Концепты и функциональные зависимости Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Привалов А.А. О расходимости интерполяционных процессов Лагранжа по узлам Якоби на множестве положительной меры // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, №4. С. 837-859.

5. Erdos P., Vertesi P. On the almost everywhere divergence of Lagrange interpolatory polynomials for arbitrary system of nodes // Acta. Math. Acad. Sci. Hungar. 1980. Vol. 36 (1-2). P. 71-89.

6. Коровкин П.П. О замкнутости системы функций Чебышева // ДАН СССР. 1951. Т. 78, № 5. С. 853-855.

7. Мергелян С.Н. Некоторые вопросы конструктивной теории функций // Тр. МИАН СССР. 1951. Т. 37. С. 1-97.

8. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Физматлит, 1961.

9. Новиков В. В. О расходимости ряда Фурье функции со сходящимся интерполяционным процессом Лагранжа // Analysis Mathematica. 2003. Vol. 29. P. 289-317.

10. Новиков В. В. Критерий равномерной сходимости интерполяционного процесса Лагранжа - Якоби // Мат. заметки. 2006. Т. 79, вып. 2. С. 254-266.

УДК 519.4

В.Е. Новиков

КОНЦЕПТЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

Статья посвящена исследованию связи между структурой формальных концептов и структурой функциональных зависимостей на п-арном отношении. Эти исследования инициированы задачей минимизации п-арного отношения с сохранением структуры формальных концептов. Главный результат статьи устанавливает совпадение множеств Ц-концептов по различным индексам атрибутов, если между их атрибутами существует взаимная функциональная зависимость.

Восстановим основные определения концептуального анализа [1], используя аппарат алгебры отношений В.В. Вагнера [2] на контексте с п-арным отношением. Пусть р С Ы\ х • • • х Мп - п-арное отношение. Обозначим п := (1, 2,... ,п), Мп := М1 х М2 х • • • х Мп, Ц = 21 и Ц := (¿1,22,... , ), Хгк := (хг1 , хг2, ), М*к := Мч х Мг2 х ••• х М1к для произволь-

ных 1 < ¿1 < ... < ¿к < п. Для удобства введём обозначения для результатов булевых операций над данными множествами: цЛ := Ц и Ц,, Ч * := Ц Пц,, гк \ := Ц\Ц,. Например, при Ц = (1, 3,4),Цз = (3, 5,6) имеем = (1,3,4, 5,6), г3 * ]3 = 3, г3 \ ]3 = (1,4). При этом также обозначаем Ц С п. Говорим, что к-система х1к входит в отношение р, если существует п-система хп £ р, для которой элементы х^, х^2,..., х^к являются её соответствующими компонентами. Для Ц, Ц С п, а^ £ М^, X С М^ обозначим:

Пк(Р) := {Узк £ М3к I Узквходит в р};

}(р) := {хп £ р 1 а, С хп}; рзкК> := Пк}(р));

Рзк (X) := П{рз-к(хТя> : х1в £ X}; ^ (X) :=Я. (^ (X)).

Формальный контекст определяется как тройка K = (Mn,M-s, р), где зафиксирован Js С n. M1s называется множеством объектов, Mn - декартово произведение базисных множеств атрибутов, р С Mn - некоторое n-арное отношение на базисных множествах атрибутов. Если X = р 1s-k (X) и р-s (Y) = X для Y С M-k, то X называется г ¡-концептом по J k и Y -Jk-генератором J ¡-концепта X. В этом случае элементы множества X будем называть объектами, а элементы множества Y - атрибутами ¿¡-концепта X по Jk, при этом Jk также называем индексом генератора или атрибута.

В [3] представлен краткий обзор по некоторым результатам формального концептуального анализа, в частности, описывающим некоторые системы замыканий на множестве формальных концептов и структуру насыщенных семейств минимальных генераторов концепта. Там же показана связь формального концептуального анализа с теорией распознавания образов и с задачей диагностики сложных систем и принятия решения. В [3] также приведён обзор исследований контекста с n-арным отношением, однозначным относительно множества объектов. Известной интерпретацией таких контекстов является база данных с ключом - наиболее распространенная форма реляционной базы данных относительно множества исследуемых объектов.

Будем говорить, что в отношении р С Mn имеет место F-зависимость M-q ^ M-k, Iq ,Jk С n, если р Jk (x -), x- G M-, определяет отображение п- (р) ^ n-k (р). F-зависимость M- ^ M-k, lq, Jk С n, будем называть B-зависимостью M- ^ M-k, если определяемое им отображение р-k (x - ):п-(р) ^ n-k (р) является взаимно однозначным.

Теорема. Если атрибуты M-q, M-k, l q , Jk С n в отношении р С Mn связаны B-зависимостью, то для любого Js С n множество г3-концептов по Jk и J ¡-концептов по lq совпадают.

Пусть р С Mn и lq,Jk С n, если |п- (р)| = |n-k(р)|, то не существует B-зависимости M- ^ M-k. Если |п- (р)| = |n-k(р)|, то существование B-зависимости M- ^ M-k можно проверить модифицированным алгоритмом satisfies [4]. Остальные B-зависимости можно вывести с помощью следующих свойств:

1. Для любого Jk С n M-k ^ M-k есть B-зависимость (рефлексивность).

2. Для любых lq,Jk С n если M- ^ M-k есть B-зависимость, то M-k ^ M-также B-зависимость (симметричность).

3. Для любых lq, Jk, С n, если M- ^ M-k и M-k ^ Mut есть B-зависимости, то M-k ^ Mut - также B-зависимость (транзитивность).

4. Для любых Iq, Jk, vp С n, если M- ^ M-k и MVp ^ Mut - B-зависимости, то M--^ ^ Mjku^ - также B-зависимость (аддитивность).

Таким образом, поскольку B-зависимость является абстрактным отношением эквивалентности на множестве индексов атрибутов Jk С n, мно-

жество индексов атрибутов разбивается на классы, по которым для любого is С n множество Ц-концептов совпадают. Поэтому из каждого класса достаточно выбирать только один индекс атрибутов. Более того, учитывая свойство 4, из всех классов эквивалентных индексов атрибутов достаточно рассматривать только классы, содержащие одномерные индексы атрибутов, и из каждого такого класса выбирать лишь один из одномерных представителей этого класса. Итак, допустим, задан контекст K = (Mn, M1s, р) и стоит задача минимизировать отношение р, сохраняя упорядоченное множество Ц-концептов. Допустим отношение B-зависимости в р разбивает множество из n одномерных атрибутов на k классов, k < n. Если k = n, то р - уже минимальное отношение для множества Ц-концептов и любого is С n. Если k < n, обозначим Jk - индексный вектор, все координаты которого соответствуют одномерным представителям блоков этого разбиения. Причём, если в класс входит одномерный индекс атрибута, который в то же время является одной из координат индекса ц, то в качестве представителя этого класса выбираем именно этот индекс. Тогда отношение Z = fijfc (р) С Mjfc является минимальным отношением для множества ¿¿-концептов, ц = is * Jk, на контексте K' = (Mjfc, M1t , Z), упорядоченное множество которых изоморфно упорядоченному множеству ц-концептов на контексте K = (Mn,M1s,р). Причем изоморфизм устанавливается простой проекцией n1t.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ganter B., Wille R. Formal Concept Analysis. Mathematical Foundations. Berlin: Springer-Verlag, 1999.

2. Вагнер В.В. Теория отношений и алгебра частичных отображений // Теория полугрупп и её приложения. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1965. Вып. 1. С. 3-178.

3. Novikov V.E. Formal conceptual analysis within n-ary relation context // Вестн. Сарат. гос. техн. ун-та. 2006. № 3 (15), вып. 2. С. 18-22.

4. Мейер Д. Теория реляционных баз данных. М.: Мир, 1987.

УДК 681.3.06: 519.766.23

А.А. Орел

ХРАНЕНИЕ XML-ДОКУМЕНТОВ В РЕЛЯЦИОННОЙ БАЗЕ ДАННЫХ

Предлагается технология формирования структуры реляционной базы данных на основе схемы некоторого класса XML-документов и технология хранения соответствующих XML-документов в виде данных реляционной базы.

XML-документы позволяют представлять данные со сложной структурой из различных предметных областей. При этом XML-схемы способны зафиксировать структуру некоторого класса документов с учетом используемых