CC BY
21
М А Т Э М А Т Ы КА
УДК 517.925.52
Е. В. Варенникова
КВАДРАТИЧНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДИНАКОВЫМИ ОТРАЖАЮЩИМИ ФУНКЦИЯМИ
В настоящей работе рассматривается система
и 2 2
х = ах + Ьу + а 20 х + ап ху + а 02 у ,
22 у = сх + ёу + Ь20х + Ь11 ху + Ь02у .
(1)
Установлено, когда отражающая функция (ОФ) [1] этой системы совпадает с ОФ линейной системы:
х = ах + Ьу, [у = сх + ёу.
Тем самым установлены достаточные условия:
а20 + а20а + аиС - Ь20Ь = 0 а11 + 2а20Ь + а11 ё + 2а02с - Ь11Ь = 0,
а02 + а02 (2ё - а) + а11Ь - Ь02Ь = 0, Ь20 + Ь20 (2а - ё) + Ь11с - а20с = 0,
Ьп + 2Ь20Ь + Ь11 а + 2Ь02с - а11с = 0, Ь02 + Ь02ё + Ь11Ь - а02с = 0
(2)
при которых отображения за период [-т,т] этих двух систем совпадают в том случае, когда
система (1) 2т периодична по /.
Для дальнейшего нам понадобятся нижеизложенные сведения из теории ОФ [1]. Для системы
х = X(/; х),, х е Я , / е Я,
(3)
удовлетворяющей теореме существования и единственности с общим решением х = ф(/; /0, х0) ОФ, Е определяется формулой Е(/, х) := ф(-/; х). Если Е^, х) есть ОФ для системы (1), то Е(-т, х) есть отображение за период [-т,т] (отображение Пуанкаре) этой системы. Дифференцируемая функция Е(/, х) является ОФ системы (3) тогда и только тогда, когда она
удовлетворяет основному соотношению Е( + ЕхХ(/, х) + X (-, х) = 0, Е (0, х) = х. Все системы с одной и той же ОФ Е (/, х) образуют класс эквивалентности. Системы этого класса и только
1 -1 -1
они записываются в виде х = - — Ех Е( + Ех Я(/, х) - Я(-, х), где Я есть произвольная
2
непрерывно дифференцируемая функция.
Если Д(/, х) есть вектор-функция, удовлетворяющая соотношению Д + ДхХ(/, х) -- Хх (/, х)Д = 0, то при любой непрерывной скалярной нечетной функции а(/) система X = X(/, х) + а(/)Д(/, х) имеет такую же ОФ, как и система (3) (см. [2]).
Теорию ОФ для изучения дифференциальных уравнений применяли также Л. О. Альсевич, О. А. Кострица, Э. В. Мусафиров, Джоу Чжиньсинь и др. Достаточно полный список авторов можно найти в [1].
2
Рассмотрим теперь наиболее интересный случай, когда а = ё = 0 и Ьс = -к .
2
Лемма. Все периодические решения системы (2) при а = ё = 0 и Ьс = - к записываются в виде:
a20 = C1 cos kt + C sin kt + C3 cos 3kt + C4 sin 3kt,
1 _ 1 _ 2k 2k
a11 = — (bC1 + kC1) sin kt + — (bC - kC2) cos kt + — C3 sin 3kt - — C cos 3kt, c c c c
bk
bk
b
b
a„, = - — C, cos kt + — C sin kt + — C cos 3kt + — C. sin 3kt,
02 2 1 2 2 3 4
_ _ c c
b20 = C1 sin kt + C2 cos kt + — C3 sin 3kt -— C4 cos 3kt,
kk
^ k _ b11 = (C1 - — C1) cos kt + (C2 + — C2) sin kt - 2C3 cos 3kt - 2C4 sin 3kt, cc
k
k
k
k
b02 = — C1 sin kt -— C cos kt -— C3 sin 3kt + — C4 cos 3kt,
(4)
где С, С2, С3, С4, С, С2 - произвольные постоянные.
Доказательство. Учитывая, что а = ё = 0 , система (2) примет вид:
a20 = -aiic + b20 ^
а11 =-2a20b - 2a02c + b11b, a02 =-aiib + b02b,
b20 =-b1ic + a20 C,
b11 = -2b20b - 2b02c + a11c,
b02 =-b11b + a02c-
Ее характеристическое уравнение, как показывают расчеты, учитывая, что bc = -k¿
6 4 2 2 4 6
имеет вид: l + 111 k + 191 k + 9k = 0. Его корни: 112 = ±ik, 13 4 = ±3ik, 15 6 = ±ik. Таким образом, а20 в общем виде запишется так:
= C, cos kt + C sin kt + C cos 3kt + C. sin 3kt + С. t cos kt + Cj sin kt.
20 1 2 3 4 5 6
Пусть C5 = C 6 = 0, так как нас интересуют только периодические решения.
Если теперь найти а20, а20, а'20 и подставить их в найденные из последней системы,
c
c
c
c
c
c
c
c
а также из системы, полученной при дифференцировании первого уравнения этой системы
(достаточно найти а20, й'20), коэффициенты an, а02, b20, b11, b02, то получим соотношения (4).
Лемма доказана.
Теорема. Все системы вида
x = by + a. (x2 cos kt + xy — sin kt) + a (x2 sin kt - xy — cos kt) +
c
2k
c
b
+ a3(x cos 3kt + xy — sin 3kt + y — cos 3kt) +
2k
22 + a4(x sin3kt - xy — cos3kt + y — sin3kt) +
cc
b 2 bk b 2 bk + a5 (xy — sin kt - y 2 cos kt) + a6( xy — cos kt + y ~sin kt), c c c c
k
k
y = cx + a. (xy cos kt + y —sin kt) + a2( xy sin kt - y —cos kt) +
2 c 2 k
+ a3(x — sin3kt - 2xy cos3kt - y — sin3kt) + kc
2 c 2 k
+ a4(-x — cos3kt - 2xy sin3kt + y — cos3kt) +
kc
+ a 5 (x2 sin kt - xyk cos kt) + a (x2 cos kt + xyk sin kt),
(5)
--2р
где а. ^), I = 1, 6 - нечетные непрерывные — -периодические функции, имеют одну и ту же ОФ
г к
и потому одно и то же отображение за период
p p
k ' k
Доказательство. Согласно [2] для доказательства достаточно проверить тождество
Д, +ДхХ(Г, х) - Хх х)Д ° 0
для каждой из вектор-функций Д1, Д 2, Д 3, Д4, Д 5, Д 6, находящихся в системе (5) при
а. (/ = 1, 6), что сводится к простым вычислениям. Теорема доказана.
Замечание. На самом деле доказано, что всякая система с квадратичной относительно х, у и периодической по / правой частью, ОФ которой совпадает с ОФ системы
x = by, y = cx
c
c
c
c
c
имеет вид (5).
Следствие. Все продолжимые на
2р 2Р
к ' к
2р
с — -периодическими непрерывными функциями
к
решения любой системы вида (5) « (t)
n = 1, 6
являются
2p
-периодическими.
Доказательство. Согласно общему принципу из [1], для того чтобы продолжимое на
2р 2Р
кк
была неподвижной точкой отображения Пуанкаре Т(х, у) ° ¥ > х, УJ.
Так как системы (5) и (6) имеют одну и ту же ОФ, то у них одно и то же отображение за 2р 2Р
2р
решение было — -периодическим, необходимо и достаточно, чтобы точка (х, у)
к
2Р
период
совпадающее с тождественным отображением.
_ к к Доказательство закончено.
Литература
1. Мироненко, В. И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений / В. И. Мироненко. - Минск : Университетское, 1986 - 76 с.
2. Мироненко, В. В. Возмущения нелинейных дифференциальных систем, не меняющие временных симметрий / В. В. Мироненко // Дифференц. уравнения. - 2004. - Т. 40, № 10. - С. 1325-1332.
Summary
For two-dimensional system which right part represents polynomial of the second degree, the necessary and sufficient conditions providing concurrence of reflecting functions of square-law and linear systems are established{installed}.
Поступила в редакцию 28.02.07
к
УДК 519.240
Н. В. Сергиевич, М. Д. Юдин СТРУКТУРА БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Характеристическая функция (х. ф.) уЦ), t = /2,---, ) распределения случайного
вектора X в называется безгранично делимой, если для любого п существует х. ф. /п^) такая, что
№ = (/п «)п. (1)
И с. век. X , и его распределение, х. ф. которого обладает свойством (1), также называются безгранично делимыми.
Из (1) следует, что если с. век. X безгранично делим, то при любом п X представляется в виде суммы п независимых одинаково распределенных векторов с х. ф. /п ^).
Утверждается, что каждое безгранично делимое распределение есть свертка нормального распределения (которое может быть вырожденным) и конечного или счетного числа распределений Пуассона. В случае, когда безгранично делимое распределение имеет конечную дисперсию, для одномерного случая этот факт доказан в [1], для двумерного случая - в [2].
