О решениях предельной задачи для сингулярно-возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2G10, том 53, №6_____________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.928.2

Б.Алиев, Г.Х.Джураева

О РЕШЕНИЯХ ПРЕДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 23.02.2010 г.)

Излагается метод нахождения приближенных решений предельной задачи для дифференци-

альных уравнений с малым параметром при старших производных, которые близки к решению задачи для предельного (невозмущённого) уравнения.

Ключевые слова: предельная задача - сингулярное возмущение - малый параметр.

1. Постановка задачи. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

где Б - малый параметр, р, q - постоянные коэффициенты.

Если положить б = 0 , то есть отбросить возмущение, то получим уравнение первого порядка

Видно, что порядок невозмущенного уравнения на единицу меньше, чем порядок возмущенного дифференциального уравнения. Это означает, что любое дифференциальное уравнение лишь приближенно описывает процесс развития. Поэтому какие-то факторы, влияние которых на исследуемый процесс предполагается «малым», сводится к изучению зависимости решений дифференциальных уравнений от малых параметров. В математической постановке прикладных задач возникает

Адрес для корреспонденции: Алиев Боймурод. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

d2 y dy ^ r 7n є—— + p— + qy = 0, t є [a,b] dt dt

(1)

с краевыми условиями

y(a^) = a, y(b, є) = p,

(2)

(3)

с условиями

z(a) = a, z(b) = p.

(4)

вопрос поведения решений задачи (1)-(2) при значениях коэффициентов, характеризуемых «малыми» параметрами. Изучение решений задачи с малым параметром в силу ее прикладной важности (приложение теории этих уравнений в гидродинамике, нелинейной механике, химической и биологической кинетике, экологии, теории оболочек и многих других областях) стало одним из крупных направлений в области дифференциальных уравнений и математической физики (см. [1-4]). В [5] рассматривается вопрос нахождения приближенных решений задачи Коши для дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных, которые близки к решению задачи Коши для предельного (невозмущённого) уравнения. В связи с этим представляет интерес нахождение приближенного решения задачи (1)-(2), которое близко к решению задачи (3)-(4).

2. Основные результаты. Известно [1], что общее решение задачи (1) представимо в виде

y(t,s) = Cxe + C2e ,

где

-p + Vp2 -4qs -p-Vp2 -4qs

7 =-------------------, a =------------?----------.

2s 2s

Здесь C и C2 определяются из условий (2). Нашей целью является доказательство того, что при s —— 0 решение задачи (1)-(2) сходится к решению задачи (3)-(4). Из вида решения непосредственно не следует, что при s — 0 y(t, s) стремится к решению задачи (3)-(4), то есть к функции

1 ~q(t-a) q (b-t)

z(t) = ±(ae p +pep )

для любого t e [a,b\.

Чтобы убедиться в близости y(t,s) и z(t) , воспользуемся разложением, приведенным в [6]:

s x2 + bx + c = s[x + щ (s)\ ■ [x + ю2 (s)\,

где

, 4 2c b ±л1 b2 -4cs

®1(s) = ------1 , > ®2(s) = ----------------- -.

b ±V b - 4cs 2c

Очевидно [5], что разложение имеет место для задачи (1)-(2), если

p

v + r = —, s

q

v ■ r = —.

Откуда

s

, л ^ у[рГ-А^ 2ц

4,2 = 4,2(є) =--------------1 „ > Г1,2 = Г1,2(є) = ±-----------+

р ±у1 р2 - 4цє є р ±т]р2 - 4цє

Предположим, что в уравнении (1) р > 0, тогда аналогично [5] вводим новую неизвестную функцию

и(і ,є) = ~у + Уі(є) У' (5)

м

В результате приходим к необходимости решить следующее дифференциальное уравнение

Ми

— + г (ф = 0. (6)

м

Решение уравнения (6) выражается формулой

и (і, є) = С2е~Г1 (є)4.

Пользуясь найденной функцей и(і,є) , из (5) находим решение уравнения (1) при р > 0, в виде

у(і,є) = Се(є)і - С2-Г=є^= е~г є . (7)

-у/р2 - 4дє

Я

Так как при а ^ 0 ^ (а) ^ —, гг (а) ^ да для любого р > 0, то решение вида (7) уравне-

Р

ния (1) стремится к решению уравнения (2) при £ ^ 0 , то есть

Шп у(Х, а) = С •е р = 2(1)

£^■0

для любого I е [а, Ь].

Пусть теперь в уравнении (1) р < 0, тогда на основе [5], воспользуясь найденными функциями, Уг (а) и Г (а) , получим решение уравнения (1) в виде

у^,£) = Се+ С2-г=£^= е. (8)

Vр2 - 4дє

Я

Очевидно, что при а ^ 0 У2 (а) ^—, г2 (а) ^ да, если р < 0 . Пользуясь этим и переходя

к пределу в (8), получим

Ііт у(і, є) = С ' е р = г(і).

є^0

Далее, с учетом (5) и (6) общее решение дифференциального уравнения (1) выражается формулой

у(і,є) = Се ^ * + с

1

у(є) - г(є)

-г(є)і

(9)

Итак, справедлива

Теорема 1. Общее решение уравнения (1) выражается в виде (9) (у(е) = V (а) и г(а) = г (а), если р > 0; у(а) = \2 (а) и г (а) = г2 (а), если р < 0). При этом имеет место пре-

дельный переход

Ііт у(і, є) = 2(і)

6^0

для любого ї &[а, Ь], где г(і) решение уравнения (3).

Теперь, воспользовавшись найденными функциями вида (7) и (8), находим решение задачи (1)-(2). Оно имеет вид

у(і,є,а, Р) = Ае ^(є)і + А.

є

т/р2 -4дє^

л]р2 - 4дє

(10)

где

А =

ае

Ь^І р2-4дє ад/ р 2-4дє

є - ре є

1 Ьтір 2-4 дє ^ а^р2-4дє

у-1 (є) а

-VI (є)Ь

А =

-е

ре

V(є)а -ае^і(є)Ь

д/р2 - 4дє

Чр2-4дє а

—----------Vі(є)а -----------

е є 1 - е є

■\ір2-4дє

Vі(є)Ь

ґ\2а 2а

v1 (є) =------------------, =, если р > 0 и V (є) =-1 =, если р < 0 . Пользуясь этим и пере-

р + ТІр2 - 4цє ходя к пределу в (10) , получим

УІр 2 - 4дє

Ііт у(і, є, а, Р) = і(і, а, Р),

є^0

где

2(і,а, Р) =

—— (ї-а-Ь) —а -‘-Ь

(а-Р)е р -аер +рер

решение задачи (3)-(4).

Итак, справедлива

Теорема 2. Решение задачи (1)-(2) выражается в виде функции (10). При этом имеет место предельный переход

є

е

2

є

є

е

1

д, д

—Ь —а

е р - е р

lim y(t, s, a, P) = z(t, a, P),

s—0

для любого t e [a, b\, где z(t,a,P) решение задачи (3)-(4).

Поступило 23.02.2010 г.

ЛИТЕРАТУ РА

1. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1964, 272 с.

2. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.Ф. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974, 410 с.

3. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно-возмущенных уравнений. - М.: Наука, 1973, 270 с.

4. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. - М.: Наука, 1981, 400 с.

5. Джураев Х.Ш. - Матер. II Межд. науч. конф. «Перспективы развития науки и образования в XXI веке», ч. 2. - Душанбе: ТТУ им. акад. М.Осими, 2006, с.21-23.

6. Алиев Б., Джураев Х.Ш. - ДАН РТ, 2004, т. 47, №4, с.92-98.

Б.Алиев, Г.Х.Ч,Ураева

ДОИР БА Х,АЛХ,ОИ МАСЪАЛАИ ^УДУДЙ БАРОИ МУОДИЛА^ОИ СИНГУЛЯРИИ ОШУБИИ ДИФФЕРЕНТСИАЛИИ ОДИИ ТАРТИБИ ДУЮМ БО КОЭФФИТСИЕНТ^ОИ ДОИМЙ

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола нишон дода мешавад, ки х,алли масъалаи худудй барои муодилаи сингуля-рии ошубии дифферентсиалии одии тартиби дуюм бо коэффитсиентх,ои доимй ба хдлли масъалаи мувофик, ки аз он хднгоми ба нул баробар будани параметр х,осил мешавад, наздик мебо-шад.

Калима^ои калиди: масъалаи уудудй - ошуби сингулярй - параметри хурд.

B.Aliev, G.Kh.Dzhuraeva ON SOLUTIONS OF LIMITING PROBLEM FOR SINGULAR INDIGNANT ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS OF SECOND ORDER WITH CONSTANT COEFFICIENTS

Tajik National University It is shown that solution of limiting problem for singular indignant ordinary differential equations of second order with constant coefficients under striving of parameter to zero converge to solution of equation which come of when the parameter is equal to zero.

Key words: limiting problem - singular indignant - smole parameter.

43б