Группа умножений почти вполне разложимой абелевой группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 3. Для любого кардинального числа а существуют полигоны X\ и X2 мощности а над полугруппами правых и левых нулей соответственно, решетки топологий которых являются решетками с дополнениями.

Библиографический список

1. Kilp M, Knauer U., Mikhalev A. V. Monoids, acts and categories Berlin, New York : W. de Gruyter, 2000.

2. Скорняков Л. А. Характеризация категории полигонов // Матем. сб. 1969. Т. 80(122), № 4(12).

3. Кожухов И. Б. Полугруппы, над которыми все полигоны резиду-ально конечны // Фундамент. и прикл. матем. 1998. Т. 4, вып. 4(12).

4. Халиуллина А. Р. Условия модулярности решётки конгруэнций полигона над полугруппой правых или левых нулей // Дальневост. матем. журн. 2015. Т. 15, № 1.

5. Kartashova A. V. On lattices of unary algebras //J. Math.Sci. 2003. Vol. 114, № 2.

ГРУППА УМНОЖЕНИЙ ПОЧТИ ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМОЙ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ Е. И. Компанцева (г. Москва) E-mail: [email protected]

Умножением на абелевой группе G называется гомоморфизм ß : G 0 G ^ G. Группа MultG = Hom(G 0 G,G) называется группой умножений группы G [1].

Настоящая работа посвящена изучению колец на почти вполне разложимых группах. Абелева группа без кручения конечного ранга называется почти вполне разжимой (ДВР-группой), если она содержит вполне разложимую подгруппу конечного индекса [2]. ДВР-группы изучаются давно, им посвящены исследования многих авторов.

Получено описание группы MultG блочно-жестких ДВР-групп кольцевого типа с циклическим регуляторным фактором (ЦРФ-групп). Пусть G - группа из указанного класса, A - ее регулятор, G/A = (d + A) - ре-гуляторный фактор, n - регуляторный индекс.

Множество T(G) = T(A) критических типов группы G определяется

разложением регулятора A = ф AT, где AT - т-однородная компонент eT (G)

та группы А, ранг которой равен кт. Согласно теории ДВР-групп [2], существует разложение О = О1 0 С, в котором О1 - жесткая ЦРФ-группа с регулятором В и множеством критических типов Т(01) = Т(В) С Т(О), С - вполне разложимая группа. Это разложение называется главными. Существуют такие элементы ет € Ат(т € Т(О)), что группы В и С можно представить в виде В = ф Ятет, С = ф Ятет, где Ят -

т€Т(В) т€Т(С)

подкольца с единицей кольца рациональных чисел. При этом ё € В и выполняется

пё = —вт ет, (1)

тт

т €Т (В) т

где тт,вт - взаимно простые целые числа, причем тт(т € Т(О)) являются инвариантами группы О. Равенство (1) называется стандартным представлением ЦРФ-группы О.

Для т € Т(В) обозначим через в'т такое целое число, что втв'т+ +тттт = 1 при некотором ш'т € Ъ. Если же т € Т(С) \Т(В), то тт = 1, в этом случае положим вт = в'т = 0.

Для каждого т € Т(В) и каждого а € Ъ определим множество Вт(а) = атт§т + т^Вт С Вт (здесь Вт рассматривается как подгруппа аддитивной группы рациональных чисел).

Теорема. Пусть О - блочно-жесткая ЦРФ-группа кольцевого типа со стандарными представлением (1). Тогда группа ЫпНО изоморфна аддитивной группе блочно-диагональных матриц ^(а) = (^т(а))т€Т(Р), (Вт (а) + т2Ат ттАт • • • ттАт\

где FT (а) E

^^т At At ' ' ' At

Y At At ' ' ' At J

С Mkr(At), а E Z.

Библиографический список

1. Fuchs L. Infinite abelian groups // Academic Press. New York ; London, 1973. Vol. 2.

2. Mader A. Almost completely decomposable abelian groups // Algebra, Logic and Applications. Amsterdam : Gordon and Breach, 2000. Vol. 3.