О роли Л-члена в эволюции космологической модели Бианки-I с взаимодействующими векторным и скалярным полями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.12:531.51

О роли A-члена в эволюции космологической модели Бианки-I с взаимодействующими векторным и скалярным полями

E.H. Чудаева*, Г. Н. Шикин^

* Кафедра экспериментальной физики * Кафедра теоретической физики, Российский университет дружбы народов, Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Получены точные решения системы уравнений Эйнштейна с Л-членом, принимающим как положительные, так и отрицательные значения, а также уравнений взаимодействующих векторного и скалярного полей. Полученное решение описывает эволюцию модели из сингулярного начального состояния. Показано, что Л-член не влияет на эволюцию модели в начальной стадии расширения. При t —» оо, если Л > 0 процесс расширения становится изотропным при выполнении определенных условий на член взаимодействия векторного и скалярного полей.

Недавние наблюдательные исследования далеких вспышек сверхновых звезд указывают на присутствие во Вселенной космического вакуума, плотность энергии которого превышает плотность всех других форм космической энергии вместе взятых [1]. Плотность энергии вакуума связана с космологической постоянной Л соотношением р— g^j, где G — ньютоновская гравитационная постоянная. Следовательно, учет Л-члена при исследовании космологических моделей необходим [2,3]. Введение Л-члена в уравнения Эйнштейна имеет также и математической обоснование, так как Л-член является постоянной интегрирования, которой не может быть необоснованно приписано какое-либо частное значение [4].

В работе рассмотрена космологическая модель Бианки-I с взаимодействующими векторным и скалярным полями с учетом Л-члена. Получены точные решения системы уравнений Эйнштейна, векторного и скалярного полей. На основе полученных решений исследовано влияние Л-члена на эволюцию модели. Установлено, что Л-член играет существенную роль в эволюции модели только асимптотически при í —> оо и не оказывает влияния на начальную стадию эволюции. Показано, что при выполнении определенных условий на члены взаимодействия векторного и скалярного полей и при Л > 0 процесс расширения Вселенной выходит на изотропный режим на больших временах. Отметим, что в отсутствии Л-члена изотропизации процесса расширения модели не происходит [5].

Лагранжиан самосогласованной системы взаимодействующих векторного, скалярного и гравитационного полей с Л-членом имеет вид

г ^ + 2Л

L — —--1- + Lsc + Lint i (1 /

= + Lsc = , Ьш = ±ч>,а<р'аН(АрАР), (2)

где i? —скалярная кривизна, ге — эйнштейновская гравитационная постоянная, Аа — компоненты потенциала векторного поля, Faß = Ap¡a - Aaß, Lint описывает взаимодействие нейтрального скалярного и векторного полей.

Метрика пространства-времени Бианки-I выбирается в форме [6]:

ds2 = dt2 - a2(t)dx2 - b2(t)dy2 - c2(t)dz2 .

(3)

Из лагранжиана (1) получаем уравнения Эйнштейна, уравнения векторного и скалярного полей.

Уравнения Эйнштейна используем в виде

я;; - а-'(т; - -л»;;, (4)

Н(М)—(З-Н+л, <« ---(^-Н-ЬА. О

где точка означает дифференцирование по

Выпишем уравнения векторного и скалярного полей:

где £■(/) — 1 + H(I), I =

1 3

0, (9)

у^Л^ВД] =0, (10)

sFgdxv

где v^"? = =

Решение уравнения (10) имеет вид

= const. (11)

Компоненты векторного поля А^ вследствие однородности пространства-времени Бианки-I зависят только от t. Рассмотрим частный выбор компонент M(t) [7]:

A" = [A°(t),0)0,0]. (12)

В этом случае A°(t) = A(t) = A0(t) и / = </оо(Л0)2 = A2{t). При этом получаем:

Тогда уравнение (9) принимает вид

г2 Е'Щ) Л Уравнение (14) можно переписать так

т

Введем обозначение щц — 1 + Я{1), тогда

9 . .о dE m А + tp ——А = 0, al

maA+4-^^4 = 0. (14)

"'-^(щН- <|5>

ВД = т+щ = 1+я(/)' = <16)

С учетом (16) равенство (15) перепишем в виде

->2

то <¿>0

~ 1Т

(17)

Если £ = 0, Я = 0, Е{1) = 1, взаимодействие при этом отсутствует и уравнение (9) имеет только тривиальное решение А = 0. При задании (}{1) в явном виде из (17) можно найти 1(т).

Выпишем компоненты тензора энергии-импульса (ТЭИ) взаимодействующих векторного и скалярного полей:

НЕ

г; = -V" + тп2А1аА" + + ф^—А^А" -

Ьгп = + ^ЛаАа + ^,аЧ>'аЕ(1).

В рассматриваемом случае Ьгп имеет вид

2 1 2 "т 1 .о ^ тп л9

1 ^о

■'ц-^тп 1

(18)

(19)

Из (18) находим:

грО _

т2 т2 <11

"Т

гп2 _ тпЗ _ т _

■* 2 ~ 23 — —

1 + (¿(1)

т2 т2 <11

Т ~

1 + <3(1)

(20)

Рассмотрим простейший вид <2(/):

Я(1) =

п

п — const.

(21)

где Л —параметр взаимодействия. При подстановке С}{1) из (21) в (17) получаем равенство:

тп <Ро

т2 - XI

71 — 1

0, пф 1.

откуда следует, что

/ = А2

ТП 2

А <р§

1

п -1

то

1

п-1

\f\tfi0

(22)

(23)

Выпишем компоненты ТЭИ взаимодействующих векторного и скалярного полей, соответствующих выбору С}{1) в виде (21).

т\ = г| = т* = -

ш

т

п + Ч'-Тх1

1-п

т _ гра _ —т2

грО ¿0 т2 / ~2~ V 2 1

то

г1 ~п

т

г1 —71

(24)

(25)

(26)

3 2 ~ 2

(27)

Рассмотрим решение уравнений Эйнштейна. Сумма уравнений Эйнштейна (5)+(6)+(7) приводит к уравнению

Заетп2 ( гп2 \ "-1 п+1

Первый интеграл и общее решение уравнения (28) записываются так: 1

Ф(т) 3. о То

(1т

.1 х/го - Ф(т) + ЗЛг2

±С* + «о) ■

(28)

(29)

(30)

Заетп'

( т2 \ ^

Г"-1 , Го — сопв!,, ¿0 = согЫ.

где Ф(т) = —2-

Выразим функции а, Ь, с через т. Для этого заметим, что разность уравнений Эйнштейна (5)-(6) приводит к уравнению

а £>\ /а М ^ о

а Ь 1 а Ь) [а Ь сI

Уравнение (31) имеет решение

= Е)\ схр X

= const, Х\ — const.

(31)

(32)

Разности уравнений (5)-(7) и (6)-(7) приводят к уравнениям, аналогичным (31), имеющим решения

а п (у - = ¿>2 ехр I л2 / —

(33)

с \ .! т)

где £>2> £>з, — постоянные интегрирования. Между ними существует связь:

= Х2 = Х1+ХЪ. (34)

Используя равенства (32) и (33), выпишем а(Ь), Ь(Ь) и с(£) в явном виде

<й 1

а^) = ^АХ/3г1/3схр 1(2Х1+Х3) I Ь(*) = (Яз/ЯО^т^схр -Хг)1 -¡(Х1+2Х3 )/£

(35)

с(<) =

Таким образом, исходная система уравнений Эйнштейна, векторного и скалярного полей полностью проинтегрирована. В процессе интегрирования использовались только первые три уравнения (5)-(7) полной системы уравнений Эйнштейна. Получено общее решение этих трех уравнений второго порядка, содержащее шесть произвольных постоянных: £>з, Хх, Хз и еще две произвольные постоянные т0 и ¿о, полученные при решении уравнения (28). Уравнение (8) является следствием

первых трех уравнений Эйнштейна (5)-(7). Для того чтобы убедиться в правильности полученного решения, необходимо функции 6(£) и с(£) подставить в уравнение (8). При этом должно получиться или тождество, или некоторая дополнительная связь между постоянными, входящими в решение. Подставляя а(Ь), и с(£) из (35) в (8), получаем следующее равенство:

3т

+ Х,Х3 + X!)] = f+ 1 ) / + 2/1-п

2т' 2 — +

т 6т \

Подставляя в (36) т из (28), (т)2 из (29) и / из (23), получаем:

То

+ Л. (36)

1(x! + xlx3 + xl) + 3^>0. (37)

Из (30) следует, что r(i) может обращаться в нуль, что означает сингулярность начального состояния.

Рассмотрим свойства решений т(£) из (30) при разных значениях п и разных знаках космологической постоянной Л. Рассмотрим сначала случай Л > 0.

1. При п > 1 из (30) следует, что r(t) меняется в ограниченных пределах, так как при возрастании r(t) подкоренное выражение становится отрицательным:

0 < т ^ ттах . (38)

Это означает, что полученное решение описывает осциллирующий режим с сингулярным начальным состоянием и не имеет асимптотики по времени. Для начальной стадии эволюции из (30) имеем:

при t —> 0 r(t) « v^t -> 0. (39)

Что согласуется с результатами, полученными в [5].

2. При 0 < п < 1 из (30) следует, что r{t) изменяется в пределах

0s£r(i)^oo. (40)

При t —► 0 из (30) имеем:

Поведение модели такое же как и в отсутствии Л-члена [5]. При t —> оо из (30) получаем

r(i) « cxp(\/3Ai) -» оо. (42)

Подставляя t(î) из (42) в (35), получаем, что а ~ b ~ с ~ т1/3 ~ exp (^-tj ■

Т.е. процесс расширения модели на поздних временах становится изотропным благодаря наличию Л-члена. Рассмотрим случай Л < 0.

1. При п > 1 поведение модели аналогично рассмотренному выше случаю Л > 0.

2. При 0 < п < 1 из (30) следует, что зависимость r(i) при t —> 0 такая же как в отсутствии Л-члена [5].

При t оо из (30) получаем, что выражение, стоящее под корнем, становится отрицательным при возрастании r(i). Значит, функция r(t) меняется в ограниченных пределах.

Таким образом, установлено, что Л-член не влияет на эволюцию модели в начальной стадии расширения. При Л>0и0<п<1 получили, что модель расширяется из сингулярного начального состояния по экспоненциальному закону, а это приводит к изотропизации процесса расширения пространства-времени.

Литература

1. Чернин А. Д. // УФН. - 2001. - Т. 171, № 11. - С. 1153-1175.

2. Глинер Э. Б. // УФН. - 2002. - Т. 172, № 2. - С. 221-227.

3. Иваненко Д. Д. // Известия ВУЗов. Физика. - 1974. - № 12. - С. 35-42.

4. Мак-Витти Г. К. Общая теория относительности и космологии. — М.: ИЛ, 1961. - 284 с.

5. Сибилева Е. Н., Шикин Г. Н. // Вестник РУДН: Серия «Физика». — 2002. — № 10(1). - С. 30-34.

6. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселенной. — М.: Наука, 1975. - 735 с.

7. Novello М., Salim J. М. // Lettere al Nuovo Cimento. - 1984. - Vol. 40, No 8. - P. 232-234.

UDC 530.12:531.51

On the Role of A-term in the Evolution of the Cosmological Model Bianchi-I with Interacting Vector and Scalar Fields

E. N.Chudayeva *, G. N. Shikin^

* Department of Experimental Physics

* Department of Theoretical Physics, Peoples' Friendship University of Russia,

6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia

Exact solutions have been obtained to the set of the Einstein equations with a cosmological term of any sign, coupled to interacting vector and scalar field equations. It has been shown that the A-term does not affect on the model evolution at the initial stage. If A > 0 and 0 < n < 1 our solution describes the evolution of the model from singular initial state with isotropization when t —> oo.