р+ . Первое поле в этой последовательности Кр = Щ[О,Р]](хр) - вещественное замыкание простого трансцендентного расширения поля Щ[О, Р]]. Если
у - непредельный ординал, то полагаем Ку = Ку-1 (ху). Заметим, что если ху е Ку-1, то Ку = Ку-1. Если у - предельный ординал, то полагаем
Ку =
( Л
У К5 (ху). Полагаем также Н = У Ку . В [13] доказано, что элемент \Р<8<у ) Р<У<Р+
х^+ порождает в поле Н симметричное сечение конфинальности р+. Заметим,
что при этом Щ[О, р]] с Н с Щ[О, р+ ]] и х^+ в поле Щ[О, Р]] порождает симметричное сечение конфинальности р, а в поле Щ[О, р+ ]] порождает симметричное сечение конфинальности р+.
Сечение (А, В) упорядоченного поля Е называется фундаментальным (сечением Скотта), если Уее Е + За е А, ЗЬ е В, | Ь - а |<е [2, 5, 9].
Если носитель Г = Бирр(х^+) коинициален О, то сечение (А, В) фундаментально и не производится элементом самого поля; такие сечения всегда имеют конфинальность, равную с/(О) [12]. Если Г не коинициально О (группу, имеющую такие подмножества, можно построить [10]), то сечение (А, В) не является фундаментальным [17]. Если в поле Н все симметричные сечения фундаментальны, то Н упорядоченно изоморфно Щ[О, р+ ]]. Действительно, по следствию 2.13 из теоремы 2.12 об изоморфизме каждое вещественно замкнутое поле мощности р+ с группой архимедовых классов О, в котором каждое симметричное сечение имеет конфинальность р+, упорядоченно изоморфно полю Щ[О, р+ ]]. И если в поле Н все симметричные сечения фундаментальны, то по [12] они будут иметь конфинальность, равную с/ (О) = р+ .
Утверждение 3.1. Поле Н - наименьшее по включению вещественно замкнутое подполе поля Щ[О, р+ ]], содержащее поле Щ[О, р]] и все усечения ряда х^+.
Доказательство. Пусть Н1 - наименьшее по включению вещественно замкнутое подполе поля Щ[О, р+ ]], содержащее поле Щ[О, р]] и все усечения ряда х^+. Очевидно, что Н1 с Н. Обратное включение докажем по трансфинитной
индукции. Имеем Кр = Щ[О, Р]](хр) с Н1. Далее, пусть для всех 5 , таких, что р<5< у, выполняется К5 с Н1. Если у - непредельный ординал, то Ку-1(ху) = Ку с Н1. Если у - предельный ординал, то У К5 с Н1 и
Р<5<у
КУ =
( Л
У К5 (ху) с Н1. Следовательно, Н = У Ку с Н1. □
ЧР<5<у ) Р<У<Р+
Утверждение 3.2. Поле Н замкнуто относительно усечений. Доказательство. По трансфинитной индукции.
База индукции: Кр = Р]](хр) замкнуто относительно усечений. Действительно, мощность носителя каждого усечения ряда хр строго меньше р , поэтому Р]](хр) по теореме 2.15 замкнуто относительно усечений и по теореме 2.16
поле р]]( хр) замкнуто относительно усечений.
Пусть теперь для всех 5 , таких, что р<5< у , поле К5 замкнуто относитель-
(ху) применяем теоремы 2.15, 2.16. Поле Н есть
но усечений. Если у - непредельный ординал, то Ку-1 (ху) = Ку замкнуто относительно усечений по теоремам 2.15, 2.16. Если у - предельный ординал, то по построению и К5 есть объединение расширяющихся полей, замкнутых относи-
Р<5<у
тельно усечений. Поэтому само объединение также замкнуто относительно усечеТ Д ний. К полю Ку = и К5
ЧР<5<у
объединение вложенных расширяющихся полей Ку, замкнутых относительно усечений, поэтому Н замкнуто относительно усечений. □
Утверждение 3.3. Поле Н () замкнуто относительно усечений.
Доказательство. По утверждению 3.2 поле Н замкнуто относительно усечений. Далее применяем теоремы 2.15, 2.16. □ Теорема 3.4.
1) и Р]](ху) с Н и каждое поле из объединения упорядоченно изо-
Р<у<Р+
морфно полю Р]]( хр).
2) Если для каждого предельного ординала у , р< у <р+, поле Р]](ху)
замкнуто относительно усечений, то и Щ[С, Р]](ху) = Н .
Р<у<Р+
Доказательство.
1) р]] сН и для каждого у , р<у<р+, имеем ху еН . Тогда
Р]](ху) с Н, и так как Н вещественно замкнуто, Р]](ху) с Н, поэто-
му и К[[С, Р]](ху) с Н .
Р<у<Р+
Рассмотрим теперь вещественно замкнутые поля Р]]( хр) и Р]]( ху). где р< у <р+ . Ряды хр и ху порождают в Р]] то же самое сечение (А, В).
что и ряд х^+, то есть А < хр < ху < х^+ < В . Тогда по следствию 2.3 Р]](хр)
и р]](ху) упорядоченно изоморфны.
2) Докажем по трансфинитной индукции, что Ку = Щ[О,Р]](ху) для всех Р< у <Р+ . Имеем Кр = Щ[О,Р]](хр). Далее, пусть для всех 5 , таких, что
Р<5< у <р+, выполняется К5 = Щ[О, Р]](х5). Докажем, что Ку = Щ[О, Р]](ху). 2А) Пусть у - непредельный ординал, тогда, с одной стороны,
Щ[О, р]](ху) с Щ[О,р]](ху-1)(ху) = Ку-1 (ху) = Ку. С другой - ху - ^ =
= ху-1 е Щ[О,Р]](ху), следовательно, Щ[О, Р]](ху-1) с Щ[О, Р]](ху) и, далее,
Ку = К[[О, Р]](ху-1)(ху) с Щ[О, Р]](ху). Получаем Ку = Щ[О, р]](ху).
2Б) Пусть у - предельный ординал по построению и индукционному предпо-
ложению: К у =
У К5 (хт) =
ЧР<5<У )
У Щ[О, Р]](х5)
^<5<у
(ху). С одной стороны,
Л[[О,Р]](ху) с Ку =
(ху). С другой - по условию Щ[О, Р]](ху)
У Я[[О,Р]](х5)
^<5<у
замкнуто относительно усечений, поэтому х5 е Щ[О, Р]](ху) для всех р<5< у и
Щ[О, Р]](х5) с Щ[О, Р]](ху). Значит, У Щ[О, р]]^) с Щ[О,р]](ху), и наконец,
Р<5<у
КУ =
У Щ[О, Р]](х5)
^Р<5<у
(ху) с Щ[О, Р]](ху). □
Теорема 3.5. Н(х^+) \ Н и каждый элемент разности Н(х^+) \ Н порождает в поле Н симметричное сечение конфинальности р+ .
Доказательство. Н с Щ[О, Р+ ]], поэтому х^+ £ Н . Значит, уже Н(х^+) \ Н ^0 . Ряд х^+ порождает в Н симметричное и трансцендентное сече-
ние конфинальности р . Если t е Н (х^+) \ Н, то t порождает в Н симметричное
(по теореме 2.14) и трансцендентное сечение. Далее применяем следствие 2.10. □ Замечание 3.6. Если Н = Щ[О, Р]](хуо) для некоторого у0, Р< у0 <Р+, то Н
упорядоченно изоморфно Щ[О, Р]](хр). В этом случае поля Н и Щ[О, р ]] упо-рядоченно изоморфны тогда и только тогда, когда Щ[О, р+ ]] упорядоченно изо-
морфно своему подполю Щ[О, Р]](хр).
Замечание 3.7. Если Н не изоморфно (упорядоченно) полю Щ[О, р+ ]], то в поле Н не все симметричные сечения будут иметь конфинальность р+ . Действительно, если бы все симметричные сечения в Н имели конфинальность р+, то Н было бы изоморфно полю Щ[О, р+ ]] по следствию 2.13. Таким образом, в
этом случае Н будет примером упорядоченного поля с симметричными сечениями разной конфинальности.
Остаются открытыми вопросы: будет ли Н равно (изоморфно) р+ ]]; существует ли упорядоченное поле с симметричными сечениями разной конфинальности? Будут ли упорядоченно изоморфны поля Щ[0, Р]]( хв+) и
R[[G, р+ ]](хр+)?
ЛИТЕРАТУРА
1. Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. М.: Мир, 1965.
2. Dales H.J., Woodin H. Super real fields. Oxford: Clarenden Press, 1996.
3. ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1979.
4. КейслерГ., Чен Ч. Теория моделей. М.: Мир, 1977.
5. Пестов Г.Г. Строение упорядоченных полей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1980.
6. Пестов Г.Г. К теории сечений в упорядоченных полях // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42. № 6. С. 1213-1456.
7. Пестов Г.Г. К теории упорядоченных полей и групп: дис. ... докт. физ.-мат. наук. Томск, 2003.
8. Пестов Г.Г. Исследования по упорядоченным группам и полям в Томском государственном университете // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2011. № 3(15).
9. Shelah S. Quite complete real closed fields // Israel J. Math. 142 (2004). P. 261-272.
10. Galanova N.Yu. Symmetric and asymmetric gaps in some fields of formal power series // Ser-dica Math. 2004. V. 30. P. 495-504.
11. Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры. М.: Наука, 1967.
12. Галанова Н.Ю., Пестов Г.Г. Симметрия сечений в полях формальных степенных рядов // Алгебра и логика. 2008. Т. 47. № 2. С. 174-185.
13. Галанова Н.Ю. Линейно упорядоченные поля с симметричными сечениями // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. № 46. С. 14-20.
14. Kuhlmann F.-V., Kuhlmann S., MarshallM., Zekavat M. Embedding ordered fields in formal power series fields // J. Pure and Applied Algebra. 2002. V. 169. Issue 1. P. 71-90.
15. Mourgues M.H., Ressayre J.P. Every real closed field has an integer part // J. Symb. Logic. 1993. V. 58. P. 641-647.
16. Alling N.L. On the existence of real-closed fields that are na -set of power Ka // Trans. Amer. Math. Soc. V. 103 (1962). P. 341-352.
17. Галанова Н.Ю. Симметрия сечений в полях формальных степенных рядов и нестандартной вещественной прямой // Алгебра и логика. 2003. Т. 42. № 1. С. 26-36.
Статья поступила 28.01.2018 г.
Galanova N.Yu. (2018) ON SYMMETRIC CUTS OF A REAL-CLOSED FIELD. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 53. pp. 5-15
DOI 10.17223/19988621/53/1
Keywords: real closed field, truncation closed field, field of bounded formal power series, symmetric cut, cofinality of a cut.
The paper investigates properties of a subfield of the field of bounded formal power series R[[G,P+ ]], | G | = cf (G) = p+>p>K0. We construct (under GCH) a real closed field H ,
R[[G,P]] c H c R[[G,p+ ]] which has symmetric cuts of cofinality p+ . We show that H and H (Xp+) are truncation closed. We use G. Pestov's and S. Shelah's classifications of cuts (a symmetric cut and a non-algebraic cut). AMS Mathematical Subject Classification: 12F20, 12J15
GALANOVA Nataliya Yur'evna (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]
REFERENCES
1. Fuchs L. (1963) Partially ordered algebraic systems. Pergamon Press.
2. Dales H.J., Woodin H. (1996) Super real fields. Oxford: Clarenden Press.
3. van der Waerden B.L. (1971) Algebra. New York: Springer.
4. Keisler H.G., Chang C.C. (1973)Model Theory. Amsterdam: North-Holland.
5. Pestov G.G. (1980) Stroenie uporyadochennykh poley [The structure of ordered fields]. Tomsk: TSU Publ.
6. Pestov G.G. (2001) On the theory of cuts in ordered fields (Russ.). Sib. Math. J. 42(6). pp. 1350-1360.
7. Pestov G.G. (2003) K teorii uporyadochennych poley i grupp [To the theory of ordered fields and groups]. Dis. Doct. fiz.-mat. nauk; 01.01.06. Tomsk.
8. Pestov G.G. (2011) Issledovaniya po uporyadochennym gruppam i polyam v Tomskom gosudarstvennom universitete [Investigations on ordered groups and fields in Tomsk State University]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika. [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 3(15).
9. Shelah S. (2004) Quite complete real closed fields. Israel Journal of Mathematics 142. pp. 261-272. https://arxiv.org/pdf/math/0112212v1.pdf
10. Galanova N.Yu. (2004) Symmetric and asymmetric gaps in some fields of formal power series. Serdica Math. 30. pp. 495-504.
11. Robinson A. (1963) Introduction to model theory and to the metamathematics of algebra. Amsterdam: North-Holland.
12. Galanova N.Y., Pestov G.G. (2008) Symmetry of cuts in fields of formal power series. Algebra and Logic. 47(2). pp. 100-106. D0I:10.1007/s10469-008-9001-5.
13. Galanova N.Yu. (2017) Totally ordered fields with symmetric cuts. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 46. pp. 14-20. D0I:10.17223/19988621/46/2
14. Kuhlmann F.-V., Kuhlmann S., Marshall M., Zekavat M. (2002) Embedding ordered fields in formal power series fields. Journal of Pure and Applied Algebra. 169(1). pp. 71-90.
15. Mourgues M.H., Ressayre J.P. (1993) Every real closed field has an integer part. J. Symb. Logic. 58. pp. 641-647.
16. Alling N.L. (1962) On the existence of real-closed fields that are na -set of power Xa //
Trans. Amer. Math. Soc. V. 103. pp. 341-352.
17. Galanova N.Y. (2003) Symmetry of sections in fields of formal power series and nonstandard real line. Algebra and Logic. 42. pp. 14-19. DOI: 10.1023/A:1022672606591.
