О решениях двухточечной краевой задачи для одной неавтономной дифференциальной системы с кубической по фазовым переменным правой частью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.52

О РЕШЕНИЯХ ДВУХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОЙ НЕАВТОНОМНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С КУБИЧЕСКОЙ ПО ФАЗОВЫМ ПЕРЕМЕННЫМ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

Е.В. Вареникова

В работе рассматривается система вида

х = Ьу + а20 (V) х2 + а11 (V) ху + а02 (V )у2 + а30 (V) х3 + а21 (V) х2 у + а12 (V) ху2 + а03 (V )у3,

У = Сх + Ь20 (*)х 2 + Ь11 ^) ху + Ь02 ^)у 2 + Ь30 ^)х 3 + Ь21 ^)х 2 у + Ь12 ^) ху 2 + Ь03 ^)у ' ,

где а^ = а^ (V), Ь^ = Ь^ (V) - непрерывные функции; Ь и с - постоянные, для которых Ьс = —к2. Для нее

установлены условия, при которых эта система имеет линейную отражающую функцию Мироненко В.И. и,

значит, линейное отображение за период [— СО; СО]. Полученные условия позволяют указать начальные данные

решений двухточечной краевой задачи Ф(х(о), у (о), х(—о), у(—о )) = 0 и, значит, начальные данные 2О -

периодических решений рассматриваемой системы в том случае, когда ее коэффициенты 2о - периодические непрерывные функции.

Ключевые слова: отражающая функция Мироненко В.И., отображение за период, краевая задача, периодические решения.

Напомним, что ОФ [1, с.62] системы

х = X(V, х), V е Я, х е О е Я (2)

с общим решением р(V; V0, х0), определяется формулой ¥(V, х) = р(—V; V, х). Дифференцируемая функция ¥ (V, х) является ОФ системы (2) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет основному соотношению

Э¥ Э¥

— + — X (V, х) + X (—г, ¥) = 0, ¥ (0, х) = х.

Эг Эх

Основные применения ОФ основаны на том, что эта функция по состоянию системы х^) позволяет найти состояние х(—) ° ¥(V, х(:)). Это свойство позволяет при известной ОФ

¥ (V, х) находить начальные данные краевой задачи Ф(х(о), х(—о)) = 0 [2, с. 202] из конечного уравнения Ф(х(о), ¥ (о, х(о))) = 0, а значит находить и начальные данные 2о -периодических решений и определять характер их устойчивости (подробнее см. по этому поводу [1]).

Используя основное соотношение для ОФ нами доказана

Теорема 1. Пусть для коэффициентов системы (1) выполнены условия

c c

b20 = — (sin 2kt - ctgkt)a20Ч-----(sin 2kt - tgkt)a20H

к k

c2 c3

+ — COS 2kt(а11Ч - aiiH ) + k3 sin2kt(a02H - а02Ч X

b11 = -2 sin 2kta20Ч + 2 cos 2kta20H +— (sin 2kt - ctgkt)a^

k

c

k

k

2c2 .

- y (sin 2kt - tgkt)a11H + ~k^ sin 2kta02Ч - ~k^ cos 2kta0

b02 = — sin2kt(a20H - a20Ч ) + cos2kt(a11H - a^ )

+— (sin 2kt - ctgkt)a0^-(sin 2kt - tgkt)a02H.

kk

c 3 c 3 b k k

a03 = , 3 tg2kt ' a30H TY ctg2kt ' a30Ч + ~ a21 + ~Z~ tg2kt ' a12H - » ctg2kt ' al2Ч ,

k k 3c 3c 3c

b30 = c cos4kt' tg2kt' a30H - — cos2 2kt' ctg2kt' a30Ч + — cos2 2kt - a21H -k k 3b

33

c c c

--(1 + 2cos 4kt)a21Ч +- (2 + cos 4kt)tg2kt' a12H +- sin 4kt' a12Ч,

3b 3k 6k

2c

2c

b21 = 3cos 4kt' a30H - 6cos 2kt' a30Ч--------sin 4kt' a21H------cos 4kt' ctg2kt' a21Ч +

k

k

2

+ — cos 2kt' a12H + — sin 4kt' a

2c "b 3k

b

12Ч

3k

b12 = — sin 4kt' a30H +-cos 4kt' ctg2kt' a3^ + (1 + 2cos 4kt)a21H + (1 - cos 2kt)a2^ +

к к

+— sin 4kí • a12H +-cos 4kí • ctg2kt • a124,

b 2b

i 2b 2 _, b Л1 2b . Л1 2b Л1 _,

b03 = — cos 2kt • a30H — cos 4kt • a304 ------------sin 4kt • a21H-----cos 4kt • ctg2kt • а21Ч +

c c 3k 3k

1 л1 2 2 r\i

+ 3 cos 4kt • a12H - 3 cos 2kt • а12Ч.

Тогда ОФ системы (1) совпадает с ОФ укороченной системы

х = Ьу, у = сх, Ьс = -к2.

Для доказательства теоремы 1. воспользуемся результатом работы [3]. Согласно этому результату (если применить его к нашему случаю) система (1) будет иметь такую же ОФ как и система (4), если возмущение

А =

/ 2 232 23\

a20 X + a11 xy + a02y + а30 x + а21 ху + а12 ху + a03y

b20 X 2 + b11 ХУ + b02 У 2 + b30 х 3 + b21 х 2 у + b12 Ху 2 + b03 У '

21 12 ^12 (t)А12 ,

системы (4) можно представить в

виде Л = a1(г)A1 + а2(V)А2 +... + a12(г)A12, где А1,А2,...,А12 удовлетворяют соотношению /0 Ь Л

Л = 0, а ак (V) - нечетные скалярные функции.

с 0

V /

Расписывая это соотношение по координатам, мы придем к стационарной системе линейных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов ац (V). Решая эту систему и выбирая только ее периодические решения, мы получим двенадцать линейно неза-

ЭА ЭА, ЭА

------\----by +------cx-

Эt Эх Эу

c

c

c

висимых Дк . Выражая затем нечетные функции ак (ї) через коэффициенты ац (ї) нашей

системы, мы и докажем теорему 1.

Замечание: получены условия, при которых система (1) имеет линейную (ОФ) и, значит, линейное отображение за период [- «;«] [4, с.12].

Линейная система (4) легко интегрируется. Проинтегрировав ее, мы найдем ее ОФ, а значит и ОФ системы (1). Эта ОФ задается соотношениями

F (t, x{t), y{t)) =

' Fj(t, x(t), y(t)) ^

vF2(t, X(t), y(t))

ґx(t) cos2kt - by(t)sin 2kt x b x(t) sin 2kt + y(t) cos 2kt

(5)

Зная ОФ системы (1) и учитывая сказанное выше, мы приходим к следующей теореме Теорема 2. Пусть для системы (1) с непрерывными коэффициентами выполнены условия (3). Тогда

1) если число

D := (a1b2 + a3 b4 - a2 b1 - a4b3) +

rib 1 k 1 b 1 k. .

+ (a3 b1 — + a 4 b3-a1b3-a 2 b4 —)sin 2kw +

k b k b

+ (a1b4 + a3b2 - a2b3 - a4b1)cos2kw Ф 0,

то краевая задача

a1 x(w) + a2 y (w) + a3 x(-w) + a4 y(-w) = c1,

(6)

b1 x(w) + b2 y(w) + b3 x(-w) + b4 y (-w) = c2,

для системы (1) имеет единственное решение, начинающееся при t = w в точке

(x(w), y(w)), удовлетворяющей системе алгебраических уравнений

kb (a1 + a3 cos 2kw + a4— sin 2kw)x(w) + (a2 + a4 cos 2kw - a3— sin 2kw)y(w) = c1,

b k (7)

kb (b1 + b3 cos 2kw + b4 — sin 2kw)x(w) + (b2 + b4 cos 2kw - b3 — sin 2kw)y(w) = c2. bk

если только это решение продолжимо на [- w,w] (если же это решение не продол-жимо на [- w,w], то задача (6)для системы (1) решений не имеет).

2) если число D = 0 и

kb b + b3 cos 2kw + b4 — sin 2kw b2 + b4 cos2kw - b3 — sin 2kw

1 3 4 2 4 3

b _ k ^c2

k b Ф (8) a1 + a3cos2 k« + a4—sin2k« a2 + a4cos2 k« - a3—sin2k« 1

bk

то задача (6) для системы(1) не имеет решений.

3) если число D = 0 и

kb b + b3 cos2k« + b4 — sin 2k« b2 + b4 cos2k« - b3 — sin 2k«

1 3 4 2 4 3

---------1---- = ------------1---=7" (9)

a1 + a3cos2 k« + a4—sin2k« a2 + a4cos2 k« - a3 — sin 2k« 1

bk

то задача (6) для системы (1) имеет бесконечно много решений, причем при t = «

начальные данные (x(«), y(«)) этих решений заполняют всю прямую

kb (a1 + a3 cos 2k« + a4 — sin 2k«)x(«) + (a2 + a4 cos 2k« - a3 — sin 2k«)y(«) = c1. bk

¥) если

к b

a1 + a3 cos 2кю + a4 — sin 2кю = a2 + a4 cos 2кю - a3 — sin 2кю = b к

к b

= bj + b3 cos2kw + b4 — sin 2kw = b2 + b4 cos2кю - b3 — sin 2кю = с = c2 = 0 b к

то все решения системы продолжимые на [- ю,ю] являются решениями задачи (6) для системы (1).

Доказательство. Ранее было указано, что продолжимое на [- ] решение

(x(t), y(t)) системы (1) будет удовлетворять условию Ф(х(ю),y(w), x(-w), y(-w)) = 0 тогда и только тогда, когда начальная точка (х(ю), y(w)) этого решения удовлетворяет усло-

вию Ф(х(ю), y(w), F1(a, x(w), y(w)),F2(w, x(w), y(w))) = 0. В нашем случае F1 и F2 определяются соотношениями (5). Поэтому предыдущее соотношение примет вид

Ф

b к

x(w), y (w ), x(w ) cos 2 km—y (w) sin 2 kw, — x(w ) sin 2k w + y (w ) cos 2km

к b

= 0.

Учтем теперь, что в нашем случае функция Ф определяется соотношениями (6). Поэтому решение (х(^), у(1)) будет удовлетворять нужным краевым условиям тогда и только тогда, когда х(а), у (а) удовлетворяют системе (7).

Запишем ее в виде:

r x(w )Л с \ и 1

èy(w ) 0 с2 2

где

( к b Л

ax + a3 cos 2kw + a4 — sin 2kw a2 + a4 cos 2kw - a3 — sin 2kw

b k

kb bl + b3 cos 2kw + b4 — sin 2kw b2 + b4 cos 2kw - b3 — sin 2kw

b k

Так как Б := ёе1 ^, то система (7) будет иметь единственное решение если Б ф 0 . Если же Б = 0, то при выполнении условий (8) система не имеет решений, а при выполнении

условий (9) существует бесконечное множество решений. В случае когда А =

с1 = с 2 = 0, система (7) вырождается в тождество.

Теорема доказана.

00

00

и

In the paper we consider the system

x = by + a20 (t ) x2 + a11 (t ) xy + a02 (t ) y2 + a30 (t ) x3 + a21 (t ) x2 y + a21 (t ) xy2 + a03 (t ) y3,

y = cx + b20 (t) x2 + b11(t)xy + b02 (t)y 2 + b30 (t)x3 + b21 (t) x2y + b21 (t)xy 2 + b03 (t)y '

where atj = atj (t ), bi}. = bi}. (t ) are the continued functions; b and c are the constants for which bc=-k2.

For this system we established conditions under which this system has a linear Mironenko V.I. reflective function and therefore a linear representation for a period [- w , w ].The obtained conditions allow us point out the initial data of the

solutions of the two-point boundary task 0(x(w),y(w), x(-w), y(-w)) = 0 and therefore, the initial data of the

2 Πperiodic solutions of the system (1) in the case when its coefficients are 2 ffl periodic continued functions.

The key words: reflective function Mironenko V.I, representation for a period, boundary task, periodic solutions.

Список литературы

1. Мироненко В.И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. Монография / В.И. Мироненко. Мин. образов. РБ, УО «ГГУ им. Ф. Скорины». Гомель, 2004. 196 с.

2. Коддингтон Е.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд-во Ш. М.: 1958. 474 с.

3. Мироненко В.В. «Дифференциальные уравнения», 2004, т. 40, № 10, с. 13251332.

4. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траектриям дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1996. 332 с.

Об авторе

Е.В. Вареникова - ассистент, филиал в г. Новозыбкове Брянского государственного университета им. академика И.Г. Петровского, ЬгуапБк§и@ mail.ru.