О решетках топологий полигонов над полугруппами правых и левых нулей Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Горбунов В. А. Покрытия в решетке квазимногообразий и независимая аксиоматизируемость // Алгебра и логика. 1977. Т. 16, № 5.

4. Карташов В. К. Характеризация решетки квазимногообразий алгебр Ai,i // Алгебраические системы : межвуз. сб. Волгоград, 1989.

5. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп : в 2 т. М. : Мир, 1972. Т.1.

О РЕШЕТКАХ ТОПОЛОГИЙ ПОЛИГОНОВ НАД ПОЛУГРУППАМИ ПРАВЫХ И ЛЕВЫХ НУЛЕЙ А. В. Карташова (г. Волгоград) E-mail: [email protected]

Левым полигоном над полугруппой S (или просто полигоном) называется множество X, на котором задано действие полугруппы S, т.е. задано отображение S х X ^ X, (s,x) ^ sx, удовлетворяющее условию (ts)x = t(sx) при s,t Е S, x Е X.

Полигоны над полугруппами образуют широкий класс алгебраических объектов, которые изучались многими авторами с различных точек зрения (см., например, [1-3]).

Полугруппой правых (левых) нулей называется полугруппа S, удовлетворяющая тождеству st = t(st = s) для любых s,t Е S.

В [4] изучались решётки конгруэнций полигона над полугруппой правых или левых нулей.

Пусть X - полигон над полугруппой S и а - некоторая топология на множестве X. Будем говорить, что а - топология данного полигона, если для любых s Е S и U Е а множество {x|sx Е U} Е а.

Нетрудно показать, что множество ^(X) всех топологий полигона X является решеткой по включению.

Теорема 1. Пусть X - полигон над полугруппой S правых нулей и sx = tx для некоторых s,t Е S и x Е X. Тогда решетка ^(X) топологий этого полигона немодулярна и не является решеткой с дополнениями.

Отсюда, в силу [5, теорема 9],получаем

Следствие. Решетка ^(X) топологий полигона X над полугруппой S правых нулей является решеткой с дополнениями тогда и только тогда, когда sx = tx для всех s, t Е S и x Е X.

Теорема 2. Пусть S - полугруппа правых или левых нулей. Тогда решетка ^(X) топологий произвольного полигона X над полугруппой S модулярна в том и только том случае, когда |X | < 2.

Теорема 3. Для любого кардинального числа а существуют полигоны X\ и X2 мощности а над полугруппами правых и левых нулей соответственно, решетки топологий которых являются решетками с дополнениями.

Библиографический список

1. Kilp M, Knauer U., Mikhalev A. V. Monoids, acts and categories Berlin, New York : W. de Gruyter, 2000.

2. Скорняков Л. А. Характеризация категории полигонов // Матем. сб. 1969. Т. 80(122), № 4(12).

3. Кожухов И. Б. Полугруппы, над которыми все полигоны резиду-ально конечны // Фундамент. и прикл. матем. 1998. Т. 4, вып. 4(12).

4. Халиуллина А. Р. Условия модулярности решётки конгруэнций полигона над полугруппой правых или левых нулей // Дальневост. матем. журн. 2015. Т. 15, № 1.

5. Kartashova A. V. On lattices of unary algebras //J. Math.Sci. 2003. Vol. 114, № 2.

ГРУППА УМНОЖЕНИЙ ПОЧТИ ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМОЙ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ Е. И. Компанцева (г. Москва) E-mail: [email protected]

Умножением на абелевой группе G называется гомоморфизм ß : G 0 G ^ G. Группа MultG = Hom(G 0 G,G) называется группой умножений группы G [1].

Настоящая работа посвящена изучению колец на почти вполне разложимых группах. Абелева группа без кручения конечного ранга называется почти вполне разжимой (ДВР-группой), если она содержит вполне разложимую подгруппу конечного индекса [2]. ДВР-группы изучаются давно, им посвящены исследования многих авторов.

Получено описание группы MultG блочно-жестких ДВР-групп кольцевого типа с циклическим регуляторным фактором (ЦРФ-групп). Пусть G - группа из указанного класса, A - ее регулятор, G/A = (d + A) - ре-гуляторный фактор, n - регуляторный индекс.

Множество T(G) = T(A) критических типов группы G определяется

разложением регулятора A = ф AT, где AT - т-однородная компонент eT (G)