Нелинейные спинорное и скалярное поля во фридмановской модели Вселенной: проблема начальной сингулярности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530.12:531.51

Нелинейные спинорное и скалярное поля во фридмановской модели Вселенной: проблема начальной сингулярности

A.A. Харламов, E.H. Чудаева, Г.Н. Шикин

Кафедра теоретической физики Российский университет дружбы народов Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

В модели Вселенной Фридмана с плоской пространственной частью исследована самосогласованная система нелинейного скалярного поля типа Борна-Инфельда и спинорного поля с нелинейными членами, являющимися функциями четырех простейших инвариантов спинорного поля: S2, Р2, S'±P2, S = тртр, Р = h/>75i/>. Для всех типов нелинейности получены точные решения самосогласованной системы уравнений Эйнштейна, уравнений скалярного и спинорного полей. Рассмотрены конкретные спинорные поля с нелинейными членами полиномиального типа. Установлено, что во всех случаях в зависимости от знаков параметров нелинейности существуют как сингулярные, так и несингулярные в начальный момент времени решения. Показано, что линейные скалярное и спинорное поля имеют в начальный момент времени только сингулярные решения и начальная сингулярность устраняется, если знак параметра нелинейности хотя бы одного из полей соответствует отталкиванию.

1. Введение

Как известно, проблема космологической сингулярности является одной из основных в современной космологии. Для ее исчерпывающего анализа необходимо привлечь еще не созданную квантовую теорию гравитации. В классической теории гравитации, согласно теореме Хокинга-Пенроуза [1], возникает начальная сингулярность. Одно из основных условий этой теоремы — условие энергодоминантности е > рг, где е — плотность энергии, а — давление в некотором направлении. Поэтому естественно возникает вопрос: можно ли устранить сингулярность начального состояния в рамках классической теории поля? На уровне линейных полей этого сделать не удается. Но если расматривать нелинейные поля, то удается решить проблему начальной сингулярности.

В статье [2] рассматривались нелинейные спинорные поля во Вселенной Фридмана с плоской пространственной частью и решалась проблема устранения начальной сингулярности. Показано, что начальную сингулярность можно устранить за счет нелинейных членов в уравнениии спинорного поля, но при этом нарушается условие энергодоминантности в теореме Хокинга-Пенроуза.

В работе рассматриваются нелинейное скалярное поле типа Борна-Инфельда и нелинейные спинорные поля во Вселенной Фридмана и обсуждается возможность устранения начальной космологической сингулярности такой модели.

2. Полевые уравнения

Лагранжиан самосогласованной системы взаимодействующих спинорного, скалярного и гравитационного полей имеет вид [2], [3]

Д

Ь = — + Ьзр 4- ЬцС, (1)

Lsp = \ - - тФФ + F(IS, Ip),

Lsc = —(1 — Vi — cri),

где Я — скалярная кривизна, аз — эйнштейновская гравитационная постоянная, Р(/£,/р) — произвольная функция инвариантов спинорного поля 1з — 52, /р = Р2, 5 = фф, Р — [ф~/5ф, I — <р,а(Р'а — инвариант скалярного поля. Лагранжиан скалярного поля удовлетворяет в случае слабого поля (I —> 0) условию предельного перехода к лагранжиану линейного скалярного поля:

при / —> 0, Ьзс —> 1/. (2)

Гравитационное поле описывается метрикой Фридмана с плоской пространственной частью [4]:

сЬ2 = ¿{2 - а2(г)(сЬ2 + dy2 + ¿г2). (3)

Из лагранжиана (1) получаем уравнения Эйнштейна, уравнения спинорного поля и компоненты его тензора энергии-импульса (ТЭИ), а также уравнения скалярного поля и компоненты его ТЭИ.

Уравнения Эйнштейна используем в виде [4]

За2 л (1 а

= а = —, (4)

а

2

di'

2а а2 , о о

— + = аеТ/ = aeT| = аеТ|. 5)

a a2 ¿ á

Выпишем уравнения спинорного поля и компоненты его ТЭИ:

8F 8F

- тш/> + —-25-0 + -— 2iP7V = 0, (6)

oís dip

dF - dF

iV^iY + тф - —2Бф - —ЪРф^ = 0; (7)

dis dip

Tïsv = рЧи'Ф + ф1и4рф - \/,ф1рф - Vрф^иф) - S^Lsp, (8)

где Lsp с учетом (6) и (7) записывается следующим образом:

dF dF

LSp = -2/sTT-r--2/p——h F. (9)

dis dip

Выпишем уравнения скалярного поля и компоненты его ТЭИ:

(10)

= (11)

В равенствах (6)-(8) V^ — ковариантная производная спинора, имеющая вид [5]

8ф dx»

где Г^(х) — матрицы спинорной афинной связности. Матрицы -у^(х) в метрике (3) определяются следующим образом. Используя равенства

gßV{x) = е^(х)е^{х)т1аЬ, Ъ(х) = eW(s)7a,

где 1]аь = diag(l, —1, —1,-1), фа — матрицы Дирака плоского пространства-времени, е["\х) — совокупность тетрадных 4-векторов, получаем:

7° 72 = ~77v 73 — ~7т\ ■ (13)

a{t) a(t) a(t)

Матрицы Г)С(х) определяются равенствами:

/о = о, A = = = (14)

Матрицы плоского пространства-времени выбираем в форме, приведенной в [6]. Выпишем уравнения спинорного поля (6) для ф = v(t,):

/ Q * \ гч у—-т г\ т-1

¡7° (dt + --)v(t)-mv(t) + —2 Sv(t) + —r-2\Pj5v(t) = 0. (15) \ 2a J ois alp

Для компонент фр = vp(t), р = 1,2,3,4, из (15) получаем следующую систему уравнений:

п

i1 + --vi+i(m.-D(S,P))v1-G(S,P)v3 = Q, (16)

1 а

О

h + 7Ï + i (m - D(S, P)) V2 - G (S, P)v 4 = 0, (17)

2 a

о

v-i + --v3~i{m-D(S,P))v3+G(S,P)vl=0, (18)

2 a

i'4 + tA'4 - i (m - £>(5, F)) г?4 + G(5, Р)г>2 = 0, (19)

2 a

где Z?(5,P) = ^25, P) =

Используя равенства (8) и (9), выпишем в явном виде компоненты ТЭИ спинорного поля:

ГСР = ^7°V0i/> - VoihV) - = m5 - F(/s, /Р).

яр ßf

TU = Tip = Tip = = 2IsdTs+ 21рдГР ~ F- (20)

Уравнение скалярного поля (10) для <р ~ ip(t) в метрике (3) примет вид

¿КтЬН <2|>

с решением

ф - —-—- _, ipa = const. (22)

С учетом (22) из (11) получаем ТЭИ скалярного поля:

1 / а

3

Тис — sc — sc — с I /-— 1 I • (24)

Рассмотрим решение уравнений Эйнштейна. Из (4) получаем:

/ = + to), t0 = const, (25)

j v^ v 3

где Tq = Т0% + Tgst.

Используя систему уравнений спинорного поля (16)-(19), найдем систему уравнений, связывающую три билинейные функции:

S = (v^vi + v\vi - г'з^з - vlvi),

P = i(viv3~vlv3+v2vl—v2vi),

r — («1^3 + Vivl + t>2t>4 4- V2l'l). Эта система имеет вид

S + 3-S-2GR = 0, (26)

а

Р + 3-Р — 2{т — D)R = 0, (27)

а

R + 3-Р + 2(т — D)P + 2GS — 0. (28)

а

Введем новые переменные: So = Sa3, Pq = Pa3, Ro = Ra3. В этих переменных система (26)—(28) запишется так:

So - 2GR0 = 0, (29)

Р0 - 2{т - D)Ro = 0, (30)

Ro + 2(m - D)P0 + 2GSo = 0. (31)

Уравнения (29)-(31) имеют первый интеграл:

SoSo + РоРо + RqRQ = О,

5o2 + PO2 + PQ2 = CO2. (32)

3. Решение с линейными полями

Для того чтобы выяснить роль нелинейных членов в уравнениях спинорного и скалярного полей в процессе эволюции Вселенной, нужно рассмотреть случай линейных спинорного и скалярного полей, т.е. когда Р(1з,1р) = 0 и а —> 0. В этом случае уравнение спинорного поля (6) для ф = у(Ь) запишется так:

¡7° (дг + «(*) ~ гпь(Ь) = 0. (33)

Для компонент фр = ур(Ь), р — 1,2,3,4 система уравнений (16)—(19) примет вид

3 а

У\ + --VI + \rriv 1 = 0, (34)

¿и О/

3 а

У2 + + = 0, (35)

¿1 а

3 а

Щ + - -Уз - [туз = 0, (36)

г а

щ + - -и* - ту4 = 0. (37)

2 а

Выпишем решение этой системы уравнений:

ы® = С1а-*'2е-™\ (38)

г;2(*)=С2а-3/2е-1т*, (39)

г>з(*) = с3а~3/Чт\ (40)

у4{г) = сАа-ъ'2е1т\ (41)

где сх, С2, сз, С4 — произвольные постоянные.

Для линейного спинорного поля из (2) получаем Т$зр в виде

Т°р = т5. (42)

Используя (38)—(41), находим 5:

5 - ка~3, (43)

где к = с2 + с\ - Сз - с|.

При а —► 0 решение уравнения скалярного поля примет вид

(44)

ал

ТЭИ скалярного поля с учетом (44) запишется так:

= (45)

т;„=1?„=т!„ = -||. (46)

Подставляя Т® = Г°5С + в (25) и интегрируя, находим зависимость а от и

'Зэдтпк 2 ¡Ро Т1^3

2тк

к = 0. (47)

Из (47) получаем, что

при t —> ос a(t) —> оо. при a{t)^0'

при а —> 0 7"о —> 00 •

Таким образом, установлено, что решение в случае линейных спинорного и скалярного полей сингулярно в начальный момент времени. Для устранения начальной сингулярности необходимо ввести нелинейные члены в уравнения спинорного или скалярного полей.

4. Решение с нелинейными полями

Далее рассмотрим скалярное поле типа Борна—Инфельда и частные случаи нелинейного спинорного поля.

4.1. Случай 1: F = F(IS), G = О

Из (29) получаем:

So = 0, Sq — Ci, 5 = Ci/a3, C\ — const. (48)

Выберем конкретный вид функции F(S):

F{S) = AS2r\ n > 1, (49)

где A — параметр нелинейности, n — произвольная постоянная. Из (2) получаем T$sp.

T°,p = mS-XS2n. (50)

Подставляем Tqsc из (23) и Tgsp из (50) в (25) и получаем равенство:

-1/2

da

mCi (Ci —~— — А

(51)

t0 = const.

Поведение а(Ь) в начальной стадии эволюции Вселенной существенно зависит от выбора знаков параметров нелинейности А и ст. Так как плотность энергии должна быть неотрицательной и подкоренное выражение не может быть отрицательным, то имеем:

Т0° > 0, (52)

2

1 + аЦ^О. (53)

аь

Рассмотрим возможные варианты выбора знаков параметров нелинейности спинорного и скалярного полей.

1. а > О, А < 0.

Ограничивающие неравенства (52) и (53) выполняются тождественно и а

может равняться нулю, причем при а —> О —> оо, т.е. полученное решение сингулярно.

2. с < О, Л < 0.

Спинорное поле не дает ограничений на а(Ь), но скалярное поле устраняет сингулярность. Из (51) находим:

(54)

В случае равенства из (22) следует, что ф —> оо, при этом = -а > О, Ti.sc = ос, г = 1. 2, 3.

3. а > О, Л > 0.

Скалярное поле не ограничивает а(£), но спинорное поле устраняет сингулярность. Из (51) находим:

/ ч ч 1/3(2п, —1)

«О - СУ3, (55)

где оо—нижняя грань а{Ь) в отсутствие скалярного поля.

4. а < О, Л > 0.

В этом случае как скалярное поле, так и спинорное поле могут устранить сингулярность. В случае, когда есть только одно скалярное поле, из (51) находим:

a{sc) ^ y-v-ft (56)

В случае, когда есть только спинорное поле, из (51) получаем:

/ х \ 1 /3(2 п. — 1 )

0(,р) > (-J с;/3. (57)

Отсюда следует, что при достаточно больших —о, ¡р0, m и малых Л и С\ скалярное поле раньше устраняет сингулярность; при больших Л и С] и малых -а, щ, m спинорное поле устраняет сингулярность раньше скалярного.

Спинорные полевые функции получаем интегрированием (16)—(19), полагая в

2n — 1 /„ 2п-1 .

них G = 0, D = 2XnS2n~1 = 2\п(С\)2п~1 /

Г 1.2

''1.2 = "1V2 еХР

Г'], 4

"3,4 = ехр

i(mi-2ancr7^r)

(58)

где гр, р = 1,2,3,4 — произвольные постоянные.

При выборе в (49) А > 0 спинорные полевые функции ур, р = 1,2, 3,4 регулярны при всех допустимых I.

Далее будем рассматривать систему уравнений спинорного поля при тп = 0. В этом случае из (29)—(31) для решения достаточно иметь два первых уравнения:

5о = 2 бДо, Ро = —2£>Р0,

откуда следует

50£> = -Р0С. (59)

Отметим, что в единой нелинейной теории Гейзенберга массовый параметр гп отсутствует [7).

4.2. СЛУЧАЙ 2: F = F(IP), D = О

Из уравнения (30) имеем:

Ро = 0, Р0 = С2} Р = Щ. (60)

а3

Выберем F(Ip) в виде

F(IP) = -\1Ip+\2Ip, п2>п ь (61)

где Ai,2 — параметры нелинейности, nii2 — произвольные постоянные. Подставляем F(Ip) из (61) в (2) и получаем выражение для Tq :

Tqsp = Ai/p1 — А2/р2, п2>щ. (62)

Подставляем Tqsc из (23) и Tgsp из (62) в (25) и получаем равенство:

-1/2

da

yßa+to), (63)

где Ах > О, А2 и ст имеют произвольные знаки.

Исследуем в полученном решении возможность устранения начальной сингулярности.

1. <т > О, А2 < 0.

Сингулярность не устраняется: при а —► 0 Тд —> оо.

2. <т < О, А2 < 0.

Сингулярность устраняется за счет скалярного поля:

а > у-сг<р1 (64)

3. а > О, А2 > 0.

Сингулярность'устраняется за счет спинорного поля:

х Ш(.и2-П1)

а > ) С2< . (65)

4. а < О, А2 > 0.

Сингулярность можно устранить как за счет скалярного, так и за счет спинорного полей. По отдельности скалярное и спинорное поля ограничивают а следующим образом:

2

а>(вс) > у-<?<Ро, (66)

/ЛзЧ1^-^ 1/3

а(зР) > ( ^ ) С2' . (67)

Отсюда следует, что при достаточно больших — а, щ, Ах и малых А2, С2 сингулярность устраняется за счет скалярного поля; при больших А2, С2 и малых —а, <ро, Ах спинорное поле устраняет сингулярность.

Спинорные полевые функции получаем интегрированием (16)—(19). Найдем общее решение системы уравнений (16)—(19). Для этого перейдем к новым функциям

ир = ура3/2, р= 1,2,3,4. (68)

Подставляя vp(t) из (68) в (16)—(19), получаем систему уравнений для up(i):

щ - G(P)u3 = 0, ú3 - G(P)Ul = О, t¿2 - G(P)u4 = 0, ¿4 - G(P)u2 = 0.

(69)

Из (69) имеем:

откуда следует

и i из . .

— =--, щщ = -щщ, (70)

и3 щ

ui + n3 = ri> const. (71)

Подставляем в первое уравнение (69)

и3 = ±yjrl - u¡ (72)

и получаем уравнение для щ:

ú1~G(P)^r21-u¡=0. (73)

Уравнение (73) имеет решение

щ — r\ sin (^j Gdt + , qi = const. (74)

Для щ из (72) имеем следующее выражение:

u3 = п cos ^у Gdt + gi^j . (75)

Поступая аналогичным образом, получаем следующие выражения для и2 и U4:

и2 = r2 sin ^ j Gdt + q2^j , (76)

г 2 = const, q2 — const;

«4 = r2 cos 7 Gdt + q^j . (77)

Окончательно для функций vp(t) имеем следующие выражения:

Vi,2 = ?;з,4 = cosxi.2, Х1,2 = J Gdt + qh2- (78)

При выборе в (61) Л2 > 0 спинорные полевые функции (78) vp, р = 1,2,3,4, регулярны при всех допустимых i.

4.3. Случай 3: F(IS,IP) = F{h), h = Is + Ip

При этом

Подставляем (79) в (59) и получаем уравнение

= -ад (80)

имеющее решение

so2 + PQ2 — cf, S2 + Р2 = Щ-. (81)

пи

Далее найдем 5 и Р. Для этого используем равенство (29). Ro находим из (32):

R2 = С2 - S2 - Р02 = С2 - С2 = Я2. (82)

G определяется из (79), а Р из (81):

0 = = ,83)

d/i аЛ dii аЛ А1\

Подставляем (83) в (29) и получаем уравнение

= (84)

Уравнение (84) имеет решение

( f \ F di \ So - С3 sin UН, J — — + tf2 J , tf2 = const. (85)

Из (81) находим Р0:

Ро = Сз cos (АН, J ^ ^ + я2) . (86)

Таким образом, зная So и Ро, легко найти билинейные функции 5 и Р. Выберем F(/i) в виде (61):

F(A) = -А]/"1 + А2/Га, > пь (87)

Тогда a(t) получим из (63), где С2 заменяется на С3. Свойства a(i) совпадают с предыдущим случаем.

4.4. Случай 4: F(/s, /я) = F{I2), h = /s - ^р

При этом

Подставляем (88) в (59) и получаем уравнение

S0S = Р0Р, (89)

имеющее решение

So2-Po2 = Cj, S2-P2 = -1. (90)

aD

Найдем 5 и Р . Для этого используем равенство (29). Р0 находим из (32):

Л2 = С2 - 5g - Pi = С2 + С2 - 2S2. (91)

6' определяем из (88), а Р из (90):

Jsl-CltF

G = -2--з-—. (92)

Подставляем С? из (92) и 7?.0 из (91) в (29) и получаем уравнение

4

5о = -^з - С1 X — ,/С2 + С2 - 252.

61о

(93)

Введем новую переменную: х = 5о¡С\ ■ Тогда решение уравнения (93) можно записать так:

(1х

- 1X1 - к2Х2)

с*+а

¿¡¡а3

Нч

(94)

к2 =

2 а

с2п+с2

< 1, Н з = сог^.

Интеграл в левой стороне равенства (94) путем подстановки х — 1/\/1 — к"2г'2,

' ■-) Г)

к — 1 — к , сводится к эллиптическому интегралу первого рода. При этом для ; получаем выражение:

= БП

4 УС02 + С|Х

г ар ¿г 1

я.

(95)

Окончательно для 5о и Р0 получаем следующие выражения:

С4

5П =

Рп =

-к'Чп2^

у/\ - к'Чт?С с!Р (М

+ н.

Зная 5о и Л), легко найти билинейные функции 5 и Р. Выберем Р(/2) в виде (61)

Р{12) = -А1/Г +А2/2П2, п2 > щ.

(96)

В этом случае а(1) получаем из (63), где Со заменяется на С4. Свойства а(г) совпадают с предыдущим случаем.

5. Заключение

Таким образом, получены точные решения системы уравнений Эйнштейна, нелинейного уравнения скалярного поля типа Борна—Инфельда, уравнений спи-норного поля с нелинейными членами, зависящими от инвариантов спинорного поля 52 и Р2. Найдены в квадратурах решения уравнений Эйнштейна и точные выражения для билинейных функций 5 и Р в случае нелинейных членов в уравнениях спинорного поля, зависящих от 52±Р2. Показано, что линейные скалярное и спинорное поля имеют в начальный момент времени только сингулярные решения, и сингулярность начального состояния можно устранить только путем введения нелинейных членов в уравнения скалярного или спинорного полей. Установлено, что в зависимости от знаков параметров нелинейности спинорного и скалярного полей существуют как сингулярные, так и несингулярные в начальный момент времени решения.

Литература

1. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселенной. — М.: Наука, 1975. - 765 с.

2. Сибилева Е. Н., Шикин Г. Н. Нелинейные спинорные поля во фридмановской модели Вселенной: точные решения и проблема начальной сингулярности // Вестник РУДН, сер. Физика. - № 10, вып. 1. - 2002. - С. 23-29.

3. Харламов А. А. Тезисы докладов. XXXIX Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химиии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. Физические секции. — 2003.

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — М.: Наука, 1973. — 503 с.

5. Желнорович В. А. Теория спиноров и ее применение в физике и механике. — М.: Наука, 1982. - 270 с.

6. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Наука, 1965. - 703 с.

7. Гейзенбврг В. Введение в единую полевую теорию элементарных частиц. — М.: Мир, 1968. - 240 с.

UDC 530.12:531.51

Nonlinear Spinor and Scalar Fields in the Friedmann's Model of Universe: Problem of Initial Singularity

A. A. Kharlamov, E. N. Chudayeva, G. N. Shikin

Department of Theoretical Physics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia

In Friedmann's model of Universe with flat spatial part we have analyzed Born—Infeld type scalar and spinor fields with nonlinear terms being functions of spinor field invariants S2, P2, S2 ± P2, S — iptp, P = iip~isip. Exact solutions to scalar—spinor—Einstein equations for all types of nonlinearity have been found. Some explicit spinor fields with polynomial nonlinear terms have been considered. The existence of both singular and nonsingular solutions at initial moment of time depending on signs of parameters of nonlinearity has been discussed. It has been shown that linear scalar and spinor fields have an initial singularity.